Cap III - Fluidos e Hipótese do Contínuo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
Faculdade de Engenharia Química 
 
Fenômenos de Transporte – Graduação Eng. Química – ano 2012 
 
 Prof.: Luiz Gustavo 
 
Fluidos e a Hipótese do Contínuo 
 
1 – Fluidos 
 
Antes da abordagem do assunto propriamente dito tratado neste capítulo, é interessante 
mencionar que as forças que atuam num fluido podem ser divididas em dois grandes grupos: 
 
I – Forças de Campo: são aquelas que atuam sobre a massa/volume de um corpo sem a 
existência de um contato físico. Matematicamente, podem ser representadas como: 
 
campo
V
F KdV= ρ∫ (K é o vetor intensidade do campo) (1) 
São exemplos de forças de campo as aquelas originadas pelo campo 
gravitacional (K=g), campo elétrico (K=E), campo centrífugo (K=ωR) etc. 
 
II – Forças de Superfície: são aquelas que atuam no corpo através do contato físico entre 
suas fronteiras. Matematicamente, podem ser representadas como: 
 
superfície
S
F T.n dS= ∫ (2) 
 
A atuação conjunta das forças de campo e de superfície dá origem ao que se 
denomina em Fenômenos de Transporte de Forças Inerciais, as quais são 
responsáveis pelas variações da quantidade de movimento num fluido. 
 
Isto posto, considere uma superfície “S” qualquer na qual atua uma determinada força F, 
conforme mostra a Figura 1. De acordo com o que fora discutido anteriormente, a força F é uma 
força de superfície porque interage diretamente com as fronteiras do sistema. 
24 
 
Figura 1 – Superfície “S” na qual há uma força “F” aplicada 
 
 A força F pode ser decomposta em duas componentes: uma força normal (FN) e outra 
cisalhante (FC) em relação ao ponto de aplicação sobre a superfície “S”. 
 Considere agora, o sistema mostrado na Figura 2. 
 
Figura 2 – Sistema dotado de um êmbolo e pistão, cujo interior há um sólido ou líquido. 
 
 A força normal (FN) não caracteriza adequadamente o sistema (se sólido ou fluido) porque 
os fluidos, mesmo que sofram inicialmente maiores deformações do que os sólidos, atingem 
rapidamente o limite de compressibilidade e passam a se comportar como se sólidos fossem. Ao 
invés da força normal FN, a força cisalhante FC permite caracterizar e definir se um determinado 
sistema é sólido ou líquido. Num sólido, considere uma força cisalhante (Fc) sendo-lhe aplicada, 
conforme mostra a Figura 3. 
 
Figura 3 – Força cisalhante Fc aplicada sobre um sólido 
 
Fisicamente, a força cisalhante (Fc) e a tensão (τ) podem ser correlacionadas pela Lei de 
Hooke, em que G representa o módulo de rigidez do sólido e γ a deformação. 
 
? 
FN 
Líquido ou Sólido? 
Conclusão: A força FN 
não caracteriza se o 
sistema é sólido ou líquido 
FC 
Sólido 
γ γ 
F FN 
FC S 
25 
 
cF G
A
τ = α γ ⇒ τ = γ (3) 
 
Nestes termos, considere o gráfico de tensão-deformação (Figura 4). Verifica-se que a 
borracha deforma-se mais do que o aço, pois apresenta o menor módulo de elasticidade (menor 
coeficiente angular). 
Figura 4 – Diagrama de tensão e deformação para distintos materiais sólidos 
 
 Considere agora um volume de fluido, cuja mesma força cisalhante (Fc) é aplicada, 
conforme ilustra a Figura 5. 
 
Figura 5 - Força cisalhante Fc aplicada sobre um líquido 
 
Fisicamente, a força cisalhante (Fc) e a tensão (τ) podem ser, na maioria dos fluidos, 
correlacionadas pela Lei da Viscosidade de Newton, em que µ representa a viscosidade dinâmica da 
substância que se deforma. 
 
