Gráficos CUSUM e Média Móvel Exponencial

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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 8 
(montgomery)
Gráfico CUSUM e da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Introdução
– Cartas de Controle Shewhart
� Usa apenas a informação contida no último ponto plotado
� Ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de 
pontos
� Tais características tornam esse tipo de gráfico insensível a 
pequenas mudanças no processo (menores que 1,5σ)
� O uso de testes para sequência ou limites de alerta servem como 
paliativo, mas não resolvem o problema. Na verdade, tais regras 
reduzem sua simplicidade e facilidade de interpretação.
– Duas alternativas eficazes aos gráficos Shewhart para 
detectar pequenas mudanças no processo são:
� Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM)
� Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente 
Ponderada
Gráfico de Controle da Soma 
Acumulada (CUSUM)
� Motivação
– No gráfico de controle abaixo as 20 primeiras observações 
foram extraídas de uma distribuição normal com média µ = 10 
e σ = 1. 
– As 10 últimas de uma N(11;1) (processo fora de controle)
Observation
I
n
d
i
v
i
d
u
a
l
 
V
a
l
u
e
30272421181512963
13
12
11
10
9
8
7
_
X=10
UCL=13
LCL=7
I Chart
O gráfico falhou em 
detectar a mudança
Motivo: magnitude 
relativamente 
pequena da mudança
Gráfico de Controle da Soma 
Acumulada (CUSUM)
� Motivação
– O gráfico CUSUM foi proposto primeiramente por Page(1954). 
– O gráfico CUSUM incorpora toda a informação da sequência 
de valores, plotando as somas acumuladas dos desvios dos 
valores da amostra em relação a um valor-alvo (µ0).
– O gráfico CUSUM são particularmente eficazes com amostras 
de tamanho n=1.
10
1
0 )()( −
=
+−=−=∑ ii
i
j
ji CxxC µµ
10
1
0 )()( −
=
+−=−=∑ ii
i
j
ji CxxC µµ
Gráfico de Controle da Soma 
Acumulada (CUSUM)
� Motivação
– Note que se o processo permanece sob controle, Ci será um passeio 
aleatório com média zero. Se a média se desloca para um valor 
µ1>µ0, Ci deverá apresentar uma tendência positiva. Caso contrário, 
uma tendência para baixo se desenvolverá em Ci.
Gráfico da Soma Acumulativa
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Amostra
C
i
Gráfico de Controle da Soma 
Acumulada (CUSUM)
� Motivação
– Iremos nos concentrar no gráfico CUSUM para média do 
processo. No entanto, é possível planejar procedimentos de 
somas acumuladas para
� Variabilidade do processo (Montgomery, 1981)
� Variáveis Poisson e Binomial
� Gráficos de controle de somas acumuladas tem sido estudados 
por: Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), 
Hawkins (1981), entre outros.
Gráfico CUSUM Tabular
– O CUSUM Tabular pode ser construído para monitorar a 
média do processo. 
– Será tratado, primeiramente, o caso onde n=1.
– Seja xi a i-ésima observação do processo distribuída 
normalmente com média µ0 (valor-alvo) e desvio padrão σ
quando o processo está sob controle.
