APOSTILA CÁLCULO DIFERENCIAL

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Cálculo Diferencial 
 
 Autores: Allan Silva Ferreira 
Érika Deolinda C. T. Vidigal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE / 2016
 Cálculo Diferencial 
 
 
2 | P á g i n a 
 
Sumário 
 
 
Unidade 1 - Fundamentos .......................................................................................................... 4 
 
Unidade 2 - Funções ................................................................................................................ 23 
 
Unidade 3 - Trigonometria ....................................................................................................... 82 
 
Unidade 4 - Limites ................................................................................................................. 111 
 
Unidade 5 - Derivada ............................................................................................................ 133 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
3 | P á g i n a 
 
 Unidade 1 FUNDAMENTOS: Nesta etapa inicial, estudaremos os fundamentos da 
álgebra, revisaremos alguns conceitos importantes essenciais para a introdução de nossa 
disciplina. 
 
 Unidade 2  FUNÇÕES: Introduziremos aqui o conceito de função que será uma unidade 
bastante extensa, mas muito importante para criação de uma base sólida nessa área de 
exatas.. 
 
 Unidade 3 TRIGONOMETRIA: Nesta unidade, estudaremos conceitos elementares de 
trigonometria, o ciclo trigonométrico bem como as funções circulares. 
 
 Unidade 4 LIMITES: Aqui daremos início ao estudo do Cálculo Diferencial, discutiremos a 
ideia de Limites e também suas propriedades! 
 
 Unidade 5 DERIVADA: Nesta unidade, introduziremos o conceito de derivada, 
estudaremos as derivadas como taxa de variação bem como sua aplicabilidade em diversas 
áreas de conhecimento. Discutiremos a construção do gráfico de uma função e a solução de 
problemas de otimização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
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Unidade 1: Fundamentos 
 
1. Conteúdo Didático 
 
 
 
Nesta unidade, revisaremos diversos assuntos relacionados à matemática elementar, estudada no 
ensino fundamental e médio, portanto evitaremos aqui definições extensas a não ser, é claro, que 
sejam de extrema relevância. 
 
Ao longo desta unidade, espero que você seja capaz de compreender e dominar tais fundamentos 
elementares. 
 
Vamos começar? 
 
1.1 Conjuntos numéricos 
 
 
1.1.2 Conjunto dos Números Naturais ( ℕ) 
 
É um conjunto infinito, porém enumerável, formado pelo zero e por todos os números inteiros 
positivos. É representado pelo símbolo ℕ, onde: 
 
 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓,… } 
 
 
 
ℕ∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O símbolo ℕ∗ representa o conjunto dos números naturais não-nulos, 
perceba que não há neste conjunto a presença do número zero. 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
5 | P á g i n a 
1.1.3 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) 
 
É um conjunto infinito, porém enumerável, formado pelos números inteiros negativos, o número zero 
e pelos números inteiros positivos. É representado pelo símbolo ℤ, onde: 
 
 
ℤ = {… , −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
ℤ∗ = {… ,−𝟓,−𝟒,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓,… } 
 
 
ℤ+ = {, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
ℤ− = {… , −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎} 
 
 
 
ℤ+
∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
 
ℤ−
∗ = {… , −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.4 Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 
É um conjunto infinito, porém não enumerável de números, por este motivo não conseguimos 
representá-los nomeando seus elementos, como mostrado no conjunto dos números naturais e 
inteiros. Assim iremos representar este conjunto pelo símbolo ℚ através de uma propriedade: 
 
ℚ = {𝑥⃓ 𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℤ 𝐞 b ∈ ℤ∗} 
 
 
 
 
 
O símbolo ℤ+ representa o conjunto dos inteiros não negativos de forma análoga ℤ− 
representa os inteiros não positivos. Enquanto ℤ+
∗ representa os inteiros positivos e 
ℤ−
∗ os inteiros negativos. Esta notação também será utilizada no estudo dos próximos 
conjuntos. 
 
 
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6 | P á g i n a 
O conjunto dos números racionais é o conjunto formado por números que podem ser escritos na 
forma de fração do tipo 𝑎/𝑏, com a e b números inteiros e 𝑏 ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.5 Conjunto dos Números Reais (𝕽) 
 
É o conjunto formado pela união dos Racionais com os Irracionais, é representado pelo símbolo 𝕽. 
 
𝕽 = ℚ ∪ 𝕀 = {𝒙⃓ 𝒙 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝕀} 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
São números racionais: 
 3,14; pois pode ser escrito na forma de fração → 314/100 
 0,3333... , pois pode ser escrito na forma de fração→ 3/9 
 5, pois pode ser escrito na forma de fração→ 15/3. 
Generalizando, podemos dizer que são números racionais: 
 Todos os números naturais; 
 Todos os números inteiros; 
 Todos os números decimais exatos; 
 Todas as dizimas periódicas. 
Os números, que não podem ser escritos na forma de fração não são números Racionais, 
são conhecidos como números irracionais ( 𝕀 ), são eles: 
 As dizimas não periódicas; 
 As raízes não exatas; 
 O número 𝑝𝑖 ( 𝜋 ) 
 O número de Euler ( ℯℯ). 
 
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7 | P á g i n a 
1.1.5.1 Intervalo Real. 
 
Podemos representar um intervalo real de três maneiras diferentes. Para um melhor 
entendimento, iremos representar o intervalo dos números reais maiores que -3 de três maneiras. 
 
Veja: 
 
 Representação gráfica 
 
 
 
 -3 
 
 Propriedade 
{𝒙 ∈ 𝕽⃓𝒙 > −𝟑} 
 
 
 Notação de intervalo 
]−𝟑,+∞[ 
 
 
Veja mais alguns exemplos de intervalo: 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: 
 
 
 
 - 5 5 
{𝒙 ∈ 𝕽⃓ − 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟓} 
 
 ]−5,5] 
 
 
 Intervalo fechado à esquerda e fechado à direita: 
 
 
 0 2 
 {𝒙 ∈ 𝕽⃓𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐} 
 
 [0,2] 
E, assim por diante... 
 
 
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8 | P á g i n a 
 1.1.6 Conjunto dos Números Complexos (ℂ) 
 
É o conjunto formado por números do tipo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 sendo a e b números reais e ‘i’ a unidade 
imaginária, tal que 𝑖² = −1 
 
 
Nossa apostila será fundamentada no conjunto dos números Reais apenas, sendo 
desnecessário o aprofundamento teórico deste conjunto. 
 
