Aula 3.1 Raios Elipsoide

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UNIP – Universidade Paulista 
Engenharia Civil 
Geodésia 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES DE AULA 
 
Geodésia aplicada 
turmas EC6P45 e EC5P45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roque Luis Locatelli 
Prof. Esp. Engº Civil – Geomensor 
 
 
São José do Rio Pardo, SP 
 
Setembro 2013 
 
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1. Conceito de Geodésia 
 
O termo geodésia foi usado, pela primeira vez, por Aristóteles (384-322 a.C.), e pode significar 
tanto divisões geográficas da terra como também o ato de dividir a terra. A geodésia é, ao mesmo 
tempo, um ramo das geociências e uma engenharia, que trata do levantamento e da representação da 
forma e da superfície da terra (definição clássica de Helmert), global e parcial, com as suas feições 
naturais e artificiais e o campo gravitacional da Terra. 
 
“Geodésia é ciência que mede e representa a superfície da Terra” (HELMERT 1880). 
 
“Geodésia é a ciência que estabelece os princípios e os métodos por meio dos quais grandes áreas na 
superfície da Terra podem ser levantadas e mapeadas com precisão” (MERRIMAN 1975). 
 
Durante muitos séculos, a concepção esférica para a Terra perdurou, até esbarrar nas análises 
do cientista Isaac Newton (Século XVII). Segundo ele, a forma esférica era incompatível com o 
movimento de rotação da Terra. Este movimento, devido à força centrífuga, impõe um achatamento 
nos pólos, abrindo então a fase elipsoidal que durou muito pouco, se comparada com a fase esférica. 
 
O famoso matemático alemão Carl Friedrich Gauss (Século XVIII-XIX) descobriu que o 
modelo matemático adotado para a Terra, ou seja, o elipsóide de revolução, não era adequado. Surgiu 
então, uma forma levemente irregular mais tarde denominada de “geóide”. 
 
Entretanto, como referência para a definição de um sistema de coordenadas, continua-se 
utilizando um elipsóide de revolução. 
Fixada e aceita a forma da Terra, os métodos e técnicas de posicionar um ponto da sua 
superfície em relação a um referencial ganharam cada vez mais importância e precisão. Assim é que as 
chamadas TRIANGULAÇÕES GEODÉSICAS surgiram, em geral quadriláteros subdivididos em 
triângulos, iniciadas no século XVII na França e passaram a ter um grande desenvolvimento. 
A partir da década de 60, surgiram métodos de obtenção da posição de pontos sobre a 
superfície terrestre, através do uso de satélites artificiais, alavancados pelo lançamento do primeiro 
satélite artificial, o SPUTNIK 11 (4 de outubro de 1957). 
O primeiro sistema de posicionamento por satélites entrou em operação em 1967, denominado 
NAVY NAVIGATION SATELLITE SYSTEM (NNSS), também conhecido como TRANSIT, foi 
inicialmente usado pela marinha dos Estados Unidos para obter informações precisas sobre o 
posicionamento para submarinos lançadores de mísseis balísticos (SLBM), e também usado com um 
sistema de navegação pela marinha dos Estados Unidos, bem como para vigilância hidrográfica e 
geodésica. Posteriormente, outros sistemas surgiram, como por exemplo, o sistema denominado GPS 
(Global Positioning System), que veremos mais adiante. 
 
1.2 Objetivo 
 
A geodésia fornece as suas teorias e os seus resultados de medição e cálculo, dando a referência 
geométrica para as demais geociências e aplicações, como a geomática2, os Sistemas de Informação 
Geográfica, o cadastro, o planejamento urbano e de obras, as engenharias de construção, a navegação 
aérea, marítima e rodoviária, aplicações militares e programas espaciais, entre muitos outros 
exemplos. 
 
 
 
 
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 Sputnik 1 foi a primeira missão do Programa Sputnik, que enviou o primeiro satélite artificial da Terra. A missão foi lançada pela 
URSS em 4 de outubro de 1957 do Cosmódromo de Baikonur. O Sputnik era uma esfera de aproximadamente 50cm e pesando 83,6 kg. 
Ele não tinha nenhuma função, a não ser transmitir um sinal de rádio, "bip", que podia ser sintonizado por qualquer radioamador. 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sputnik_I (Consulta em 08/09/2013). 
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 Geomática trata das atividades de produção, coleta, armazenagem, análise, transmissão e gerenciamento de informações 
geográficas. Inclui atividades como topografia, cartografia, hidrografia, geodésia, fotogrametria, sensoriamento remoto, processamento 
digital de imagens, banco de dados espaciais, cadastro técnico, sistemas de informação geográfica (SIG), mapeamento digital e os sistemas 
de posicionamento por satélite, como o GPS. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geom%C3%A1tica (Consulta em 08/09/2013). 
 