– O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvios de µ0 que 
estão acima do alvo em uma estatística C+, e acumulando os 
desvios de µ0 que estão abaixo do alvo em outra estatística 
C-.
– As estatísticas C+ e C- são chamadas cusums unilaterais 
superior e inferior, sendo definidas por:
Gráfico CUSUM Tabular
O Cusum Tabular
onde os valores iniciais são
� K é chamado de valor de referência (ou valor de tolerância). 
Normalmente representa o ponto médio entre o valor alvo (µ0) e 
o valor da média fora de controle (µ1) que estamos interessados 
em detectar rapidamente. 
[ ]
[ ]−
−
−
+
−
+
+−−=
++−=
10
10
)(,0max
)(,0max
iii
iii
CxKC
CKxC
µ
µ
000 ==
−+ CC
Gráfico CUSUM Tabular
� Se a mudança K que queremos detectar é expressa em 
unidades de desvio-padrão por
µµµµ1 = µµµµ0 + δσδσδσδσ ou δδδδ =| µµµµ1 - µµµµ0 |/σσσσ
� Então a magnitude da mudança (K) pode ser expressa por 
� Se tanto excederem o intervalo de decisão H
(limites de tolerância), o processo será considerado fora de 
controle.
– A escolha de H será discutida posteriormente. Normalmente, usa-
se H = 5σ
22
01 µµσδ −==K
−+
00 ou CC
Gráfico CUSUM 
Tabular
� Exemplo
– Valor alvo (µ0) = 10
– n = 1
– σ = 1
– Magnitude da mudança 1σ, 
logo K = ½
– H = 5σ = 5
Amostra Xi
1 9,45
2 7,99
3 9,29
4 11,66
5 12,16
6 10,18
7 8,04
8 11,46
9 9,20
10 10,34
11 9,03
12 11,47
13 10,51
14 9,40
15 10,08
16 9,37
17 10,62
18 10,31
19 8,52
20 10,84
21 10,90
22 9,33
23 12,29
24 11,50
25 10,60
26 11,08
27 10,38
28 11,62
29 11,31
30 10,52
Gráfico CUSUM Tabular
� Exemplo
– Os valores de C+ e C- para amostra 1 são:
– Os valores de C+ e C- para amostra 2 são:
– A seguir, apresentamos os cálculos restantes. As 
quantidades N+ e N- indicam os períodos consecutivos em 
que C+ e C- foram não-nulos.
[ ]
[ ] 05,045,9)5,010(;0max
00,0)5,010(45,9;0max
01
01
=+−−=
=++−=
−−
++
CC
CC
[ ]
[ ] 56,105,099,7)5,010(;0max
00,00)5,010(99,7;0max
2
2
=+−−=
=++−=
−
+
C
C
Amostra Xi Xi - (mi + K) C+ N+ (mi - K) - Xi C- N-
1 9,45 -1,05 0 0 0,05 0,05 1
2 7,99 -2,51 0 0 1,51 1,56 2
3 9,29 -1,21 0 0 0,21 1,77 3
4 11,66 1,16 1,16 1 -2,16 0 0
5 12,16 1,66 2,82 2 -2,66 0 0
6 10,18 -0,32 2,50 3 -0,68 0 0
7 8,04 -2,46 0,04 4 1,46 1,46 1
8 11,46 0,96 1,00 5 -1,96 0,00 0
9 9,20 -1,30 0 0 0,30 0 1
10 10,34 -0,16 0 0 -0,84 0 0
11 9,03 -1,47 0 0 0,47 0 1
12 11,47 0,97 0,97 1 -1,97 0 0
13 10,51 0,01 0,98 2 -1,01 0 0
14 9,40 -1,10 0 0 0,10 0,10 1
15 10,08 -0,42 0 0 -0,58 0 0
16 9,37 -1,13 0 0 0,13 0,13 1
17 10,62 0,12 0,12 1 -1,12 0 0
18 10,31 -0,19 0 0 -0,81 0 0
19 8,52 -1,98 0 0 0,98 0,98 1
20 10,84 0,34 0,34 1 -1,34 0 0
21 10,90 0,40 0,74 2 -1,40 0 0
22 9,33 -1,17 0 0 0,17 0,17 1
23 12,29 1,79 1,79 1 -2,79 0 0
24 11,50 1,00 2,79 2 -2,00 0 0
25 10,60 0,10 2,89 3 -1,10 0 0
26 11,08 0,58 3,47 4 -1,58 0 0
27 10,38 -0,12 3,35 5 -0,88 0 0
28 11,62 1,12 4,47 6 -2,12 0 0
29 11,31 0,81 5,28 7 -1,81 0 0
30 10,52 0,02 5,30 8 -1,02 0 0
C+ > H
Processo 
fora de 
controle
Exemplo: Gráfico de status do 
CUSUM – Minitab
Sample
C
u
m
u
l
a
t
i
v
e
 
