Antenas Parte4 Antenas Filamentares

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Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Antenas
Parte 4 – Antenas Filamentares
1
Prof. Cláudio Garcia Batista
Departamento das Engenharias de Telecomunicações e Mecatrônica (DETEM)
Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ) 
Campus Alto Paraopeba - Ouro Branco/MG
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Parte 4 – Antenas Filamentares
• Introdução
• Dipolo finito
• Dipolo curto
• Dipolo dobrado
• Loop circular de raio pequeno (corrente constante)
2
• Loop circular de raio pequeno (corrente constante)
• Loop circular de raio qualquer (corrente constante)
• Antenas filamentares sobre planos condutores
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Antenas Filamentares: introdução
• As antenas filamentares, lineares ou curvas, são simples, de fabricação de
baixo custo e bastante versáteis. Utilizadas em muitas aplicações em
telecomunicações
• Historicamente, são as primeiras antenas empregadas para transmissão e
recepção de sinais.
3
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• Geometria considerada para dipolos finitos:
Antenas Filamentares: dipolo finito
la <<2
raio do condutor=a
Comprimento do fio/estrutura=l
4
• Para , pode-se considerar que a corrente no dipolo só possui
componente z. A componente é cancelada por outra diametralmente
oposta.
a2
λ<<a2 J
r
φJ
zJJ z ˆ≈
r
USER
Realce
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• A antena é alimentada em z = 0 (centro da antena), por uma corrente
senoidal Iin:
z
~
Iin
2
l
zJ
J





=
2
0
kl
senII in
λ
π2
=k
Antenas Filamentares: dipolo finito
5
• Assume-se que distribuição de corrente na antena também será senoidal,
com nulos nas extremidades do dipolo e variação dependente de e .
Assim:
2
l
−
zJλ
=k
λ
zz
l
ksenIJ z ˆ
2
0 










 ′−=
l
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• Distribuições de corrente para diferentes comprimentos do dipolo:
λ
=l λ
λ
<< l
Antenas Filamentares: dipolo finito
6
2
=l λ
λ
<< l
2
2
3λ
λ << l
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• Vamos encontrar as expressões de campo distante para E e H.
Lembrando das expressões para calcular os campos a partir dos
potenciais vetores (veja Parte 2):
( ) ( )φηωθηω θφφθ ˆFAjFAjE −−+−≈
)r
ErH
rr
×≈ ˆ
1
η
(1)
(2)
Antenas Filamentares: dipolo finito
7
• Nesse caso, só existe corrente elétrica → F = 0.
( )φθω φθ ˆAAjE +−≈
)r
• e o potencial vetor magnético:
lderI
r
e
rA
l
rrjk
e
jkr
′′= ∫
′
•′
−
ˆ
)(
4
)(
rrr
π
µ
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• Para o dipolo:
zz
l
ksenIIe ˆ
2
0 










 ′−=
r
( ) θcosˆˆˆˆˆ
222222
z
r
zz
zyx
zz
zyx
zzyyxx
zzrr ′=
′
=
++
′
=








++
++
•′=•′
r
Antenas Filamentares: dipolo finito
8
• Logo:
(3)zzdez
l
ksen
r
eI
rA
l
l
zjk
jkr
ˆ
24
)(
2
2
cos0 ′










 ′−= ∫
−
′
−
θ
π
µr

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• A integral é dividida conforme:
∫
∫∫
−
′
′
−
′











 ′++











 ′−=′










 ′−=
0
2
cos
2
0
cos
2
2
cos
2
22
l
zjk
l
zjk
l
l
zjk
ez
l
ksen
ez
l
ksenzdez
l
ksenC
θ
θθ
Antenas Filamentares: dipolo finito
9
• e a solução geral é dada por:
2
( ) ( ) ( )[ ]γββγβα
βα
γβ
α
α +−+
+
=+∫ xxsen
e
dxexsen
x
x cos
22
( ) ( )
θ
θ
θ
2
2
2
cos 2
coscos
2
cos
2
2 ksen
klkl
zdez
l
ksenC
l
l
zjk
−
=′










 ′−= ∫
−
′
• Assim, pode-se chegar a:
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• Finalmente, para o campo elétrico:
( ) ( )
z
sen
klkl
r
e
k
I
ArA
jkr
z
ˆ2
coscos
2
cos
2
)(
2
0