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1.3 Divisão da Geodésia 
 
(GEMAEL 1987) Sugere a seguinte classificação para a Geodésia: 
- Geodésia geométrica; 
- Geodésia Física; 
- Geodésia Celeste. 
 
� Geodésia Geométrica: compreende o conjunto de operações geométricas, realizadas sobre a 
superfície terrestre (medições angulares, medições lineares, nivelamentos), associadas a 
esparsas determinações astronômicas (Latitude, Longitude e Azimute). 
 
� Geodésia Física: compreende o conjunto de medições gravimétricas que podem conduzir a 
um conhecimento detalhado do campo gravitacional da Terra (estuda a direção e magnitude 
da força que mantém os corpos na superfície a atmosfera terrestre). 
 
� Geodésia Celeste: estuda o conjunto de conhecimentos necessários à determinação da 
posição de pontos sobre a superfície terrestre, através do uso de satélites artificiais 
 
2. Formas da Terra 
 
Para se mapear a superfície da Terra, antes é necessário conhecer a sua forma e dimensões. 
Sabe-se que a Terra é um corpo esférico irregular, ligeiramente achatada nos pólos, e que não possui 
uma descrição geométrica. Então é necessária a utilização de modelos (Figura 1) adequados para sua 
descrição de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos. 
As elevações e as depressões na superfície terrestre tornam praticamente impossível medir essa 
superfície, haja vista a assombrosa quantidade de dados que seriam necessários para representá-la. 
 
 
Figura 1: Formas da Terra 
Fonte: http://geophysics.nmsu.edu/west/introgeophys/05_sea_surface_and_geoid/> 
 
3. Superfícies de referência 
 
Para o posicionamento de pontos na superfície da Terra, necessita-se de uma superfície de 
referência. 
Em Geodésia, são três as superfícies consideradas: 
 
� Superfície física (ou superfície topográfica ou superfície real) 
É a superfície onde são realizados todos os levantamentos geodésicos. 
� Superfície geoidal 
É a equipotencial que coincide com o nível médio dos mares não perturbados. Corresponde 
a altitude "zero" definida pelo marégrafo. 
� Superfície elipsoidal 
É a equipotencial limitante do Elipsóide adotado. As observações geodésicas são reduzidas 
a esta superfície. 
 
 
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3.1 Geóide 
O geóide é definido como uma superfície equipotencial (potencial gravitacional constante) 
materializada pelo nível médio dos mares. A força da gravidade que gera essa superfície equipotencial 
é resultante de uma interação entre massas. Sabe-se que existe uma relação direta entre a massa e a 
densidade de um corpo, e que existe uma grande variação na constituição densimétrica dos materiais 
que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste modo, essa superfície equipontecial não 
apresenta uma forma regular. Há ainda que se considerar, a questão dos corpos celestes que interagem 
com o campo gravitacional, provocando variações constantes nesta superfície. 
 
 
Figura 2: Superfície Geoidal – Fonte: http://www.aprh.pt/rgci/imagens/geoide.png 
 
3.2 Elipsóide 
O elipsóide é dito escaleno, que na literatura geodésica é denominado elipsóide tri-axial, por 
conter três eixos desiguais. 
A fórmula geral do elipsóide é assim definida:�²
�²
+
�²
�²
+
�²
�²
= 1 
 
 
 
O elipsóide é a base para a geração de sistemas de referência geodésicos, pois é a “fórmula 
matemática” da Terra. 
 
O elipsóide bi-axial ou elipsóide de revolução é obtido fazendo-se a = c, a passa a ser: 
 
�² + �²
�²
+
�²
�²
= 1 
 
 
 
 
 
Figura 3: Elipsóide tri-axial Figura 3A: Elipsóide bi-axial 
 
• As seções produzidas por planos perpendiculares ao eixo de revolução são circulares 
(paralelos e equador) 
• As seções produzidas pelos planos que contém o eixo de revolução são elípticas 
(meridianos). 
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3.3 Parâmetros do Elipsóide de Revolução 
Para definirmos um elipsóide de revolução, podemos fazê-lo de duas formas, ou seja: 
• a e b (conhecendo-se os dois semi-eixos) 
• a e α (conhecendo-se o semi-eixo maior e o achatamento) 
• α = achatamento, também pode ser definido, em algumas literaturas, com a letra f. 
α=
��
�
; 		α	 = 	1 −	
�
 
a) Excentricidade 
 
É a divergência de uma elipse em relação a uma circunferência 
 
1ª Excentricidade (e) é dada pela formula: 
 