CF d d
A dt dt
γ γ
τ = ≅ → τ = µ (4) 
 
 Deve-se verificar que no caso de líquido, a deformação é contínua e irreversível com a 
passagem do tempo, ou seja, mesmo com a retirada de Fc, o sistema não retorna ao status quo ante. 
Portanto, fluido é qualquer material que se deforma de forma contínua e irreversível quando a ele é 
aplicada uma força cisalhante por menor que seja. Desta constatação, decorre a noção de 
Escoamento. Enquanto que nos corpos rígidos (Sólido), todas as suas partículas locomovem-se 
com o mesmo vetor velocidade (Deslocamento), nos Fluidos (gases e líquidos), as respectivas 
FC 
Líquido 
1 – Borracha 2 – Aço 
111 G γ=τ 222 G γ=τ 
Se 21 τ=τ , então: 
2211 GG γ=γ 
1
G
G
2
1
1
2 >
γ
γ
= ⇒ 12 GG > γ 
τ 
Borracha ou Aço? 
Borracha ou Aço? 
26 
 
partículas locomovem-se com distintas velocidades entre seus diversos pontos (Escoamento), ou 
seja, com diversas velocidades relativas. 
 
Considere o gráfico de tensão-deformação para a água e o mel (Figura 6). 
 
Figura 6 - Diagrama de tensão e deformação para distintas substâncias líquidas 
 
 Verifica-se que a água deforma-se mais do que o mel, pois apresenta a menor viscosidade 
dinâmica (menor coeficiente angular). 
 
2 – A Hipótese do Contínuo 
 
A Hipótese do Contínuo considera que existe um volume crítico de fluido (por menor que 
seja), onde neste volume (que tende a um ponto), o fluido ainda preserva corretamente todas as 
características físicas do material. Abaixo desse volume crítico, as partículas possuem movimento 
aleatório e o número de moléculas fica dependente do tempo, resultando descontinuidade da 
propriedade. 
 
Figura 7 – Hipótese do Contínuo para a densidade 
 
 
 
1 – água 2 – mel 
dt
d 1
11
γµ=τ 
dt
d 2
22
γµ=τ 
Se 21 τ=τ , então: 
dt
d
dt
d 2
2
1
1
γµ=γµ 
1
dt
d
dt
d
2
1
1
2 >γ
γ
=
µ
µ
 ⇒ 12 µ>µ 
 
dt
dγ
 
τ 
Água ou Mel? 
Água ou Mel ? 
V 
ρ 
VC 
T e P constantes dV
dm
=ρ 
?
dV
dmlim 0V =



→∆ 
ρ=



→∆ dV
dm
clim VV 
 
27 
 
3 – Reologia 
 
 Reologia é a parte dos Fenômenos de Transporte que estuda a viscosidade dos Fluidos. 
Tecnicamente falando, representa o estudo do comportamento da deformação dos fluidos frente à 
tensão cisalhante aplicada. Antes de algumas considerações sobre fluidos, convém a revisão de 
alguns conceitos: 
 
Fluido é o material que se deforma contínua e irreversivelmente quando sobre ele atua uma força 
cisalhante. Assim, a continuidade e a irreversibilidade são características do escoamento apenas 
de fluidos (gases e líquidos). Os sólidos também se deformam quando uma tensão de cisalhamento 
lhes é aplicada, mas não continuamente. 
 
Condição de não-deslizamento ou Aderência é quando um fluido em contato direto com uma 
fronteira sólida adquire a velocidade da própria fronteira. Tal condição também é conhecida como 
aderência e baseia-se em numerosas observações experimentais a respeito do escoamento dos 
fluidos sobre superfícies sólidas. 
 
Hipótese do Contínuo considera que existe um volume crítico de fluido (por menor que seja), onde 
neste volume (que tende a um ponto), o fluido ainda preserva corretamente todas as propriedades 
físicas. Assim, o fluido pode ser dividido em outras parcelas de fluido cada vez menores, desde que 
não ultrapasse o volume crítico. 
 
