Exercícios resolvidos 15 17 20 21 22

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Exercício 15 
Água é transportada do reservatório 1 fechado de dimensões infinitas para o reservatório 2 aberto, 
também de dimensões muito grandes. As perdas de carga no fluido do ponto 1 até o ponto 2 são 
dadas pela fórmula 
  2 2perdasH KV g
, sendo K = 5. Pede-se: 
Dados: 
g = 10 m/s2 
Q = 50 litro/s 
A = 0,01 m2 
K = 5  = 60% 
1 = 10 kN/m3 
2 = 20 kN/m3 
3 = 130 kN/m3 
pA = 12 kPa 
z1 = 10 m z2 = 30 m 
 
 
a) A pressão no ponto 1 (na superfície da água dentro do tanque fechado), sendo que a pressão 
medida no ponto A é de 12 kPa. 
b) A perda de carga entre os pontos 1 e 2. 
c) A potência em W que a bomba injeta no fluido. 
d) A potência nominal da bomba se o rendimento é de 60%. 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
a) Pressão no ponto 1 
              o1 3 2 11 30 0,2 0,5 0,2Ap p sen
 
            
o
1 12000 1 30 0,2 130000 0,5 20000 0,2 10000p sen
1 39000 Pap
 
b) Perda de carga entre os pontos 1 e 2 
  
0,0005
5 m/s
0,0001
Q
V
A
 

  

2 25 5
2 2 10
perdas
KV
H
g
 6,25 mperdasH
 
c) Potência injetada pela bomba 
Aplicando o balanço de energia entre os pontos 1 e 2 
  1 2bomba perdasH H H H
 
sendo 
    
2
1 1
1 1
1
39000
10 13,9 m
2 10000
p V
H z
g
 e 

   
2
2 2
2 2
1
30 m
2
p V
H z
g
. Logo 
    B B13,9 30 6,25 22,35 mH H
 
    1 B 10000 0,05 22,35N QH 11175 WN
 
d) Potência nominal da bomba (rendimento de 60%) 

  B
11175
0,6
N
N
B 18625 WN
 
Exercício 17 
Um reservatório infinitamente grande e fechado descarrega água para a atmosfera através de um duto 
com a ajuda de uma bomba. As perdas de carga no fluido do ponto 1 até o ponto 2 são de Hp1-2 = 10 
m e do ponto 1 até o ponto “e” são de Hp1-e = 2 m. Pede-se: 
a) A pressão no ponto 1 (na superfície da água dentro do tanque fechado). 
b) A pressão no ponto e, na entrada da bomba. 
c) A pressão no ponto s, na saída da bomba. 
Dados: 
h1 = 2 m h2 = 4 m 
água = 1000 kg/m3 
g = 10 m/s2 Q = 25 l/s 
A = 0,005 m2 Nbomba = 1 kW 
Hp1-2 = 10 m Hp1-e = 2 m 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
a) Cálculo de p1 
Balanço de energia entre os pontos 1 e 2: 
 
 

      
 
    

    

1 2 1,2 1 2 p1-2
2 2
1 2 1 2
1 2 p1-2
2
1 2
1 2
2
10
10000 2 10
bomba perdas bomba
bomba
bomba
H H H H H H H H
p p V V
z z H H
g
p V
h h H
 
onde a carga da bomba e a velocidade podem ser calculados por 
3
3
2 2 2 23
2
1000
4 m
10000 25 10
25 10
5 m/s
5 10
bomba
bomba bomba bomba bomba
N
N QH H H
Q
Q
Q V A V V
A
  


     
 

     

 
Logo 
      

2
1 5 2 4 4 10
10000 2 10
p 
1 12500 Pap 
 
 
b) Cálculo de pe 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e (e): 
 

    
 
   
1 e p1-e 1 e p1-e
2 2
1 e 1 e
1 e p1-e
2
H H H H H H
p p V V
z z H
g
 
Por conservação de massa sabe-se que 
 e 2 5 m/sV V
 
 
 
   

2
e12500 5 2 2
10000 2 10
p
e 0 Pap
 
 
c) Cálculo de ps 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (e) e (s): 
 
     
 
    
e s e s
2 2
e s e s
e s
0
0
2
bomba bomba
bomba
H H H H H H
p p V V
z z H
g
 
Por conservação de massa sabe-se que 
 e s 5 m/sV V
 

    s
0
0 0 4 0
10000
p s 40000 Pap
 
 
Exercício 20 
Água é bombeada de um reservatório de grandes dimensões conforme mostrado na figura. 
Piezômetros são conectados aos pontos 1, 2 e 3 para medir a pressão no ponto. Determinar 
a) A vazão da água 
b) A área da seção 1 
c) A potência fornecida pela bomba ao fluido 
Dados: 
g = 10 m/s2 
 = 10000 N/m3 
Hp2-3 = 2 m Hp0-1 = 0,8 m 
A2 = 1 cm2 A3 = 20 cm2 
B = 70% 
 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
Pré-cálculos: 
A pressão nos pontos 1, 2 e 3 pode ser calculada através dos piezômetros abertos 
1
2
3
3 3 10000 30 kPa
3 3 10000 30 kPa
3,5 3,5 10000 35 kPa
p
p
p



    
    
    
 
Carga total nos pontos 
2
0 0
0 0 0 5 m
2
p V
H z z
g    
 
2 2 2
1 1 1 1
1 1
30000
3
2 10000 2 10 20
p V V V
H z
g      
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2
30000
3
2 10000 2 10 20
p V V V
H z
g      
 
