Capacidade do Processo - Controle Estatístico de Qualidade

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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 7 
(montgomery)
Capacidade do Processo
� Introdução
– Cartas de Controle
� Instrumento de monitoramento e detecção de desvios na 
estabilidade do processo
– Considerando que através das cartas de controle 
tenhamos um processo estável durante longos 
períodos de tempo, a seguinte questão precisa ser 
respondida:
� O processo atende de forma eficiente os requisitos 
impostos ao produto?
Capacidade do Processo
� Introdução
– No contexto do CEP, os estudos de capacidade do 
processo destinam-se a responder esta questão.
– É importante ressaltar que eficiência deve ser 
entendido como baixo nível de não-conformidades.
– Os índices de capacidade do processo são 
parâmetros adimensionais que indiretamente 
medem o quanto o processo consegue atender às 
especificações.
Capacidade do Processo
� Considerações Importantes
– O uso dos índices de capacidade não tem sentido
se os dados analisados forem provenientes de um 
processo fora de controle
� Motivo: os índices são parâmetros da distribuição estacionária
da característica da qualidade em estudo. Se o processo estiver 
fora de controle essa distribuição não será sempre a mesma, 
logo não saberemos o que estaremos estimando a partir dos 
dados.
– Assim, devemos primeiro examinar o
comportamento das cartas de controle. Uma vez
evidenciada a condição de controle, o estudo de
capacidade pode ser conduzido
Capacidade do Processo
� Considerações Importantes
– É costume tomar como medida de capacidade de 
um processo a dispersão 6-sigma na distribuição da 
característica da qualidade
– Se os dados são provenientes de uma distribuição 
normal, os LNT incluem 99,73% da variável.
– Os LNT expressam a tolerância natural do processo
σµ 3±=LNT
Capacidade do Processo
� Histograma ou QQ Plot
– Através do histograma é possível:
� Verificar a “forma” da característica da qualidade em 
estudo
� Estimar a capacidade independentemente de termos a 
informação sobre as especificações do produto.
– Exemplo
10.34 9.25 10.80 9.34 11.39 9.96
8.70 11.97 10.52 9.19 9.52 7.65
8.97 9.79 9.74 11.24 10.31 11.34
11.27 9.95 10.03 9.49 9.56 10.41
10.32 9.79 10.05 9.88 9.04 8.39
Capacidade do Processo
� Histograma
– Exemplo
– 99.73% 
dentro das 
conformida-
des
9532.0
94.9
=
=
S
x
08.7
80.12
=
=
LINT
LSNT
F
r
e
q
u
e
n
c
y
12111098
7
6
5
4
3
2
1
0
Mean 9.94
StDev 0.9532
N 30
Normal 
Histogram
Capacidade do Processo
� Histograma ou QQ Plot
– Através do QQ Plot é possível:
� Verificar a normalidade da característica da qualidade 
em estudo
– Exemplo
10.34 9.25 10.80 9.34 11.39 9.96
8.70 11.97 10.52 9.19 9.52 7.65
8.97 9.79 9.74 11.24 10.31 11.34
11.27 9.95 10.03 9.49 9.56 10.41
10.32 9.79 10.05 9.88 9.04 8.39
Capacidade do Processo
� QQ Plot
P
e
r
c
e
n
t
121110987
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean
>0.150
9.94
StDev 0.9532
N 30
KS 0.087
P-Value
Probability Plot 
Normal 
Capacidade do Processo
� Razões da Capacidade do Processo
– No entanto, convém termos uma forma simples e 
quantitativa de expressar a capacidade de um 
processo.
– Tal forma foi introduzida por Juran (1974), 
chamando-a de razão da capacidade de um 
processo (RCP) Cp
onde LIE/LSE são os limites de especificação
σ6
LIELSEC p
−
=
Capacidade do Processo
� Razões da Capacidade do Processo
– Em aplicações práticas, σ precisa ser estimado. Isso 
resulta em uma estimativa para Cp dada por
– Note que o índice Cp relaciona a tolerância especificada 
com a tolerância natural do processo. Assim,
� Cp < 1, TN é maior que TE (preocupante)
� Cp = 1, TN é igual TE (precisa melhorar)
� Cp > 1, TN é menor que TE (desejável)
σˆ6
ˆ
LIELSEC p
−
=
Tolerância especificada (TE)
Tolerância natural (TN)
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
� Exemplo – Anel de Pistão
– Limites de Especificação
74.00mm ± 0.05mm
– Do gráfico R, estimamos
– Logo, 
– Cp > 1 (desejável)
68,1)0099,0(6
95,7305,74
ˆ6
ˆ
=
−
=
−
=
σ
LIELSEC p
0099,0ˆ
2
==
d
R
σ
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
– Outra interpretação útil obtida a partir de Cp é a 
percentagem da faixa de especificação utilizada 
pelo processo (P)
– Do exemplo de anéis de pistão, temos que
1001 ×