 
Quadro resumo: 
 
 
 
 
 
 
1.2 Potenciação e Radiciação no conjunto dos números reais. 
 
 
1.2.1 Potências 
 
Em toda potência, temos: 
𝑎𝑛= 𝑝 
 
 
Onde: {
𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑛 = 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑝 = 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
 
 
 
Fonte: http://www.querocursos.com.br/wp-content/uploads/2013/04/conjuntos-numericos.png 
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9 | P á g i n a 
Inicialmente, iremos definir a potência em 3 situações envolvendo expoentes naturais, ou seja, 𝑛 ∈ ℕ: 
 
 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0 ⇒ 𝑎0 = 1 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1 ⇒ 𝑎1 = 𝑎 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 ⇒ 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
 
1.2.1.1 Propriedades. 
 
 
Recordaremos, agora, as propriedades operatórias das potências. São elas: 
 
 
 
 𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 
 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 
 (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 
 (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 (𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 
 𝑎−𝑛 = (
1
𝑎
)
𝑛
 
 (𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 ≠ 0 
 
Quanto ao sinal, verifica-se o seguinte (sendo 𝑎 ≠ 0): 
 (±𝑎)𝑝𝑎𝑟 = 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
 (±𝑎)í𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝑚𝑎𝑛𝑡é𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
 
 
 
 
 
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10 | P á g i n a 
Veja a aplicação das propriedades na resolução dos seguintes exemplos: 
 
Exemplo 01: 
 
Simplifique as expressões a seguir: 
𝑎) 
2³ ∙ 3² ∙ (2³)5 ∙ (
1
3)
−3
(2³)4 ∙ 3−2 ∙ 2³ ∙ 37
 
 
Solução: 
2³ ∙ 3² ∙ (2³)5 ∙ (
1
3)
−3
(2³)4 ∙ 3−2 ∙ 2³ ∙ 37
=
2³ ∙ 3² ∙ 215 ∙ 33
212 ∙ 3−2 ∙ 2³ ∙ 37
= 
 
2³ ∙ 215 ∙ 3² ∙ 3³
212 ∙ 2³ ∙ 3−2 ∙ 37
=
218 ∙ 35
215 ∙ 35
= 23 = 8 
 
𝑏) 
(2𝑥²𝑦³𝑧)3
4𝑥4𝑦8
 
 
Solução: 
(2𝑥²𝑦³𝑧)3
4𝑥4𝑦8
=
2³ ∙ (𝑥²)3 ∙ (𝑦³)3 ∙ 𝑧3
4 ∙ 𝑥4 ∙ 𝑦8
=
8 ∙ 𝑥6 ∙ 𝑦9 ∙ 𝑧³
4 ∙ 𝑥4 ∙ 𝑦8
= 2𝑥²𝑦𝑧³ 
 
 
 
1.2.2 Radicais 
 
Em todo radical, temos: 
 
√𝑎
𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑒: {
𝑛 → í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 
𝑎 → 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
 
 
 
Segundo (Iezzi - 2007), podemos definir a raiz n-ésima de um número real da seguinte forma: 
 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎 
Veja: 
 √8
3
= 2 ⇔ 23 = 8 
 √−32
5
= −2 ⇔ (−2)5 = −32 
 
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11 | P á g i n a 
1.2.2.1 Propriedades 
 
Recordaremos, agora, as propriedades operatórias dos radicais sendo a e b reais não negativos, m 
interio e n e p naturais não nulos. São elas: 
 
 √𝑎
𝑛 × √𝑏
𝑛
= √𝑎 × 𝑏
𝑛
 
 √𝑎
𝑛 ÷ √𝑏
𝑛
= √𝑎 ÷ 𝑏
𝑛
 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 √√𝑎
𝑛𝑝 = √𝑎
𝑝𝑛
 
 (√𝑎
𝑛
)
𝑝
= √𝑎𝑝
𝑛
 
 √𝑎𝑝
𝑛
= 𝑎
𝑝
𝑛 
 √𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚∙𝑝
𝑛∙𝑝
 
 √𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚÷𝑝
𝑛÷𝑝
 
Veja a aplicação das propriedades na resolução dos seguintes exemplos: 
 
Exemplo 02: 
 
Efetue as divisões e multiplicações a seguir: 
𝑎) √2
5
× √3
5
 
 
Solução: 
√2
5
× √3
5
= √2 × 3
5
= √6
5
 
 
𝑏) √2
5
÷ √3
5
 
 
Solução: 
√2
5
÷ √3
5
=
√2
5
√3
5 = √
2
3
5
 
 
1.3 Equações do primeiro e segundo graus. 
Denomina-se equação toda sentença matemática expressa por uma igualdade envolvendo uma ou 
mais incógnitas. Iremos começar nossos estudos com equações com uma incógnita apenas. 
Resolver uma equação é encontrar o valor da incógnita que satisfaça a igualdade, ou seja, que torne 
a igualdade verdadeira. Veja um exemplo: 
22𝑥 + 52 = 118 
 
 
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12 | P á g i n a 
Para resolver esta equação devemos isolar a variável ‘x‘ em um dos membros da igualdade. 
22𝑥 = 118 – 52 
22𝑥 = 66 
𝑥 =
66
22
 
𝑥 = 3 
O grau de uma equação é definido pelo maior expoente na variável x, neste exemplo resolvemos uma 
equação de 1º grau. 
 
 
1.3.1 Equação de 1º grau 
 
Denomina-se equação de 1º grau toda equação do tipo 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 𝒄𝒐𝒎 𝒂 ≠ 𝟎. Para encontrarmos 
sua raiz ou solução, basta isolar a variável x. 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 
𝒂𝒙 = −𝒃 
𝒙 = −
𝒃
𝒂
 
Exemplo 03: 
 
Resolva a equação a seguir: 
 
 3𝑥 + 2(𝑥 + 6) = 3(2 − 𝑥) + 4 
 
Resolução: 
3𝑥 + 2(𝑥 + 6) = 3(2 − 𝑥) + 4 
3𝑥 + 2𝑥 + 12 = 6 − 3𝑥 + 4 
3𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 6 + 4 − 12 
8𝑥 = −2 
𝑥 = −
2
8
 
𝑥 = −
1
4
⇒ 𝑆 = {−
1
4
} 
 
1.3.2 Equação de 2º grau (Equação Quadrática) 
 
Denomina-se equação do 2º grau ou equação quadrática toda equação do tipo 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Com a ≠ 0, 
Denomina-se raiz, ou solução de uma equação o valor de x que torna a sentença verdadeira. 
Vejamos agora como encontramos as raízes de uma equação de 2º grau começando pelas equações 
incompletas: 
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13 | P á g i n a 
 1º caso: 𝒂𝒙² − 𝒄 = 𝟎 
Basta isolar a variável x. 
𝒂𝒙𝟐 − 𝒄 = 𝟎 
𝑎𝑥² = 𝑐 
𝑥2 =
 𝑐
𝑎
 
𝑥 = ± √
𝑐
𝑎
 
Exemplo 04: 
Resolva a equação 3𝑥² − 12 = 0. 
 
