EDRPCDISL IV Valeria 16 09 SEI uni II (cs) (R)(1)

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Unidade II 
 
 
ESTUDOS DISCIPLINARES 
Resolução de Problemas – Cálculo Diferencial 
e Integral e Sistemas Lineares IV 
 
 
Profa. Valéria de Carvalho 
Problemas temas de Cálculo Diferencial 
e Integral e Sistemas Lineares – Aula IV 
Exercícios 
 
 
 
Questão 1 – Enunciado 
 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas 
após sua administração, é dada pela fórmula: 
 . 
Em qual intervalo essa função é crescente? 
 
0,
)1(
10
)(
2
≥
+
= t
t
t
ty
 
Questão 1 – Alternativas 
 
a) t ≥ 0 
b) t > 10 
c) t > 1 
d) 0 ≤ t < 1 
e) 
 
10
2
1
<< t
 
Questão 1 – Resolução 
 
Para estudarmos o intervalo em que a função 
é crescente, usamos o conceito de derivada. 
 
,0,
)1(
10
)( 2 ≥+
= t
t
t
ty
 
Questão 1 – Resolução 
 
Ou seja, devemos estudar o sinal da primeira derivada de . 
Sejam f e g duas funções e y a função definida por , 
sendo . Se e existem, então 
 . 
 
)(ty
)(
)(
)(
tg
tf
ty =
0)( ≠tg )(' tf )(' tg
2)]([
)(').()(').(
)('
tg
tgtftftg
ty
−
=
 
Questão 1 – Resolução 
 
Derivando : )(ty
⇒
+
+−+
=
22
2
])1[(
)1.(2.1010.)1(
)('
t
ttt
ty
4
2
4
22
22
2
)1(
1010
)('
)1(
2020102010
)('
])1[(
)1(2010).12(
)('
+
+−
=⇒
⇒
+
−−++
=⇒
⇒
+
+−++
=⇒
t
t
ty
t
tttt
ty
t
tttt
ty
 
 
As raízes de são: 
 
Questão 1 – Resolução 
 
)(
)(
)1(
1010
)('
4
2
tb
ta
t
t
ty =
+
+−
=
1010)( 2 +−= tta
11
10
10
1010
010100)(
1010)(
2
22
2
2
±=⇒=⇒
⇒=⇒=⇒
⇒=+−⇒=⇒
⇒+−=
tt
tt
tta
tta
 
Questão 1 – Resolução 
 
A função é sempre positiva, 
exceto em sua raiz, -1. 
 
4)1()( += ttb
101
0)1(0)1(
0)()1()(
44
4
−=⇒=+⇒
⇒=+⇒=+⇒
⇒=⇒+=
tt
tt
tbttb
 
Questão 1 – Resolução 
 
A função y’(t), portanto, terá o mesmo sinal que a função a(t), 
uma vez que o sinal de b(t) não influirá no sinal do quociente 
entre as funções a(t) e b(t). 
 
 
Questão 1 – Resolução 
 
Assim, temos valores positivos para a função em . 
Não podemos considerar o intervalo , pois temos a 
condição . 
Alternativa correta: D. 
 
)(' ty 10 <≤ t
11 <<− t
0≥t
 
 
 
 
INTERVALO 
Questão 2 – Enunciado 
Analisando a função , definida no 
domínio D = { }, um estudante de 
cálculo diferencial escreveu o seguinte: 
 
)2()1(),( 2 yxyxxyxf −+−=
Questão 2 – Enunciado 
 A função f tem um ponto de mínimo global em D. 
 porque 
 O ponto (0,0) é um ponto crítico de f. 
 
Questão 2 – Alternativas 
A respeito da afirmação feita pelo 
estudante, assinale a opção correta: 
a) As duas asserções são proposições verdadeiras 
e a segunda é uma justificativa correta da primeira. 
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas 
a segunda não é uma justificativa correta da primeira. 
c) A primeira asserção é uma proposição 
verdadeira e a segunda é falsa. 
d) A primeira asserção é uma proposição 
falsa e a segunda é verdadeira. 
e) Ambas as asserções são proposições falsas. 
 
