Leis básicas

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Site: EaD Arcos
Curso:
2021.2 - Fundamentos
de Circuitos Elétricos
Livro: Leis básicas
Impresso
por:
Diego Henrique
Ferreira
Data:
segunda, 16 ago
2021, 12:59
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LEIS BÁSICAS
ÍNDICE
1. Lei de Ohm
2. Leis de Kirchhoff
3. Associação de resistores
4. Transformações delta-Y e Y-delta
5. Aplicações
1. LEI DE OHM
Em geral, os materiais possuem um comportamento
de resistir ao fluxo de carga elétrica. Essa
propriedade física é chamada de resistência e é
indicada por .
Unidade de resistência (SI)
A resistência de um material com uma área
transversal e comprimento pode ser calculada
como
em que é a resistividade do material.
Observe que quanta mais baixa for a resistividade,
mais facilmente o material permite a passagem de
corrente elétrica.
Unidade de resistividade (SI)
Os materiais podem ser classificados, com relação à
facilidade da passagem de corrente elétrica, como
bons condutores ou maus condutores (isolantes).
Como exemplos de bons condutores, temos a prata,
o alumínio, o cobre, o ouro, entre tantos outros. Já
o papel, o vidro e o teflon, por exemplo, são
considerados materiais isolantes. A tabela abaixo
mostra a resistividade de alguns materiais.
O elemento de circuito usado para modelar o
comportamento da resistência à corrente de um
material é o resistor. Ele é o elemento passivo
mais simples. A representação de um resistor em
um circuito é dada por:
Os resistores são normalmente feitos de folhas
metálicas e compostos de carbono.
A resistência pode variar de acordo com mudanças
nas condições externas (ou internas) do objeto, tal
como uma mudança na temperatura.
Podemos medir a resistência em função da tensão e
da corrente para um resistor. Georg Simon Ohm foi
o primeiro a descobrir essa relação, entre os
séculos XVIII e XIX:
Lei de Ohm. A tensão em um resistor é
diretamente proporcional à corrente através
dele.
Isso significa que existe uma constante tal que
. G. S. Ohm definiu a constante de
proporcionalidade para um resistor como a
resistência . Assim, temos a forma matemática
da Lei de Ohm:
Em vista desta equação,
Observação. Para aplicarmos a Lei de Ohm,
devemos antes observar o sentido da corrente e a
polaridade da tensão. Essa combinação tem de
estar de acordo com a Convenção do sinal passivo
(lembrando que o resistor é um elemento passivo e,
portanto, absorve potência!). Isso implica que, em
um resistor, a corrente flui de um potencial mais
alto para um mais baixo a fim de que . Se a
corrente fluir de um potencial mais baixo para um
potencial mais alto, então flui no sentido
oposto e, assim, .
Uma vez que , destacamos os dois
extremos de .
(1) Um elemento com , ou seja, cuja
resistência se aproxima de zero, é denominado
curto-circuito. Para um curto circuito, temos
. Isso mostra que a tensão tende a
zero, embora a corrente possa assumir qualquer
valor. Na prática, um curto-circuito é, em geral,
um fio de conexão que, supostamente, é um
condutor perfeito.
(2) Um elemento com , ou seja, cuja
resistência é arbitrariamente grande, é
denominado um circuito aberto. Para um circuito
aberto, temos
Isso mostra que o valor da corrente se aproxima de
zero, embora o valor da tensão possa ser qualquer
um.
Os resistores podem ser de dois tipos, com a
relação ao valor da resistência: fixo ou variável. A
maior parte é do tipo fixo. Assim como os resistores
fixos, os resistores variáveis podem ser de fio ou de
compostos. Um tipo comum de resistor variável é o
potenciômetro (usado em chuveiros elétricos, por
exemplo):
O potenciômetro é um elemento com três terminais
com um contato deslizante (ou cursor móvel).
Deslizando-se o cursor, a resistência entre o
terminal do contato e os terminais fixos varia.
Na parte (a) da figura abaixo, temos a
representação de um resistor variável em um
circuito, enquanto na parte (b), temos a
representação de um potênciometro:
Nem todos os resistores obedecem à Lei de Ohm.
Os que obedecem são chamados de resistores
lineares. Isso porque a tensão nesses resistores é
uma função linear da corrente, com coeficiente
angular igual a . O gráfico dessa função é, então,
da forma:
O resistor não linear (por exemplo, a lâmpada
incandescente) é aquele que não obedece a Lei de
Ohm e, assim, sua resistência varia com a corrente.
A não linearidade deve-se a diversos fatores tais
como temperatura, grau de iluminação, etc. O
gráfico , no caso de um resistor não linear,
pode ter o seguinte aspecto:
Atenção. Embora na prática, todos os resistores
possam apresentar um comportamento não linear
sob certas condições, adotaremos a suposição neste
curso de que todos os elementos, projetados na
realidade como resistores, são lineares.
Uma medida útil na análise de circuitos é o inverso
da resistência , chamada de condutância e
representada por . Ela representa a capacidade
de um elemento de conduzir corrente elétrica:
Unidade de condutância (SI)
Lembrando que a potência dissipada em um
resistor, sob uma tensão e atravessado por uma
corrente , é . Então, em virtude da Lei de
Ohm, temos as seguintes igualdades:
Em termos da condutância , a potência dissipada
é dada por:
Note que a potência dissipada em um resistor é
uma função quadrática (portanto, não linear) da
corrente e da tensão. Consequentemente, uma vez
que e são sempre positivas, a potência em
um resistor é sempre positiva, o que mostra que
um resistor sempre absorve potência do circuito,
confirmando a idéia de que é um elemento passivo
(ou seja, incapaz de gerar energia elétrica).
