Integral Dupla Lista 01 (1)

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�� ��I Integral Dupla (Lista 01) J�� ��Professor: Ícaro Vidal Freire Matéria: Cálculo Diferencial e Integral�� ��Curso: Matemática 6◦ semestre�� ��Aluno (a): Data: / / .
Atividade
1 Regiões Retangulares�� ��Questão 1. Calcule as integrais:
(a)
ˆ 1
0
ˆ 2
1
(
x2 + y2
)
dxdy. Resp.: 8/3
(b)
ˆ 3
0
ˆ 2
1
(
12xy2 − 8x3) dydx. Resp.: −36
(c)
ˆ 2
1
ˆ 1
0
(x− 3ln y) dxdy. Resp.: 12 − 3 · ln 4e
(d)
ˆ 4
3
ˆ 2
1
dydx
(x+ y)
2 . Resp.: ln
25
24
(e)
ˆ 2
0
ˆ 2
1
(
2xy − y3) dydx. Resp.: −3/2
(f)
ˆ 1
−1
ˆ 1
0
(
1− x2) dydx. Resp.: 4/3
2 Regiões não-retangulares�� ��Questão 2. Calcule as integrais
(a)
ˆ 2
1
ˆ x√3
x
xy dydx. Resp.: 15/4
(b)
ˆ 2pi
0
ˆ a
asen θ
r drdθ. Resp.: 12pia
2
(c)
ˆ a
0
ˆ x
x
2
x dydx
x2 + y2
. Resp.: pia4 − a arctg 12
(d)
ˆ a
0
ˆ 2y
y−a
xy dxdy. Resp.: 11a
4
24
(e)
ˆ 1
0
ˆ 1
0
|x− y| dydx. Resp.: 1/3
(f)
ˆ √2
0
ˆ √4−2y2
−
√
4−2y2
y dxdy. Resp.: 8/3
3 Sobre regiões de integração�� ��Questão 3. Determinar os limites de integração para a integral¨R f (x, y) dA, onde o domínio de integração,R, está limitado
pelas curvas:
(a) x = 2, x = 3, y = −1 e y = 5. Resp.:
ˆ 3
2
ˆ 5
−1
f (x, y) dydx
(b) y = 0, y = 1− x2. Resp.:
ˆ 1
−1
ˆ 1−x2
0
f (x, y) dydx
(c) x2 + y2 = a2. Resp.:
ˆ a
−a
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
f (x, y) dydx
(d) y =
2
1 + x2
, y = x2. Resp.:
ˆ 1
−1
ˆ 2
1+x2
x2
f (x, y) dydx
(e) y = 0, y = a, y = x, y = x− 2a. Resp.:
ˆ a
0
ˆ y+2a
y
f (x, y) dxdy
4 Cálculo de Áreas�� ��Questão 4. Calcular, usando integrais duplas, a área da região limitada pelas curvas:
(a) y2 = 2x e y = x. Resp.: 2/3
(b) y2 = 4ax, x+ y = 3a e y = 0. Resp.:
10
3
a2
(c) x
1
2 + y
1
2 = a
1
2 e x+ y = a. Resp.: a2/3
(d) y = senx, y = cosx, x = 0. Resp.:
√
2− 1
(e) y = x3 e y = x2. Resp.: 1/12
(f) y2 = 4x e x2 = 4y.
(g) y = x2 − 9 e y = 9− x2. Resp.: 72
(h) x2 + y2 = 16 e y2 = 6x.�� ��Questão 5. Use a integral dupla para encontrar a área da região no primeiro quadrante, limitada pela parábola y2 = 4x, pela
circunferência x2 + y2 = 5 e pelo eixo x por duas maneiras:
1
(a) integrando primeiro em relação a x;
(b) integrando primeiro em relação a y.�� ��Questão 6. Em cada caso, use integral dupla e calcule a área da região D indicada na ?figura.
Respostas: (a)
pi
4
+
15
2
+ arctg 2; (b)
9pi
2
+ 27; (c) 56/3
2
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	Sobre regiões de integração
	Cálculo de Áreas