Lei da Viscosidade de Newton é a equação de transporte da quantidade de movimento (QM) através 
dum fluido, na qual são relacionadas a tensão de cisalhamento (τ) com a taxa de deformação de 
deformação (γ): 
 
d
dt
γ
τ = µ (5) 
 
Viscosidade dinâmica (µµµµ) é uma propriedade física dos fluidos e representaa resistência dos 
mesmos à deformação por causa das forças intermoleculares de coesão. É uma propriedade que 
depende da natureza da química da substância fluida, bem como de fatores físicos externos 
(pressão, temperatura e composição). Algumas propriedades físicas do ar, água e alguns fluidos 
podem ser encontradas no final deste tópico, dentre elas, a viscosidade dinâmica. Na lei da 
28 
 
Viscosidade de Newton, a viscosidade dinâmica representa a constante de proporcionalidade entre a 
tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade existente no fluido. 
 
4 – Classificação dos Fluidos 
 
 Os fluidos podem ser classificados segundo várias terminologias. Dentre elas, algumas mais 
importantes são: 
 
Fluidos Ideais: são aqueles cuja viscosidade é nula (µ = 0). Por definição, conclui-se que é um 
fluido que escoa sem perdas de energia por atrito. Fisicamente falando, nenhum fluido possui essa 
propriedade. Porém, pode representar, às vezes, uma hipótese útil nos cálculos em Engenharia. 
 
Obs.: Há também os sólidos ideais. São aqueles que 
não se deformam seja qual for a força aplicada. 
 
Fluidos Perfeitos: são aqueles cujo gradiente de velocidade é zero (dv/dy = 0). Por definição, são 
fluidos nos quais a quantidade de movimento é transportada eficazmente, invariando com a posição. 
Novamente, nenhum fluido possui essa propriedade. Porém, pode representar, às vezes, uma 
hipótese útil nos cálculos em Engenharia. 
 
Fluidos Incompressíveis: são aqueles, cuja densidade sofre variações insignificantes com a pressão. 
Praticamente todos os líquidos são incompressíveis. 
 
Fluidos Compressíveis: são aqueles, cuja densidade sofre variações significativas com a pressão. 
Nessa categoria estão os gases. 
 
Fluidos Newtonianos: são aqueles cujo comportamento pode ser descrito pela Lei da Viscosidade 
de Newton, ou seja, em condições físicas constantes (temperatura, pressão e/ou concentração) a 
viscosidade é constante, independentemente da tensão que atua sobre o sistema. 
 
d
dt
γ
τ = µ (6) 
 
Fluidos não-Newtonianos: são aqueles que não atendem à Lei da Viscosidade de Newton. Mesmo 
em condições de pressão, temperatura e/ou concentração fixas, a viscosidade é variável com a 
29 
 
tensão atuante sobre o sistema. Nesta categoria estão inclusos os fluidos pseudoplásticos, os fluidos 
dilatantes e os fluidos de Bingham. 
 
 No que tange à viscosidade, são apresentados na Figura 8, os comportamentos reológicos 
genéricos para fluidos newtonianos, não-newtonianos e ideais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Reograma para fluidos newtonianos e não-newtonianos 
 
De acordo com a figura anterior, pode-se chegar às seguintes conclusões: 
 
- Nos Fluidos Newtonianos (curva I), a viscosidade é constante durante todo o escoamento 
(desde que temperatura, pressão e concentração sejam constantes). Exemplos: ar, água, gasolina, 
diesel, álcool etílico, glicerina etc. 
– Nos Fluidos Pseudoplásticos (curva II), a viscosidade diminui à medida que a tensão sobre ele 
é aumentada (conforme mais o fluido se deforma, menos viscoso ele se torna). Exemplos: 
soluções polimérica, suspensões coloidais, polpa de papel em água, tintas etc. 
- Nos Fluidos Dilatantes (curva III), a viscosidade aumenta à medida que a tensão sobre ele é 
aumentada (conforme mais o fluido se deforma, mais viscoso ele se torna). Exemplo: 
suspensões de amido, suspensões de areia, suspensão de silicato de potássio etc. 
– Nos Fluidos de Bingham (curva IV), a viscosidade é constante durante todo o escoamento, 
como se fosse um fluido newtoniano. A diferença é que para que ele seja posto em movimento, 
ou seja, comece a escoar, é necessário o fornecimento de uma tensão superior à tensão inicial 
(τo), sem a qual, o fluido de Binghan comporta-se como se fosse um sólido. Exemplos: creme 
dental, maionese, catchup, chantilly, clara em neve, lamas de argila e de poços de perfuração de 
petróleo etc. 
 
