4 Esperança

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Inferência Causal
Segundo Semestre de 2017 / Professores:
Augusto C. Souza; Ângela M. Coelho; Marcel T. Vieira
Revisão
Unidade 1
Valores Esperados
� O valor esperado, ou média, de uma variável �, denotado 
por �(�) ou �, é dado por:
� � =���(� = �)
�
� O valor esperado de qualquer função de �, diga-se �(�)
é dado por:
� � � =�� � �(�)
�
Exemplo
� Seja � a variável relativa ao número obtido ao lançar um 
dado honesto.
� Calcule o valor esperado de �;
� Considere uma nova variável � que represente o valor 
recebido após o lançamento do dado; sendo que deve-se 
pagar o valor que sair no dado, elevado ao quadrado. 
Qual o valor esperado de �?
Esperança Condicional
� Pode-se calcular a esperança de uma variável �
condicionada a uma outra variável �:
� �|� = � =�
�(� = 
|� = �)
�
Exemplo
� Considere a tabela contendo as idades dos eleitores que 
votaram em 2012, dada anteriormente.
� Suponha que as idades são igualmente distribuídas nos 
intervalos dados e que não hajam eleitores com mais de 
75 anos.
Grupo de Idade Número de Eleitores
18 – 29 20.539
30 – 44 30.756
45 – 64 52.013
65 + 29.641
Total 132.948
Exemplo
� Qual a idade esperada de um eleitor?
� Sabendo que um eleitor selecionado aleatoriamente tem 
menos de 45 anos, qual sua idade esperada?
Variância
� A variância de uma variável aleatória �, denotada por 
��
(�) ou ���, é dada por:
��
 � = � � − � �
� O desvio padrão (��) de uma variável aleatória � é dado 
por:
�� = ��
(�)
Exemplo
� Calcule a variância e o desvio padrão dos eleitores com 
menos de 45 anos, utilizando os dados informados na 
tabela dada anteriormente.
Covariância
� A covariância entre duas variáveis � e � ��� é dada 
por:
��� = � � − �(� )(� − � � )
� A covariância ��� é frequentemente normalizada para 
produzir o coeficiente de correlação ��� :
��� =
���
����
Exemplo
� Duas moedas honestas são lançadas ao mesmo tempo a 
fim de determinar o prêmio de dois jogadores no cassino 
de determinada cidade. O jogador 1 ganha um dólar se e 
apenas se ao menos uma das duas moedas der cara. O 
jogador 2 recebe um dólar se e apenas se as duas moedas 
derem a mesma face. Sejam � o pagamento do jogador 1e 
� o pagamento do jogador 2.
� Encontre e descreva as distribuições de probabilidade:
� �(�), �(�), �(�,�), �(�|�) e �(�|�)
� Usando as descrições do item (a), encontre:
� �(�), �(�), �(�|� = �), �(�|� = �), ��
�
, ��
�
, ���, 	��
Exemplo
� Dado que o jogador 2 ganhou um dólar, qual é seu 
melhor palpite sobre o pagamento do jogador 1?
� Dado que o jogador 1 ganhou um dólar, qual é seu 
melhor palpite sobre o pagamento do jogador 2?
� Existem dois eventos � = � e � = 
, que são 
mutuamente independentes?