 
 
 
2ª Excentricidade (e’): 
 
 
 
 
Analogamente à excentricidade pode se estabelecer o segundo achatamento que é definido pela 
seguinte equação: 
α’ =	
��
 ou α’= 
�
 -1 
 
 
3.4 Cálculo de N e N’ (Grande normal – Pequena normal) 
Na figura 4, seja uma reta que passa por um ponto P na superfície física da Terra perpendicular 
à superfície do elipsóide de revolução. Esta reta é denominada normal de (P). A distância entre os 
pontos P’ e P’’’ é a grande normal N dado pela formula: 
 
 
 
 
 
e a distância entre os pontos P’ e P’’ é a pequena normal N’ dado pela formula: 
 
 
 
 
Figura 4: Grande normal – pequena normal 
Fonte: http://www.cartografica.ufpr.br/docs/Silvio/2013/geom_elips_revol_Profa_Cida%20%281%29. pdf 
 
 
e=
√���
�
�
; e² = �²�
²
�²
 ou e² = 1- 
²
�²
 
 
e’=
√���
�
; e’² = �²�
²
�²
 ou e’² = 
�²
�²
-1 
 
N= �
	(����.�����)	�/�
 
 
 N’=N.(1-e²) 
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3.5 Raio de Curvatura da Seção Meridiana (Rxz) 
A seção meridiana que contém um ponto P qualquer é uma linha sobre o elipsóide que contém a 
normal do elipsóide no ponto e passa pelos pólos, portanto contem a linha N – S. É uma elipse cujo 
raio de curvatura pode ser definido em cada ponto pela equação: 
Rxz => M= �(���
�)	
	(����·.�����)	!/�
 
 
 
 
Figura 5: Seção meridiana 
 
O raio da seção meridiano possui o efeito prático de ser o raio do arco de circunferência que 
melhor se adapta à região em torno do ponto M(xz) ao longo da meridiana. 
 
3.6 Raio de curvatura da seção primeiro vertical (Ryz) 
A seção do primeiro vertical contém a normal do ponto e é perpendicular à seção meridiana. 
O Raio da seção do primeiro vertical possui o efeito prático de ser o raio do arco de 
circunferência que melhor se adapta à região em torno do Ponto M(x,z) ao longo da direção O-E. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Primeiro vertical 
 
3.7 Raio médio de curvatura (Rm) 
 
O raio médio de curvatura possui o efeito prático de ser a esfera que melhor se adapta à região 
em torno de um ponto. Em muitas situações a esfera de Gauss pode substituir o elipsóide de revolução 
sem prejuízo ao resultado final. O raio médio, por exemplo, é utilizado na redução de distância 
horizontal para o nível do geóide. 
 
Rm =	√".# 
 
 
Rxz => N= �
	(����·.�����)	�/�
 
 
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3.8 Raio de seção oblíqua (Ra) 
O raio de seção obliqua é o raio da linha inclinada em relação ao meridiano e ao paralelo, 
sendo que sua direção fica determinada por um azimute. 
 
Ra = $%�²&
'
+
���²&
(
 
 
3.9 Raio do Paralelo (r) 
 
 
 
 
 
Figura 7: Primeiro vertical 
 
 
• Relação entre as superfícies 
 
 
Figura 8: Modelo geoidal 
Fonte: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/fig3.htm 
 
Onde: 
H= altitude ortométrica; 
h = elipsoidal (obtida através de GPS); 
N = ondulação geoidal. 
 
5. Sistemas de referência geodésicos 
 
4. Introdução 
Para identificar a posição de uma determinada informação ou de um objeto, são utilizados os 
sistemas de referência. Também conhecidos como sistemas de referência terrestres ou geodésicos, 
estão associados a uma superfície que se aproxime do formato da Terra, ou seja, um elipsóide. Sobre 
esta figura matemática são calculadas as coordenadas, que podem ser apresentadas em diversas 
formas, segundo o IBGE em uma superfície esférica recebem o nome de coordenadas geodésicas e em 
uma superfície plana recebem a denominação da projeção às quais estão associadas, como por 
exemplo, as coordenadas planas UTM. 
r=
�$%��&
(���².�����)�/�
 
 
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Assim, as coordenadas referidas aos sistemas de referência são normalmente apresentadas em 
três formas: 
· Cartesianas; 
· Geodésicas ou Elipsoidais; 
· Planas. 
 