Exemplo 1. No circuito mostrado na figura abaixo,
calcule a corrente , a condutância e a potência
.
A tensão no resistor é a mesma da fonte de tensão,
já que ambos são conectados aos mesmos
terminais. Logo, a corrente é
A condutância , por sua vez, é calculada como
Por fim, podemos calcular a potência através de
, ou . Em qualquer um
dos casos, .
Exemplo 2. Um resistor absorve uma potência
instantânea de mW quando conectado a
uma fonte de V. Determine a corrente
 e a resistência .
De , temos 
mA.
Logo, pela Lei de Ohm,
.
Referências bibliográficas
Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku.
Fundamentos de Circuitos Elétricos, Editora
McGraw Hill, 5 ed., 2013.
2. LEIS DE KIRCHHOFF
Para compreendermos as Leis de Kirchhoff, que é o
objetivo desta seção, precisamos antes introduzir
algumas noções básicas de topologia de rede.
Um ramo é uma parte do circuito que representa
unicamente um elemento (que não seja um curto-
circuito), seja ele passivo ou ativo.
Por exemplo, no circuito da figura abaixo, há cinco
ramos: o da fonte de tensão de , o da fonte de
corrente de e os dos três resistores:
Um nó é um ponto de conexão entre dois ou mais
ramos. (Ele é comumente indicado por um ponto
em circuitos.)
Em vista das definições de nó e ramo, se um curto-
circuito (ou seja, um fio de conexão) conecta dois
nós, estes formam um único nó. Por exemplo, o
circuito da figura acima possui três nós: a, b e c.
Isso porque os três pontos que formam o nó b são
conectados por fios perfeitamente condutores. O
mesmo argumento é válido para o nó c.
Podemos redesenhar o circuito acima e obtermos
um circuito idêntico, como o da figura abaixo:
Um laço é um caminho fechado que, ao ser
completamente percorrido, não se passa mais de
uma vez pelo mesmo nó.
No circuito acima, por exemplo, o caminho fechado
abca, que inclui os resistores de e e a fonte
de tensão de , é um laço, enquanto o caminho
fechado abca, que inclui os resistores de , 
e e a fonte de tensão de , não o é.
Dizemos que dois ou mais elementos de um circuito
estão em série se eles compartilham
exclusivamente um único nó (ou seja, para cada
elemento existe um outro com o qual um nó é
compartilhado e todos os nós compartilhados são
pontos de conexão de apenas dois ramos).
Consequentemente, esses elementos experimentam
a mesma corrente.
Dois ou mais elementos estão em paralelo se eles
estiverem conectados aos mesmos dois nós.
Consequentemente, eles experimentam a mesma
tensão.
No circuito da segunda (de cima para baixo)acima,
por exemplo, a fonte de tensão e o resistor de 
estão em série. Já a fonte de corrente e os
resistores de e estão em paralelo. Os
resistores de e não estão em série e nem
em paralelo.
Uma vez fixados esses conceitos, podemos agora
enunciar as Leis de Kirchhoff, que foram
introduzidas por Gustav Robert Kirchhoff no século
na metade do século XIX.
(1) Lei de Kirchhoff para corrente (LKC) ou Lei
dos nós. A soma algébrica das correntes que se
encontram em um nó é zero.
Em outros termos, a LKC pode ser expressa como
em que é o número de ramos conectados ao nó
e é a -ésima corrente que entra ou sai do nó.
Conforme essa lei, as correntes que entram em um
nó poderiam ser consideradas positivas, enquanto
que as correntes que saem do nó negativas, e vice-
versa.
Vejamos a igualdade acima. Com efeito,
suponhamos que correntes 
fluam para um determinado nó. A soma algébrica
das corrente no nó é
Integrando ambos os lados dessa identidade,
obtemos
com e . A
Lei de conservação da carga elétrica requer que a
soma algébrica das cargas elétricas no nó não se
altera, ou seja, que o nó não armazena nenhuma
carga livre (um nó não é um elemento do circuito,
ele não armazena, não destrói e nem cria carga).
Portanto, . Derivando (com relação a )
ambos os membros essa igualdade, chegamos a
. 
Como uma ilustração, considere a figura abaixo:
Pela LKC, temos
, uma vez que
as correntes , e estão entrando no nó,
enquanto as correntes e estão saindo.
Rearranjando os termos, obtemos
Generalizando essa ilustração, temos uma forma
equivalente da LKC (já que a recíproca é
igualmente válida!):
(LKC) A soma das correntes que entram em um nó é
igual à soma das correntes que saem desse nó.
Uma aplicação simples da LKC é a associação de
fontes de corrente em paralelo. A corrente
resultante é a soma algébrica das correntes
fornecidas pelas fontes individuais. Na figura
abaixo, temos esse tipo de associação de fontes de
corrente:
As fontes mostradas na figura acima podem ser
combinadas, formando uma fonte associada (ou
equivalente), como mostra a seguinte figura:
A corrente resultante da fonte equivalente é
encontrada através de uma aplicação direta da LKC
ao nó :
Por outro lado, um circuito não pode ter duas
fontes de corrente distintas em série, isso violaria a
LKC!