 −
==
−
θ
θ
π
µrr
( ) ( )θη ˆ2coscos2cos  −− klkleIj jkrr
Antenas Filamentares: dipolo finito
10
(5)
( ) ( )
θ
θ
θ
π
η ˆ2
coscos
2
cos
2
0







 −
=
−
sen
klkl
r
eIj
E
jkrr
• e campo magnético:
( ) ( )
φ
θ
θ
π
ˆ2
coscos
2
cos
2
0







 −
=
−
sen
klkl
r
ejI
H
jkrr
(4)
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• Vamos agora calcular Prad e Wrad para encontrar a diretividade do dipolo
finito.
( ) ( )



+


 −= )(2
2
1
24
2
0
klSklSklsen
I
P iirad π
η
∫ ∫=
π π
φθθ
η
2
0 0
2
2
1
ddsenrEPrad
r
Antenas Filamentares: dipolo finito
11
[ ]


−+

)2()cos(
2
1
)cos(1)( klCklklklC inin
( ) dt
t
tsen
xS
x
i ∫=
0
)(
( ) dt
t
t
xC
x
i ∫
∞
−=
)cos(
( ) )()ln(5772,0 xCxxC iin −+=
• onde:
(seno integral)
(coseno integral)
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• A densidade de potência radiada é dada por:
( ) ( ) 2
22
2
0
2
2
coscos
2
cos
82 






 −
==
θ
θ
π
η
η sen
klkl
r
IE
Wrad
r
• e a diretividade do dipolo finito:
Antenas Filamentares: dipolo finito
12
• e a diretividade do dipolo finito:
( ) ( ) 22
0 2
coscos
2
cos
2
),(







 −
=
θ
θ
π
η
φθ
sen
klkl
P
I
D
rad
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• Exemplo: dipolo de meia-onda.
2
λ
=l
Antenas Filamentares: dipolo finito
)2(
8
2
0 π
π
η
inrad C
I
P =
( )
θ
π
η
θ
θπ
π
η
3
22
2
0
2
22
2
0
8
cos
2
cos
8
sen
r
I
senr
I
Wrad ≈








=
435,2
13

( ) 2cos
2
cos
64,1),(








=
θ
θπ
φθ
sen
D
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• Exemplo: dipolo de meia-onda.
2
λ
=l
Antenas Filamentares: dipolo finito
( )dBiD 15,264,10 =
078=HPBW
14
Diagrama vertical Diagrama horizontal
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• Diagramas de radiação:
Antenas Filamentares: dipolo finito
15
Ramos. L.G – Notas de aulas do curso de Antenas – DETEM, UFSJ, 2014.
078=HPBW
08,47=HPBW
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Diagramas de radiação:
Antenas Filamentares: dipolo finito
16Ramos. L.G – Notas de aulas do curso de Antenas – DETEM, UFSJ, 2014.
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( )
2
22
22
0
2 klsenI
P
I
P
R rad
in
rad
r ==
• A resistência de radiação Rr é dada por (observe que z = 0 ):
Antenas Filamentares: dipolo finito
• e a impedância de entrada Xin pode ser calculada por algum método
numérico ou assintótico.
Rr Xin
17
• Veja que se o dipolo não apresentar perdas (R
l
=0) → R
r
=R
in
.
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• Observando os resultados exibidos, quando o comprimento da antena é
múltiplo de , a resistência de entrada é infinita.
• Na prática tal fato não acontece (mas a resistência assume altos valores).
Nessa formulação, assumimos distribuição de corrente exatamente
senoidal e não consideramos a distância de separação (gap) entre os dois
elementos do dipolo.
• Exemplo: dipolo de meia-onda (sem perdas):
Antenas Filamentares: dipolo finito
λ
18
5,42
73
≈
≈
in
in
X
R Ω
Ω
5,4273 jZ in +≈
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• Um caso especial de dipolos finitos é o dipolo curto (não é o dipolo
infinitesimal).
• Para antenas com comprimento entre a distribuição de
correnteno dipolo é assumida triangular:
Antenas Filamentares: dipolo curto
1050
λλ
≤< l
zz
l
IJ z ˆ
2
10 




 ′−=
19
zz
l
IJ z ˆ10 



′−=
• Para o dipolo curto:
θθ
π
η ˆ
4
0 sen
r
elkIj
E
jkr−
=
r
φθ
π
ˆ
4
0 sen
r
eljkI
H
jkr−
=
r
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• Assim:
Antenas Filamentares: dipolo curto
• e sua diretividade:
2
0
8 






