Aula 13 Circuitos de Corrente Contínua

Prévia do material em texto

Circuitos de Corrente Cont´ınua - Aula 13
Prof. Giovanni Cordeiro Barroso
9 de maio de 2017
Resumo
Forc¸a eletromotriz (FEM), Resisteˆncias em se´rie e em paralelo,
Leis de Kirchhoff, Circuitos RC.
1 Forc¸a Eletromotriz (FEM)
Uma bateria ideal produz em seus terminais uma diferenc¸a de potencial cons-
tante ao longo do tempo. Sendo assim, a corrente em qualquer circuito em
que esta bateria esteja ligada e´ constante em magnitude e direc¸a˜o. Estes
circuitos sa˜o chamados de Circuitos de Corrente Cont´ınua e a bateria e´
sua fonte de forc¸a eletromotriz (FEM).
A FEM E e´ a maior diferenc¸a de potencial que a bateria pode fornecer
entre seus terminais. Uma bateria real possui resisteˆncia ao fluxo de carga, a
qual e´ denominada de resisteˆncia interna r . Para uma bateria ideal, com
resisteˆncia interna zero, a diferenc¸a de potencial entre seus terminais e´ igual
a` FEM. Para uma bateria real, a diferenc¸a de potencial entre seus terminais
e´ sempre menor que sua FEM quando existe corrente no circuito.
Para o circuito apresentado na Figura 1, veja que a bateria e´ represen-
tada pela FEM E em se´rie com sua resisteˆncia interna r e um resistor R e´
conectado entre os terminais da bateria. Atrave´s deste circuito se estabelece
uma corrente constante I. Assim, a diferenc¸a de potencial entre os terminais
da bateria ∆V = Vb − Va e´:
∆V = E − rI (1)
1
Figura 1: Circuito de corrente cont´ınua
cuja fonte e´ uma bateria de resisteˆncia
interna r.
Quando a corrente no circuito e´ igual a zero, a diferenc¸a de potencial entre
os terminais da bateria ∆V e´ igual a E . Se a corrente no circuito e´ diferente
de zero, enta˜o, ∆V depende do valor da corrente e e´ igual a` diferenc¸a de
potencial entre os terminais do resistor R, denominado de resisteˆncia de
carga.
A diferenc¸a de potencial entre os terminais de R e´ ∆V = RI. Combinando
esta expressa˜o com a Equac¸a˜o 1, tem-se:
E = RI + rI (2)
Resolvendo para I, tem-se:
I = E
R + r (3)
Multiplicando a Equac¸a˜o 2 por I, obte´m-se:
EI = RI2 + rI2 (4)
A Equac¸a˜o 4 mostra que a poteˆncia total liberada pela bateria (EI) e´ con-
sumida, parte pela resisteˆncia interna da bateria (rI2) e parte pela resisteˆncia
de carga (RI2), ou seja:
2
Ptotal = PR + Pr
2 Resistores ligados em se´rie e em paralelo
2.1 Resistores em se´rie
Quando dois ou mais resistores esta˜o conectados como apresentado na Figura
2, a mesma corrente I se estabelece atrave´s dos mesmos. Isso constitui uma
ligac¸a˜o de resistores em se´rie.
Figura 2: Circuito com treˆs resistores ligados em se´rie. A mesma corrente I
se estabelece em todos os resistores.
Nesse tipo de ligac¸a˜o, a diferenc¸a de potencial nos terminais da fonte ∆V
e´ igual a` soma das diferenc¸as de potencial em cada resistor, assim:
∆V = ∆V1 +∆V2 +∆V3 (5)
Como ∆V = RI, substituindo em 5 tem-se:
∆V = R1I +R2I +R3I (6)
Colocando I em evideˆncia:
3
∆V = I(R1 +R2 +R3) (7)
ou
∆V
I
= Req = R1 +R2 +R3 (8)
Assim, a resisteˆncia equivalente Req de dois ou mais resistores ligados em
se´rie e´ igual a` soma dos resistores:
Req = R1 +R2 +⋯ +Rn (9)
Um exemplo de resistores (cargas) ligados em se´rie sa˜o aquela fila de
laˆmpadas ornamentais normalmente usadas na e´poca do Natal.
————————
Exerc´ıcio 1. Se acrescentarmos mais um resistor em se´rie no circuito apre-
sentado na Figura 2, o que acontece com: (a) a corrente da fonte? (b) a
tensa˜o da fonte?
2.2 Resistores em paralelo
Quando dois ou mais resistores esta˜o conectados conforme apresentado na Fi-
gura 3, todos os resistores esta˜o submetidos a` mesma diferenc¸a de potencial.