(I) Fluido Newtoniano 
 
(II) Fluido Pseudoplástico 
 
(III) Fluido Dilatante 
 
(IV) Fluido de Bingham 
 
(V) Fluido Ideal 
 
(VI) Sólido 
 
τ 
d
dt
γ
 
I 
II 
III 
IV 
τo 
V 
VI 
30 
 
 Os Fluidos Pseudoplásticos e Dilatantes são conhecidos como fluidos de “Ostwald de 
Waele” ou Fluidos “Power-Law”. 
 O estudo de fluidos não-newtonianos é mais complexo porque a viscosidade aparente (η) 
além de depender da taxa de deformação (dv/dy), pode ainda depender, conforme o caso, do tempo. 
A dependência da viscosidade aparente com o tempo (considerando tensão cisalhante, temperatura, 
pressão e concentração constantes) leva à seguinte classificação: 
 
 Fluidos Tixotrópicos são fluidos cuja viscosidade aparente diminui com o tempo. Algumas 
tintas são tixotrópicas. 
 Fluidos Reopéticos são fluidos cuja viscosidade aparente aumenta com o tempo. Um 
exemplo típico de fluido reopético é o creme de leite que sob uma mesma tensão se transforma em 
chantilly e depois em manteiga. 
 Fluidos Viscoelástico são fluidos cuja viscosidade aparente permanece quase que inalterada 
com o passar do tempo. 
 
5 – Fluidos Não-Newtonianos 
 
 Os fluidos não-newtonianos podem ser matematicamente descritos como: 
 
d
dt
γ
τ = η ou Dτ = η (η é a viscosidade aparente) (7) 
 
Enquanto que nos fluidos newtonianos, a viscosidade dinâmica (µ) durante o escoamento é 
constante, nos fluidos não-newtonianos, a viscosidade varia de acordo com a deformação sofrida 
pelo fluido, ou seja: 
 
( )f Dη = (8) 
 
Para os fluidos de Power-Law ou Ostwald de Waele a viscosidade pode ser escrita como: 
 
n 1
0D
−η = η (η0 é a viscosidade aparente inicial e n é uma constante) (9) 
 
Então: 
 
31 
 
( )n 10D D−τ = η (10) 
 
De acordo com a Eq. (9), pode ser concluído que: 
 
I – Se n = 1, η = ηo (constante) e o fluido comporta-se como um fluido newtoniano; 
II - Se n < 1, 01 nD −
ηη = e o fluido comporta-se como um fluido pseudoplástico; 
III - Se n > 1, 1no D −η=η e o fluido comporta-se como um fluido dilatante; 
 
Para os Fluidos de Bingham, a tensão cisalhante versus deformação pode ser simplesmente 
descrita como: 
 
0 0Dτ = τ + η (11) 
 
 Na situação anterior, o fluido de Bingham também é conhecido como Fluido Plástico Ideal 
(viscosidade aparente inicial é constante durante o escoamento). Se não for constante, o Fluido de 
Bingham é conhecido como Fluido Plástico Real, sendo escrito como: 
 
0 Dτ = τ + η (12) 
 
 Recapitulando, o estudo da determinação da viscosidade de qualquer fluido e sua respectiva 
classificação é realizada por um campo da Física denominado Reologia. Assim, nos projetos de 
engenharia ou escoamentos industriais que envolvam algum tipo de fluido, deve-se necessariamente 
determinar o comportamento reológico do material, se não conhecido. 
 
 Por fim cabe mencionar que nem sempre o engenheiro tem facilidades técnicas para 
determinar a taxa de deformação (D) quando escrita como a variação da deformação do fluido pelo 
32 
 
tempo d
dtγ
. Para tanto, seria mais conveniente expressar esta taxa de deformação em função de 
variáveis mais fáceis de serem mensuradas. Para tanto, considere agora o seguinte sistema para o 
Fluxo de Quantidade de Movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Fluxo de Quantidade de Movimento 
 
 A tensão que o fluido sente em virtude da força cisalhante que a placa lhe aplica (Figura 9) 
pode ser descrita como: 
 
dt
dFx
γ
α ⇒ 
dt
d
yx
γ
ατ (13) 
 
