[CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV] - Integral dupla - Aplicações (Massa e Carga Total)

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Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
Integral Dupla: aplicações1 
 
 Calculamos volumes de sólidos com o auxílio das integrais duplas. Podemos, também, 
calcular áreas (de que forma?) e explorar aplicações físicas tais como cálculos de massa, de 
carga elétrica, de centro de massa e de momento de inércia. 
 
� Densidade e massa 
Suponha uma lâmina colocada numa região R do plano 
xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de 
área) no ponto (x, y), em R, é dada por ρρρρ (x, y), em que ρ é 
uma função contínua sobre R, ou seja, 
A
mlim y),x(
0A ∆
∆
=ρ
→∆
 
A massa total m da lâmina será dada por 
 ∫∫ρ=
R
dA . y),x(m
 
 
De modo análogo, se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade 
de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por σ (x, y) num ponto (x, y), em R, 
então a carga total Q é dada por 
∫∫σ=
R
dA . y),x(Q
 
 
Exemplos: 1. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) se 
a função densidade é ρ(x, y) = 1 + 3x + y. 
 
1
 STEWART, James. Cálculo. Tradução de Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2011. v.2. 
 
 
)y ,x( ijij
Curso de Engenharia Química – EQU2013014NA783 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
08/09/2015 
2 
 
 
 
3. A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular 
é proporcional à distância ao centro do círculo. Determine a 
massa da lâmina. 
 
� Aplique e exercite... 
1. Uma carga elétrica é distribuída sobre um retângulo, 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, de modo que a 
densidade de carga em (x, y) é σ(x, y) = x2 + 3 y2 (medida em C/m2). Determine a carga 
total do retângulo. 
2. Determine a massa da lâmina que ocupa a região R = {(x, y)| -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} e tem 
função densidade ρ(x, y) = x2. 
3. Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x2 + y2 ≤ 1 de modo que a densidade de 
carga em (x, y) seja σ(x, y) = 1 + x2 + y2 (medida em C/m2). Determine a carga total do 
disco. 
4. Determine a massa da lâmina que ocupa a região R, que é do primeiro quadrante limitada 
pela parábola y = x2 e pela reta y = 1, e tem densidade ρ(x, y) = x.y. 
2. A carga é distribuída sobre uma região R, conforme figura, de modo 
que a densidade de carga em (x, y) seja σ(x, y) = x.y medida em 
coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.