Solução: 
3𝑥² − 12 = 0 
3𝑥2 = 12 
𝑥² =
12
3
 
𝑥² = 4 
𝑥 = ∓√4 
𝑥 = ±2 
 𝑆 = {−2,2} 
 
 2º caso: 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 = 𝟎 
 
Neste caso, devemos fatorar o primeiro membro da igualdade colocando o fator comum em 
evidência. Veja: 
𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 = 𝟎 
 
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
 Como o produto encontrado acima é nulo, temos a seguinte condição: 
 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 = 0 
 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
 
 
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14 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: 
Resolva a equação 𝑥² − 12𝑥 = 0. 
 
𝑥² − 12𝑥 = 0 
𝑥(𝑥 − 12) = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 12 = 0 
 
 
𝑆 = {0,12} 
 
 
 
 2º caso: 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Aqui iremos resolver equações quadráticas completas, para isso utilizaremos a fórmula de Báskara. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
Perceba que a existência de raízes está condicionada ao radicando (𝑏2 − 4𝑎𝑐), conhecido pela 
letra grega ∆ (Delta). 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
 𝑒 𝑥′′ =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
 
 
 
 
𝑥 = 12 
 IMPORTANTE: 
 
Quando resolvemos equações de 2º grau incompletas do tipo 
𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 = 0 , uma de suas raízes será sempre o número zero! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 | P á g i n a 
Discriminante delta. 
O valor de ∆ é que determina quantas raízes reais a equação pode assumir. Veja: 
 
 
 
Exemplo 05: 
Resolva a equação 𝑥² − 10𝑥 + 16 = 0. 
Solução: 
Inicialmente devemos encontrar o discriminante ∆ 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−10)² − 4(1)(16) 
∆= 100 − 64 
∆= 36 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−10) ± √36
2(1)
 
 
𝑥 =
10 ± 6
2
{
𝑥′ =
10 + 6
2
=
16
2
= 8
𝑥′′ =
10 − 6
2
=
4
2
= 2
 
 
𝑆 = {2,8} 
 
Verifique que o discriminante delta encontrado (∆= 36) foi maior que zero, de fato encontramos duas 
raízes reais distintas como era esperado! 
 
• A equação assume duas raízes reais 
distintas. 𝑥′ ≠ 𝑥′′ 
Para ∆ > 0 
• A equaçãoassume uma única raiz real. 
𝑥′ = 𝑥′′ 
Para ∆ = 0 
• A equação não assume raízes reais. 
𝑥 ∉ ℝ 
Para ∆ < 0 
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16 | P á g i n a 
1.4. Fatoração de polinômios. 
Aqui fortaleceremos nosso envolvimento com a álgebra, pois o que será visto neste tópico será 
utilizado durante todo o curso! A fatoração será largamente utilizada em nossa disciplina. Uma de 
suas maiores aplicações ocorre na simplificação de expressões algébricas. 
 
1.4.1 Produtos notáveis 
 
São eles: 
 (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
 (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
 𝑎² − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³ 
 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎³ − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏³ 
 𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏²) 
 𝑎³ − 𝑏³ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏²) 
Exemplo 06: 
Simplifique a expressão a seguir 
 
𝑥² − 49
𝑥² − 14𝑥 + 49
 
 
Solução: 
Perceba que o numerador pode ser escrito da seguinte forma 𝑥² − 7² (diferença de quadrados) logo, 
sua fatoração é (𝑥 + 7)(𝑥 − 7) 
Já o denominador pode ser um trinômio do quadrado perfeito, ou seja ,pode ser escrito na forma 
(𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 . Para isso, basta calcular a raiz quadrada das extremidades e, em seguida, 
conferir o resultado! Veja o esquema: 
𝑥² − 14𝑥 + 49 
 
 
 
(𝑥 − 7)² 
Conferindo... 
(𝑥 − 7)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(7) + (7)2 
(𝑥 − 7)2 = 𝑥² − 14𝑥 + 49 OK! 
Veja como ficou: 
𝑥² − 49
𝑥² − 14𝑥 + 49 
⇒ 
(𝑥 + 7)(𝑥 − 7)
(𝑥 − 7)²
 ⇒ 
𝑥 + 7
𝑥 − 7
 
 
 
√𝑥² = 𝑥 
Extrair a raiz quadrada das extremidades 
√49 = 7 
Extrair a raiz quadrada das extremidades 
 
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17 | P á g i n a 
Exemplo 07: 
Simplifique a expressão a seguir 
 
𝑥³ − 8
𝑥² + 2𝑥 + 4
 
 
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 
𝑥³ − 8
𝑥² + 2𝑥 + 4
 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 
𝑥³ − 2³
𝑥² + 2𝑥 + 4
 
 
Encontramos no numerador um produto notável do tipo a³ - b³ , uma diferença de cubos. 
 
𝑥3 − 23
𝑥2 + 2𝑥 + 4
= 
 
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 𝑥 ∙ 2 + 22)
𝑥2 + 2𝑥 + 4
= 
 
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
𝑥2 + 2𝑥 + 4
= 
 
𝑥 − 2 
 
 
 
1.4.2 Escrevendo o fator comum em evidência. 
 
 
Técnica utilizada quando percebemos a existência de um fator comum a todos os termos 
numa dada expressão! 
 
Veja o processo executado no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 08: 
Fatore o polinômio 15𝑥³ + 5𝑥² + 10𝑥 
 
Solução: 
Para encontar o fator comum devemos, inicialmente, fatorar todos os termos do polinômio, veja: 
15𝑥³ + 5𝑥² + 10𝑥 
 
3 ∙ 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 5 ∙ 𝑥 
 
Note que o fator 5x é comum a todos os termos do polinômio! Então ele será colocado em evidência. 
 
Ficando assim: 
5𝑥(3𝑥2 + 𝑥 + 2) 
 
 
Para conferir, basta efetuar o produto: 
 
 
5𝑥(3𝑥2 + 𝑥 + 2) = 15𝑥³ + 5𝑥² + 10 
 
 Conferido! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
Nem sempre encontramos fatores comuns em todos os termos de um 
polinômio. Em alguns casos, percebermos a existência de fatores comuns 
em grupos distintos em uma mesma expressão, nesta situação... devemos 
agrupar os termos convenientemente. Em seguida, escrever o fator comum 
em cada grupo. Esta técnica é conhecida como fatoração por agrupamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 | P á g i n a 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 09: 
Fatore a expressão 𝑥𝑦 + 𝑦² + 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦. 
Solução: 
 
Verificamos a existência de dois grupos que possuem fatores comuns. 
 