(2) Lei de Kirchhoff para tensão (LKT) ou Lei das
malhas. A soma algébrica de todas tensões em um
laço é zero.
Em outros termos, a LKT pode ser expressa como
em que é o número de tensões no laço
(equivalentemente, o número de ramos no laço) e
 é a -ésima tensão.
Como ilustração da LKT, considere o circuito como
o da figura abaixo.
Partindo de qualquer ramo, percorrendo o laço no
sentido horário ou anti-horário e observando as
polaridades das tensões, montamos a equação. Por
exemplo, partindo da fonte de tensão , no
sentido horário, encontramos o terminal negativo
primeiro, portanto temos . Seguindo essa
ordem, para o segundo ramo, temos , para o
terceiro temos , para o quarto temos e
para o quinto temos . Logo, a aplicação da LKT
resulta em
ou equivalentemente,
Note que se tivéssemos percorrido o laço no
sentido anti-horário, teríamos chegado ao mesmo
resultado.
Generalizando essa ilustração, temos uma forma
equivalente da LKT (já que a recíproca é
igualmente válida!):
(LKT) A soma das quedas de tensão é igual à soma
das elevações de tensão em um laço.
Uma aplicação simples da LKT é a associação de
fontes de tensão em série. A tensão associada é a
soma algébrica das tensões das fontes individuais.
Na figura abaixo, temos esse tipo de associação de
fontes de tensão:
As fontes mostradas na figura acima podem ser
combinadas, formando uma fonte associada (ou
equivalente), como mostra a seguinte figura:
A tensão resultante da fonte equivalente é
encontrada através de uma aplicação direta da LKT
ao laço, que neste caso é o circuito todo:
Por outro lado, um circuito não pode ter duas
fontes de tensão distintas em paralelo, isso violaria
a LKT!
Exemplo 1. Determine e no circuito abaixo.
Aplicando a LKT no laço
Obtemos
.
Pela Lei de Ohm aplicada no resistor de , temos
. Logo,
 e, assim,
. Consequentemente,
.
Exemplo 2. Encontre a corrente e a tensão 
no circuito abaixo.
Aplicando a LKC ao nó, temos .
Logo, . Pela Lei de Ohm,
.
 
Referências bibliográficas
Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku.
Fundamentos de Circuitos Elétricos, Editora
McGraw Hill, 5 ed., 2013.
William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly and
Steven M. Durbin. Engineering Circuit Analysis,
McGraw Hill Companies, Inc., 8th ed., 2012.
 
3. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Resistores em série e divisão de tensão
Considere o circuito abaixo.
Observe que os resistores estão em série e, assim,
a mesma corrente passa através deles. Pela Lei
de Ohm, temos
  
Aplicando a LKT (no sentido horário) ao circuito da
figura acima, obtemos
Logo,
com
Portanto,
ou seja, dois resistores em série podem ser
substituídos por um único resistor de resistência
.
O circuito acima pode, então, ser substituído por
um circuito equivalente (i.e., um circuito que
apresenta as mesmas relações tensão-corrente
entre os terminais e que as do circuito
original):
Generalizando a situação acima (via indução no
número de resistores), temos que:
A resistência equivalente de qualquer número de
resistores ligados em série é a soma das
resistências individuais.
Em outros termos, para resistores em série de
resistências , a resistência
equivalente é dada por:
A partir da igualdade acima, temos a condutância
equivalente :
em que e .
Para determinarmos a tensão em cada resistor do
circuito na primeira (de cima para abaixo) figura,
fazemos
e
Note que a tensão da fonte é dividida entre os
resistores na proporção direta de suas resistências:
quanto maior for a resistência, maior a queda de
tensão. Isso é chamado de o princípio da divisão
de tensão e o circuito da primeira (de cima para
baixo) figura é dito um divisor de tensão.
Em geral, se um divisor de tensão tiver 
resistores em série com a tensão de
entrada , o -ésimo resistor terá uma queda
de tensão de
Resistores em paralelo e divisão de corrente
Considere o circuito abaixo.
Observe que os resistores estão em paralelo e,
assim, possuem a mesma tensão entre os seus
terminais. Pela Lei de Ohm, temos
Aplicando a LKC ao nó , obtemos
Logo,
em que
Portanto,
A resistência equivalente de dois resistores em
paralelo é igual ao produto de suas resistências
dividido pela soma.
Generalizando a situação acima (via indução no
número de resistores), temos que, para um circuito
com resistores em paralelo com resistências
, a resistência equivalente é dada
por
A partir da igualdade acima, temos a condutância
equivalente 
em que e . Em outros
termos,
A condutância equivalente de resistores em
paralelo é a soma de suas condutâncias individuais.
Em vista do exposto, podemos substituir o circuito
da terceira (de cima para baixo) figura pelo
circuito equivalente:
Para determinarmos a corrente em cada resistor do
circuito na terceira (de cima para abaixo) figura ,
fazemos
e
Note que a corrente total é dividida entre os
resistores na proporção inversa de suas
resistências: quanto maior for a resistência, menor
será a corrente dividida no resistor correspondente.
Isso é chamado de o princípio da divisão de
corrente e o circuito da terceira (de cima para
baixo) figura é dito um divisor de corrente.
Perceba que maior corrente flui pelo resistor de
menor resistência!