S
u
m
30272421181512963
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
0
UCL=5
LCL=-5
CUSUM Chart
Recomendações para o 
Planejamento do CUSUM
– O CUSUM Tabular é planejado através da escolha 
do valor de referência (K = kσσσσ) e do intervalo de 
decisão (H = hσσσσ). 
– Recomenda-se que tais parâmetros sejam 
selecionados de modo a fornecer um bom CMS
(comprimento médio da sequência), por exemplo 
CMS0 próximo a 370 (processo sob controle).
– Na prática, tem-se observado bons resultados com 
h=4 ou h=5 e k = ½. 
– A seguir apresentamos um comparativo do CMS 
para o Gráfico CUSUM vs Gráfico de Shewhart 
para média.
Recomendações para o 
Planejamento do CUSUM
– Hawkins (1993) fornece uma tabela com valores de k e h, no 
qual CMS0 será igual a 370:
– Siegmund (1985) apresenta uma aproximação do cálculo do 
CMS para um cusum unilateral (C+ ou C-):
– onde ∆ = δ* - k para C+, ∆ = -δ* - k para C- e b = h + 1,166.
– Se ∆ = 0, pode-se usar CMS = b2
– Lembre-se que δ* é a mudança na média, em unidades de σ, 
para qual deve ser calculado o CMS.
k 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5
h 8,01 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61
22
12)2exp(
∆
−∆+∆−
=
bbCMS
Recomendações para o 
Planejamento do CUSUM
– O CMS para um cusum bilateral é obtido a partir das 
estatísticas unilaterais — digamos CMS+ e CMS-:
– Exemplo: Considere k = ½, h = 5 e δ* = 0 (sob controle)
Logo ∆ = -½ e b = 6,166. Assim, 
– Como δ* = 0 temos, excepcionalmente, CMS+ = CMS-.Logo, o 
CMS bilateral é dado por
−+
+=
CMSCMSCMS
111
2,938)2/1(2
1)166,6)(2/1(2))166,6)(2/1(2exp(
20 =
−
−−+−−
=
+CMS
1,469
2,938
1
2,938
11
0
0
=⇒+= CMS
CMS
Recomendações para o 
Planejamento do CUSUM
� Considerações 
– Note que a aproximação 
de Siegmund está 
próxima do verdadeiro 
valor de CMS0
– Para σσσσ=1, por exemplo, 
o gráfico Cusum 
detectaria uma 
mudança mais rápido do 
que o gráfico de 
Shewhart.
– CMS entre os gráficos 
Cusum e Shewhart 
convergem a medida 
que σ (tamanho da 
mudança) aumenta.
h=4 h=5
0,00 168,0 465,0 370,4
0,25 74,2 139,0 281,1
0,50 26,6 38,0 155,2
0,75 13,3 17,0 81,2
1,00 8,38 10,4 43,9
1,50 4,75 5,8 15,0
2,00 3,34 4,0 6,3
2,50 2,62 3,1 3,2
3,00 2,19 2,6 2,0
4,00 1,71 2,0 1,2
Valores Exatos para o
Comprimento Médio da Sequencia (CMS)
k = 1/2Multiplo de sigma Shewhart
CUSUM Padronizado
– Principal vantagem: possibilita termos os mesmos 
valores de k e h para diversos gráficos CUSUM, visto que 
as escolhas desses parâmetros não iriam mais depender
da escala das variáveis.
– Seja
– Os CUSUM padronizados são definidos por
σ
µ0−
=
i
i
xy
[ ]
[ ]−
−
−
+
−
+
+−−=
+−=
1
1
;0max
;0max
iii
iii
CykC
CkyC
Subgrupos Racionais
– O desenvolvimento do CUSUM tabular se estende
facilmente ao caso de média de subgrupos racionais 
(n>1).
– Basta substituir por (a média amostral ou do 
subgrupo) nas fórmulas anteriores e substituir σ por
– No entanto, Montgomery discute que o uso das médias 
dos subgrupos (ou seja n>1) NÃO melhora o 
desempenho do Gráfico Cusum, ao contrário dos 
gráficos de Shewhart.
ix ix
nx /σσ =
Subgrupos Racionais
– Por exemplo, se pudermos escolher entre a retirada de 
uma amostra de tamanho n=1 a cada 30min ou um 
subgrupo de tamanho n=5 a cada 2,5horas, o CUSUM 
funcionará melhor, em geral, com a escolha de n=1.
– Segundo Montgomery, apenas se houver uma economia 
de escala significativa ou alguma outra razão válida para 
se tomar amostras de tamanho maior é que os subgrupos 
devem ser usados.
Melhorando o CUSUM para 
Grandes Mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico 
em detectar grandes mudanças é o procedimento 
combinado cusum-Shewhart (Lucas, 1982)
� Construir um gráfico Shewhart para C+ e C-
� Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 
3,5σ.