 A deformação do fluido pode ser representada como: 
 
[ ]
dy
dxdtg =γ (14) 
 
Mas para pequenos ângulos [ ] γ≅γ ddtg , substituindo em (14): 
 
dy
dxd =γ (15) 
 
 A velocidade da placa na forma diferencial pode ser calculada pela equação (16): 
 
dt
dxdvx = ou dtdvdx x= (16) 
 
 Substituindo a equação (16) em (15): 
dy 
dx 
y 
x 
QM 
dγ 
33 
 
 
dy
dtdvd x=γ (17) 
 
 Substituindo (17) em (13): 
 
dtdy
dtdvx
yx ατ ⇒ dy
dv x
yx ατ ⇒ dy
dvx
yx µ−=τ (18) 
 
 A Equação (16) é denominada “Lei da Difusão de Newton” ou “Lei da Viscosidade de 
Newton” e a constante “µµµµ” é a viscosidade dinâmica do fluido (cada fluido possui uma viscosidade 
dinâmica própria, numa determinada temperatura, pressão e concentração). Se o fluido apresenta 
densidade constante (∆ρ = 0), então a Lei da Viscosidade de Newton pode ser escrita como: 
 
( )
dy
vd x
yx
ρ
ρ
µ
−=τ ou 
( )
dy
vd x
yx
ρ
ν−=τ (19) 
 
 A constante “νννν” é conhecida como viscosidade cinemática ou difusividade de QM, cuja 
dimensão é [L2.T-1]. Já o termo ρρρρvx representa a quantidade de movimento por unidade de volume. 
A Eq. 19 representa apenas uma das 9 componentes do vetor τ. Assim, generalizando: 
 
( )vρ∇ν−=τ (20) 
 
6 – Efeito da Temperatura e da Pressão na Densidade e na Viscosidade de Gases e Líquidos 
 
 Na Tabela 1, são apresentadas as influências que a temperatura e a pressão desempenham 
sobre a densidade e viscosidade dos líquidos e gases. 
 
 
 
 
 
34 
 
Tabela 1 – Influências da Temperatura e Pressão na Densidade e Viscosidade de Fluidos 
 Densidade Viscosidade 
 
Líquido Gases Líquido Gases 
Temperatura ↑↑↑↑ ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ ↑↑↑↑ 
Pressão ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ 
 
Obs.: Fisicamente, a densidade e a viscosidade dos líquidos variam diretamente com a 
pressão. Todavia, tais variações são irrelevantes frente àquelas verificadas para os gases. 
Portanto, em muitos projetos e sistemas de controle, o efeito da pressão sobre as 
densidades e viscosidades dos líquidos é negligenciado. 
 
7 – Densidades e Viscosidades para alguns Líquidos e Gases 
 
 Nas Tabelas 2, 3, 4 e 5 são apresentadas os valores de densidade e viscosidade para alguns 
gases e líquidos utilizados industrialmente. 
 
Tabela 2 - Densidade e viscosidade dinâmica do ar em função da temperatura 
Temperatura (ºC) ρ (kg.m-3) µ (N.s.m-2) x 105 
0 1,29 1,72 
10 1,25 1,77 
20 1,20 1,81 
30 1,16 1,86 
40 1,13 1,91 
50 1,09 1,95 
60 1,06 1,99 
70 1,03 2,04 
80 1,00 2,09 
90 0,972 2,19 
100 0,946 2,30 
 
Tabela 3 - Densidade e viscosidade dinâmica da água em função da temperatura 
Temperatura (ºC) ρ (kg.m-3) µ (N.s.m-2) x 104 
0 1000 17,5 
10 1000 13,0 
20 998 10,2 
30 996 8,0 
40 992 6,51 
35 
 
50 988 5,41 
60 984 4,60 
70 978 4,02 
80 971 3,50 
90 965 3,11 
100 958 2,82 
 
Tabela 4 - Densidade e viscosidade dinâmica de alguns gases industriais 
 T (ºC) ρ (kg.m-3) µ (N.s.m-2) x 105 
Ar 15 1,23 1,79 
CO2 20 1,83 1,47 
He 20 0,166 1,94 
H2 20 0,0838 0,88 
CH4 20 0,667 1,10 
N2 20 1,16 1,76 
O2 20 1,33 2,04 
 