As relações encontradas, por exemplo, para e 
em função de , e tiveram como hipótese
implícita o fato de cada resistor não ser curto-
circuito e nem circuito aberto. Vamos agora
analisar essas relações para esses dois extremos.
(1) Suponhamos que um dos resistores da terceira
(de cima para baixo) figura seja um curto-circuito,
digamos .
Então, de , segue imediatamente
que . Da mesma forma, de ,
temos que e, de , temos
. Ou seja,
(1a) A resistência equivalente é zero;
(1b) Toda corrente flui pelo curto-circuito.
(2) Suponhamos que um dos resistoresda terceira
(de cima para baixo) figura seja um circuito aberto,
digamos .
Então, de , segue
imediatamente que . Da mesma forma,
de , temos que e,
de , temos . Ou seja,
(2a) A resistência equivalente é ;
(2b) Toda corrente flui pelo resistor de menor
resistência.
Exemplo 1. Calcule a resistência equivalente 
no circuito da figura abaixo.
Os resistores de e estão em paralelo (pois
estão conectados aos mesmos nós e ). Assim, a
resistência da associação é:
Analogamente, os resistores de e estão
em paralelo (já que estão conectados aos mesmos
nós e ). Logo, a resistência da associação é:
Os resistores de e também estão em série,
Assim, sua resistência equivalente é
Em vista dessas associações, o circuito original
reduz-se a
Os resistores de e estão em paralelo (pois
estão conectados aos mesmos nós e ). Logo,
Esta resistência equivalente agora está em série
com o resistor de e, portanto, temos uma nova
resistência associada de . Assim, o
circuito da figura acima pode ser substituído por
Os resistores de e estão em paralelo (já
que estão conectado aos mesmo nós e ). Logo,
Esta resistência equivalente, por fim, está em série
com o resistor de . Logo,
Exemplo 2. Determine e no circuito abaixo.
Os resistores de e estão em paralelo. Logo,
Assim, o nosso circuito se reduz a 
Note que o valor não é afetado pela associação
de resistores, já que estão em paralelo e,
consequentemente, apresentam a mesma tensão
.
Note, também, que agora temos um divisor de
tensão e, portanto, 
Os resistores de e do circuito na figura
acima estão em série e, portanto, a resistência
equivalente é . Aplicando a Lei de Ohm a este
resistor equivalente, temos
Por fim, observe que a parte à direita no circuito
original é um divisor de corrente. Logo,
Referências bibliográficas
Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku.
Fundamentos de Circuitos Elétricos, Editora
McGraw Hill, 5 ed., 2013.
4. TRANSFORMAÇÕES DELTA-Y E
Y-DELTA
Em muitas situações na análise de circuitos,
encontramos resistores que não estão nem em série
e nem em paralelo, como no circuito em ponte:
Neste caso, embora não tenhamos uma fórmula
explícita para a resistência equivalente, como no
caso das associações em série e em paralelo de
resistores, podemos simplificar o circuito usando
redes equivalentes de três terminais. Estas redes
correspondem às redes ípsilon (Y) ou tê (T) (duas
formas da mesma rede!)
ou às redes delta ( ) ou pi ( ) (duas formas da
mesma rede!)
O que faremos aqui é identificar tais redes em um
circuito e transformar uma rede do tipo em uma
equivalente do tipo Y, e vice-versa.
Tranformação -Y
Suponhamos que nos é dada uma rede e
queiramos transformá-la em uma rede Y. Então,
sobrepomos uma rede Y à rede dada, como na
Figura 3, e encontramos as resistências
equivalentes na rede Y.
Para as resistências equivalentes na rede Y,
comparamos as duas redes e nos certificamos de
que a resistência entre cada par de nós na rede 
é a mesma que a resistência entre o mesmo par de
nós na rede Y.
Para os terminais 1 e 2 das Figuras 1 e 2, e 
estão em série, enquanto e estão em
paralelo. Rotulamos e
.
A fim de acharmos a relação entre a rede Y e a
rede , fazemos , ou seja,
Similarmente,
e
Fazendo , obtemos
Somando membro a membro esta igualdade com a
igualdade , chegamos a 
Portanto,
Substituindo esta igualdade em e
, concluímos que
e
Estas três últimas igualdades nos dizem
(observando a Figura 3) que:
Cada resistor na rede Y é o produto dos resistores
nos dois ramos de adjacentes, dividido pela
soma dos três resistores em .
Tranformação Y-
Para obtermos fórmulas de conversão para
transformar uma rede Y em uma rede 
equivalente, observamos que das equações , 
e acima, segue que
Dividindo esta igualdade por , e ,
obtemos respectivamente
 
 
e
 
Essas três últimas igualdades nos dizem
(observando a Figura 3) que:
Cada resistor na rede é a soma de todos os
produtos possíveis de resistores em Y extraídos
dois a dois, dividido pelo resistor em Y oposto.
Exemplo. Obtenha a resistência equivalente para o
circuito abaixo e a usa para encontrar a corrente .
Neste circuito há duas redes Y (uma em e outra
em ) e três redes (a saber, , e ).
Vamos transformar a rede Y em , formada pelos
resistores de , e . Isso
já ajudará na simplificação. É importante enfatizar
que essa é uma escolha arbitrária!