� O aumento de 0,5σ nos limites de controle no gráfico de 
Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados 
em detectar grandes mudanças
� O gráfico CUSUM ficaria “responsável” por pequenas 
alterações na média ou no valor-alvo, enquanto que o 
gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes
alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os 
gráficos constitui num sinal de ação
Resposta Inicial Rápida (RIR) ou 
Headstart
– Procedimento elaborado por Lucas e Crosier (1982) para 
melhorar a sensitividade do CUSUM no início do 
processo.
– A resposta inicial rápida (RIR), ou headstart, coloca os 
valores iniciais de iguais a um valor não-nulo, 
normalmente igual a H/2. Isso é chamado de headstart de 
50%. 
– Benefícios do headstart
� Se o processo começa sob controle (no valor-alvo), o 
CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart terá 
pouco efeito;
� No entanto, caso o processo comece em algum nível 
diferente do valor alvo, o headstart permitirá ao CUSUM 
detectar isso rapidamente.
−+
00 e CC
Considerações Finais em relação 
ao CUSUM Tabular
� Cusum Unilateral
– Note que o gráfico CUSUM é construído a partir de dois 
procedimento unilaterais (C+ e C-)
– Há situações onde apenas um procedimento é util. Por 
exemplo:
� Em um processo químico a característica de interesse é a 
viscosidade de um produto.
� Considere que se a viscosidade ficar abaixo do valor-alvo 
não há problema. No entanto, qualquer aumento na 
viscosidade deve ser detectado rapidamente.
– O CMS poderia ser calculado facilmente a partir da 
aproximação de Siegmund.
Considerações Finais em relação 
ao CUSUM Tabular
� Cusum com Sensitividades Diferentes
– É também possível planejar CUSUMs com sensitividades 
diferentes nos lados superior e inferior
– Isso seria útil em situações onde, por exemplo, uma 
mudança acima do alvo é mais crítica do que mudanças 
abaixo do alvo.
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Introdução
– É também uma boa alternativa aos gráficos de Shewhart 
quando estamos interessados em detectar pequenas 
mudanças.
– Tem desempenho equivalente ao gráficos de controle 
CUSUM tabular.
– É, de certa forma, mais fácil de estabelecer e operar.
– É tipicamente usado para observações individuais (n=1). 
No entanto, também veremos o caso de subgrupos 
racionais de tamanho n>1.
– Foi introduzido por Roberts em 1959
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– O gráfico da Média Móvel Exponencialmente 
Ponderada (MMEP) é definido como
– onde 0 < λ ≤ 1é uma constante, e o valor inicial exigido 
para i=1 é o alvo do processo, ou seja
– Quando o valor alvo não é conhecido, a média aritmética 
dos dados pode ser usado
1)1( −−+= iii zxz λλ
00 µ=z
xz =0
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– Note que zi é uma média ponderada de todas as 
observações anteriores:
– Continuando a substituir recursivamente zi-j, j=2, 3, ..., t, 
obtemos
=−+=
−1)1( iii zxz λλ
[ ]
2
2
1
21
)1()1(
)1()1(
−−
−−
−+−+=
=−+−+=
iiii
iiii
zxxz
zxxz
λλλλ
λλλλ
0
1
0
)1()1( zxz i
i
j
ji
j
i λλλ −+−= ∑
−
=
−
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– Os pesos λ(1-λ)j decrescem geometricamente com a 
idade da média amostral.
– Como a MMEP pode ser considerada uma média de 
todas as observações passadas e corrente, o gráfico da 
MMEP é insensível a hipótese de normalidade.
– Assim, tal gráfico é ideal para ser usado com 
observações individuais.
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– Se as observações xi são variáveis aleatórias 
independentes com variância σ2, então a variância de zi é 
dada por:
[ ]izi
i
j
j
i
i
i
j
ji
j
i
i
i
j
ji
j
i
i
zVar
zVar
zVarxVarzVar
zxVarzVar
222
1
0
222
0
2
1
0
22
0
1
0
)1(1
2
)(
)1()(
)()1()()1()(
)1()1()(
λλ
λ
σσ
σλλ
λλλ
λλλ
−−





