Relatório Experimento 3

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Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica
BOBINAS DE HELMHOLTZ E RELAÇÃO CARGA/MASSA DO ELÉTRON
Alunos: 
Bruno Martins Silva 073857
Flávio de Castro Alves 071769
Disciplina: Laboratório de Física Moderna 
Professor: Dr. Ricardo Costa de Santana
Goiânia, maio de 2009.
INTRODUÇÃO
	O campo magnético, assim como o campo elétrico, só exerce força sobre uma carga quando ela está em movimento. O módulo do campo magnético é proporcional a |q|, a 1/r2, a e ao seno do ângulo θ entre e , mas a direção de é perpendicular à reta que une a carga com o ponto do campo. Assim, o módulo do campo magnético criado por uma única carga em um ponto é dado por:
Da mesma forma, usando o princípio de superposição dos campos magnéticos, podemos calcular o campo magnético produzido por uma corrente que flui em um condutor ou uma combinação de condutores – um fio, dois fios paralelos, um solenóide, uma bobina, etc. Neste experimento usaremos duas bobinas circulares e paralelas. Nosso objetivo será mapear o campo magnético produzido por elas e medir a razão carga-massa do elétron.
	O campo magnético produzido por uma espira circular percorrida por uma corrente I pode ser calculado a partir da Lei de Biot-Savart:
onde μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo, é o vetor a partir de elemento condutor dl ao ponto de medida do campo, e é perpendicular a ambos os vetores. Na direção axial (z) o campo pode ser calculado pela soma das componentes, uma vez que possuem o mesmo sentido. Já na direção radial, usando simetria, percebemos que as componentes se anulam aos pares pois possuem sentidos contrários.
Desenho esquemático de uma espira circular, percorrida por uma corrente I, para ajudar no cálculo da intensidade do campo na direção do eixo axial da espira.
 O campo ao longo da direção z é dado por:
Como usaremos duas bobinas de N espiras, a equação para calcularmos o campo a uma distância a do centro das bobinas será:
Onde e 
Se a distância a entre as bobinas for igual ao raio R, o campo no ponto médio entre as bobinas será:
Bobinas separadas por distância igual aos seus raios.
	O arranjo de duas bobinas circulares paralelas com corrente fluindo no mesmo sentido em ambas foi idealizado por Helmholtz. Com isso foi possível produzir campos magnéticos uniformes de baixa intensidade sobre um volume relativamente grande, e possui inúmeras aplicações, entre elas, determinar as componentes vertical e horizontal do campo magnético terrestre. A bobina de Helmholtz é composta de duas bobinas coaxiais com número de espiras, N, idêntico; e separados por uma distância igual aos seus raios.
Esse arranjo foi utilizado pelo físico inglês Joseph John Thomson para medir a razão entre a carga e a massa do elétron, idéia essa que possui uma teoria extremamente simples: um elétron de massa m0 acelerado por uma diferença de potencial U terá uma energia cinética dada por:
v a velocidade do elétron que, por sua vez, se adentrar uma região de campo magnético , a força do campo sobre o elétron é dada por:
 
que é conhecida como Força de Lorentz. Se o campo for uniforme, o elétron fará uma trajetória espiralada ao longo das linhas de força, e no caso particular quando v for paralelo a , a trajetória descrita pelo elétron será circular. Se a Força de Lorentz for igual à força centrífuga, a velocidade do elétron será:
sendo r o raio da trajetória, e a carga elementar do elétron e B a intensidade do campo magnético. Substituindo v na equação da energia cinética, teremos:
Linhas de campo produzidas por uma Bobina de Helmholtz.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
	A tabela 1.1 apresenta os valores obtidos em laboratório para o campo magnético ao longo da direção axial.
	