Isso constitui uma ligac¸a˜o de resistores em paralelo.
Neste caso, a corrente total da fonte I se divide em I1 (corrente que passa
em R1) e I2 (corrente que passa em R2), assim:
I = I1 + I2 (10)
4
Figura 3: Circuito com dois resistores ligados em paralelo. Todos os resistores
esta˜o submetidos a` mesma diferenc¸a de potencial ∆V .
ou
∆V
Req
= ∆V
R1
+ ∆V
R2
(11)
Colocando ∆V em evideˆncia no lado direito da Equac¸a˜o 11:
∆V
Req
= ∆V ( 1
R1
+ 1
R2
) (12)
Eliminando ∆V na Equac¸a˜o 12:
1
Req
= ( 1
R1
+ 1
R2
) (13)
Enta˜o, para dois ou mais resistores conectados em paralelo, tem-se a
seguinte relac¸a˜o:
5
1
Req
= ( 1
R1
+ 1
R2
+⋯ + 1
Rn
) (14)
Achando o valor de Req (para dois resistores em paralelo) na Equac¸a˜o 13,
tem-se:
Req = R1R2
R1 +R2 (15)
Um exemplo de resistores (cargas) ligados em paralelo sa˜o os aparelhos
ele´tricos, as laˆmpadas e os aparelhos eletroˆnicos de sua casa.
————————
Exerc´ıcio 2. Na Figura 4 a chave C, que esta´ em se´rie com a resisteˆncia R2,
esta´ aberta, portanto, na˜o existe corrente atrave´s desta resisteˆncia, somente
atrave´s de R1. Se a chave for fechada, enta˜o se estabelece uma corrente em
R1 e outra em R2. O que ocorre com a corrente I da fonte neste instante:
(a) ela aumenta? (b) ela diminui? (c) ela permanece constante?
Figura 4: Figura relativa ao Exerc´ıcio 2
————————
3 Leis de Kirchhoff
Para ana´lise de circuitos mais simples de uma u´nica malha, ou mesmo de
va´rias malhas, basta que se saiba usar a expressa˜o V = RI e as regras para
6
combinac¸a˜o de resistores em se´rie e em paralelo. No entanto, existem circui-
tos com va´rias malhas em que na˜o e´ poss´ıvel se achar uma soluc¸a˜o usando
apenas o que se aprendeu ate´ aqui. Circuitos mais complexos podem ser
analisados usando-se as Leis de Kirchhoff, quais sejam:
1. Lei dos no´s – A soma das correntes em um no´ e´ igual a zero:
∑
no´
I = 0 (16)
2. Lei das malhas A soma das tenso˜es de todos os elementos de uma
malha fechada e´ igual a zero
∑
malha fechada
∆V = 0 (17)
A lei dos no´s e´ uma declarac¸a˜o da conservac¸a˜o da carga ele´trica, a soma
das correntes que chegam a um no´ e´ igual a` soma das corrente que saem
deste no´. Observando a Figura 5 e aplicando a lei dos no´s, tem-se que:
Figura 5: Correntes em um no´ de um circuito ele´trico.
I1 − I2 − I3 = 0 ou I1 = I2 + I3 (18)
7
Convenciona-se que a corrente que chega em um no´ e´ positiva e a que sai
e´ negativa.
A lei das malhas e´ derivada da lei da conservac¸a˜o da energia. Movendo-se
uma carga atrave´s de uma malha fechada, quando a mesma retorna ao seu
ponto de partida, o sistema circuito-carga tem que possuir a mesma energia
que ele tinha antes da carga se mover.
A soma do aumento de potencial quando a carga atravessa um elemento
do circuito deve ser igual a` soma da queda do potencial quando a carga
atravessa um outro elemento do circuito.
Observando a Figura 6 e percorrendo a malha no sentido hora´rio, come-
c¸ando no ponto a, ao atravessar a fonte, chegando no ponto b, ocorre um
aumento de potencial igual a ∆V . Ao atravessar a resisteˆncia R1 e retornar
ao ponto a, ocorre uma queda de potencial igual a −RI, cujo valor e´ igual
a ∆V , pois se retornou ao ponto de partida. Como o circuito e´ composto
apenas por uma fonte e uma resisteˆncia, enta˜o, o aumento de potencial na
fonte e´ igual a` queda de potencial no resistor.