−
=⇒
−=
=−+−=
=







−+−=
∑
∑
∑
−
=
−
=
−
−
=
−
Progressão Geométrica
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– O gráfico de controle MMEP pode ser construído através 
da plotagem de zi versus o número da amostra i. A linha 
central e os limites de controle são:
– Em breve discutiremos sobre a escolha de L e λ.
[ ]
[ ]i
i
LLIC
LM
LLSC
2
0
0
2
0
)1(1
2
)1(1
2
λλ
λ
σµ
µ
λλ
λ
σµ
−−





−
−=
=
−−





−
+=
Gráfico de Controle da Média Móvel 
Exponencialmente Ponderada
� Definições
– Note que [1-(1- λ)2i] se aproxima de 1 quando i se torna 
grande. Logo, após alguns períodos de tempo, os limites 
de controle se aproximarão dos valores de estado 
estacionário, dados por:
– No entanto, recomenda-se enfaticamente na prática o 
uso dos limites exatos.






−
−=






−
+=
λ
λ
σµ
λ
λ
σµ
2
2
0
0
LLIC
LLSC
Gráfico MMEP
� Exemplo
– Valor alvo (µ0) = 10
– σ = 1– n = 1
– λ = 0,1
– L = 2,7
Amostra Xi
1 9,45
2 7,99
3 9,29
4 11,66
5 12,16
6 10,18
7 8,04
8 11,46
9 9,20
10 10,34
11 9,03
12 11,47
13 10,51
14 9,40
15 10,08
16 9,37
17 10,62
18 10,31
19 8,52
20 10,84
21 10,90
22 9,33
23 12,29
24 11,50
25 10,60
26 11,08
27 10,38
28 11,62
29 11,31
30 10,52
Gráfico MMEP
� Exemplo
– Os valores para a amostra 1 são:
[ ]
[ ] 73,9)1,01(1
1,02
1,0)1(7,210
27,10)1,01(1
1,02
1,0)1(7,210
)1.(2
)1.(2
=−−





−
−=
=−−





−
+=
LIC
LSC
945,910).1,01()45,9.(1,01 =−+=z
Gráfico MMEP
� Exemplo
– Os valores para a amostra 2 são:
[ ]
[ ] 64,9)1,01(1
1,02
1,0)1(7,210
36,10)1,01(1
1,02
1,0)1(7,210
)2.(2
)2.(2
=−−