Assim, usando as fórmulas da transformação Y- ,
temos
e
Com a rede Y convertida em , o circuito original
(com a fonte de tensão omitida, por ora)
transforma-se no equivalente:
Temos, neste circuito, três pares de resistores em
paralelo. Façamos, então, a associação de cada
par:
e
Dessa forma, nosso circuito é transformado (com a
fonte de tensão omitida) em :
Agora, podermos determinar a resistência
equivalente:
Consequentemente, pela Lei de Ohm,
Referências bibliográficas
Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku.
Fundamentos de Circuitos Elétricos, Editora
McGraw Hill, 5 ed., 2013.
5. APLICAÇÕES
Sistemas de iluminação
Os resistores são usados para modelar dispositivos
que convertem energia elétrica em calor ou em
outras formas de energia, tais como o fio condutor
(nos sistemas físicos reais, a resistência de um fio
condutor pode ser consideravelmente grande e a
modelagem do sistema precisa incluir essa
resistência; por ora, em nosso curso, temos
considerado os fios de conexão como condutores
perfeitos, ou seja, de resistência nula), lâmpadas,
aquecedores, fogão, forno elétrico, alto-falantes,
etc.
Os sistemas de iluminação, tais como os
residenciais ou de uma árvore de Natal, são em
geral formados por lâmpadas conectadas em
série ou em paralelo, como mostra a figura a
seguir:
Cada lâmpada é modelada como um resistor.
Supondo que todas as lâmpadas sejam idênticas e
 seja a tensão de rede, então para a conexão em
série é a tensão em cada lâmpada, enquanto
para a conexão em paralelo é a tensão em cada
lâmpada.
Embora a conexão em série seja de fácil
fabricação, na prática ela é raramente usada, pois
se uma lâmpada falha, todas as demais ficam
apagadas; além disso, quando uma lâmpada
apresenta algum defeito, é preciso testar todas
para ver em qual está o defeito.
Exemplo. Três lâmpadas são conectadas a uma
fonte de , conforme mostra a figura abaixo.
Calcule:
1. a corrente total fornecida pela fonte;
2. a corrente que passa por cada lâmpada;
3. a resistência de cada lâmpada.
Em primeiro lugar, modelamos esse problema,
conforme discutido acima. Neste caso, o circuito
dado transforma-se numa associação de resistores
em série e em paralelo.
Agora, vamos aos itens propostos.
(1) A potência total fornecida pela fonte é igual à
potencia total absorvida pelos resistores (ou seja,
lâmpadas):
Recorde que , em que e são a tensão
total e a corrente total fornecidas pela fonte.
Assim,
(2) Observe que o resistor (lâmpada) está em
paralelo com a fonte e, portanto, a tensão 
nesse resistor é a mesma da fonte, ou seja,
. Logo, a corrente em é dada por:
Note a corrente é a mesma para os resistores
(lâmpadas) e , já que estes estão em série,
e ela pode ser encontrada através da LKC:
(3) Uma vez que a potência dissipada é dada, em
função da corrente e resistência, por ,
temos:
e
Medidores (analógicos) de CC
No que segue, veremos algumas aplicações de
resistores. Elas se devem à principal característica
dos resistores: o controle do fluxo de corrente.
(1) Potenciômetro
O potenciômetro, como vimos anteriormente, é um
dispositivo de três terminais, que possui resistência
ajustável e atua como um divisor de tensão.
Ele é indicado pelo símbolo .
Como regulador de tensão, o potenciômetro é
usado, por exemplo, para controlar o volume de
rádios, TVs e demais aparelhos. Além disso, nesse
caso, ele é modelado por
Na figura acima, é a tensão de entrada e 
é a tensão de saída. A relação entre elas é dada por
Assim, a medida que o contato deslizante do
potenciômetro se para cima (no sentido do nó )
ou para baixo (no sentido do nó ), a tensão de
saída aumenta ou diminui, respectivamente.Antes de tratarmos de mais aplicações de
resistores, precisamos falar sobre o galvanômetro
de d'Arsonval (veja a figura abaixo). Este é um
dispositivo que consiste em uma bobina de núcleo
de ferro móvel, suspensa entre os polos de um ímã
permanente, a qual pode girar em torno de um
eixo. Quando ligado a um circuito, uma corrente
elétrica na bobina produz um campo magnético. A
interação desse campo com o campo magnético do
ímã produz um torque que faz a bobina girar. Um
ponteiro, fixo na bobina, indica em uma escala o
valor da corrente elétrica. Um galvanômetro com
especificação de , , por exemplo, indica
que para provocar uma deflexão de fundo de escala
(ou seja, uma máxima deflexão do ponteiro que o
dispositivo pode mostrar) é preciso uma corrente
de . (As peças polares do ímã são projetadas
para que o campo magnético entre elas seja
uniforme, de forma que a deflexão angular do
ponteiro seja proporcional à corrente elétrica na
bobina.)
Como veremos a seguir, o galvanômetro de
d'Arsonval é parte essencial de medidores de CC
analógicos.
Ainda antes de tratarmos desses medidores
analógicos, introduzimos uma terminologia
bastante usada no restante desta aula, assim como
em tópicos vindouros. Uma carga é um componente
(ou elemento) que recebe energia, ou seja, é um
coletor de energia. Já um gerador é um
componente que fornece energia, ou seja, é uma
fonte de energia. Resistores, por exemplo, são
cargas.
(2) Voltímetro (analógico)
O voltímetro é um aparelho (veja a figura abaixo à
direita) que mede a tensão na carga e para isso é
conectado em paralelo com ela (ou seja, cada
ponta de prova ligada em um terminal da carga),
conforme mostra a figura abaixo à esquerda.