Tabela 5 - Densidade e viscosidade dinâmica de alguns líquidos industriais 
 T (ºC) ρ (kg.m-3) µ (N.s.m-2) 
Tetracloreto de Carbono (CCl4) 20,0 1590 9,58.10-4 
Álcool Etílico (C2H5OH) 20,0 789 1,19.10-3 
Gasolina 15,6 680 3,10.10-4 
Glicerina 20,0 1260 1,50 
Mercúrio (Hg) 20,0 13600 1,57.10-7 
Óleo SAE 30 15,6 912 3,80.10-1 
Água do mar 15,6 1030 1,20.10-3 
 
8 – Forças atuantes num Fluido em Movimento e Números Adimensionais Relevantes 
 
 As forças que atuam sobre um fluido em movimento são: 
 
- Forças de Campo (Fc): são forças que atuam devido ao campo que age no sistema (campo 
gravitacional, campo elétrico, campo magnético). 
- Forças Viscosas (Fv): são forças que atuam devido à deformação do fluido. São originadas pelo 
atrito que uma molécula desempenha sobre a outra durante o escoamento. 
- Forças de Superfície (Fp): são forças que atuam na superfície do sistema, como aquelas devido 
à pressão. 
- Forças Elásticas (Fe): são aquelas oriundas de sistemas em altas velocidades. 
36 
 
- Forças de Coesão (Fσσσσ): são aquelas oriundas da tensão superficial dos fluidos, ou seja, forças de 
coesão intermolecular. 
- Forças Inerciais (Fi): são as forças resultantes que definem a quantidade de movimento do 
sistema. 
 
 Das definições acima se pode concluir que: 
σ++++= FFFFFF epvci (21) 
em que: 
ma
dt
dv
m
dt
)mv(dFi === (22) 
 Efetuando a divisão pelas forças inerciais: 
ii
e
i
p
i
v
i
c
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F1 σ++++= (23) 
 As frações do segundo membro da Eq.(23) são adimensionais e recebem nomes especiais 
conforme descreve está descrito na Tabela 6. 
Tabela 6 – Adimensionais Importantes no Escoamento de Fluidos 
Adimensional Símbolo Nomenclatura Aplicação 
 
c
i
F
F
 
 
Fr 
 
Froude 
Distinção entre escoamentos rápidos e tranqüilos 
em sistemas que possuem superfícies livres, tais 
como projetos de navios e estruturas hidráulicas 
 
 
v
i
F
F
 
 
 
Re 
 
 
Reynolds 
Distinção entre regimes de escoamentos laminares, 
transitórios e turbulentos. Amplamente utilizado 
em projetos hidráulicos e desempenho sobre 
corpos submersos (carros, submarinos e aeronaves) 
 
p
i
F
F
 
 
Ru 
 
Ruarke 
Útil para escoamentos compressíveis e na relação 
entre pressão estática e dinâmica de sistemas como 
tubulações e equipamentos 
37 
 
 
i
p
F
F
 
 
Eu 
 
Euler 
Importante para prever capacidade de um sistema 
em função do consumo energético, aplicado no 
projeto de bombas, compressores, separadores etc. 
 
 
e
i
F
F
 
 
 
Ma 
 
 
Mach 
Distinção entre regimes de escoamentos nos 
problemas com escoamentos internos e externos 
compressíveis, tais como o subsônico, o transônico 
e o hipersônico aplicado à aerodinâmica de 
aeronaves,carros, navios, projéteis etc. 
 
 
σF
Fi
 
 
 
We 
 
 
Weber 
Importante no estudo de interfaces líquido-líquido 
e gás-líquido principalmente para os estudos que 
envolvem transferência de massa (secagem, 
umidificação etc.) e perfuração de poços de 
petróleo. 
 