=
p
p C
P
%5,59100
68,1
1
=×





=pP
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
– Vimos que a razão da capacidade do processo mede a 
habilidade do processo de produzir produtos que atendam 
as especificações.
– A seguir, apresentaremos diversos valores de Cp
juntamente com o número de peças defeituosas ou 
unidades não-conformes do produto por milhão (ppm).
– Tais quantidades foram obtidas com base nas seguintes 
suposições importantíssimas:
� A característica da qualidade tem distribuição normal
� O processo está sob controle estatístico
� A média do processo está centrada entre os limites de 
especificação superior e inferior.
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
Cp Esp. Unilaterais Esp. Bilaterais
0,25 226.628 453.255 
0,50 66.807 133.614 
0,60 35.931 71.861 
0,70 17.865 35.729 
0,80 8.198 16.395 
0,90 3.467 6.934 
1,00 1.350 2.700 
1,10 484 967
1,20 159 318
1,30 48 96
1,40 14 27
1,50 4 7
1,60 1 2
1,70 0,17 0,34
1,80 0,03 0,06
2,00 0,0009 0,0018
Fonte: Montgomery
Falhas no processo (ppm)
Valores da Razão da Capacidade do
Processo (Cp) e Falhas Associadas (ppm)
para um Processo Normalmente Distribuído
que está sob Controle Estatístico
610×




 −Φ=<
σ
µLIELIEppm
6101 ×










 −Φ−=>
σ
µLSELSEppm
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
– Para ilustrar a tabela anterior, temos que
� Cp = 1, implica em 2.700 ppm
� Cp = 1,50 implica em uma taxa de apenas 4 ppm
� No exemplo do anel de pistão, Cp = 1,68 ≅ 1,70. Isso 
implica em 0,34 ppm, ou seja, o processo encontra-se 
bem calibrado.
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
� Considerações Importantes
– As suposições citadas anteriormente são críticas para 
precisão e validade dos valores reportados.
� Somerville e Montgomery (1996) investigaram o impacto da 
não-normalidade nos valores apresentados na tabela.
– A estabilidade ou controle estatístico do processo é 
essencial para uma interpretação correta de qualquer RCP.
� Montgomery comenta que é bastante comum se calcular uma 
RCP sem levar em conta se o processo está sob controle.
Razões da Capacidade do 
Processo - Cp
� Considerações Importantes
– Além disso, é importante ter em mente que calculamos 
uma estimativa da RCP, estando sujeito a erros na 
estimação
� Logo, um intervalo de confiança pode dar uma boa ideia 
do erro que podemos estar cometendo.
� Posteriormente, iremos discutir sobre intervalos de confiança 
para RCP.
O Índice Cpk
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– Note que o índice Cp não leva em conta a 
localização da média do processo com relação 
aos limites de especificação.
– Kane (1986) propõe uma medida (Cpk) que 
penaliza desvios da média do processo em 
relação a posição central (“ótima”), sendo definido 
por:
O Índice Cpk
� Razão de Capacidade para um ProcessoDescentrado
– onde:
),min( pipspk CCC =
σ
µ
3
−
=
LSEC ps
σ
µ
3
LIEC pi
−
=
O Índice Cpk
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– Se Cp = Cpk o processo está centrado no ponto médio das 
especificações.
– Quando Cpk < Cp o processo está descentrado
– A diferença entre Cp e Cpk é uma medida direta de quão fora do 
centro o processo está operando.
– Além disso, através da tabela apresentada anteriormente, pode-se 
obter uma estimativa rápida da melhoria potencial caso o processo 
estivesse centralizado.
– Por isso, costuma-se dizer que Cp mede a capacidade potencial no 
processo, enquanto Cpk mede a capacidade efetiva. 
Cp versus Cpk
O Índice Cpm
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– Vimos que o índice Cp não leva em conta a localização da 
média do processo com relação aos limites de 
especificação.
– Analisar apenas o Cpk também não é uma boa estratégia.
� Por si só, Cpk ainda não é uma medida adequada de 
centralização do processo.
� O melhor é interpretar conjuntamente Cpk e Cp. 
O Índice Cpm
– Cpk depende inversamente de σ e aumenta quando σ tende 
a zero
� Tal situação pode tornar Cpk inadequado como medida 
de centralização. Um grande valor de Cpk nada nos diz 
sobre a localização da média.
Processo A
Cpk=Cp=1,0
Processo B
Cp=2,0>Cpk=1,0
O Índice Cpm
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– Chan et al. (1988) propõe um novo índice, chamado de 
Cpm, que visa contornar esses problemas
onde T = (LSE + LIE)/2. 
– Note que, no denominador, temos o desvio quadrático 
esperado em relação ao valor alvo.
2)(6 TXE
LIELSEC pm
−
−
=
O Índice Cpm
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– O índice Cpm pode ser estimado por
onde
,
1
ˆ
ˆ
2V
C
C ppm
+
=
.
S
TxV −=
O Índice Cpm
� Razão de Capacidade para um Processo 
Descentrado
– Boyles (1991) elaborou uma análise detalhada sobre esse 
índice. Dentre alguns resultados importantes, podemos 
citar:
� Cpm = Cpk = Cp, quando µ = T
� Cpm tende a zero, quando |µ - T| → ∞
Intervalos de Confiança e Teste de 
Hipóteses para RCP’s
– É importante lembrar que na prática trabalhamos 
com estimativas pontuais de Cp e Cpk e, como tal, 
estão sujeitas à flutuações estatísticas.
– Em outras palavras, um índice de capacidade do 
processo está sujeito a erro estatístico. Logo, 
para visualizarmos a precisão dessa estimativa
devemos utilizar intervalos de confiança (IC).
– Se a característica da qualidade segue 
distribuição normal, então podemos obter um IC
de nível (1-α)% para Cp a partir de
Intervalos de Confiança e Teste de 
Hipóteses para RCP’s
� Intervalo de Confiança para Cp
– Exemplo: LSE = 62, LIE = 38, n = 20 e S = 1,75
– Seja α = 5%, temos que
1
.
ˆ
1
.
ˆ
2
1,2/
2
1,2/1
−
≤≤
−
−−−
n
CC
n
C npp
n
p
αα χχ
29,2)75,1(6
3862
ˆ
=
−
=pC
01,357,1
120
.29,2
120
.29,2%)95(
2
19,025.0
2
19,975.0 ≤≤=
−
≤≤
−
= pp CCIC
χχ
Intervalos de Confiança e Teste de 
Hipóteses para RCP’s
� Intervalo de Confiança para Cp
– Note que o IC é relativamente amplo, indicando que a 
estimativa de Cp pode estar sujeita a um erro de estimativa 
elevado (baixa precisão)
– Normalmente, Intervalos de Confiança baseados em 
pequenas amostras tendem a ser amplos.
Intervalos de Confiança e Teste de 
Hipóteses para RCP’s
� Intervalo de Confiança para Cpk
– Para RCP’s mais complicadas como Cpk e Cpm diversos 
autores propõem intervalos de confiança aproximados 
(Zhang et al. (1990), Bissel (1990), Kushler e Hurley (1992), 
Pearn et al. (1992), entre outros).
– Se a característica da qualidade segue distribuição normal, 
apresentamos um IC de nível (1-α)% para Cpk