𝑥𝑦 + 𝑦² + 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦 
 
Agora devemos colocar o fator comum em evidência em ambos os grupos: 
 
𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦 
 
 
𝑦(𝑥 + 𝑦) + 𝑧(𝑥 + 𝑦) 
 
 
(𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧) 
 
 
1.4.3 Teorema da decomposição 
 
Segundo (Iezzi-2007) um polinômio de grau n, n ≥ 1, dado por: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛 ≠ 0 
 
pode ser decomposto em ‘n’ fatores do primeiro grau sob a forma: 
 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑟1) ∙ (𝑥 − 𝑟2) ∙ … ∙ (𝑥 − 𝑟𝑛) 
 
𝑶𝒏𝒅𝒆: {
𝒓𝟏, 𝒓𝟐, 𝒓𝒏𝒔ã𝒐 𝒂𝒔 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑(𝒙) 
𝒂𝒏 é 𝒐 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒑(𝒙)
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
20 | P á g i n a 
 
Para melhor compreensão deste teorema, vamos resolver o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 10: 
Fatore o polinômio 𝑥² − 8𝑥 − 20. 
 
Solução: 
O polinômio a ser fatorado é de grau 2, do tipo ax² + bx + c. 
Logo, segundo o terorema da decomposição, podemos escrevê-lo na forma: 
𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑟1) ∙ (𝑥 − 𝑟2) 
Sabemos que a = 1 e 𝑟1, 𝑟2 representam as raízes do polinômio 
 
Calculando as raízes de x² - 8x - 20 ... 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−8)² − 4(1)(−20) 
∆= 64 + 80 
∆= 144 
 
Temos que a = 1 , 𝑟1 = 10 e 𝑟2 = −2 
 
Logo: 
𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑟1) ∙ (𝑥 − 𝑟2) = 1(𝑥 − 10)[𝑥 − (−2)] = 
(𝑥 − 10)(𝑥 + 2) 
Como podemos observar a fatoração do polinômio 𝑥² − 8𝑥 − 20 é (𝑥 − 10)(𝑥 + 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−8) ± √144
2(1)
=
8 ± 12
2
{
𝑥′ =
8 + 12
2
=
20
2
= 10
𝑥′
′
=
8 − 12
2
=
−4
2
= −2
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
21 | P á g i n a 
2. Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎){𝑥 ∈ ℜ| √2 < 𝑥 ≤ 5} 
𝑏){𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ≤ 2} 
𝑐){𝑥 ∈ ℜ| 0 < 𝑥 < 2} 
𝑑){𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ≤ −15} 
Exercício 01. 
Escreva com notação de intervalo 
e represente na reta real os 
conjuntos a seguir: 
 
𝑎) − 0,8𝑥 − 2 = 𝑥 − 5,6 
𝑏) √2𝑥² − 𝑥 = 0 
𝑐) 4𝑥² + 12𝑥 + 15 = 0 
𝑑) 
3𝑥 − 7
12
+
𝑥 − 1
8
=
2𝑥 − 3
6
 
Exercício 02. 
Resolva as seguintes equações 
em ℜ. 
 
𝑎) 𝑥² + 3𝑥4 − 2𝑥7 
𝑏) 16𝑥² − 36 
𝑐) 𝑥³ − 2𝑥2 + 𝑥 + 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 
𝑑) 8𝑥³ − 27 
e) 4𝑥² − 16𝑥 + 16 
 
Exercício 03. 
Fatore os polinômios abaixo: 
 
𝑎) (2𝑥 + 1)² 
𝑏) (2 − 3𝑥)² 
𝑐) (−𝑥 + 3)² 
𝑑) (2 + 𝑦)³ 
𝑒) (1 − 2𝑥)³ 
Exercício 04. 
Efetue os produtos notáveis 
 
𝑎³ − 𝑏³
𝑎²𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏²𝑐
 
Exercício 05. 
Qual é a forma mais simples de se 
escrever: 
 
 
 √
228 + 230
10
3
 
Exercício 08. 
Determine o valor da expressão abaixo 
 
 
Exercício 07. 
Sabe-se que a e b são as medidas dos lados 
de um retângulo de área 32 e perímetro 24. 
Fatore a expressão 22 33 abba  e determine 
seu valor numérico nas condições dadas. 
 
a) 1152 
b) 768 
c) 1536 
d) 386 
 
(
𝑎² + 𝑎
𝑥² + 𝑥
∙
𝑥² − 1
𝑎² − 1
) ÷ (
𝑥² − 𝑥
𝑎² − 𝑎
) 
Exercício 06. 
Simplifique a expressão:Cálculo Diferencial 
 
 
22 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) ]−∞ , 2] 
𝑐) ]0,2[ 
𝑑) ]−∞,−15] 
𝑎) 𝑆 = {2} 
𝑏) 𝑆 = {0,
√2
2
} 
𝑐) 𝑆 = ∅ 
𝑑) 𝑆 = {5} 
𝑎) 𝑥²(1 + 3𝑥2 − 2𝑥5) 
𝑏) 4(2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) 
𝑐) (𝑥 − 1)²(𝑥 + 𝑦) 
𝑑) (2𝑥 − 3)(4𝑥² + 6𝑥 + 9) 
𝑒) 4(𝑥 − 2)² 
 
01- 
𝑎) ]√2 , 5] 
 
02- 
 
03- 
 
 
𝑎) 4𝑥² + 4𝑥 + 1 
𝑏) 9𝑥² − 12𝑥 + 4 
𝑐) 𝑥² − 6𝑥 + 9 
𝑑) 𝑦³ + 6𝑦² + 12𝑦 + 8 
𝑒) − 8𝑥3 + 12𝑥2 − 6𝑥 + 1 
𝑎 − 𝑏
𝑐
 
(
𝑎
𝑥
)
2
 
29 = 512 
04- 
 
05- 
 
06- 
 
07- 
Alternativa a 
 
08- 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
23 | P á g i n a 
Unidade 2: Funções 
 
1. Conteúdo Didático 
 
Segundo (Facchini-2006), o conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. 
Antes questionarmos se tal colocação de fato é verdadeira... vamos, a princípio, ver algumas 
situações em que este conceito é utilizado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consegue imaginar quantas e quais situações em que este conceito é utilizado? 
 
(Thomas-2012) menciona que as funções são ferramentas que descrevem o mundo real em termos 
matemáticos! De fato, com o estudo das funções adquirimos habilidades para modelar 
matematicamente diversas situações vivenciadas em nosso dia a dia, tanto no trabalho quanto em 
nossa vida pessoal. Vamos começar? 
 
1.1 Definição 
 
 
 
Iniciaremos nosso estudo sobre funções de modo 
bastante informal... podemos dizer que uma função 
se comporta como uma máquina. 
Tal máquina recebe um valor de entrada ‘x’ e o 
transforma em um valor de saída ‘y’. de modo que 
esta transformação seja unívoca, ou seja, cada 
valor de x inserido na máquina será transformado 
em um único valor ‘y’. 
Veja, a seguir, a definição formal de função! 
https://www.google.com.br/search?q=fun%C3%A7%C3%A3o&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=
UDLMUuHXOJLwkQeMnoCICw&ved=0CAcQ_AUoAQ&biw=1320&bih=667#q=fun%C3%A7%C3
%A3o+conceito+matem%C3%A1tica+maquina&tbm=isch&facrc=_&imgdii=_&imgrc=g2jJiVSfozi8
RM%3A%3BZgbPTa26GKYdVM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathmais.formalta.com%252
FImagens%252FJogos%252Ffuncoes.JPG%3Bhttp%253A%252F%252Fmathmais.formalta.com
%252Findex.php%253Foption%253Dcom_content%2526task%253Dview%2526id%253D12%252
6Itemid%253D27%3B373%3B267 Acessado em 07/01/2014 às 15h23min 
O preço da gasolina, quando abastecemos nossos veículos, é dado em função da 
quantidade de litros abastecidos. 
 