Observe, na figura acima à esquerda, que o
voltímetro é indicado pelo símbolo .
O voltímetro consiste basicamente em um
galvanômetro de d'Arsonval em série com um
resistor. A resistência deste é projetada para
ser muito grande (teoricamente, ) para
poder minimizar a corrente absorvida do circuito.
A fim de estender o intervalo de tensão que o
medidor pode medir, são colocados resistores
multiplicadores em séries com o voltímetro,
formando um voltímetro multiescala:
Assim, de acordo com a figura acima, o voltímetro
é capaz de medir tensões
de a , se a chave estiver conectada a ;
de a , se a chave estiver conectada a
;
de a , se a chave estiver conectada a
.
Cálculo do resistor multiplicador para o
voltímetro. ( é o valor da resistência a ser
conectada em série com a resistência interna 
do voltímetro.)
Ao projetarmos um voltímetro, assim como em
qualquer projeto, temos de considerar o pior
cenário, que ocorre quando a corrente de fundo de
escala passa pelo medidor. (Em um
instrumento de medida, fundo de escala é o valor
máximo da grandeza física que o instrumento pode
medir sem ser danificado.) Esta corrente de fundo
deverá corresponder à tensão de fundo de escala
 (ou seja, a leitura de tensão máxima). Como o
resistor de está em série com o resistor interno
de , então pela Lei de Ohm temos
Logo,
(3) Amperímetro (analógico)
O amperímetro é um instrumento (veja a figura
abaixo à direita) que mede a corrente na carga e,
portanto, deve ser conectado em série com ela,
conforme mostra a figura abaixo à esquerda.
Observe, na figura acima à esquerda, que o
amperímetro é indicado pelo símbolo .
O amperímetro consiste basicamente em um
galvanômetro de d'Arsonval em paralelo com um
resistor. A resistência deste é projetada para
ser muito pequena (teoricamente, ) para
poder minimizar a queda de tensão.
A fim de estender o intervalo de corrente que o
medidor pode medir, são conectados resistores
shunt em paralelo com o , formando um
amperímetro multiescala:
Assim, de acordo com a figura acima, o
amperímetro é capaz de medir correntes
de a , se a chave estiver conectada a
;
de a , se a chave estiver conectada a
;
de a , se a chave estiver conectada a .
Cálculo do resistor shunt multiplicador para o
amperímetro. ( é o valor da resistência a ser
conectada em paralelo com a resistência interna
 do amperímetro.)
Novamente, consideraremos o pior cenário.
Portanto, fazemos , na segunda (de baixo
para cima) figura acima. Como os resistores e
 estão em paralelo, então pelo princípio da
divisão de corrente, a corrente através do
resistor é
Consequentemente,
(4) Ohmímetro (analógico)
O ohmímetro (veja a figura abaixo à direita) é um
dispositivo usado para medir a resistência de um
resistor linear e cada ponta de prova é conectada a
um terminal do resistor, conforme mostra a figura
abaixo à esquerda
O ohmímetro é indicado pelo símbolo . Como
vemos acima, o ohmímetro consiste basicamente
em um galvanômetro de d'Arsonval, um resistor
variável (ou potenciômetro) e uma bateria.
Cálculo de . Assim como nos casos acima de pior
cenário, o resistor é selecionado de modo que
tenhamos uma deflexão de fundo de escala no
medidor, o que corresponde a quando
. Logo, pela Lei de Ohm,
ou equivalentemente,
Cálculo da resistência . Pela LKT aplicada ao
circuito da figura acima à direita, temos
Logo,
 
Observações. O instrumento capaz de medir
tensão, corrente e resistência é chamado de
multímetro, o qual se apresenta em dois tipos: o
analógico (à esquerda na figura abaixo) e o digital
(à direita na figura abaixo). O multímetro digital é
o mais usado hoje em dia. Entretanto, seu projeto
foge do escopo deste curso.
Exemplo. Considere a figura abaixo, que mostra a
configuração de um voltímetro 
Seguindo esta configuração, projete um voltímetro
para as seguintes escalas múltiplas:
(a) 0 a 1 V;
(b) 0 a 5 V;
(c) 0 a 50 V;
(d) 0 a 100V.
Considere a resistência interna e a
corrente de fundo de escala .
Solução. O que queremos aqui é determinar as
resistências , , e para as escalas em
(a), (b), (c) e (d), respectivamente, conforme a
equação . Lembrando que,
como a tensão é diretamente proporcional à
corrente, então quanto maior o valor da corrente,
maior o valor da tensão (em um resistor linear).
Assim,
(a) Para a escala de a , a tensão de fundo
de escala deve ser . Logo, 
(b) Para a escala de a , a tensão de fundo
de escala deve ser . Logo, 
(c) Para a escala de a , a tensão de fundo
de escala deve ser . Logo, 
(d) Para a escala de a , a tensão de fundo
de escala deve ser . Logo, 
Repare que a razão entre (= ,
, e , respectivamente, para
as escalas em (a), (b), (c) e (d)) e a tensão de
fundo de escala (= , , e ,
respectivamente, para as escalas em (a), (b), (c) e
(d)) é constante e igual a , para
as quatro escalas. Essa razão, dada em , é
conhecida como sensibilidade do voltímetro. Assim,
quanto maior a sensibilidade, melhor o voltímetro.
Referências bibliográficas
Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku.