−
++≤≤








−
+− )1(2
1
ˆ9
11ˆ)1(2
1
ˆ9
11ˆ
22/22/ nCn
ZCC
nCn
ZC
pk
pkpk
pk
pk αα
Intervalos de Confiança e Teste de 
Hipóteses para RCP’s
� Intervalo de Confiança para Cpk
– Exemplo: Cpk = 1,33, n = 20
– Seja α = 5%, temos que
– Trata-se de um IC extremamente amplo e não-informativo, 
visto que o valor de Cpk tanto pode ser inferior a 1 (situação 
ruim) como pode ser igual a 1,67 (situação excelente). Isso 
se deve ao pequeno tamanho de amostra utilizado.
67,199,0%)95( ≤≤= pkCIC








−
++≤≤








−
+− )1(2
1
ˆ9
11ˆ)1(2
1
ˆ9
11ˆ
22/22/ nCn
ZCC
nCn
ZC
pk
pkpk
pk
pk αα
RCP – Uso de Gráficos de Controle
– O cálculo e a análise dos índices RCP’s só faz
sentido quando o processo está sob controle.
– Logo, a análise dos gráficos de controle são de
vital importância para correta interpretação de
Cp, Cpk ou Cpm.
Considerações Finais
– Índices de capacidade são muito sensíveis à 
mudanças na distribuição estacionária.
� Se ela não for normal, a interpretação dos índices com 
base nos valores de referência perde a consistência.
– Um índice de capacidade é um parâmetro do 
processo cujo valor é estimado através de 
estatísticas
� O uso de intervalos de confiança pode ajudar a ter uma 
ideia do erro de estimação que podemos estar cometendo
Exercício
Um processo normalmente distribuído tem
especificações LIE=75 e LSE=85. Uma amostra de 25
partes indica que o processo está centrado no meio da
faixa de especificação e o desvio padrão é S=1,5.
a) Determine uma estimativa pontual para o Cp. O
processo é eficiente?
b) Determine um intervalo de confiança de 95% para Cp.
Comente sobre a amplitude do intervalo.
Exercício
Um processo está sob controle com
As especificações do processo são 95 ± 8. A
característica da qualidade tem distribuição normal.
a) Estime a capacidade potencial.
b) Estime a capacidade efetiva.
c) De quanto se reduziria a falha do processo se ele
fosse corrigido de modo a operar na especificação
nominal?
.5 e 05,1,100 === nSX
Exercício
Suponha uma característica da qualidade tenha
distribuição normal com limites de especificação em
LSE=100 e LIE=90. Uma amostra aleatória de 30
partes resulta em
a) Calcule uma estimativa pontual para Cpk.
b) Calcule uma estimativa pontual para Cpm.
c) Encontre um intervalo de confiança de 95% para Cpk.
.6,1 e 100 == SX