Mat Fin CCA 2016 Aula 6 Anuidades 2

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Anuidade Antecipada 
 
Os fluxos ocorrem no início do período. 
 
Cálculo do Valor Atual 
 
Calcule o valor à vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestações 
mensais, de $ 500,00, com a primeira de entrada, sabendo que se juros de 3,5% a.m. 
 
Utilizando o Fator. esse termo calcula o valor um período à frente 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖) => 
𝑃𝑉 = 500 × 𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) × (1 + 0,035) = 500 × 3,673079 × 1,035 = 1.900,82 
 
 
Não utilizando o fator: 
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇 × [1 − (1 + 𝑖)−𝑛] × (1 + 𝑖)
𝑖
 => 
𝑃𝑉 =
500 × [1 − (1 + 0,035)−4] × (1 + 0,035)
0,035
=
500 × 0,128558 × 1,035
0,035
= 1.900,82 
 
Amortização pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) 
 
São séries com parcelas iguais. 
 
Sem Carência Antecipada 
Faça a planilha de amortização de uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 
prestações mensais, de $ 500,00, com a primeira de entrada, sabendo que a loja cobra 
juros de 3,5% a.m. 
PMT = $ 500,00 
n = 4 prestações mensais (anuidade antecipada) 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 
n PMT INT AMORT Saldo 
0 500,00 - 500,00 1.400,82 
1 500,00 49,03 450,97 949,85 
2 500,00 33,24 466,76 483,09 
3 500,00 16,91 483,09 - 
 
O valor à vista é R$ 1.900,82. 
(Cálculo da Prestação) 
A mercadoria que custa à vista $ 1.900,82 foi vendida em 4 prestações mensais, com a 
primeira de entrada, a taxa de 3,5% a.m.. Calcule o valor de cada prestação? 
PV = $ 1.900,82 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
n = 4 prestações mensais (anuidade antecipada) 
 
Utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑃𝑉
𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖)
=> 
𝑃𝑀𝑇 =
1.900,82
𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) × (1 + 0,035)
=
1.900,82
3,673079 × 1,035
= 500 
 
Não utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑃𝑉 × 𝑖
[1 + (1 + 𝑖)−𝑛] × (1 + 𝑖)
=> 
𝑃𝑀𝑇 =
1.900,82 × 0,035
[1 − (1 + 0,035)−4] × (1 + 0,035)
=
66,5287
0,128558 × 1,035
= 500 
 
(Quantidade de Prestações) 
A mercadoria de $ 1.900,82 foi vendida em prestações mensais de $ 500,00, com a 
primeira de entrada, à taxa de 3,5% a.m.. Quantas prestações devem ser pagas? 
PV = $ 1.900,82 
PMT = $ 500,00 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 
 
𝑛 = − [
𝑙𝑛 (1 −
𝑃𝑉 × 𝑖
𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖))
ln (1 + 𝑖)
] 
𝑛 = − [
𝑙𝑛 (1 −
1.900,82 × 0,035
500 × (1 + 0,035)
)
ln(1 + 0,035)
] = − [
𝑙𝑛 (1 −
1.900,82 × 0,035
500 × (1 + 0,035)
)
𝑙𝑛(1,035)
] = − [
𝑙𝑛(0,871442)
𝑙𝑛(1,035)
] = −
−0,13761
0,034401
= 4 
 
 
 
 
(Cálculo da Taxa) 
A mercadoria que custa $ 2.100,00 pode ser adquirida em 6 prestações mensais, sem 
entrada e sem acréscimo, ou à vista com 10% de desconto. Calcule a taxa de juros. 
PV = $ 1.890,00 (2.100 - 10%) 
PMT = $ 350,00 ( 2.100  6) 
n = 6 prestações mensais (anuidade antecipada) 
=> i = ? 
Sabe-se que 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖). Então: 
𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) × (1 + 𝑖) =
𝑃𝑉
𝑃𝑀𝑇
=> 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) × (1 + 𝑖) =
1.890
350
= 5,4000 
Mas 𝐹𝐴𝑃(𝑖%, 6) =
[1−(1+𝑖)−6]
𝑖
= 5,4000 
Por aproximação: 
FAP(i%;6) x(1+i) = 5,4000 FAP(4,50%;6) x(1+0,0450) = 5,389977 
FAP (4,25%;6) x(1+0,0425) = 5,420729 FAP(4,25%;6) x(1+0,0425) = 5,420729 
 ∆ = 0,020729 0,25% = 0,030752 
=> ∆ = 0,25% . 0,020729 / 0,030752 = 0,168517% => i = 4,25% + 0,168517% = 4,418517% 
 
 
Anuidades em Relação a um Valor Futuro 
 
É o caso de fazermos depósitos para ter um valor acumulado depois de uma série de 
depósitos. 
 
(Cálculo do Montante) 
Anuidade Postecipada ou Postergada 
Uma pessoa efetua 4 depósitos mensais de $ 500,00, numa conta que paga juros de 
0,8% a.m.. Calcule o montante no momento do último depósito. 
 