=
r
lsenI
Wrad λ
θη
3
2
0
3 






=
λ
πη lI
Prad
2
3





=
λ
πη l
Rr
20
θφθ 2
2
3
),( senD = (mesma diretividade do dipolo infinitesimal)
( )dBiD 76,15,10 =
• Pode-se mostrar que:
( )kl
a
l
X in
tan
1ln
π
η 





−





−≈
raio do condutor=a
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Antenas Filamentares: dipolo curto
Dipolo de 
meia-onda
( )dBiD 15,264,10 =0,5
1,0
1,5
2
0
30
60
30
60
21
Dipolo curto (igual ao 
infinitesimal) 
( )dBiD 15,264,10 =
( )dBiD 76,15,10 =
90
120
150
180
90
120
150
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• O dipolo dobrado (folded dipole) possui diagrama de radiação semelhante
ao dipolo tradicional, mas com impedância de entrada diferente.
• Usualmente é utilizado em linhas de transmissão de 300 Ω.
Antenas Filamentares: dipolo dobrado
a << λ2
22• A distância de separação s é escolhida como s < 0,05λ.
ls
a
<<
<< λ2
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• A análise da impedância é realizada por um circuito equivalente
(sobreposição de dois circuitos):
Antenas Filamentares: dipolo dobrado
inI
23
Modo da antena 
(irradia)
Modo da L.T. 
(não irradia)
• Observe que o dipolo é alimentado por uma tensão V e corrente de
entrada . No circuito equivalente:
2
a
tin
I
II +=
inI
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• Modo da Linha de transmissão: a impedância é dada por:
Antenas Filamentares: dipolo dobrado
• e Z0 é a impedância característica de uma linha de
transmissão de dois fios, que para é
tZ





=
2
tan0
l
kjZZ t
as >>
2
l
24
aproximada por:












==
2
tanlog733,02
1
2 kl
a
s
j
V
Z
V
I
t
t
η
tZ





=
a
s
Z log733,00 η
• A corrente It é então dada por:
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• Modo da antena: as fontes são “conectadas” e formam um dipolo: a
impedância é a mesma de um dipolo de comprimento .
Antenas Filamentares: dipolo dobrado
~V
dZ l
l =ea raio equivalente 
25
dZ
• A corrente é então dada por:
d
a
d
a
Z
VI
Z
V
I
422
=→=
2
aI
ea2
asae =
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• A corrente do dipolo dobrado original:
Antenas Filamentares: dipolo dobrado
• e sua impedância de entrada:
dt
td
dt
a
tin
ZZ
ZZV
Z
V
Z
VI
II
4
)2(
422
+
=+=+=
td
dt
in
in
ZZ
ZZ
I
V
Z
+
==
2
4
26
tdin ZZI +2
• Logo, a impedância de entrada do dipolo dobrado é função da impedância
do dipolo tradicional e dos valores de e .
• Mostra-se que no caso de dipolo dobrado com comprimento :
as, l
2
λ=l
170292
)5,4273(44
jZ
jZZ
in
din
+=
+=≈
• ou seja, quatro vezes o valor da impedância do dipolo de meia onda.
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Antenas Filamentares: dipolo
• Exemplo: Fabricante Rohde & Scwharz, modelo KH309 (dipolo)
27
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Exemplo 05
Antenas Filamentares
28
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Antenas em loop também são simples, versáteis e de baixo custo. Podem
assumir geometria circular, quadrada, triangular, elíptica,etc. A geometria
mais comum é o loop circular.
Antenas Filamentares: antenas loop
29
• Normalmente são classificadas em
- Eletricamente pequenas: circunferência versus número de espiras
(voltas) é menor que λ/10.
- Eletricamente grandes: circunferência versus número de espiras (voltas)
é aproximadamente igual a λ.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Antenas loop eletricamente pequenas possuem resistência de radiação
usualmente menor que a resistência de perdas → baixa eficiência de
radiação. Para aumentar sua resistência de radiação, pode-se aumentar o
número de voltas (espiras) ou inserir um núcleo de ferrite (alta
permeabilidade magnética).
• O diagrama de diretividade é similar ao do dipolo infinitesimal (para
qualquer geometria circular, quadrada, elíptica, etc) com nulo
perpendicular ao plano do loop.
Antenas Filamentares: antenas loop
30
• Antenas loop eletricamente grandes possuem maior eficiência de radiação
e diagrama mais direcional. São utilizados em conjuntos: antena
helicoidal, conjunto Yagi-Uda, etc.
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• Geometria para o loop circular de raio pequeno (usualmente < λ/30) :
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
a
λ<<a
d
ad <<
=
=
a
d diâmetro do condutor
raio do loop
r
r
′
a
31
• Nas condições acima, a corrente no loop pode ser aproximada por:
φφφ ˆˆ 0IJJ =≈
r
Fernando J. Moreira – Notas de aulas do 
curso de Antenas – DELT, UFMG, 2012.
Corrente constante!!
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• Vamos proceder da mesma maneira executada para o dipolo para
encontrar a diretividade do loop pequeno. O potencial A para campo
distante é dado por:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
• Como não é constante, escreve-se a corrente em coordenadas
retangulares:
φφ
π
µ π ′= ∫ •′
−
adeI
r
e
rA rrjk
jkr 2
0
ˆ
0
4
)(
r)r
φˆ
32
retangulares:
[ ]yxsenII ˆcosˆˆ 00 φφφ ′+′−=
• Para o termo da exponencial do integrando:
yyxxr ˆˆ ′+′=′
r
arr =′=′
r
• Logo para Ɵ = 900:
φφ
φφ
′=′′=′
′=′′=′
asensenry
arx coscos
yasenxar ˆˆcos φφ ′+′=′
r
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• assim:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
• utilizando e :φθ cosrsenx =
( )
r
yasenxa
r
zzyyxx
yasenxarr
φφ
φφ
′+′
=