	a = 2R = 40 cm
	a = R = 20 cm
	a = R/2 = 10 cm
	
	i = 2,53 A
	i = 2,52 A
	i = 2,52 A
	Z (cm)
	B (mT)
	B (mT)
	B (mT)
	-18
	1,3
	-
	-
	-17
	1,3
	-
	-
	-16
	1,3
	-
	-
	-15
	1,3
	-
	-
	-14
	1,2
	-
	-
	-13
	1,2
	-
	-
	-12
	1,2
	-
	-
	-11
	1,1
	-
	-
	-10
	1,1
	-
	-
	-9
	1,1
	-
	-
	-8
	1,0
	1,7
	-
	-7
	1,0
	1,7
	-
	-6
	1,0
	1,7
	-
	-5
	1,0
	1,7
	-
	-4
	0,9
	1,7
	-
	-3
	0,9
	1,7
	2,2
	-2
	0,9
	1,7
	2,2
	-1
	0,9
	1,7
	2,2
	0
	0,9
	1,7
	2,2
	1
	0,9
	1,7
	2,2
	2
	0,9
	1,7
	2,2
	3
	0,9
	1,7
	2,2
	4
	0,9
	1,7
	-
	5
	1,0
	1,7
	-
	6
	1,0
	1,7
	-
	7
	1,0
	1,7
	-
	8
	1,0
	1,7
	-
	9
	1,1
	-
	-
	10
	1,1
	-
	-
	11
	1,1
	-
	-
	12
	1,2
	-
	-
	13
	1,2
	-
	-
	14
	1,2
	-
	-
	15
	1,3
	-
	-
	16
	1,3
	-
	-
	17
	1,3
	-
	-
	18
	1,3
	-
	-
Tabela 1.1: Campo Magnético na Direção Axial.
	As medições foram feitas para as situações onde a distância entre as bobinas era: 2R, R e R/2, onde R é o raio da bobina. Para análise da variação do campo ao longo da direção axial são apresentados a seguir os gráficos 1.1.1, 1.1.2 e 1.1.3.
	Observando as características do gráfico 1.1.1, onde a distância entre as bobinas é igual ao dobro do raio da bobina, é importante destacar que o campo varia pouco entre as posições -2.5 e 2.5 cm. Vale destacar também que a intensidade do campo aumenta à medida que se aproxima da bobina.
Gráfico 1.1.1: Campo Magnético ao longo da direção axial - distância entre as bobinas: 2R.
	O arranjo onde as bobinas apresentam N espiras, a corrente elétrica flui no mesmo sentido e a distância entre as bobinas é igual ao raio da bobina, foi idealizado por Helmholtz. Nesta situação é possível produzir campos magnéticos uniformes de baixa intensidade sobre um volume relativamente grande, o que possui inúmeras aplicações. É possível observar tal uniformidade no gráfico 1.1.2. 
	O campo médio para essa configuração é dado por:
Gráfico 1.1.2: Campo Magnético ao longo da direção axial - distância entre as bobinas: R.
	No gráfico 1.1.3 onde a distância entre as bobinas é igual à metade do raio da bobina, temos como característica principal a uniformidade do campo.
Gráfico 1.1.3: Campo Magnético ao longo da direção axial - distância entre as bobinas: R/2.
	A tabela 1.2 apresenta o valor do campo magnético ao longo da direção radial.
	
	a = 2R = 40 cm
	a = R = 20 cm
	a = R/2 = 10 cm
	
	i = 2,52 A
	i = 2,52 A
	i = 2,52 A
	Radial
	B (mT)
	B (mT)
	B (mT)
	-19
	0,5
	1,0
	1,9
	-18
	0,6
	1,2
	2,3
	-17
	0,6
	1,3
	2,5
	-16
	0,7
	1,4
	2,6
	-15
	0,7
	1,5
	2,7
	-14
	0,7
	1,6
	2,6
	-13
	0,7
	1,6
	2,6
	-12
	0,8
	1,7
	2,6
	-11
	0,8
	1,7
	2,5
	-10
	0,8
	1,7
	2,5
	-9
	0,9
	1,8
	2,4
	-8
	0,9
	1,8
	2,4
	-7
	0,9
	1,8
	2,3
	-6
	0,9
	1,8
	2,3
	-5
	0,9
	1,8
	2,3
	-4
	0,9
	1,8
	2,3
	-3
	0,9
	1,8
	2,2
	-2
	0,9
	1,8
	2,2
	-1
	0,9
	1,8
	2,2
	0
	0,9
	1,8
	2,2
	1
	0,9
	1,8
	2,2
	2
	0,9
	1,8
	2,2
	3
	0,9
	1,8
	2,2
	4
	0,9
	1,8
	2,3
	5
	0,9
	1,8
	2,3
	6
	0,9
	1,8
	2,3
	7
	0,9
	1,8
	2,3
	8
	0,9
	1,8
	2,4
	9
	0,9
	1,8
	2,4
	10
	0,8
	1,7
	2,5
	11
	0,8
	1,7
	2,5
	12
	0,8
	1,7
	2,6
	13
	0,7
	1,6
	2,6
	14
	0,7
	1,6
	2,6
	15
	0,7
	1,5
	2,7
	16
	0,7
	1,4
	2,6
	17
	0,6
	1,3
	2,5
	18
	0,6
	1,2
	2,3
	19
	0,5
	1,0
	1,9
Tabela 1.2: Campo Magnético na Direção Radial.
Assim como na situação onde obtivemos os valores do campo magnético ao longo da direção axial, agora para o campo magnético ao longo da direção radial vamos analisar as situações onde a distância entre as bobinas é: 2R, R e R/2, onde R novamente é o raio da bobina. Tais situações estão apresentadas nos gráficos 1.2.1, 1.2.2 e 1.2.3. 
No gráfico 1.2.1, onde a distância entre asbobinas é igual ao dobro do raio da bobina, observamos que o campo magnético se apresenta mais uniforme entre as posições -10 e 10. Observa-se também que a intensidade do campo magnético é maior na região de uniformidade. 
 