O preço que se paga em uma companhia de energia elétrica é dado em função de 
quantos kWh são consumidos. 
 
Os juros pagos em empréstimos depende de certo período de tempo. 
 
O salário mensal de um vendedor (comissionado) depende da quantidade vendida por 
ele em certo mês. 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
24 | P á g i n a 
Sejam dois conjuntos não vazios A e B quaisquer, denomina-se ‘ f ’ uma função de A em B uma lei 
ou regra que indica como associar cada elemento x de A a um único elemento y em B. 
 
 
 
Usamos diagramas de flechas para representar conjuntos, eles nos ajudam a compreender melhor a 
definição de função. Veja, a seguir, mais alguns: 
 
 
 𝑔: 𝐴 → 𝐵 Função ‘g’ definida de A em B 
 
f 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 
g 
Note que o par de diagramas ao 
lado representa uma função, cada 
elemento ‘ x ’ de A foi transformado 
em um único elemento ‘ y ’ em B. 
Lê-se: 
 Cálculo Diferencial 
 
 
25 | P á g i n a 
 
Tente tirar conclusões sobre o próximo par de diagramas... Em seguida, leia o comentário ao lado. 
 
 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
 
 
1.1.1 Domínio, Imagem e Contradomínio. 
Seja 𝒇: 𝑨 → 𝑩 (uma função definida de A em B), dizemos que o domínio de f é o conjunto formado 
por todos os valores ‘x’ que pertencem ao conjunto de entrada A e que o contradomínio é o conjunto 
formado por todos os possíveis valores de ‘y’ que pertencem ao conjunto de chegada B. Já o 
conjunto Imagem será o conjunto formado pelas transformações ocorridas em B, ou seja, a imagem 
de uma função é o conjunto formado por todas as associações realizadas no contradomínio.Para 
melhor entender estes conceitos, vamos a um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
h Note que o par de diagramas ao lado não 
representa uma função,pois nem todo 
elemento ‘ x ’ de A foi transformado. 
 
O número 3 do conjunto de entrada não foi 
associado a nenhum elemento no conjunto 
de saída! 
 
Logo h não representa uma função de A em 
B. 
f 
Note que o par de diagramas ao lado 
representa uma função, cada elemento ‘ x ’ 
de A foi transformado em um único 
elemento ‘ y ’ em B. 
 
Perceba que o número -1 está associado a 
um único elemento em B, assim como o 
número1 e o 0. 
 
Logo f é uma função de A em B. 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
26 | P á g i n a 
Exemplo 01: 
Dada a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 representada pelo diagrama de flechas abaixo, determine: 
 
a) o domínio de f; 
b) o contradomínio de f; 
c) o conjunto Imagem de f; 
d) a lei ou regra de associação. 
 
 
Solução: 
a) o domínio de f; 
Será o conjunto formado por todos os valores de x que pertencem ao conjunto A. 
 
Logo: 
𝐷𝑚(𝑓) = {−1,0,1,2} 𝑜𝑢 𝐷𝑚(𝑓) = 𝐴 
 
b) o contradomínio de f; 
Será o conjunto formado por todos os possíveis valores de y, ou seja, o conjunto de chegada B. 
 
Logo: 
𝐶𝐷𝑚(𝑓) = {−1,0,1,2,3,4} 𝑜𝑢 𝐶𝐷𝑚(𝑓) = 𝐵 
c) o conjunto Imagem de f; 
Será o conjunto formado por todas as transformações ocorridas em B, ou seja, apenas os valores que 
foram associados aos elementos x do domínio de f. 
Logo: 
𝐼𝑚(𝑓) = {0,1,4} 
 
 
d) a lei ou regra de associação. 
 
Veja: 
 -1 foi transformado em 1 
 0 foi transformado em 0 
 1 foi transformado em 1 
 2 foi transformado em 4 
 
 
 
 
𝑦 = 𝑥² 
Note que: 
 (-1)² = 1 
 0² = 0 
 1² = 1 
 2² = 4 
Então a lei f que indica como associar y a 
x é dada pela expressão: 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
27 | P á g i n a 
y 
c 
1.2 Função constante, função polinomial de 1º e 2º graus. 
 Função constante 
Denomina-se função constante toda função 𝑓:ℜ → ℜ tal que, todo elemento x do Dominio de f está 
associado a um mesmo elemento y do contradomínio de f, ou seja, o conjunto imagem será unitário. 
 
 
Segundo (Facchini-2006) uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 será constante se, e somente se, para todo elemento 
x de A temos que 𝑓(𝑥) = 𝑐 
O gráfico de uma função constante será sempre uma reta paralela ao eixo x, veja: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função de 1º grau 
Denomina-se função do 1º grau (ou função afim), toda função do tipo: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
 
𝑶𝒏𝒅𝒆: {
𝒂 = 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
𝒃 = 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆x 
 Cálculo Diferencial 
 
 
28 | P á g i n a 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta oblíqua ao eixo y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja como é simples construir o gráfico de uma função de primeiro grau analisando o seguinte 
exemplo: 
 
Exemplo 02: 
Construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 − 2 
 
Solução: 
 
 1º Passo: 
 
Sabemos que o gráfico da função do 1° grau é uma reta. Logo precisamos de apenas dois pontos 
para construí-lo. Dessa forma, vamos encontrar os pontos de interseção do gráfico com os eixos 
coordenados. Para isso, substituímos x = 0 na função e determinamos y. .Depois substituímos y = 0 
na função e determinamos x. 
 
 
 
 
x y 
0 -2 
1 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º caso: (a>0) 
Função crescente 
 
 
 
 
2º caso: (a<0) 
Função decrescente 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
29 | P á g i n a 
 
 2ºpasso: 
 
Lançar no plano cartesiano os pontos encontrados na tabela. 
Lembre-se de que, no plano cartesiano, cada ponto é um par ordenado (x,y). 
Ligar os pontos. 
 y 
 
 
 3 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 
 x 
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
 
 -1 
 
 
 -2 
 
 
 -3 
 
 
 
 -4 
 
 
 
 
 
 Função de 2º grau 
Função de 2º Grau (Função quadrática) 
 
Denomina-se função do 2º grau (ou função quadrática), toda função do tipo: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
30 | P á g i n a 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O estudo do vértice 
 
Toda parábola passa por um ponto V chamado de vértice, cujas coordenadas são: 
 
𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) =
{
 
 
 
 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
Uma importante aplicação do vértice de uma parábola é a coordenada 𝑦𝑣, que nos fornece a imagem 
de f(x), ou seja, o valor de máximo ou de mínimo da função: 
 
 
Valor de máximo ou mínimo de uma função. 
 