 ++•′+′=•′
cosˆˆˆ
ˆˆcosˆ
r
( )φφφφθ
φθφφθφ
′+′=
′+′=•′
coscos
coscosˆ
sensenasen
sensenasensenarr
r
φθsenrseny =
33
( )
( )φφθ
φφφφθ
′−=
′+′=
cos
coscos
asen
sensenasen
( ) ( )φφθφφθ ′−+≈=∴ ′−•′ cos1cosˆ jkasenee jkasenrrjk
r
( )( ) φφφθφφ
π
µ π
′′−+′−′≈ ∫
−
djkasenxseny
r
eaI
rA
jkr 2
0
0 )cos(1ˆˆcos
4
)(
r
• A integral então fica:
0
1
→
+≈
α
α αje j
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• Continuando...:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
ydjkasend
eaI
A
xdsenjkasendsen
r
eaI
A
AArA
jkr
y
jkr
x
yx
ˆcos)cos(cos
ˆ)cos(
4
)(
2 2
0
2
0
2
0
0




′′′−+′′=






′′′−+′′−=
+=
∫ ∫
∫ ∫
−
−
φφφφθφφ
π
µ
φφφφθφφ
π
µ
π π
π π
r
34
ydjkasend
r
Ay ˆcos)cos(cos
4
0 0




′′′−+′′= ∫ ∫ φφφφθφφπ
• Logo:
( )xsenysen
r
eajkI
rA
jkr
ˆˆcos
4
)(
2
0 φφθ
µ
−=
−v
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• Transformando para coordenadas esféricas:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
• Relembrando que o campo Elétrico é dado por (campo distante):
φθ
µ ˆ
4
)( 0
2
sen
r
eIajk
rA
jkr−
=
v
( )φθω φθ ˆAAjE +−≈
)r
• Finalmente:
35
( )
φθ
η ˆ
4
2
0 sen
r
ekaI
E
jkr−
=
r
• Finalmente:
• e o campo magnético:
( )
θθ ˆ
4
2
0 sen
r
ekaI
H
jkr−
−=
r
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• A densidade de potênciaradiada para loop pequeno é então dada por:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
( )
2
2
0
42 







= θ
η
sen
r
kaI
Wrad
• Prosseguindo, a potência radiada:
φθθ
π π
ddsenrWP ∫ ∫=
2
2
36
( )
θθ
πη π
dsen
kaI
Prad ∫=
0
3
42
0
16
φθθ ddsenrWP radrad ∫ ∫=
0 0
2
( )
12
42
0 kaI
Prad
πη
=
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Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
( ) 44
2
0
2
66
2





===
λ
ππηπη aka
I
P
R radr
• e a resistência de radiação:
• Para antena com N espiras (voltas):
4
2  ππη a
37
4
2 2
6