 
Questão 2 – Resolução 
 
Sendo a função 
 
 
a condição necessária para que o ponto , interior ao 
domínio da função ( ), seja máximo global é que seja 
ponto crítico de , 
 
 
 
 
e . 
2 3 2 2( , ) ( 1) (2 ) 2f x y x x y x y x x xy y= − + − = − + −
),( 00 yx
fD ),( 00 yx
f
0),( 002
2
≤yx
dx
d
0),( 002
2
≤yx
dy
d
 
Questão 2 – Resolução 
 
 
 
e 
 
 
 
e 
yxxyx
dx
d
223),( 2 +−=
0)0,0( =
dx
d
yxyx
dy
d
22),( −=
0)0,0( =
dy
d
 
Questão 2 – Resolução 
 
Logo, é ponto crítico. 
Mas é necessário também: 
 e . 
 
 e 
 
 . 
 
 
 
e . 
 
)0,0(
0)0,0(
2
2
≤
dx
d
0)0,0(
2
2
≤
dy
d
26),(
2
2
−= xyx
dx
d
02)0,0(
2
2
≤−=
dx
d
2),(
2
2
−=yx
dy
d
02)0,0(
2
2
≤−=
dy
d
 
Questão 2 – Resolução 
 
Logo, é ponto máximo global. 
As duas proposições são verdadeiras, mas afirmar que a função 
tem um ponto máximo global, pois é ponto crítico, não é 
verdade, porque temos de verificar também se 
 
 e . 
)0,0(
0)0,0(
2
2
≤
dx
d
0)0,0(
2
2
≤
dy
d
)0,0(
 
Questão 2 – Resolução 
 
Alternativa correta: B. 
(As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a 
segunda não é uma justificativa correta da primeira) 
 
 
 
 
 
INTERVALO 
Questão 3 – Enunciado 
Considere f: R→R uma função derivável até a ordem 2, pelo 
menos, tal que f(–2) = 0, f(–1) = –1, f(0) = –2, f(1) = 1 e f(2) = 2. 
O gráfico da derivada de primeira ordem, f’, tem o aspecto 
apresentado a seguir. 
 
Questão 3 – Enunciado 
Questão 3 – Enunciado 
Com base nos valores dados para a função f e no gráfico 
de sua derivada f’, faça o que se pede nos itens a seguir. 
a) Na reta abaixo, represente com setas ou os 
intervalos em que a função f é crescente ou 
decrescente, respectivamente. 
 
 
Questão 3 – Enunciado 
b) Calcule . 
c) Quais são os pontos de máximo e 
de mínimo relativos (locais) de f? 
d) Quais são os pontos de inflexão de f? 
 
)(lim)(lim xfexf xx +∞→−∞→ 
Questão 3 – Enunciado 
e) No sistema de eixos coordenados abaixo, 
faça um esboço do gráfico da função f. 
 
Questão 3 – Resolução 
a) Nos intervalos ]–∞, –2[ e ]0,2[, f’ é positiva e, portanto, 
f é crescente. 
 Nos intervalos ]–2,0[ e ]2,+∞[, f’ é negativa e, portanto, 
f é decrescente. 
 Desse modo, temos a situação esquematizada na figura. 
 
 
 
 -2 -1 0 1 2 
 
Questão 3 – Resolução 
b) Os extremos de f’(x) divergem tanto para 
como para . 
 Logo, f(x) também diverge para esses valores. 
 Há pontos críticos da função em x = –2, x = 0 e x = 2. 
Portanto, e . 
−∞→x 
+∞→x 
−∞=
−∞→
)(lim xf
x
 −∞=
+∞→
)(lim xf
x
 
Questão 3 – Resolução 
c) Nos pontos de máximo e de mínimo de f(x), temos f’(x) = 0. 
Do gráfico dado, esses pontos ocorrem nas abscissas x = –2, 
x = 0 e x = 2. 
 Em x = 0 temos uma mudança da função f quanto à 
monotonicidade, passando de decrescente para crescente. 
Portanto, f(0) = –2 é um mínimo local da função. 
 Um ponto de mínimo relativo é (0, –2). 
 