Fundamentos de Circuitos Elétricos, Editora
McGraw Hill, 5 ed., 2013.
http://demonstracoes.fisica.ufmg.br/demo/273/5H50.10-
Galvanometro-de-D-Arsonval
R
1 ohm = 1Ω
A l
R = ρ ,
l
A
ρ
1 ohm-metro = 1Ωm
v
i
cte
v = cte ⋅ i
R
v = iR.
1Ω = 1 .
V
A
v = iR
i
−i
v = −iR
0 ≤ R ≤ ∞
R
R → 0
v = iR → 0
R → ∞
i = = 0.lim
R→∞
v
R
v
R
i − v
R
G
G = = .
1
R
i
v
1S = 1 siemens = 1 mho = 1℧ = 1
A
V
p
v
i p = vi
p = R  e p = .i2
1
R
v2
G
p =  e p = G .
1
G
i2 v2
R G p
i G
p
i
i = = = 6 ⋅ A = 6mA.
v
R
30
5 ⋅ 103
10−3
G
G = = = 0, 2mS.
1
R
1
5 ⋅ 103
p
p = vi p = Ri2 p = Gv2
p = 180mW
30 tcos2
v = 15 cos t
i R
p = iv i = = = 2 cos t
p
v
30 tcos2
15 cos t
mW
V
R = = = 7, 5kΩv
i
15 cos t
2 cos t
V
mA
10V
2A
5Ω 3Ω
10V
5Ω 3Ω
2Ω 10V
5Ω
2Ω 5Ω
2Ω 5Ω
= 0,∑
n=1
N
in
N
in n
N (t), … , (t)i1 iN
(t) := (t) + ⋯ + (t).iT i1 iN
(t) = (t) + ⋯ + (t),qT q1 qN
(t) := ∫ (t)dtqT iT (t) := ∫ (t)dtqn iN
= 0qT t
0 = =iT ∑n in
+ (− ) + + + (− ) = 0i1 i2 i3 i4 i5
i1 i3 i4
i2 i5
+ + = + .i1 i3 i4 i2 i5
IT
a
+ = + .IT I2 I1 I3
= 0,∑
m=1
M
vm
M
vm m
v1
−v1
+v2
+v3 −v4
+v5
− + + − + = 0,v1 v2 v3 v4 v5
+ + = + .v2 v3 v5 v1 v4
VS
− + + − = 0.Vab V1 V2 V3
v0 i
0 = −12 + 4i + 2 − 4 − = −16 + 4i +v0 v0 v0
6Ω
= −6iv0
0 = −16 + 4i − 6i = −16 − 2i
i = −8A= −6(−8) = 48Vv0
i0 v0
0, 5 + 3 =i0 i0
= 6Ai0
= 4 = 4 ⋅ 6 = 24Vv0 i0
i
= i  e  = i .v1 R1 v2 R2
−v + + = 0.v1 v2
v = + = i( + ) = i ,v1 v2 R1 R2 Req
:= + .Req R1 R2
v = i ,Req
Req
a b
N
, … ,R1 RN
Req
= .Req ∑
n=1
N
Rn
Geq
= + ⋯ + ,
1
Geq
1
G1
1
GN
:=Gn
1
Rn
:=Geq
1
Req
= i = = vv1 R1
v
+R1 R2
R1
R1
+R1 R2
= i = = v.v2 R2
v
+R1 R2
R2
R2
+R1 R2
v
N
, … ,R1 RN
v n Rn
= v.vn
Rn
+ ⋯ +R1 RN
v = = .i1R1 i2R2
a
i = + .i1 i2
i = + = v( + ) = ,v
R1
v
R2
1
R1
1
R2
v
Req
:= +  e, assim,  = .
1
Req
1
R1
1
R2
Req
R1R2
+R1 R2
N
, … ,R1 RN Req
:= + ⋯ +  ou equivalentemente  = .
1
Req
1
R1
1
RN
Req
⋯R1 RN
⋯ + ⋯ + ⋯R2 RN R1 RN−1
Geq
= + ⋯ + ,Geq G1 GN
:=Gn
1
Rn
:=Geq
1
Req
= = = ii1
v
R1
iReq
R1
R2
+R1 R2
= = = i .i2
v
R2
iReq
R2
R1
+R1 R2
i
i1 i2
R1 R2 i
→ 0R2
=Req
R1R2
+R1 R2
→ 0Req = ii1
R2
+R1 R2
→ 0i1 = ii2
R1
+R1 R2
→ ii2
Req
→ ∞R2
= =Req
R1R2
+R1 R2
R1
+1
R1
R2
→Req R1
= i = ii1
R2
+R1 R2
1
+1
R1
R2
→ ii1
= ii2
R1
+R1 R2
→ 0i2
Req R1
Rab
3Ω 6Ω
b c
3Ω∥6Ω = = 2Ω.
3 ⋅ 6
3 + 6
4Ω 12Ω
b d
4Ω∥12Ω = = 3Ω.
4 ⋅ 12
4 + 12
1V 5V
1Ω + 5Ω = 6Ω.
3Ω 6Ω
b d
3Ω∥6Ω = 2Ω.
1Ω
1Ω + 2Ω = 3Ω
2Ω 3Ω
c b
2Ω∥3Ω = = 1, 2Ω.
6
5
10Ω
= 10Ω + 1, 2Ω = 11, 2Ω.Rab
i0 v0
3Ω 6Ω
3Ω∥6Ω = 2Ω.
v0
v0
= 12 = 4V .v0
2
2 + 4
2Ω 4Ω
6Ω
i = = 2A.