 Os Números Adimensionais Fr, Re, Ru, Eu, Ma e We podem ser expressos em termos de 
algumas propriedades físicas importantes para o escoamento dum fluido, tais como: comprimento 
ou dimensão característica (L), densidade (ρ), velocidade (v), viscosidade (µ), pressão (P), 
aceleração gravitacional (g), tensão superficial (σ) e velocidade do som (c). 
 Se: 
2223
i vLv.
t
L
.L
t
v
.LmaF ρ=ρ=ρ== (24) 
gLmgF 3c ρ== (25) 
2
p PLF = (26) 
vLL
L
vA
dy
dvF 2xv µ=µ=µ= (27) 
2
eF cvL= ρ (28) 
LF σ=σ (29) 
 
38 
 
Então: 
gL
vLFr 3
22
ρ
ρ
= ⇒ 
Lg
vFr
2
= (30) 
2
22
PL
vLRu ρ= ⇒ 
P
vRu
2ρ
= (31) 
22
2
vL
PLEu
ρ
= ⇒ 
2v
PEu
ρ
= (32) 
2 2
2
L vMa
cvL
ρ
=
ρ
 ⇒ 
c
vMa = (33) 
L
vLWe
22
σ
ρ
= ⇒ 
σ
ρ
=
2LvWe (34) 
 
 Os Números Adimensionais têm inúmeras aplicações em engenharia devido às vantagens 
que apresentam. Dentre elas: 
 
1 – Reduzem o esforço experimental, pois englobam em si mais de uma variável; 
2 – Representam uma alternativa mais simples e interessante do que enfrentar a resolução de um 
sistema de Equações Diferenciais Parciais sobre os fenômenos de transferência de momento, calor e 
massa; 
3 – Possibilitam o uso de Similaridade, ou seja, a partir do estudo dum protótipo de laboratório é 
possível fazer previsões para um sistema análogo, inclusive em tamanho real (scale-up). 
 
 
 
 
 
 
39 
 
9 – A experiência de Reynolds 
 
 Considere um fluido qualquer escoamento numa tubulação em que é possível inserir um 
corante, conforme ilustra a Figura 10. 
 
Figura 10 – Regimes de Escoamento de Fluido 
 
 Tomando como base uma seção transversal do tubo no qual escoa um determinado fluido, os 
respectivos perfis de velocidade para o regime laminar (I), de transição (II) e turbulento (III) podem 
ser visualizados na Figura 11. 
 
Figura 11 – Regime Laminar (I), de Transição (II) e Turbulento (III) 
 
Região de 
Análise 
Reservatório 
de Corante 
Fluido 
Tubo 
I 
II 
III 
(I) O fluido escoa como se fosse lâminas 
sobrepostas, ou seja, a parcela de fluido de 
uma lâmina não se mistura com a de outra 
durante o escoamento. Nessa situação, as 
forças viscosas sobressaem em relação às 
demais. Nesse caso, têm-se baixos Re e o 
regime de escoamento é dito LAMINAR. 
 
(II) A velocidade é majorada e as lâminas de 
fluido tendem a se perturbar. Nessa situação, o 
regime de escoamento é dito 
TRANSITÓRIO ou DE TRANSIÇÃO. 
 
(III) Com o incremento ainda mais da 
velocidade, as parcelas de fluido misturam-se 
aleatoriamente (turbilhões ou vórtices). Nesse 
caso, têm-se altos Reynolds e o regime de 
escoamento é dito TURBULENTO. 
vI 
vII 
vIII 
v 
vI < vII < vIII 
I II III 
40 
 
 Para cada situação contida na Figura 11, é possível calcular um número de Reynolds (Re) 
representativo, conforme ilustra a Tabela 7. 
 
Tabela 7 – Número de Reynolds em função do Regime de Escoamento 
Laminar 0 Re 2000≤ < 
Transição 2000 Re 2300≤ ≤ 
Turbulento Re 2300> 
 
 
10 – Escoamento de um fluido – Analogia entre Transferência de Momento, Calor e Massa 
 
 Para que ocorra o transporte de uma determinada grandeza é necessário haver um 
“Gradiente Potencial”. Matematicamente: 
 
PB ∇α ⇒ PCB ∇−= (35) 
 
 Na equação acima, “B” é a grandeza transportada, “∇P” é o gradiente de uma propriedade 
física que promove o transporte e “C” é uma constante de proporcionalidade. Fisicamente, uma 
grandeza é transportada espontaneamente de um maior para um menor potencial. 
O gradiente “∇” é um vetor e nas equações de transporte é representado da seguinte forma: 
 