O valor de máximo ou mínimo de uma função quadrática é dado pelo 𝑦𝑣 
 
Veja: 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 > 𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º caso: (a > 0) 
A parábola tem a concavidade voltada para 
cima. 
 
 
 
 
2º caso: (a < 0) 
A parábola tem a concavidade voltada para 
baixo. 
 Xv 
 Xv 
Yv 
Yv 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
31 | P á g i n a 
Exemplo 03: 
O lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = 100(10 – x )(x – 2) onde x representa a 
quantidade vendida. Nessas condições, encontre o lucro Máximo. 
Solução: 
 
Primeiro devemos escrever a função L(x) em uma forma mais simples 
 
𝐿(𝑥) =100(10-x)(x-2) 
 
𝐿(𝑥) = (1000 − 100𝑥)(𝑥 − 2) 
 
𝐿(𝑥) = 1000𝑥 − 2000 − 100𝑥² + 200𝑥 
 
𝐿(𝑥) = −100𝑥² + 1200𝑥 − 2000 
 
Sabemos que o valor máximo de uma função de 2º grau é dado por 𝑦𝑣. 
Então: 
 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12002 − 4(−100)(−2000) 
∆= 640000 
 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
−640000
−400
= 1600 
 
Logo, o lucro máximo desta empresa é de R$ 1.600,00. 
 
1.2.1 Estudo do sinal. 
Basicamente, estudar o sinal de uma função é determinar os valores reais de x, para que se tenha: 
 
 𝑓(𝑥) = 0 → Função nula. 
 𝑓(𝑥) > 0 → Função estritamente positiva. 
 𝑓(𝑥) < 0 → Função estritamente negativa. 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
32 | P á g i n a 
Estudar o sinal de uma função de 1º grau, do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, é bem simples, veja: 
 
1º passo: Encontrar a raiz da função, ou seja: igualar a função a zero: 
𝑓(𝑥) = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 𝑎𝑥 = − 𝑏 
𝑥 =
− 𝑏
𝑎
 
Agora dependemos do sinal de a, veja o esquema abaixo: 
 
 Para a > 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −𝑏/𝑎 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −𝑏/𝑎 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −𝑏/𝑎 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −𝑏/𝑎 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −𝑏/𝑎 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −𝑏/𝑎 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 Para a < 0: 
 
 
 Para a < 0: 
 Cálculo Diferencial 
 
 
33 | P á g i n a 
Já nas funções quadráticas, dependemos do sinal de a e do discriminante delta. Veja o esquema a 
seguir:
 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 04: 
Estude a variação de sinal da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 3² − 4(1)(−4) 
∆= 9 + 19 
∆= 25 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−3 ± √25
2
{ 
𝑥′ =
−3 + 5
2
= 1
𝑥′′ =
−3 − 5
2
= −4
 
Inicialmente calculamos as raízes: 
 
 
Agora a representação gráfica de f. 
 
 
 
Logo: 
 𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 1 
 𝑓(𝑥) > 0, 𝑠𝑒 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 1 
 𝑓(𝑥) < 0, 𝑠𝑒 − 4 < 𝑥 < 1 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
34 | P á g i n a 
1.2.2 Inequação de 1º e 2º graus. 
Denomina-se inequação toda sentença matemática expressa por uma desigualdade envolvendo 
uma ou mais incógnitas. 
 
1.2.2.1 Inequação de 1º graus. 
 
Denomina-se inequação de primeiro grau toda desigualdade do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 ≠ 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
lembrando que se 𝑎𝑥 + 𝑏 ≠ 𝑐 concluímos que 𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐 . 
Podendo também se estender para 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐 . 
 
Para encontrarmos o conjunto solução, ou seja, para resolver uma inequação de 1º grau basta 
isolarmos a variável ‘x’ em um dos membros. Veja os exemplos: 
Exemplo 05: 
Resolva em ℜ a inequação 25𝑥 − 2(𝑥 − 6) ≤ 3𝑥 + 5 
Solução: 
 
25𝑥 − 2(𝑥 − 6) ≤ 3𝑥 + 5 
25𝑥 − 2𝑥 + 12 ≤ 3𝑥 + 5 
23𝑥 + 12 ≤ 3𝑥 + 5 
23𝑥 − 3𝑥 ≤ 5 − 12 
20𝑥 ≤ −7 
𝑥 ≤ −
7
20
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ⃓𝑥 ≤ −
7
20
} 
 
Exemplo 06: 
Resolva em ℜ a inequação 2𝑥 − 20 > 7𝑥 + 5 
Solução: 
 
2𝑥 −20 > 7𝑥 + 5 
2𝑥 − 7𝑥 > 5 + 20 
 −5𝑥 > 25 × (−1) 
5𝑥 < −25 
𝑥 < −
25
5
 
𝑥 < −5 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ⃓𝑥 < −5} 
 Cálculo Diferencial 
 
 
35 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.2.2 Inequação de 2º grau. 
 
 
Denomina-se inequação de segundo grau toda inequação do tipo 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 
onde 𝑎 ≠ 0. Podendo se estender para 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0. 
 
Para resolvermos uma inequação de 2º grau, basta estudar o sinal da função, acompanhe o exemplo: 
 
Exemplo 07: 
Resolva em ℜ a inequação 𝑥² − 10𝑥 + 21 ≤ 0 
Solução: 
 
Calculando as raízes de 𝑥² − 10𝑥 + 21, encontramos os números 𝑥’ = 3 𝑒 𝑥′′ = 7 
Fazendo a representação gráfica, temos: 
 
Logo: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ⃓3 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
Quando multiplicamos uma inequação por um número real negativo 
devemos inverter o sentido da desigualdade! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
36 | P á g i n a 
Exemplo 08: 
Resolva em ℜ a inequação 𝑥² − 10𝑥 + 21 < 0 
Solução: 
 
Calculando as raízes de 𝑥² − 10𝑥 + 21, encontramos os números 𝑥’ = 3 𝑒 𝑥′′ = 7 
Fazendo a representação gráfica, temos: 
 
Logo: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ⃓3 < 𝑥 < 7} 
 
 
Observe que, neste exemplo, os números 3 e 7 não pertencem ao conjunto solução! 
 
 
1.3 Função modular 
 
Segundo (Dante-2009), o módulo ou valor absoluto de um número real x ,que representamos por |𝑥|, 
é considerado igual a 𝒙, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 e igual a – 𝒙, 𝑠𝑒 𝑥 < 0. Resumindo: 
 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
Veja: 
 |5| = 5 
 |−3| = −(−3) = 3 
Geometricamente o módulo de um número real indica na reta real a distância ou afastamento deste 
número à origem, ou seja, ao número zero. 
 