=
λ
ππη a
NRr
• Pode-se mostrar que:






+−




≈
2
2
16
ln
2 π
λ
πη
d
aa
X in
=
=
a
d diâmetro do condutor
raio do loop
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• Finamente, a diretividade é então:
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
• Ou seja, a mesma do dipolo infinitesimal e do dipolo curto.
θφθ 2
2
3
),( senD =
38
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• Observe que os campos E e H do loop curto de corrente elétrica constante
podem ser encontrados a partir do dipolo magnético infinitesimal. Estes
podem ser encontrados via dualidade do dipolo elétrico infinitesimal,
estudado no início da Parte 4 do curso.
Antenas Filamentares: loop circular de raio pequeno
• Logo, o loop curto de corrente elétrica I0 equivale a um dipolo infinitesimal
magnético com corrente magnética M0 e comprimento quando:l
39
0
2 MajlIo ωεπ−=
• Da mesma forma, o loop curto de corrente magnética M0 equivale a um
dipolo infinitesimal elétrico com corrente elétrica I0 e comprimento quando:
0
2 IajlM o ωεπ=
l
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• Para loop circular de raio qualquer, a aproximação da corrente
constante não é aceitável. Mesmo assim, vamos manter tal relação para
observar o comportamento da antena quando aumenta-se seu tamanho
elétrico.
• Começamos da integral para encontrar o potencial A:
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
a
φφ
π
µ π
′= ∫ •′
−
adeI
r
e
rA rrjk
jkr 2
ˆ
0
4
)(
r)r
40
[ ]yxsenII ˆcosˆˆ 00 φφφ ′+′−=
π ∫r
0
4
• e:
( )φφθ ′−=•′ cosˆ asenrrr
( ) ( )φφθφφθ ′−+≈′− cos1cos jkasene jkasen
• Como não é necessariamente pequeno, não podemos utilizar a
aproximação (slide 32):
a
Não é válido para qualquera
USER
Realce
USER
Realce
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• Logo:
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
• para pontos de observação em (seguindo o livro texto [1]) :
( ) φφφ
π
µ π φφθ ′′−′≈ ∫ ′−
−
dexseny
r
eaI
rA jaksen
jkr 2
0
)cos(0 ˆˆcos
4
)(
r
0=φ
( ) φφφ
π
µ π φθ ′′−′≈ ∫ ′
−
dexseny
r
eaI
rA jaksen
jkr 2
0
cos0 ˆˆcos
4
)(
r
41
π r
0
4
φφ
π
µ
φφ
π
µ
π
φθ
π
φθ
′′=
′′−=
+=
∫
∫
′
−
′
−
de
r
eaI
A
desen
r
eaI
A
AArA
jkasen
jkr
y
jkasen
jkr
x
yx
2
0
cos0
2
0
cos0
cos
4
4
)(
r• Assim:
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• Ax é reescrito utilizando:
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
φφ φ ′+−=′ ′ cosjjesen j


′′+



′−−=
∫
∫
′
′′
−
φφ
φ
π
µ
π
φθ
π
φθφ
dej
deej
r
eaI
A
jaksen
jaksenj
jkr
x
2
cos
2
0
cos0
cos
4
• assim:
42



