OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

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OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
	A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.
Taxas Equivalentes a Juros Compostos
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. 
 ieq = ( 1 + ic)QQ/QT - 1 . 100
Onde:
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
Exemplo 01:
Calcular a equivalência entre as taxas:
	Taxa Conhecida
	Taxa equivalente para:
	a) 79,5856% ao ano
	1 mês
	b) 28,59% ao trimestre
	1 semestre
	c) 2,5% ao mês
	105 dias
	d) 0,5 ao dia
	1 ano
	e) 25% (ano comercial)
	1 ano exato ( base 365 dias)
Solução algébrica:Solução pela HP-12C - a)
1,7958
30 360 
1 100
5% ao mês
 a)
ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100ENTER
ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100
ENTER
ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100Yx
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100Xx
-
ieq = { 0,049997 } . 100
ieq = 5% ao mês
Solução algébrica:
 b)
ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100
ieq = { 0,653539 } . 100
ieq = 65,35% ao semestre
Solução algébrica: Solução algébrica
 c)
 ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100
 ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100
 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100
 ieq = { 0,090269 } . 100
 ieq = 9,03 %ao período
Solução algébrica
d)
ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100
ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100
ieq = { 5,022575 } . 100
ieq = 502,265% ao ano
Solução algébrica
e)
ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100
ieq = { 0,253880 } . 100
ieq = 25,39% ao período
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e comerciais).
	Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:
· Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação. 
Sendo:
C: capital inicialDaí,
 (1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
R: taxa real de juros
I: taxa de inflação
i: taxa aparente
 
Exemplo 01:
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período for 11,9% ?
Resolução:Resolução pela HP 12C:
 1,09 ENTER
 1,119 X
 1 -
 100 X 22
i = ? 		R = 9%ao ano		I = 11,9%
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)
(1 + i) = (1,09) . (1,119)
(1 + i) = 1,22
 i = 1,22 - 1
 i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano
Exemplo 02:
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 11,9% ?
Resolução:Resolução pela HP 12C:
 1,22 CHS FV
 1,119 PV
 1 n
 i 9
i = 22% ao ano 		R = ?		I = 11,9%
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)
 (1,22) = (1+ R) . (1,119)
 1,22 = (1 + R)
 1,119 
 1,09 = (1 + R)
 1,09 – 1 = R
 0,09 = R
 R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano
Exemplo 03:
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9% ?
Resolução:Resolução pela HP 12C:
 1,22 CHS FV
 1,09 PV
 1 n
 i 11,9
I = ? 		R = 9%ao ano		i = 22% ao ano
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)
 (1,22) = (1,09) . (1 + I)
 1,22 = (1 + I)
 1,09 
 1,119 = (1 + I)
 1,119 – 1 = I
 0,119 = I
 I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano
Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis
	É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
	A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc.
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa negativa (1 –i). assim teremos a seguinte fórmula genérica:
	iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )– 1] . 100
Exemplo 04
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%.
Resolução:
iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100Resolução pela HP 12C:
 1,05 ENTER
 1,03 X
 1 ENTER 0,015 - X
 1 ENTER 0,02 - X
1,065 X
1 - 100 X
 11,18%
iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100
iac = [1,1118...- 1] . 100
iac = 11,18% ao período
Taxa Média de Juros
	Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica:
	ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]1/n - 1} . 100
onde n = número de taxas analisadas
Exemplo 05
Com base nos dados a seguir calcular a taxa média.
Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62%
 IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23%
 IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56%
 IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00%
 IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86%
Resolução:
im = [(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]1/5 – 1 . 100
im = [(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]1/5 – 1 . 100
im = [1,033113...]0,2– 1 . 100Resolução pela HP 12C:
 1,0062 ENTER
 1,0023 X
 1,0056 X
 1,01 X
 1,0086 X
 5 1/X YX
 1 - 100 X
 0,65% ao mês
im = 0,006536 . 100
im = 0,6536%ao mês
E X E R C I C I O S 
1) Determinar a taxa: 
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano ? R. i = 36,5%aa
6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação? R. R = 3,32%aa
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflaçãodo mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = 7,14%
8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs:
Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se:
a) Qual a taxa média no período? R. 1,82% ao mês
b) Qual a taxa acumulada no período? R. 11,41% ao período
9) Calcular a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.
R. iac = 8,56% ao período; im = 1,66% ao mês.
10) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante os meses de junho/2000 a setembro/2000.
	Junho/2000
	0,85%
	Julho/2000
	1,57%
	Agosto2000
	2,39%
	Setembro/2000
	1,16%
R. iac = 6,1% ao período