Denomina-se função modular uma função 𝑓: ℜ → ℜ, tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥|, desse modo: 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 
Vamos construir o gráfico de uma função modular para entender melhor o seu comportamento. 
 Cálculo Diferencial 
 
 
37 | P á g i n a 
Seja 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| 
Pela definição, sabemos que: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0
−(𝑥 + 1), 𝑠𝑒 𝑥 + 1 < 0 
 
 
Temos agora uma função definida por partes, ou seja, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 para valores de 𝑥 ≥ −1 e 
𝑓(𝑥) = −𝑥 − 1 para valores de 𝑥 < −1 
 
Construindo o gráfico... 
 
 Se 𝑥 ≥ −1 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
x f(x) 
-1 0 
0 1 
 
 
 
 
 
 
 Se 𝑥 < −1 ⇒ 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 1 
 
x f(x) 
-1 0 
0 -1 
 -2 -1 0 1 
 -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1 
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 -2 -1 0 1 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
38 | P á g i n a 
Colocando as duas condições em um gráfico apenas, temos que o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| é: 
 
 
 
 1 
 
 -1 0 1 
 
 
 
 
 
1.4 Função potência. 
Denomina-se função potência, toda função escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0. Neste tópico, 
compreenderemos o comportamento de diversas funções! Veja: 
 Para 𝑦 = 𝑥𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 2, 4, 6, … 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ(𝑥) = 𝑥² 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 
𝑔(𝑥) = 𝑥6 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
39 | P á g i n a 
 Para 𝑦 = 𝑥𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 3, 5, 7, … 
 
 
 
 Para 𝑦 = 𝑥𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = −2,−4,−6,… 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 𝑥³ 
𝑞(𝑥) = 𝑥5 
𝑟(𝑥) = 𝑥7 
 
𝑎 = −2: 
𝑎 = −4: 
𝑎 = −6: 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
40 | P á g i n a 
 Para 𝑦 = 𝑥𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = −3,−5,−7,… 
 
 
 
 
 
 
Observe os gráficos, compare-os, veja as características segundo o expoente, quando for par, ímpar, 
positivo ou negativo! Tente tirar conclusões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 = −3: 
𝑎 = −5: 
𝑎 = −7: 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
41 | P á g i n a 
1.5 Função composta. 
 
Dadas duas funções f e g tal que, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶 denomina-se função composta de g com f a 
função 𝑔𝑜𝑓 ou 𝑔(𝑓(𝑥)): 𝐴 → 𝐶. 
Veja o esquema abaixo: 
 
 
Exemplo 09: 
Sejam as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 obtenha as funções gof e fog. 
 
Solução: 
Para encontarmos a função g composta com f, ou seja g(f(x)), basta substituir x por f(x) na função g, 
veja: 
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 
𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥)) + 2 
Sabe-se que 𝑓(𝑥) = 𝑥², então... 
𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑥²) + 2 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥² + 2 
Agora repetiremos o processo acima para encontrarmos fog, ou seja, f(g(x)). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥² 
 
𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥))² 
Sabe-se que 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2, então... 
𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑥 + 2)² 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥² + 4𝑥 + 4 
 
 
 
𝑔𝑜𝑓 
 Cálculo Diferencial 
 
 
42 | P á g i n a 
 
Veja outro exemplo: 
 
Exemplo 10: 
Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 5𝑥 − 2, encontre g(x). 
 
Solução: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 3(𝑔(𝑥)) − 2 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑔(𝑥) − 2 
 
 
 
 
1.6 Função inversa. 
Segundo Demana (2009), se f é uma função bijetora com domínio A e imagem B, então a função 
inversa de f, denotada por 𝑓−1,é a função com domínio B e imagem A definida por: 
𝑓−1(𝑏) = 𝑎 ⇔ 𝑓(𝑎) = 𝑏 
 
Uma função é dita bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
Funções injetoras são funções em que cada elemento y do contradomínio está associado a um único 
elemento x do domínio de f, de modo que nunca dois elementos distintos do domínio tenham a 
mesma imagem. 
Uma função é dita sobrejetora quando o seu conjunto imagem for igual ao seu contradomínio. 
 
Para encontrarmos algebricamente uma função inversa, basta seguir o procedimento abaixo: 
1. Verificar se a função f é bijetora; 
2. Trocar a variável x por y; 
3. Isolar y . 
Veja um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 5𝑥 − 2 
3𝑔(𝑥) − 2 = 5𝑥 − 2 
3𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 2 + 2 
3𝑔(𝑥) = 5𝑥 
𝑔(𝑥) =
5𝑥
3
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
43 | P á g i n a 
Exemplo 11: 
Mostre que a função 𝑓:ℜ → ℜ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 1 é inversível. Encontre 𝑓−1, em seguida construa 
o gráfico de f e 𝑓−1 no mesmo plano 
Solução:Veja o gráfico das funções f e 𝑓−1. 
 
 
 
 
𝑦 = 𝑥³ + 1 
𝑥 = 𝑦³ + 1 
𝑦³ = 𝑥 − 1 
𝑦 = √𝑥 − 1
3
 
Analisando o gráfico de f ao lado, verificamos que 
cada valor de y está associado a um únio valor de x, 
logo f é injetora! 
Verificamos também que a imagem de f é igual ao 
contadomínio ℜ. Portanto f é sobrejetora logo 
bijetora! 
Concluindo que f é inversível, ou seja f admite uma 
inversa. 
Encontrando 𝑓−1. 
Trocar x por y 
Isolar y 
 
𝑓−1(x) = √𝑥 − 1
3
 
𝑓−1 
 Cálculo Diferencial 
 
 
44 | P á g i n a 
O gráfico de funções inversas é sempre simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
Veja: 
 
 
 
 
1.7 Função exponencial 
Segundo (Thomas-2012), as funções exponenciais estão entre as mais importantes da matemática e 
são utilizadas em diversas áreas, juros compostos, crescimento populacional, decaimento radioativo e 
outros mais. 
 