Os sistemas de referência são classificados em dois tipos: 
· Clássico; 
· Moderno. 
 
4.1 Sistemas de coordenadas cartesianas 
Este é um sistema coordenado cartesiano caracterizado por um conjunto de três retas (eixos X, 
Y e Z), mutuamente perpendiculares. 
Como sistema de referência geodésico também é conhecido como sistema de coordenadas 
cartesianas geocêntricas, devido a sua origem estar assoada ao centro de massas da Terra (geocentro). 
Estas coordenadas ficaram mais conhecidas e utilizadas após a criação do sistema de 
posicionamento global (GPS). 
As características deste sistema são: 
 
· O eixo X coincide com o plano equatorial e orientado positivamente do centro de massa da 
Terra e a intersecção deste plano com o meridiano de Greenwich (longitude 0º). 
 
· O eixo Y coincide com o plano equatorial e orientado positivamente do centro de massa 
terrestre e a intersecção com a longitude 90º. 
 
· O eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado positivamente na direção Norte. 
 
A origem é definida quanto a localização. Se está localizada no centro de massas da Terra 
(geocêntro), as coordenadas são denominadas de geocêntricas, usualmente utilizadas no 
posicionamento à satélites, como é o caso do WGS84, SIRGAS 2000, SAD69 (MUNDOGEO.com). 
 
4.2 Sistemas de coordenadas geodésicas 
Define-se como coordenadas geodésicas de um ponto P qualquer na superfície do elipsóide 
como: 
• Latitude geodésica (φG) é o ângulo formado entre a normal (linha perpendicular ao 
elipsóide) no ponto considerado e o plano equatorial do elipsóide. Esta coordenada tem 
sinal positivo no hemisfério norte e negativo no hemisfério sul, pode-se também ser 
indicada pela letra N quando no hemisfério norte ou S no hemisfério sul. 
 
• Longitude geodésica (λG) é o ângulo formado entre o meridiano de origem 
(Greenwich) e o meridiano do ponto considerado, contado sobre o plano equatorial. 
Esta coordenada é positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste. Podendo ser 
indicada pelas letras E e W para leste ou oeste respectivamente. 
 
• Altitude elipsoidal (h) corresponde à distância entre o ponto considerado à superfície 
do elipsóide medida sobre a sua normal. Esta coordenada é nula sobre o elipsóide. As 
coordenadas curvilíneas podem ser representadas em um sistema cartesiano, através de 
formulações que fazem associações entre estes dois sistemas (Cartesiano e Geodésico). 
Tais formulações podem ser encontradas na “Resolução da Presidência da República nº 
23 de 21/02/89 (IBGE, 2013). 
 
4.3 Sistemas de coordenadas geográficas ou astronômicas 
Define-se como coordenadas geográfica de um ponto P qualquer na superfície do geóide como: 
 
• Latitude geográfica (φA) é o ângulo formado entre a vertical (linha perpendicular ao 
geóide) no ponto considerado e o plano equatorialdo elipsóide. Esta coordenada tem 
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sinal positivo no hemisfério norte e negativo no hemisfério sul, pode-se também ser 
indicada pela letra N quando no hemisfério norte ou S no hemisfério sul. 
 
• Longitude geográfica (λA) é o ângulo formado entre o meridiano de origem 
(Greenwich) e o meridiano do ponto considerado, contado sobre o plano equatorial. 
Esta coordenada é positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste. Podendo ser 
indicada pelas letras E e W para leste ou oeste respectivamente. 
 
• Altitude ortométrica (H) corresponde a distância entre o ponto considerado à 
superfície do geóide medida sobre a sua vertical. Esta coordenada é nula sobre o geóide 
(LEONARDI, 2013). 
 
4.4 Sistema de coordenadas planas 
As coordenadas podem ser representadas no plano através dos componentes Norte (N) e Leste 
(E) regularmente utilizadas em mapas e cartas, referidas a um determinado sistema de referência 
geodésico. Para representar uma superfície curva em plana são necessárias formulações matemáticas 
chamadas de projeções. Diferentes projeções poderão ser utilizadas na confecção de mapas, no Brasil 
a projeção mais utilizada é a Universal Transversa de Mercator (UTM).