PMT = $ 500,00 
i = 0,8% a.m. = 0,008 a.m. 
n = 4 depósitos mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) 
 
 
Solução: 
 
Utilizando o Fator: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) 
𝐹𝑉 = 500,00 × 4,048257 = 2.024,13 
 
Não utilizando o Fator: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,08)4 − 1
0,08
= 500,00 ×
0,032386
0,08
= 500,00 × 4,048257 = 2.024,13 
 
 
Anuidade Antecipada 
 
Uma pessoa efetua 4 depósitos mensais de $ 500,00, numa conta que paga juros de 
0,8% a.m.. Calcule o montante um mês após o último depósito. 
 
 
 
Utilizando o Fator: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖) 
𝐹𝑉 = 500,00 × 4,048257 × (1 + 0,008) = 2.024,13 × 1,008 = 2.040,32 
 
Não utilizando o Fator: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
× (1 + 𝑖) 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,008)4 − 1
0,008
× (1 + 𝑖) = 500,00 ×
0,032386
0,008
× 1,008 = 2.040,32 
 
(Cálculo do Depósito) 
Quanto deve ser depositado periodicamente para se obter certo montante num período 
momento futuro? 
 
Anuidade Postecipada ou Postergada 
Quanto devo depositar mensalmente para ter, no momento do quarto depósito, o saldo 
de $ 2.024,13, se receber juros de 0,8% a.m.? 
 
Utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉 𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛)⁄ 
𝑃𝑀𝑇 = 2.024,13/4,048257 = 500,00 
 
Não utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉 ×
𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉 ×
0,008
(1 + 0,008)4 − 1
= 2.024,13 ×
0,008
0,032386
= 500,00 
 
 
Anuidade Antecipada 
Quanto devo depositar mensalmente para ter, 1 (um) mês após o quarto depósito, o 
saldo de $ 2.040,32, se receber juros de 0,8% a.m.? 
 
 
 
 
Utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉 [𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖)]⁄ 
𝑃𝑀𝑇 = 2.040,32/(4,048257 × 1,008) = 500,00 
 
Não utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉 ×
𝑖
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)
 
𝑃𝑀𝑇 = 2.040,32 ×
0,008
[(1 + 0,008)4 − 1] × (1 + 0,008)
= 2.040,32 ×
0,008
0,032654
= 500,00 
 
 
(Quantidade de Depósitos) 
Quantos depósitos de valor fixo devem ser feitos para se ter certo montante num 
momento futuro. 
 
Anuidade Postecipada ou Postergada 
Quantos depósitos mensais de $ 500,00 devem ser efetuados para, no momento do 
último depósito, se ter um saldo de $ 2.024,13, se receber juros de 0,8% a.m.? 
 
 
 
 
Solução: 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝐹𝑉 × 𝑖
𝑃𝑀𝑇 + 1)
𝑙𝑛 (1 + 𝑖)
 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
2.024,13 × 0,008
500,00 + 1)
𝑙𝑛 (1 + 0,008)
=
𝑙𝑛 (1,032386)
𝑙𝑛(1 + 0,08)
=
0,031873
0,007968
= 4,000003 
 
 
Anuidade Antecipada 
Quantos depósitos mensais de $ 500,00 devem ser feitos para se ter $ 2.040,32, um mês 
após o último depósito, se receber juros de 0,8% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝐹𝑉 × 𝑖
𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖)
+ 1)
𝑙𝑛 (1 + 𝑖)
 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
2.040,32 × 0,008
500,00 × (1 + 0,008)
+ 1)
𝑙𝑛(1 + 0,008)
=
𝑙𝑛(1,032386)
𝑙𝑛(1 + 0,08)
=
0,031873
0,007968
= 3,999998 
 
 
 
(Taxa de Juros – Calculo do percentual recebido na operação) 
 
Anuidade Postecipada ou Postergada 
Uma pessoa efetuou 8 depósitos mensais de $ 170,00, tendo no momento do oitavo 
depósito o saldo de $ 1.480,00. Calcule a taxa de juros. 
 
 
 
𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) = 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇⁄ 
𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 8) = 1.480,00 170,00 = 8,705882⁄ 
 
FSAP(i%;8) 8,705882 FSAP(2,50%;8) 8,736116 
FSAP(2,25%;8) 8,659162 FSAP(2,25%;8) 8,659162 
 Δ 0,030234 0,25% 0,076954 
 
Δ 0,030234 
0,25% 0,076954 
 Δ = 0,25% x 0,030234 
 0,076954 
= 0,098221Donde, i = 2,25% + 0,09821% = 2,34822% a.m. 
 
 
Anuidade Antecipada 
Uma pessoa efetuou 8 depósitos mensais de $ 170,00. Um mês após o último depósito, 
sua conta possui como saldo $ 1.480,00. Calcule a taxa de juros. 
 
 
𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) × (1 + 𝑖) = 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇⁄ 
𝐹𝑆𝐴𝑃(𝑖%; 8) × (1 + 𝑖) = 1.480,00 170,00 = 8,705882⁄ 
 
FSAP(i%;8).(1+i) 8,705882 FSAP(2,00%;8).(1,02) 8,754628 
FSAP(1,75%;8).(1,0175) 8,656412 FSAP(1,75%;8).(1,0175) 8,656412 
 Δ 0,049470 0,25% 0,098216 
 
Δ 0,049470 
0,25% 0,098216 
 Δ = 0,25% x 0,049470 
 0,098216 
= 0,125921 Donde, i = 1,75% + 0,125921% = 1,875921% a.m.