Figura 6: Circuito de uma u´nica malha
Para aplicar as leis de Kirchhoff na ana´lise de um circuito voceˆ precisa
saber quantos no´s e quantas malhas o circuito possui. Voceˆ pode usar quantas
equac¸o˜es da lei dos no´s forem necessa´rias, desde que inclua uma corrente que
na˜o tenha sido usada em uma equac¸a˜o anterior. Em geral, o nu´mero de
equac¸o˜es da lei dos no´s e´ igual a n − 1 no´s que aparecem no circuito. Voceˆ
pode aplicar a lei das malhas quantas vezes for necessa´rio, desde que um novo
elemento de circuito (resistor ou bateria) ou uma nova corrente aparec¸a em
cada nova equac¸a˜o. Em geral, para resolver um circuito particular, o nu´mero
de equac¸o˜es independentes que voceˆ precisa para obter das duas leis e´ igual
ao nu´mero de correntes desconhecidas nocircuito.
Circuitos com muitas malhas possuem geralmente um nu´mero muito
grande de correntes desconhecidas e, portanto, necessitam de igual nu´mero de
8
equac¸o˜es lineares independentes. Para encontrar a soluc¸a˜o para tais proble-
mas, e´ necessa´rio o uso de a´lgebra matricial e um programa computacional.
————————
Exemplo 1. Para o circuito de uma u´nica malha apresentado na Figura 7
∆V1 = 10 V , ∆V2 = 2 V e R1 = 4 Ω. Usando as leis de Kirchhoff, encontre o
valor da corrente I no circuito.
Figura 7: Figura relativa ao Exemplo 1.
R – Como o circuito possui uma u´nica malha, enta˜o, o mesmo na˜o possui
nenhum no´, pois so´ existe a corrente I no circuito. Desta forma, na˜o
seria necessa´rio usar as leis de Kirchhoff para encontrar a corrente no
mesmo. No entanto, usaremos a lei das malhas so´ para exercitar.
Percorrendo o circuito no sentido hora´rio e iniciando no ponto a, tem-
se:
∑∆V = 0→∆V1 −R1I −∆V2 = 0→ I = V1 − V2
R1
Substituindo os valores:
I = 10 − 2
4
= 2 A
————————
Exerc´ıcio 3. Qual a nova corrente do circuito da Figura 7 se a polaridade
da bateria 2 (∆V2) for invertida?
————————
9
Exemplo 2. Encontre as correntes I1, I2 e I3 para o circuito apresentado na
Figura 8 usando as leis de Kirchhoff. (∆V = 10 V ; R1 = 8 Ω;R2 = 6 Ω;R3 =
3 Ω)
Figura 8: Figura relativa ao Exemplo 2
R – Analisando a figura, pode-se determinar que o circuito possui 3 cor-
rentes, assim, sa˜o necessa´rias treˆs equac¸o˜es linearmente independentes
para que se encontre a soluc¸a˜o desejada.
Para a lei dos no´s tem-se que:
I1 = I2 + I3
Basta agora encontrar duas equac¸o˜es de malha (usando a lei das ma-
lhas) para que se tenha o sistema com treˆs inco´gnitas e treˆs equac¸o˜es.
O circuito possui duas malhas internas, a da esquerda e a da direita e
uma malha externa. Pode-se escolher duas dentre as treˆs. Escolhendo
a malha interna da esquerda, constitu´ıda da fonte ∆V e dos resistores
R1 e R2 e a malha externa, constitu´ıda da fonte ∆V e dos resistores
R1 e R3:
∆V −R1I1 −R2I2 = 0
∆V −R1I1 −R3I3 = 0
Assim, tem-se o seguinte sistema de equac¸o˜es:
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
I1 + I2 + I3 = 0 (1)
10 − 8I1 − 6I2 = 0 (2)
10 − 8I1 − 3I3 = 0 (3)
10
Encontrando o valor de I1 em (1) e substituindo em (2) e (3):
{ 10 − 8(I2 + I3) − 6I2 = 0 (4)
10 − 8(I2 + I3) − 3I3 = 0 (5)
Rearranjando (4) e (5):
{ 10 − 14I2 − 8I3 = 0 (6)
10 − 8I2 − 11I3 = 0 (7)
Resolvendo o sistema de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas em (6) e (7)
e substituindo em (1), encontram-se:
I1 = 1 A; I2 = 0,34 A; I3 = 0,66 A
————————
4 Lista de Exerc´ıcios
1. Se va´rios resistores sa˜o conectados em se´rie, qual(is) das opc¸o˜es se-
guintes esta´(a˜o) correta(s)? (a) a resisteˆncia equivalente e´ maior que
a maior das resisteˆncias do conjunto; (b) a resisteˆncia equivalente e´
menor que a menor das resisteˆncia do conjunto; (c) a resisteˆncia equi-
valente depende da diferenc¸a de potencial aplicada ao conjunto; (d) a
resisteˆncia equivalente e´ igual a` soma das resisteˆncias; (e) nenhuma
das opc¸o˜es anteriores.
