Integral Dupla – Aplicações

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Integral Dupla – Aplicações 
Professor Bruno Myrrha 
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Exercícios 
Nos exercícios de 1 a 4, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas 
superfícies dadas: 
1) y =  x!+, y   =  4, z =  0  e  z =  4.  
2) z =  4  x!, z =  0, x =  0, x =  2, y =  0  e  y = 4.  
3) z =  1−  x!, z =  0, x  +  y =  4  e  y = 0.  
4)  x! +  y! = 1, z =  0 e  z =  x! +  y!. 
 
5) Determinar a área R delimitada pelas curvas y = x!  , x+  y = 2  e  y = 0. 
 
6) Calcular a área da região delimitada por: y =   4− x!, y =  x  e  y =  2x. 
 
7) Calcular a área da região delimitada por y =  e!!!, y =  x  e  x =  0. 
 
8) Uma lâmina tem a forma do triângulo de vértices (-1, 0), (1,1) e (1,-1). 
Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se: 
a) Sua densidade de massa é constante. 
b) Sua densidade de massa no ponto(x, y) é proporcional à distância desse 
ponto a reta x = -2. 
 
9) Uma lâmina tem a forma da região plana R delimitada pelas curvas x =    y! e x =  4. Sua densidade de massa é constante. Determinar: 
a)O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos x. 
b) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. 
 
10) Calcular a massa e o centro de massa de uma chapa com o formato de um 
triângulo isósceles com base 10cm e 5cm. Considerar a densidade constante. 
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11) Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x de uma chapa 
delimitada por x  +  y =  4, x =  4 e y =  4. Considerar a densidade igual a uma 
constante k. 
 
 
Respostas 
 !"#! !"#! !"! !! 
 !! 
[arctg 2 - !! ]. !! - !!. a)2k(  !! , 0). b) !"!! , (  !! , 0). 
9)a) !"#!!" . 
b) !"#!! . 
10) 25k, o centro de massa situa-se a !! cm da base, sobre sua mediatriz. 
11) 64k.