Gráfico 1.2.1: Campo Magnético ao longo da direção radial - distância entre as bobinas: 2R.
	No gráfico 1.2.2, onde a distância entre as bobinas é igual ao raio da bobina, observa-se que o campo magnético tende a se tornar uniforme rapidamente. 
	Já entre as posições -15 e 15 o campo varia bem pouco, entre -10 e 10 a linha que representa o campo se torna praticamente uma reta, reforçando então as características do campo magnético desta configuração.
“Juntando as informações apresentadas nos gráficos 1.1.2 e 1.2.2, é possível observar uma região no formato de um cone de raio igual à metade do raio da bobina e comprimento igual ao raio da bobina, onde o campo magnético é praticamente constante, ou seja, o campo apresenta uniformidade ao longo deste volume.” 
Gráfico 1.2.2: Campo Magnético ao longo da direção radial - distância entre as bobinas: R.
	No gráfico, 1.2.3, onde a distância entre as bobinas é igual à metade do raio da bobina, temos uma situação semelhante ao gráfico 1.2.1. 
Gráfico 1.2.3: Campo Magnético ao longo da direção radial - distância entre as bobinas: R/2.
Assim os volumes onde o campo magnético é constante são:
Para distância entre as bobinas igual ao dobro do raio da bobina: 
Volume Constante: 9.𝜋.(9)²= 729.𝜋 cm³
Volume Total: 40.𝜋.(20)²= 16000.𝜋 cm³
Volume Constante = 4,54 % do Volume Total.
Para distância entre as bobinas igual ao raio da bobina: 
Volume Constante: 17.𝜋.(9)²= 1377.𝜋 cm³
Volume Total: 20.𝜋.(20)²= 8000.𝜋 cm³
Volume Constante = 17,21 % do Volume Total.
Para distância entre as bobinas igual à metade do raio da bobina: 
Volume Constante: 7.𝜋.(3)²= 63.𝜋 cm³
Volume Total: 10.𝜋.(20)²= 4000.𝜋 cm³
Volume Constante = 1,58 % do Volume Total.
A configuração onde a distância entre as bobinas é igual ao raio apresenta maior proporção do volume onde o campo magnético é constante.
Agora aproveitando as conclusões a cerca do campo magnético obtidas anteriormente, ou seja, um volume onde o campo magnético é constante, vamos utilizar este volume para obter informações sobre a relação carga/massa do elétron. 
A tabela 2.1 apresenta o valor do campo magnético em função da corrente, para cada potencial.
O campo magnético foi obtido através da equação seguinte:
μ0 = 4𝜋.10-7 ; N = 154 espiras; R = 20 cm = 0,2 m.
	
	R = 2 cm
	R = 3 cm
	R = 4 cm
	R = 5 cm
	U (V)
	I (A)
	B (T)
	I (A)
	B (T)
	I (A)
	B (T)
	I (A)
	B (T)
	100
	2,520
	0,00174
	1,54
	0,00107
	1,07
	0,00074
	0,86
	0,0006
	125
	-
	-
	1,81
	0,00125
	1,26
	0,00087
	1,03
	0,0007
	150
	-
	-
	1,96
	0,00136
	1,43
	0,00099
	1,13
	0,0008
	175
	-
	-
	2,17
	0,00150
	1,56
	0,00108
	1,24
	0,0009
	200
	-
	-
	2,32
	0,00161
	1,69
	0,00117
	1,34
	0,0009
	225
	-
	-
	2,47
	0,00171
	1,81
	0,00125
	1,43
	0,0010
	250
	-
	-
	-
	-
	1,91
	0,00132
	1,52
	0,0011
	275
	-
	-
	-
	-
	2,01
	0,00139
	1,60
	0,0011
	300
	-
	-
	-
	-
	2,10
	0,00145
	1,68
	0,0012
Tabela 2.1: Campo Magnético em Função da Corrente.
Agora tendo em mãos os valores dos campos magnéticos para cada situação, vale lembrar que nesse volume o campo magnético é constante, é possível obter a relação carga/massa para o elétron (e/m0), através da seguinte equação: 
Onde: U = diferença de potencial; R = 0,2 m; B = campo magnético, presente na tabela 2.1; 
	A tabela 2.2 traz os resultados para a relação carga/massa, para cada potencial.
	