12
6
= 2 = A.i0
6
3 + 6
4
3
Δ Π
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
R1 R3
Rb +Rc Ra
(Y ) := +R12 R1 R3
(Δ) := ∥( + )R12 Rb Ra Rc
Δ (Y ) = 12)(Δ)R12 R(
(Y ) = + = .R12 R1 R3
( + )Rb Ra Rc
+ +Ra Rb Rc
(Y ) = + = .R13 R1 R2
( + )Rc Ra Rb
+ +Ra Rb Rc
(Y ) = + = .R34 R2 R3
( + )Ra Rb Rc
+ +Ra Rb Rc
(Y ) − (Y )R12 R34
− = .R1 R2
( − )Rc Rb Ra
+ +Ra Rb Rc
(Y )R13
2 = .R1
2RbRc
+ +Ra Rb Rc
=R1
RbRc
+ +Ra Rb Rc
(Y )R12
(Y )R13
=R2
RaRc
+ +Ra Rb Rc
=R3
RaRb
+ +Ra Rb Rc
Δ
Δ
Δ
Δ
R1 R2
R3
+ + = .R1R2 R2R3 R3R1
RaRbRc
+ +Ra Rb Rc
R1 R2 R3
=Ra
+ +R1R2 R2R3 R3R1
R1
=Rb
+ +R1R2 R2R3 R3R1
R2
=Rc
+ +R1R2 R2R3 R3R1
R3
Δ
i
c
n Δ can cnb abn
n
:= 5ΩR1 := 10Ω := 20Ω
Δ
= = = 35Ω,Ra
10 ⋅ 20 + 20 ⋅ 5 + 5 ⋅ 10
10
350
10
= = = 17, 5ΩRb
10 ⋅ 20 + 20 ⋅ 5 + 5 ⋅ 10
20
350
10
= = = 70Ω.Rc
10 ⋅ 20 + 20 ⋅ 5 + 5 ⋅ 10
5
350
10
Δ
70∥30 = = 21Ω,
70 ⋅ 30
70 + 30
12, 5∥17, 5 = = 7, 292Ω
12, 5 ⋅ 17, 5
12, 5 + 17, 5
15∥35 = = 10, 5Ω
15 ⋅ 35
15 + 35
= (7, 292 + 10, 5)∥21 = = 9, 632Ω.Rab
17, 792 ⋅ 21
17, 792 + 21
i = = = 12, 458Ω.
120
Rab
120
9, 632
N
V0
V0
N
V0
9V
p = 15 + 10 + 20 = 45W .
p = V I V I
I = = 5A.
45
9
R1
V1
= 9VV1 I1 R1
= = = 2, 222A.I1
p1
V1
20
9
I2
R2 R3
= I − = 5 − 2, 222 = 2, 778A.I2 I1
p = RI 2
= = = 4, 05Ω,R1
p1
I 21
20
2, 2222
= = = 1, 945ΩR2
p2
I 22
15
2, 7782
= = = 1, 297ΩR3
p3
I 23
10
2, 27782
Vent Vsai
= = =Vsai Vbc
Rbc
Rac
Vent
Rbc
+Rab Rbc
Vent
a
c
1mA 50Ω
1mA
Rm
= ∞Rm
0V 1V R1
0V 10V
R2
0V 100V
R3
Rn
Rn
Rm
=Im Ifs
Vsf
Rn
Rm
= ( + ).Vfs Isf Rm Rn
= −Rn
Vfs
Isf
Rm
Rm
= 0Rm
Rm
0A 10mA
R1
0A 100mA
R2
0A 1A R3
Rn
Rn
Rm
I = Ifs
Rn
Rm
Im
Rm
= .Im
Rn
+Rm Rn
Ifs
=Rn
Im
−Ifs Im
Rm
R
R
=Im Ifs
= 0Rx
E = (R + ) ,Rm Ifs
R = −
E
Ifs
Rm
Rx
E = ( + R + ).Im Rm Rx
= ( − 1) (R + )Rx
Ifs
Im
Rm
= 2kΩRm
= 100μAIfs
R1 R2 R3 R4
= ( / ) −Rn Vfs Ifs Rm
0V 1V
= 1VVsf
= − 2000 = 10000 − 2000 = 8kΩ.R1
1
100 ⋅ 10−6
0V 5V
= 5VVsf
= − 2000 = 50000 − 2000 = 48kΩ.R1
5
100 ⋅ 10−6
0V 50V
= 50VVsf
= − 2000 = 500000 − 2000 = 498kΩ.R1
50
100 ⋅ 10−6
0V 100V
= 100VVsf
= − 2000 = 1000000 − 2000 = 998kΩ.R1
100
100 ⋅ 10−6
+Rn Rm 10kΩ,
50kΩ 500kΩ 1000kΩ
Vsf 1V 5V 50V 100V
1/ = 10kΩ/VIfs
Ω/V
https://ead3.ifmg.edu.br/arcos
http://demonstracoes.fisica.ufmg.br/demo/273/5H50.10-Galvanometro-de-D-Arsonval
http://demonstracoes.fisica.ufmg.br/demo/273/5H50.10-Galvanometro-de-D-Arsonval
http://demonstracoes.fisica.ufmg.br/demo/273/5H50.10-Galvanometro-de-D-Arsonval