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ ou 
z
e
y
e
x
e zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ (36) 
 
 Feitas as considerações iniciais, considere o sistema representado pela Figura 12. 
Figura 12 – Transporte de Quantidade de Movimento devido ao movimento de uma placa sobre um fluido 
 
 
Fluido 
Placa Inferior Estática 
Placa Superior Estática 
t = 0 
v = 0 
Fluido 
Placa Inferior Estática t > 0 
v > 0 
v 
vfluido = vplaca = 0 
vfluido = vplaca 
41 
 
Ao colocar a placa superior em movimento, a camada de fluido adjacente a ela entra em 
movimento. As moléculas dessa camada (1) chocam-se com as da camada adjacente inferior 
(camada 2), transferindo um determinado fluxo de Quantidade de Movimento. As moléculas da 
camada 2 chocam-se com a adjacente inferior (camada 3), transferindo novamente uma parcela de 
Quantidade de Movimento e assim sucessivamente, até chegar à placa inferior. Por sua vez, o fluido 
imediatamente próximo à placa inferior (estática) possui velocidade também nula (condição de 
aderência). Como demonstrado anteriormente, o Fluxo de Quantidade de Movimento na situação 
apresentada pode ser genericamente representada por: 
 
( )vρ∇ν−=τ (37) 
 
 Fazendo a analogia para o Fluxo de Calor (Fig. 13), tem-se a Eq. (38): 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Fluxo de Calor 
 
dy
dTkq y −= (38) 
 
 A Equação (36) é denominada de “Lei da Difusão de Fourier” e a constante “k” é chamada 
de condutividade térmica. Se a densidade (ρ) e o calor específico (cp) do sistema forem 
constantes, a Lei de Difusão de Fourier pode ser escrita como: 
 
( )
dy
Tcd
c
kq p
p
y
ρ
ρ
−= 
( )p
y
d c T
q
dy
ρ
= −α (39) 
 
 A constante α é chamada de difusividade térmica, cuja dimensão é [L2.T-1]. Já o termo 
“ρρρρcpT” representa a quantidade de energia por unidade de volume. Generalizando a Lei da Difusão 
de Fourier: 
 
y 
x 
T1 
T2 
qy T2 > T1 
42 
 
( )Tc
ckq p
p
ρ∇
ρ
−= (40) 
 
Fazendo a analogia para o Fluxo de Massa (Fig. 14), tem-se a Eq. (41): 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Fluxo de Massa 
 
dy
dC
DJ OHArOHOH 222 −−= (41) 
 
A Equação (41) é denominada de “Lei da Difusão de Fick” e a constante “D” é chamada de 
difusividade mássica. O termo ρρρρH2O representa a quantidade de massa por unidade de volume, ou 
seja, concentração de determinada espécie. Generalizando a Lei de da Difusão de Fick: 
 
CDJ ∇−= (42) 
 
 Por fim, em fenômenos de transporte, pode-se resumir os processos de transferência de 
quantidade de movimento, calor e massa (por difusão) conforme está descrito na Tabela 8. 
 
Tabela 8 – Considerações Finais sobre Transferência de Momento, Calor e Massa 
 
 Grandeza 
Transportada 
Difusividade do 
Fluxo 
Grandeza que promove 
o Transporte 
(gradiente) 
Quantidade de Movimento τ ν Velocidade 
Calor q α Temperatura 
Massa J D Concentração 
 
 
 
 
y 
x 
Placa Higroscópica 
Placa úmida 
JH2O Ar 
CH2O 
43 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Bennet, C.O., Myers, J.E., Fenômeno de Transporte – Quantidade de Movimento, Calor e Massa, 
1978. 
Bird, R. B, Stewart, W.E., Lightfoot, E.N, Fenômenos de Transporte, 2ª Ed. LTC, 838 p. 2004. 
Damasceno, J.J.R. Lições sobre Fenômenos de Transporte para Engenheiros Químicos: 
Transporte de Quantidade de Movimento em Fluidos, 190 p., 2005. 
Livi, C.P, Fundamentos de Fenômenos de Transporte, LTC, 2004. 
Sisson, L.E., Pitts, D.R, Fenômenos de Transporte, Guanabara Dois, 1979.