−
−=
=−−





−
+=
LIC
LSC
7495,9945,9).1,01()99,7.(1,02 =−+=z
Valores 
além dos 
limites
Amostra Xi Zi
1 9,45 9,9450
2 7,99 9,7495
3 9,29 9,7036
4 11,66 9,8992
5 12,16 10,1253
6 10,18 10,1307
7 8,04 9,9217
8 11,46 10,0755
9 9,20 9,9880
10 10,34 10,0232
11 9,03 9,9238
12 11,47 10,0785
13 10,51 10,1216
14 9,40 10,0495
15 10,08 10,0525
16 9,37 9,9843
17 10,62 10,0478
18 10,31 10,0740
19 8,52 9,9186
20 10,84 10,0108
21 10,90 10,0997
22 9,33 10,0227
23 12,29 10,2495
24 11,50 10,3745
25 10,60 10,3971
26 11,08 10,4654
27 10,38 10,4568
28 11,62 10,5731
29 11,31 10,6468
30 10,52 10,6341
Gráfico MMEP — Minitab
Sample
E
W
M
A
30272421181512963
10,75
10,50
10,25
10,00
9,75
9,50
__
X=10
+2,7SL=10,619
-2,7SL=9,381
EWMA Chart
Planejamento de um Gráfico de 
Controle MMEP
– O gráfico MMEP é muito eficaz contra pequenas 
mudanças no processo.
– Os parâmetros do planejamento do gráfico MMEP são L
e λ. 
– É possível escolher esses parâmetros de modo a 
obtermos um bom desempenho do CMS, próximo ao 
observado no gráfico CUSUM.
– Lucas e Saccucci (1990) apresentam um estudo com o 
CMS para alguns valores de (L, λ).
Planejamento de um Gráfico de 
Controle MMEP
L = 3,054 L=2,998 L=2,962 L=2,812 L=2,615
lamb.=0,4 lamb.=0,25 lamb.=0,2 lamb.=0,1 lamb.=0,05
0,00 500,0 500,0 500,0 500,0 500,0 370,4
0,25 224,0 170,0 150,0 106,0 84,1 281,1
0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2
0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 81,2
1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 43,9
1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15,0
2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3
2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2
3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 2,0
4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2
CMS para vários Esquemas de Controle MMEP
(adaptado de Lucas e Saccucci (1990))
Multiplo de sigma Shewhart
Planejamento de um Gráfico de 
Controle MMEP
� Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucci(1990)
– Valores de 0,05 ≤ λ ≤ 0,25 funcionam bem na prática
� λ = 0,05, λ = 0,1 e λ = 0,2 são escolhas populares.
– Utilizar valores menores de λ para detectar pequenas 
mudanças.
– L = 3 funciona razoavelmente bem com valores maiores 
de λ (λ > 0,25)
– Quando λ ≤ 0,10, deve-se trabalhar com 2,6 ≤ L ≤ 2,7.
Planejamento de um Gráfico de 
Controle MMEP
– O gráfico MMEP não funciona bem para grandes mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar 
grandes mudanças é o procedimento combinado MMEP-Shewhart
(Lucas, 1982)
� Construir um gráfico Shewhart para zi
� Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 3,25σ
ou 3,5σ.
� O aumento de 0,25σ ou 0,5σ nos limites de controle no gráfico de 
Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em 
detectar grandes mudanças
� O gráfico MMEP ficaria “responsável” por pequenas alterações
na média, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria 
em detectar grandes alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos 
constitui num sinal de ação
Subgrupos Racionais
– O gráfico MMEP se estende facilmente ao caso 
de média de subgrupos racionais (n>1).
– Basta substituir por (a média amostral ou 
do subgrupo) nas fórmulas anteriores e 
substituir σ por
ix ix
nx /σσ =
Robustez do MMEP à Não-
Normalidade
– Lembre-se que o gráfico de Shewhart para observações 
individuais era muito sensível a não-normalidade, 
acarretando em um número excessivo de alarmes falsos.
– Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o 
desempenho do CMS0 (sob controle) do gráfico de 
Shewhart e do gráfico MMEP para observações 
individuais. No estudo foram utilizadas:
� A distribuição Gama para representar o caso de 
distribuições assimétricas;
� A distribuição t-Student para representar distribuições 
simétricas com caudas mais pesadas que a Normal.
– Os resultados são apresentados a seguir:
Robustez do MMEP à Não-
Normalidade
Shewhart
Lambda 0,05 0,1 0,2 1
L 2,492 2,703 2,86 3
Normal 370 371 371 370
Gama(4,1) 372 341 259 97
Gama(3,1) 372 332 238 85
Gama(2,1) 372 315 208 71
Gama(1,1) 369 274 163 55
Gama(0.5,1) 357 229 131 45
Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo)
Distribuições Assimétricas
Robustez do MMEP à Não-
Normalidade
Shewhart
Lambda 0,05 0,1 0,2 1
L 2,492 2,703 2,86 3
Normal 370 371 371 370
t(50) 369 365 353 283
t(40) 369 363 348 266
t(30) 368 361 341 242
t(20) 367 355 325 204
t(15) 365 349 310 176
t(10) 361 335 280 137
t(8) 358 324 259 117
t(6) 351 305 229 96
t(4) 343 274 188 76
Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo)
Distribuições Simétricas
Robustez do MMEP à Não-
Normalidade
� Conclusões Importantes do Estudo
– Distribuições Não-Normais tem o efeito de reduzir
sensivelmente o CMS sob controle do gráfico de 
Shewhart para observações individuais.
� Isso aumentará drasticamente o número de alarmes falsos.
– Um MMEP escolhido adequadamente terá um 
desempenho muito bom em relação a distribuições tanto 
Normais quanto Não-Normais
� Logo, é extremamente recomendado o uso de um gráfico
MMEP bem planejado como gráfico de controle para 
medidas individuais.
Exemplo 1
Uma máquina é usada para encher latas com óleo aditivo
de motor. Uma única lata é amostrada a cada hora e o seu
peso, medido. Como o processo de enchimento é
automático, ele tem uma variabilidade muito estável, e uma
experiência longa indica que σ=0,05 oz. As observações
individuais para 24 horas de operação são mostradas a
seguir.
a) Suponha que o alvo do processo seja 8,02 oz, estabeleça
um cusum tabular para esse processo. Planeje o cusum
usando os valores h=4,77 e k=0,5.
b) Suponha que os dados representem observações
tomadas imediatamente após um ajuste que pretendia
levar o processo de volta ao alvo de µ=8,0. Estabeleça e
aplique um cusum RIR (headstart de 50%) para monitorar
esse processo.
c) Estabeleça um gráfico de controle MMEP com λ=0,2 e
L=3 para esse processo. Interprete os resultados.
Exemplo 2
Gere 20 valores de X, X~N(10,1), e outros 20 para
X~N(9,1). Cria um vetor com os 40 valores gerados (na
mesma sequência). Descubra qual dos dois dispositivos,
algoritmo CUSUM (k=4,774 e k=0,5) ou o gráfico MMEP
(L=2,859 e λ=0,20), sinaliza com mais rapidez o
deslocamento na média do processo (de 10 para 9).