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Anuidades Séries de pagamentos ou recebimentos referentes a pagamentos de alguma dívida, independentemente de sua origem, se de compra, de empréstimo ou outra. Anuidades imediatas: séries de pagamentos ou recebimentos sem carência. Classificação Periódicas Não Periódicas{ Temporárias Perpétuas{ Constantes Variáveis{ Antecipadas Postecipadas ou Postergadas{ Antecipadas Postecipadas ou Postergadas{ Imediatas Diferidas Quanto ao período Quanto ao prazo Quanto ao valor Quanto a forma{ { Periódicas Não Periódicas{ Temporárias Perpétuas{ Constantes Variáveis{ Antecipadas Postecipadas ou Postergadas{ Antecipadas Postecipadas ou Postergadas{ Imediatas Diferidas Quanto ao período Quanto ao prazo Quanto ao valor Quanto a forma{ { Aplicação Desconto ANUIDADES{ Anuidade Postecipada ou Postergada – Modelo Básico As parcelas ocorrem no final dos períodos. Cálculo do Valor Atual Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestações mensais, de R$ 500,00, com a primeira paga um mês após a compra, sabendo que o comerciante cobra juros de 3,5% a.m. PMT = $ 500,00 n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. => PV = ? Utilizando o Fator. 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) => 𝑃𝑉 = 500,00 × 𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) = 500,00 × 3,673079 = 1.836,54 Não utilizando o Fator. 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × [1 − (1 + 𝑖)−𝑛] 𝑖 𝑃𝑉 = 500 × [1 − (1 + 0,035)−4] 0,035 = 500 × 0,128558 0,035 = 1.836,54 Dedução da Expressão do Fator FAP(i%;n) Considere um fluxo de caixa com 4 pagamentos periódicos de R$1 e taxa de juros de 3,5%. O valor atual é dado por: PV = 1 x FSP(3,5%;1) + 1 x FSP(3,5%;2) + 1 x FSP(3,5%;3) + 1 x FSP(3,5%;4) = 1 x [FSP(3,5%;1) + FSP(3,5%;2) + FSP(3,5%;3) + FSP(3,5%;4)] Sabendo que FSP (i%, n) = 1 / (1+ i) n PV = 1 x [0,966184 + 0,933511 + 0,901943 + 0,871442] = 1 x [3,3673079] Fórmula Geral: 𝐹𝑆𝑃(𝑖%; 𝑛) = (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 ----- FSP (fator de valor montante para valor presente): FSP(i%;n) = 1 / (1 + i)n Progressão Geométrica (PG) Toda uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro (a 1 ), multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. Exemplos: a) 2, 8, 32, 128, 512, 2048, ... a 1 = 2; q = 4 b) 2, 3,6, 6,48, 11,664, 20,9952, 37,79136, ... a 1 = 2; q = 1,8 Dada uma progressão, pode-se achar sua razão dividindo-se quaisquer dois números sucessivos da PG: 𝑞 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , a n , ...) . A soma dos n primeiros termos S n é: S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-1 + a n Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: S n .q = a 1 .q + a 2 .q + a 3 .q + a 4 .q + ... + a n-1 .q + a n .q Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: S n .q = a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n + a n .q Observe que a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n é igual a S n - a 1 . Logo, substituindo, vem: S n .q = S n - a 1 + a n .q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑞 − 𝑎1 𝑞 − 1 Se, ainda, substituirmos a n = a 1 .q n-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: 𝑆𝑛 = 𝑎1 𝑞𝑛 − 1 𝑞 − 1 Exemplo: Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG (2, 8, 32, 128, 512, 2048, ...). Sabemos que a 1 = 2 e q = 4. Então: 𝑆10 = 2 45−1 4−1 = 682 ( = 2 + 8 + 32 + 128 + 512) Progressão Geométrica Ilimitada (infinitos termos) e Decrescente Nestas condições tem-se, no limite, a n = 0. Substituindo na fórmula anterior, vem: 𝑆∞ = 𝑎1 1 − 𝑞 Exemplo de aplicação: Resolva a equação: x + x /2 + x /4 + x /8 + x /16 + ... =100 PG ilimitada com a 1 = x e q = 1/2 Logo, substituindo na fórmula, vem: 𝑆∞ = 𝑥 1 − 1 2⁄ = 100 => 𝑥 = 50 PG na Matemática Financeira: Suponha n pagamentos mensais de R$100, com carência de 30 dias, e uma taxa de juros de i % ao mês. O valor presente desse financiamento é: 𝑃𝑉 = 100 1 + 𝑖 + 100 (1 + 𝑖)2 + 100 (1 + 𝑖)3 + ⋯ + 100 (1 + 𝑖)𝑛 𝑃𝑉 = 100 [ 1 1 + 𝑖 + 1 (1 + 𝑖)2 + 1 (1 + 𝑖)3 + ⋯ + 1 (1 + 𝑖)𝑛 ] PG com 𝑎1 = 1 1+𝑖 e 𝑞 = 1 1+𝑖 A soma da PG fica 𝑆𝑛 = 1 1+𝑖 ( 1 1+𝑖 ) 𝑛 −1 1 1+𝑖 −1 . Rearranjando, 𝑆𝑛 = (1+𝑖)𝑛−1 𝑖(1+𝑖)𝑛 que é o FSP(i%;n) Amortização pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) Caso Sem Carência Postecipada ou Postergada Uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestações mensais, de R$ 500,00, com a primeira paga um mês após a compra, com juros de 3,5% a.m. Qual seria seu preço a vista? PMT = $ 500,00 n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. n PMT INT AMORT Saldo 0 0,00 0,00 0,00 1.836,54 1 500,00 64,28 435,72 1.400,82 2 500,00 49,03 450,97 949,85 3 500,00 33,24 466,76 483,09 4 500,00 16,91 483,09 0,00 Em que: n PMT INT AMORT Saldo 0 0,00 0,00 0,00 1.836,54 1 500,00 64,28 435,72 1.400,82 2 500,00 49,03 450,97 949,85 3 500,00 33,24 466,76 483,09 4 500,00 16,91 483,09 0,00 (Cálculo da Prestação) Uma mercadoria que custa à vista $ 1.836,54 foi vendida em 4 prestações mensais, com a primeira paga 1 (um) mês após a compra. Sabendo que a taxa de juros cobrada é 3,5% a.m., qual é o valor de cada prestação? PV = $ 1.836,54 i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) => PMT= $ ? Utilizando o Fator: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛)⁄ => 𝑃𝑀𝑇 = 1.836,54 𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) =⁄ 1.836,54 3,673079⁄ = 500,00 Não utilizando o Fator: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝑖 [1 − (1 + 𝑖)−𝑛] 𝑃𝑀𝑇 = 1.836,54 × 0,035 [1 − (1 + 0,035)−4] = 64,2789 0,128558 = 500,00 (Cálculo da Quantidade de Prestações) A mercadoria de $ 1.836,54 foi vendida em prestações mensais de $ 500,00, à taxa de 3,5% a.m., pagando a primeira 1 (um) mês após a compra. Quantas prestações devem ser pagas? PV = $ 1.836,54 PMT = $ 500,00 i = 3,57% a.m. = 0,035 a.m. => n = ? 𝑛 = [ 𝑙𝑛(1− 𝑃𝑉×𝑖 𝑃𝑀𝑇 ) 𝑙𝑛(1+𝑖) ] => 𝑛 = − [ 𝑙𝑛 (1 − 1.836,54 × 0,035 500,00 ) 𝑙𝑛(1 + 0,035) ] = − [ 𝑙𝑛(0,871442) 𝑙𝑛(1,035) ] = − [ −0,13761 0,034401 ] = 4 (Cálculo da Taxa) A mercadoria que custa $ 2.100,00 pode ser adquirida em 6 prestações mensais, sem entrada e sem acréscimo, ou à vista com 10% de desconto. Calcule a taxa de juros. PV = $ 1.890,00 (2.100 - 10%) PMT = $ 350,00 ( 2.100 6) n = 6 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) => i = ? Sabe-se que 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%;𝑛). Então: 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) = 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 => 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) = 1.890 350 = 5,4000 Mas 𝐹𝐴𝑃(𝑖%, 6) = [1−(1+𝑖)−6] 𝑖 = 5,4000 Por aproximação: FAP(i%;6) = 5,4000 FAP(3,25%;6) = 5,372590 FAP (3,00%;6) = 5,417191 FAP(3,00%;6) = 5,417191 ∆ = 0,017191 0,25% = 0,044601 => ∆ = 0,25% . 0,017191 / 0,044601 = 0,09636% => i = 3% + 0,09636% = 3,09636%
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