′′+ ∫ ′ φφ φθ dej jaksen
0
coscos
• Observando as relações:
φ
π
π
φφ dee
j
xJ jxjn
n
n ∫
−
=
2
0
cos
2
)(
• onde é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n,)(xJn
( ) φφ
π
π
φden
j
xJ jx
n
n ∫
−
=
0
coscos)(
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• encontra-se
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
)(2cos
)(2
1
2
0
cos
1
2
0
cos
θπφφ
θπφ
π
φθ
π
φθφ
kasenJjde
kasenJjdee
jaksen
jaksenj
=′′
=′
∫
∫
′
′′
• e:
43
( )[ ] ( )[ ]{ }
0
22
4
11
0
=
+−−=
−
x
jkr
x
A
kasenJjjkasenJjj
r
eaI
A θπθπ
π
µ
• A componente Ay então fica:
( )[ ] ( )θµθπ
π
µ
kasenJ
r
eajI
kasenJj
r
eaI
A
jkrjkr
y 1
0
1
0
2
2
4
−−
==
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• Observe que para :
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
0=φ
( ) ( ) φθθθ ˆˆcosˆ)( yxx AArsenArA ++=
r
• Logo:
( )φθµ ˆ
2
)( 1
0 kasenJ
r
eajI
rA
jkr−
=
rr
44
• Finalmente, os campos elétrico e magnético :
( )
( )θθ
φθ
η
ˆ
2
ˆ
2
1
0
1
0
kasenJ
r
ekaI
H
kasenJ
r
ekaI
E
jkr
jkr
−
−
−=
=
r
r
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• Encontrado as expressões das demais grandezas:
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
• A integral acima não possui solução exata, porém podem ser feitas
( ) ( )[ ]212
2
0
8
θ
η
kasenJ
r
kaI
Wrad =
( ) ( )[ ] θθθηπ
π
dsenkasenJ
kaI
Prad ∫=
0
2
1
2
0
4
45
• A integral acima não possui solução exata, porém podem ser feitas
aproximações de acordo com o tamanho do raio do loop (veja
referência [1])
a
• A diretividade é então dada por:
( )[ ]
( )[ ] θθθ
θ
φθ π
dsenkasenJ
kasenJ
D
∫
=
0
2
1
2
12),(
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• Exemplos de diagramas:
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
46
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Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
• Se (loop eletricamente grande):
2
λ
≥a
( )[ ]
ka
dsenkasenJ
1
0
2
1 ≈∫ θθθ
π
( )[ ]22),( θφθ kasenJkaD =
• Logo:
47
( )[ ]212),( θφθ kasenJkaD =
• Na prática, a aproximação de corrente constante no loop só é válida para
raio . A partir daí, a variação da corrente é melhor representada
por uma série de Fourier.
30
λ<a
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• No caso geral, quando a circunferência do loop é aproximada-
mente igual a , o máximo de radiação ocorre no eixo axial do loop, ou
seja, (direção perpendicular ao loop).
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
aC π2=
λ
00=θ
48
• Essa característica torna o loop circular atraente para utilização em
antenas Yagi-Uda (elementos de alimentação, diretores e refletores).
Huang,Y. e Boyle,K. – Antennas:from theory to practice – John Willey &Sons, 2008.
λπ == aC 2
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• Exemplo: Fabricante ETS-Lindgren, modelo 6502 (Loop Antenna)
Antenas Filamentares: loop circular de raio qualquer e I constante
49
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Exemplo 06
Antenas Filamentares
50
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• Até o presente momento, estudamos a irradiação de antenas no espaço
livre.
• A presença de obstáculos próximos à antena altera significativamente o
padrão de radiação. A energia refletida pelo obstáculo depende da sua
geometria e parâmetros constitutivos.
• Na prática, existe pelo menos um obstáculo: o solo. Mas é comum montar
antenas sobre planos (plano terra) para modificar seu diagrama de
radiação.
Antenas Filamentares: planos condutores
51
• Vamos incluir na análise da antena uma plano infinito condutor elétrico
perfeito (PEC). Apesar da situação não-real, pode-se simular os efeitos de
estruturas reais de grandes dimensões (elétricas).
• Primeiramente, vamos utilizar o conceito da Teoria das Imagens.
• Seja uma fonte de corrente elétrica J posicionada a uma alturah acima de
uma plano PEC. O campo total num ponto P qualquer é dado pela soma
do raio direto e refletido pelo plano condutor.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Antenas Filamentares: planos condutores
J
s
h
• A Teoria das Imagens mostra que podemos utilizar uma fonte virtual para
levar em consideração a onda refletida e descartar o plano condutor. Obtém-
P
direto
refletido
022 == HE
rr
011 ≠≠ HE
rr
11,µε
∞→σ
52
se então um problema equivalente com mesma solução acima do plano.
J
s
h
P
direto
h
fonte virtual
11,µε
11,µε
011 ≠≠ HE
rr
011 ≠≠ HE
rr
J
s
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Veja que a orientação da fonte virtual depende da orientação da fonte real:
J
s
h
h
fontes virtuais
fontes reais
J
s
J
s
J
s
−
J
s
J ′
s
53
• No caso de fontes de corrente magnética:
M
r
h
h
fontes virtuais
fontes reais
M
r
−
M
r
M
r
M
r
M
r
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Antenas Filamentares: planos condutores
• No caso de plano condutor magnético perfeito (PMC) ( ):
h
h
fontes virtuais
fontes reais
M
r
M
r
−
M
r
M
r
M
r
M
r
∞→mσ
54
J
s
J
s
J
s
J
s
−
J
s
J ′
s
• No caso de fontes de corrente magnética:
h
h
fontes virtuais
fontes reais
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Para o caso de loops sobre plano PEC:
J
s
h
h
fontes reais
J
s
M
r
M
r
55
fontes virtuais
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Vamos analisar o caso de um dipolo elétrico infinitesimal vertical sobre plano
PEC. Para observador na região de campo distante, temos a seguinte
geometria:
1θ
56
=
=
=
θ
θ
θ
,
,
,
22
11
r
r
r dipolo real (componente direto)
dipolo virtual (componente refletido pelo plano PEC)
ponto observador
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Os campos devidos à cada fonte são dados por:
θθ
π
η ˆ
4
1
1
0
1
sen
r
elkIj
E
jkr
d
−
=
r
θθ
π
η ˆ
4
2
2
0
2
sen
r
elkIj
E
jkr
r
−
=
r
dipolo real (componente direto)
dipolo virtual (componente refletido pelo plano PEC)
57
• Na região de campo distante e:
• Os módulos dos vetores r1 e r2 são dados por:
θcos2221 rhhrr −+= ( )θπ −−+= cos2
22
2 rhhrr
θcos1 hrr −≈
θcos2 hrr +≈
para termos 
de fase
rr ≈1
rr ≈2
para termos de 
amplitude
θθθ ≈≈ 21
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Logo, o campo total é a soma do campo direto e refletido:
• e observe que para z < 0 (região abaixo do plano) o campo total é nulo.
• O padrão de radiação do dipolo sobre o plano condutor é igual ao seu
padrão original multiplicado por um termo (entre colchetes), que chamamos
( )[ ]θθθ
π
η ˆcoscos2
4
0 khsen
r
elkIj
E
jkr−
=
r
58
padrão original multiplicado por um termo (entre colchetes), que chamamos
de fator de conjunto (veremos na Parte 5 do Curso).
• Note que agora o campo depende da posição relativa entre dipolo e plano
condutor.
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Diagramas de radiação de campo elétrico para diferentes alturas h entre
dipolo e plano:
59
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Continuando, para o dipolo sobre plano PEC:
( )
( )
( )
( ) 