	R = 2 cm
	R = 3 cm
	R = 4 cm
	R = 5 cm
	U (V)
	I (A)
	e/m (As/Kg)
	I (A)
	e/m (As/Kg)
	I (A)
	e/m (As/Kg)
	I (A)
	e/m (As/Kg)
	100
	2,52
	1,642E+11
	1,54
	1,955E+11
	1,07
	2,278E+11
	0,86
	2,256E+11
	125
	-
	-
	1,81
	1,769E+11
	1,26
	2,053E+11
	1,03
	1,966E+11
	150
	-
	-
	1,96
	1,810E+11
	1,43
	1,913E+11
	1,13
	1,960E+11
	175
	-
	-
	2,17
	1,723E+11
	1,56
	1,875E+11
	1,24
	1,899E+11
	200
	-
	-
	2,32
	1,723E+11
	1,69
	1,826E+11
	1,34
	1,859E+11
	225
	-
	-
	2,47
	1,710E+11
	1,81
	1,791E+11
	1,43
	1,836E+11
	250
	-
	-
	-
	-
	1,91
	1,787E+11
	1,52
	1,806E+11
	275
	-
	-
	-
	-
	2,01
	1,775E+11
	1,60
	1,793E+11
	300
	-
	-
	-
	-
	2,10
	1,774E+11
	1,68
	1,774E+11
Tabela 2.2: e/m Para Cada Raio em Função do Potencial.
Agora a tabela 2.3 apresenta a elaboração dos dados da tabela 2.2, trazendo o valor médio para a relação carga/massa para cada raio.
	R = 2 cm
	R = 3 cm
	R = 4 cm
	R = 5 cm
	e/m Médio ±
Desvio Médio (As/Kg)
	e/m Médio ±
Desvio Médio (As/Kg)
	e/m Médio ±
Desvio Médio (As/Kg)
	e/m Médio ±
Desvio Médio (As/Kg)
	1,642.10+11
	1,781.10+11 ± 6,7.10+9
	1,897.10+11 ± 1,23.10+10
	1,91.10+11 ± 1,04.10+10
Tabela 2.3: e/m Médio Para Cada Raio.
	Por fim fazendo uma média para todos os raios obtemos:
	Média Total
	1,807.10+11 ± 7,35.10+9
	Este é um valor aproximado para a relação carga/massa do elétron:
	Valor teórico para a relação carga/massa do elétron: 
	Comparando o valor encontrado com o valor teórico, o erro percentual foi de aproximadamente 2,1%.	
Observação: é importante destacar que a ausência de dados para o raio igual a 2 cm a partir de U=125 V e para o raio igual a 4 cm a partir de U=250 V é devido a fonte de corrente não ser capaz de gerar corrente suficiente para possibilitar a obtenção da trajetória com esses raios. O potencial maior gera campo magnético de maior intensidade, assim quanto menor for o raio da trajetória do elétron maior deverá ser a corrente.
	CONCLUSÃO	
Após o mapeamento do campo magnético notamos um volume relativamente grande onde o campo magnético é uniforme. Este volume apresenta maior proporção quando comparado com o volume total entre as bobinas, para a situação onde a distância entre as bobinas é igual ao raio da bobina. Esta situação foi idealizada por Helmholtz e apresenta várias aplicações, sendo uma delas a determinação da relação carga/massa do elétron, uma vez que o feixe de elétron executa trajetórias na região cujo campo magnético é constante.
Obtivemos então, no laboratório, os valores das correntes necessárias para que o elétron executasse trajetórias com raios definidos. Utilizando essas informações foi possível obter o valor do campo magnético a que o elétron estava submetido e assim obter a relação final desejada, carga/massa do elétron. 
Mesmo tomando certo cuidado para verificar as distâncias entre as bobinas, as condições de paralelismo necessárias para o valor final que obtivemos apresentou aproximadamente 2,1% de erro quando comparado com o valor teórico. Mesmo assim acreditamos que o valor obtido encontra-se dentro do esperado.
BIBLIOGRAFIA
1: Roteiro de Aulas 2009, Laboratório de Física Moderna.
2: R. EISBERG, R. RESNICK. Física Quântica. Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.
3: http://phoenix.phys.clemson.edu/labs/cupol/eoverm/ acesso em 12/05/2009
4:http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem2_2006/TiagoF-Varlei_F809_RF1.pdf acesso em 12/05/2009