2 2 2
3 3 3 3
3 3
35000
3,5
2 10000 2 10 20
p V V V
H z
g      
 
Balanço de energia no trecho 2-3 pode ser escrita como 
2 22 2
3 32 2
2 3 p2-3 3 3,5 2 2,5
20 20 20 20
V VV V
H H H         
 (1) 
A equação (1) pode ser resolvida fazendo a conservação de massa 
2 3 2 2 3 3 2 320Q Q V A V A V V    
 (2) 
Substituindo a equação (2) em (1), tem-se 
 
22 22
33 32
3
20
2,5 2,5 0,354 m/s
20 20 20 20
VV VV
V      
 
e portanto, 
2 7,08 m/sV 
 
 
a) Vazão 
4
3 3 20 10 0,354Q A V
    
4 37,08 10 m /sQ  
 
 
b) Área A1 
Pode ser obtida através do balanço de energia no trecho 0-1 
2
1
0 1 p0-1 15 3 0,8 4,9 m/s
20
V
H H H V       
 
Lembrando que as vazões nas seções 1, 2, 3 e 4 são iguais 
4
1
1 1 1 1
1 1
7,08 10
4,9
Q Q
Q V A A
V V

     
 
4 2
1 1,45 10 mA
 
 
 
c) Potência fornecida pela bomba ao fluido 
Balanço de energia no trecho 1-2 
2 2
1 B 2 B B
4,9 7,08
3 3 1,306 m
20 20
H H H H H        
 
4
B 10000 7,08 10 1,306N QH      9,25 WN  
Atenção: no exercício foi pedido a potência fornecida pela bomba ao fluido, N. Caso fosse pedida a 
potência nominal da bomba, o rendimento seria usada para o cálculo 
B
9,25
13,21 W
0,7
B
N
N   
 
 
Exercício 21 
Água é transportada de um reservatório de dimensões infinitas e aberto para a atmosfera para outro, 
também muito grande e aberto para a atmosfera. Uma máquina é instalada no trecho ligando os dois 
reservatórios. A perda de carga no trecho 2-3 pode ser desprezada. Se o valor medido no manômetro 
2 (colocado junto à máquina na parte de cima) é de 100 kPa, pede-se: 
Dados: 
p2 = 100 kPa água = 1000 kg/m3 
g = 10 m/s2 Q = 0,2 m3/s 
A = 0,02 m2 Hp2-3 = 0 
z1 = 10 m z2 = 5 m  = 80% 
a) Os valores das cargas em 1 (H1), 2 (H2) e 3 (H3). 
b) O sentido do escoamento da água. 
c) O valor da carga perdida no trecho 1-2. 
d) A perda de carga total (Hperdas). 
e) Tipo de máquina instalada (bomba ou turbina) 
f) A potência nominal máquina se ela tem rendimento de 80%. 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
Primeiro, calculando a velocidade do fluido dentro do duto: 
  
0,2
10 m/s
0,02
Q
V
A
 
a) Cargas em 1, 2 e 3 

   
2
1 1
1 1
2
p V
H z
g
1 10mH
 
      
2 2
2 2
2 2
100000 10
5
2 10000 2 10
p V
H z
g
2 20 mH
 

   
2
3 3
3 3
2
p V
H z
g
3 0H
 
b) Sentido do escoamento 
Analisando o trecho sem máquina (1-2), como H2 > H1, o escoamento ocorre de 2 para 1, ou seja, a 
água está indo para o reservatório superior. 
 
c) Perda de carga no trecho 1-2 
A perda é calculada por 
  p1-2 2 1H H H p1-2 10 mH
 
 
d) Perda de carga total 
    perdas p1-2 p2-3 10 0H H H perdas 10 mH
 
 
e) Tipo de máquina 
Aplicando o balanço de energia no trecho 1-3 
       3 m 1 perdas m0 10 10H H H H H
m 20 mH
 
Como Hm > 0, a máquina é uma bomba. Essa resposta também poderia ser obtida fazendo-se o 
balanço de energia no trecho 2-3. 
 
f) Potência da máquina 
    m 10000 0,2 20N QH  40000 WN
 

  B
B
40000
0,8
N
N
B 50000 WN
 
 
Exercício 22 
Uma máquina é instalada na saída de um reservatório infinitamente grande aberto para a atmosfera. 
Essa saída ejeta água contra uma barreira em que foi medida um carregamento devido à força do 
fluido de 1000 N. Considere que há uma perda de carga de Hperda = 3 m entre as seções 0 (superfície 
da água no topo do reservatório) e 1 (saída do duto). Determine o tipo de máquina e sua potência 
nominal se ela tem um rendimento de 75%. Despreze o atrito ou forças viscosas. 
Dados: 
água = 1000 kg/m3 
g = 10 m/s2 D1 = 15 cm 
h = 30 m 
Fbarreira = 1000 N 
Hperda = 3 m 
75% 
 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: conservação de quantidade de movimento 
 x xF v m
 
 energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
Fazendo o equilíbrio de forças na direção horizontal para a barreira: 
 
 
 
   

     
 

2
2 1
1 1 1 1
2 2
2 21
1 1 1
3
4
0,15
1000 1000 7,52 m/s
4 4
0,1329 m /s
x barreira x
barreira
D
F F v m V V A V
D
F V V V
Q VA
 
Aplicando a conservação de energia para os pontos 0 e 1: 
 

      

 
        

     

0 1 0 1
2 2 2
0 1 0 1 1
0 1
2
3 m
3 3
2 2
7,54
30 3 24,17 m
2 10
t perda t perda
perda
t t
t t
H H H H H H H H
H
p p V V V
z z H h H
g g
H H
 
Logo, a potência da turbina é dada por 
    10000 0,1329 24,17tN QH  32131 WN
 (ignorando o sinal de Ht). 
A potência nominal é igual a 
   0,75 32131t tN N 24098 WtN
.