+−





=
32
2
0
2
2
2
2cos
3
1
kh
khsen
kh
khlI
Prad λ
πη
( )
( )
( )
( ) 




+−




=
32
2
2
2
2
2cos
3
1
2
kh
khsen
kh
khl
Rr λ
πη
60
( ) ( )  223 khkhλ
( )θθ
λ
η
cos2cos
2
22
2
0
khsen
r
lI
Wrad 





=
( )
( )
( )
( )
( ) 




+−
=
32
22
2
2
2
2cos
3
1
cos2cos2
),(
kh
khsen
kh
kh
khsen
D
θθ
φθ
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Antenas Filamentares: planos condutores
• A diretividade máxima ocorre quando h = 0,4585λ e Ɵ = π/2, e assume o
valor de 6,566 (veja que para dipolo no espaço livre D0=1,5).
61
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Outro caso importante é um monopolo de comprimento igual a λ/4 sobre
(h=0) plano PEC:
J
s
62
• Ao utilizar a Teoria das Imagens:
“Dipolo de 
meia-onda”
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Observe que o padrão de radiação do campo elétrico será o mesmo do que
um dipolo de meia onda ( ) para a região z > 0. Caso contrário o
campo é nulo (z < 0).
• No entanto, a impedância de entrada do monopolo é metade da impedância
do dipolo de meia onda:
2
λ=l
25,215,36
5,4273
j
j
Z +=
+
=
63
25,215,36
2
5,4273
jZ in +==
• No geral, a análise para o monopolo de comprimento λ/4 pode ser estendida
para monopolo de tamanho qualquer :l
ldipoloinin
ldipoloradradldipolo
ZZ
PPEE
2
22
2
1
2
1
=
=→=
rr
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Antenas Filamentares: planos condutores
• Exemplo: Fabricante Rohde & Scwharz, modelo KH061 (monopolo)
64
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Exemplo 07
Antenas Filamentares
65
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• REFERÊNCIAS
[1] C. A. Balanis, “Antenna theory: analysis and design”, 2ed, John
Wiley & Sons, 2005, Capítulos 4 e 5.
Referências
66