Questão 3 – Resolução 
 Em x = –2 e x = 2 temos uma mudança da função f quanto à 
monotonicidade, passando de crescente para decrescente. 
 Temos em f(–2) = 0 e f(2) = 2 máximos locais da função. 
 Portanto, (–2,0) e (2,2) são pontos de máximo relativo. 
Questão 3 – Resolução 
d) Nos pontos de inflexão de f(x), temos f’’(x) = 0. Isso ocorre 
nos pontos de máximo e mínimo locais de f’(x). Do gráfico 
dado, esses pontos ocorrem nas abscissas x = –1 e x = 1. 
 f(–1) = –1 e f(1) = 1 
 Portanto, os pontos (–1,–1) e (1,1) 
são os pontos de inflexão de f. 
 
Questão 3 – Resolução 
e) De acordo com as análises feitas nos itens anteriores, 
temos o gráfico apresentado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
INTERVALO 
Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado 
Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado 
A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
grande interesse. Questionam-se, entreoutros aspectos, os 
efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento 
relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a 
ser retirada – o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é 
de 1.850 m3/s. 
Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse 
assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos 
o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do 
Ministério da Integração Nacional. 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de 
reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão 
beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, 
obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que: 
 
Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, assinale a opção correta: 
 
 
Questão 4 (Enade 2005) – Alternativas 
a) O sistema linear proposto pelo professor 
é indeterminado, uma vez que det(A) = 0. 
b) A transposição proposta vai beneficiar 
menos de 11 milhões de habitantes. 
c) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco 
serão retirados com a transposição, o que 
pode provocar sérios danos ambientais. 
d) O custo total estimado da obra 
é superior a 4 bilhões de reais. 
e) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é 
linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula. 
 
Questão 4 (Enade 2005) – Resolução 
Pelos dados do enunciado, temos: 
 retirada de x m3/s de água; 
 custo total estimado da obra de y bilhões de reais; e 
 número z de habitantes beneficiados pelo projeto. 
Assim, fazemos: 
 
Questão 4 (Enade 2005) – Resolução 
 
 





=−
=−
=−+
⇒










=




















−
−
−
)(22
)(44
)(1122
2
4
11
.
201
140
221
IIIzx
IIzy
Izyx
z
y
x
 
Questão 4 (Enade 2005) – Resolução 
Multiplicando a equação (I) por –1 e somando-a à 
equação (III), temos o seguinte sistema equivalente: 
 
 





−=−
=−
=−+
92
44
1122
y
zy
zyx
 
Questão 4 (Enade 2005) – Resolução 
Logo: 
 y = 4,5 bilhões de reais; 
 z = 4y – 4 = 4.4,5 – 4 = 14 milhões de habitantes; e 
 x = 11 – 2y + 2z = 11 – 9 + 28 = 30m3/s (menos de 
2% da vazão do rio, pois 2% de 1850 são 37 m3/s). 
Alternativa correta: D 
(o custo total y estimado da obra 
é superior a 4 bilhões de reais) 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Problemas temas de Cálculo Diferencial�e Integral e Sistemas Lineares – Aula IV
	�Questão 1 – Enunciado�
	�Questão 1 – Alternativas�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	�Questão 1 – Resolução�
	Slide Number 12
	Questão 2 – Enunciado
	Questão 2 – Enunciado
	Questão 2 – Alternativas
	�Questão 2 – Resolução�
	�Questão 2 – Resolução�
	�Questão 2 – Resolução�
	�Questão 2 – Resolução�
	�Questão 2 – Resolução�
	Slide Number 21
	Questão 3 – Enunciado
	Questão 3 – Enunciado
	Questão 3 – Enunciado
	Questão 3 – Enunciado
	Questão 3 – Enunciado
	Questão 3 – Resolução
	Questão 3 – Resolução
	Questão 3 – Resolução
	Questão 3 – Resolução
	Questão 3 – Resolução
	Questão 3 – Resolução
	Slide Number 33
	Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado
	Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado
	Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado
	Questão 4 (Enade 2005) – Enunciado
	Questão 4 (Enade 2005) – Alternativas
	Questão 4 (Enade 2005) – Resolução
	Questão 4 (Enade 2005) – Resolução
	Questão 4 (Enade 2005) – Resolução
	Questão 4 (Enade 2005) – Resolução
	Slide Number 43