2. Se va´rios resistores sa˜o conectados em paralelo, qual(is) das opc¸o˜es
seguintes esta´(a˜o) correta(s)? (a) a resisteˆncia equivalente e´ maior
que a maior das resisteˆncias do conjunto; (b) a resisteˆncia equivalente
e´ menor que a menor das resisteˆncia do conjunto; (c) a resisteˆncia
equivalente depende da diferenc¸a de potencial aplicada ao conjunto; (d)
a resisteˆncia equivalente e´ igual a` soma das resisteˆncias; (e) nenhuma
das opc¸o˜es anteriores.
3. Os terminais de uma bateria esta˜o conectados aos terminais externos de
dois resistores ligados em se´rie. Os resistores possuem resisteˆncias di-
ferentes. Qual(is) das opc¸o˜es seguintes esta´(a˜o) correta(s)? (a) Passa
11
mais corrente pelo resistor de maior resisteˆncia; (b) a corrente em am-
bos os resistores e´ a mesma; (c) A diferenc¸a de potencial e´ maior no
resistor de maior resisteˆncia; (d) A diferenc¸a de potencial e´ maior no
resistor de menor resisteˆncia; (e) nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
4. Encontre as correntes e as tenso˜es nos pontos a, b, c, d, e do circuito
apresentado na Figura 9. Todos os resistores tem seus valores em ohms
e a tensa˜o no ponto e e´ igual a zero (Ve = 0 V ).
Figura 9: Figura relativa ao Exerc´ıcio 4.
5. Uma bateria cuja F.E.M. E = 20 V , possui uma diferenc¸a de potencial
∆V = 15 V entre seus terminais. Se a bateria esta´ liberando uma
poteˆncia de 15 W para uma resisteˆncia de carga R, qual o valor da: (a)
resisteˆncia de carga? (b) corrente do circuito? (c) resisteˆncia interna
da bateria r?
6. Uma laˆmpada incandescente dissipa 100 W quando ligada a uma tensa˜o
de 120 V . Por um problema na rede ele´trica, a tensa˜o sobe para 140 V
por um pequeno intervalo de tempo. Qual a porcentagem de aumento de
sua poteˆncia? Suponha que a resisteˆncia da laˆmpada na˜o se modifique.
7. Considere o circuito apresentado na Figura 10. Encontre: (a) a dife-
renc¸a de potencial entre os pontos a e b; (b) a corrente no resistor de
20 Ω.
Figura 10: Figura relativa ao Exerc´ıcio 7
12
8. O dono de um carro esquece os dois faro´is ligados apo´s estacionar.
A bateria de seu carro, cuja tensa˜o e´ de 12 V , fornece uma corrente a
uma taxa de 90 A.h. Cada farol requer uma poteˆncia de 36 W . Quanto
tempo leva a bateria para descarregar totalmente?
9. Uma bateria, cuja tensa˜o e´ igual a 6 V , fornece corrente para o cir-
cuito apresentado na Figura 11. Quando a chave S esta´ aberta, como
mostrado na figura, a corrente da bateria e´ de 1 mA. Quando a chave
e´ fechada na posic¸a˜o a, a corrente da bateria e´ de 1,2 mA. Quando a
chave e´ fechada na posic¸a˜o b, a corrente da bateria e´ de 2 mA. Encontre
o valor das resisteˆncias.
Figura 11: Figura relativa ao Exerc´ıcio 9.
10. Encontre a resisteˆncia equivalente entre os pontos a e b do circuito
apresentado na Figura 12.
Figura 12: Figura relativa ao Exerc´ıcio 10.
13
5 Resposta aos exerc´ıcios
4. Ia = Ib = 2 A; Ie = 1 A; Ic = Id = 1 A;
Va = 12 V ; Vb = Vc = 6 V ; Vd = 4 V .
5. (a) R = 15 Ω; (b) I = 1 A; (c) r = 5 Ω.
6. A porcentagem de aumento da poteˆncia e´ de 36,1%.
7. (a) Vab = 5,68 V ; (b) I = 227 mA.
8. A bateria leva 15 h para descarregar.
9. R1 = 1 Ω; R2 = 2 Ω; R3 = 3 Ω.
10. Req = R.
14