 
1.7.1 Equações exponenciais 
 
Toda equação onde a incógnita aparece em expoente é denominada equação exponencial. 
Para resolvermos uma equação exponencial, devemos transformar a equação em uma igualdade de 
potências de mesma base, veja: 
 
𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 ⇔ 𝑥1 = 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
45 | P á g i n a 
Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 12: 
Resolva as equações abaixo: 
𝑎) 22𝑥−2 − 50 = 14 
Solução: 
22𝑥−2 − 50 = 14 
22𝑥−2 = 14 + 50 
22𝑥−2 = 64 
22𝑥−2 = 26 
 
𝑏) 22𝑥 − 9 ∙ 2𝑥 + 8 = 0 
Solução: 
 
Nem sempre conseguimos encontrar bases iguais em uma equação exponencial, nesses casos 
usamos um artifício de cálculo para tornar nosso caminho menos dispendioso. Veja: 
A equação 22𝑥 − 9 ∙ 2𝑥 + 8 = 0 pode ser enscrita em (2𝑥)2 − 9 ∙ 2𝑥 + 8 = 0 
Usaremos o seguinte artifício: “ Substituir 2𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦” 
 
 (2𝑥)2 − 9 ∙ 2𝑥 + 8 = 0 
 2𝑥 = 𝑦 
 𝑦2 − 9𝑦 + 8 = 0 
Temos agora uma equação de segundo grau. 
Resolvendo a equação acima, encontramos 
 𝑦 = 1 𝑜𝑢 𝑦 = 8 
 
Denomina-se função exponencial toda função 𝑓:ℜ → ℜ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com 
 1 e 0/  aaRa
 
Vamos analisar duas funções exponenciais com comportamentos diferentes levando em 
consideração suas bases, uma quando a base for um número real entre zero e um (0 < 𝑎 < 1) e outra 
quando a base for um número real maior que 1 (𝑎 > 1). 
Observe: 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 < 1 
 
 
 
 
 
 
2𝑥 − 2 = 6 
2𝑥 = 6 + 2 
2𝑥 = 8 
𝑥 =
8
2
 
𝑥 = 4 
𝑆 = {4} 
 
 
2𝑥 = 𝑦 ⇒ {
2𝑥 = 1 ⟶ 2𝑥 = 20 ⇒ 𝑥 = 0
2𝑥 = 8 ⟶ 2𝑥 = 23 ⇒ 𝑥 = 3
 
𝑆 = {0,3} 
Lembre-se de que estamos resolvendo 
uma equação na variável x e não na 
variável encontrada y. Devemos voltar 
ao artifício de cálculo para 
encontrarmos x . 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
46 | P á g i n a 
Veja o comportamento da função 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 1 
 
Veja o comportamento da função 𝑓(𝑥) = (2)𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra característica importante das funções exponenciais é sua imagem, nunca assume valores negativos e seu 
gráfico sempre intercepta o eixo y em 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, à medida que aumentamos os 
valores de x, as imagens vão diminuindo, 
caracterizando uma função decrescente. 
 
Logo: 
Quando a base de uma função exponencial 
for um número real no intervalo]𝟎, 𝟏[ temos 
uma função decrescente. 
 
Note que, à medida que aumentamos os 
valores de x, as imagens vão aumentando, 
caracterizando uma função crescente. 
 
Logo: 
Quando a base de uma função exponencial 
for um número real no intervalo]𝟏, +∞[ , 
temos uma função crescente. 
 Cálculo Diferencial 
 
 
47 | P á g i n a 
1.7.2 Inequações exponenciais 
 
Denomina-se inequação exponencial toda desigualdade onde a incógnita aparece em expoente. Para 
resolvê-las, devemos levar em consideração a sua base. Veja: 
 Caso a base esteja no intervalo ]0,1[, ou seja: 0 < 𝑎 < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso a base esteja no intervalo]𝟏, +∞[ ,ou seja: 𝑎 > 1 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: 
Resolva as inequações exponenciais a seguir: 
 
𝑎) 4𝑥²−3𝑥 >
1
16
 
 
Solução: 
4𝑥
2−3𝑥 >
1
16
 
(22)𝑥
2−3𝑥 >
1
24
 
 22𝑥²−6𝑥 > 2−4 
 
 
Logo: a solução desta inequação será o conjunto: 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ|𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 
 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 > 𝑥2 
𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 < 𝑥2 
𝑎𝑥1 ≤ 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≥ 𝑥2 
𝑎𝑥1 ≥ 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≤ 𝑥2 
Note que o sentido da desigualdade foi 
invertido devido ao fato das funções serem 
decrescentes. 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 < 𝑥2 
𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 > 𝑥2 
𝑎𝑥1 ≤ 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≤ 𝑥2 
𝑎𝑥1 ≥ 𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≥ 𝑥2 
Note que o sentido da desigualdade foi 
mantido devido ao fato das funções serem 
crescentes. 
2𝑥² − 6𝑥 > −4 
2𝑥² − 6𝑥 + 4 > 0 
Estudando o sinal da função 2𝑥² − 6𝑥 + 4, temos: 
 
 
 1 2 
 
 
 
Lembre-se só nos interessa f(x)> 0, ou seja, 
apenas os valores de x onde a função é 
estritamente positiva. 
 
-
 𝑥² −
3 
+ +
 𝑥² −
3 
 Cálculo Diferencial 
 
 
48 | P á g i n a 
𝑏) (
1
6
)
𝑥²−1
≤
1
36
 
 
Solução: 
(
1
6
)
𝑥²−1
≤
1
36
 
(
1
6
)
𝑥²−1
≤ (
1
6
)
2
 
 
 
 
Logo: a solução desta inequação será o conjunto: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ|𝑥 ≤ −√3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ √3} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥² − 1 ≥ 2 
𝑥² − 1 − 2 ≥ 0 
𝑥² − 3 ≥ 0 
 
 
 
Estudando o sinal da função 𝑥² − 3, temos: 
 
 
 −√3 √3 
 
 
 
 
Lembre-se nos interessa 𝑓(𝑥) ≥ 0, ou seja, apenas 
os valores de x onde a função é nula ou positiva. 
 
- 
+ + 
 
IMPORTANTE 
 
Uma função muito importante, dentre as funções exponenciais, é a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
O número 𝑒 é um número irracional e tem valor aproximado de: 𝑒 ≈ 2,718281 este tipo 
de função é bastante utilizado na descrição de fenômenos naturais. 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
49 | P á g i n a 
1.8 Função logarítmica 
Antes de iniciarmos o estudo sobre funções logatitmicas, vamos relembrar alguns conceitos e 
propriedades. 
 
 
 
1.8.1 logaritmo 
 
Definição: 
 
Segundo (Dante-2009), dados os números reais positivos a e b, com 𝑎 ≠ 1, se 𝑏 = 𝑎𝑐, então o 
expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja: 
 
 
 
log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎
𝑐 = 𝑏 
 
 
 
 
Em todo logaritmo, temos: 
 
log𝑎 𝑏 = 𝑐 
 
𝑂𝑛𝑑𝑒: {
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 
𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜Cálculo Diferencial 
 
 
50 | P á g i n a 
Veja a resolução do exemplo a seguir utilizando apenas a definição: 
Exemplo 14: 
Determine: 
𝑎) log2 256 
 
Solução: 
Aplicando a definição... 
log2 256 = 𝑥 ⇒ 2
𝑥 = 256 ⇒ 2𝑥 = 2 8 ⇒ 𝑥 = 8 
 
𝑏) log3 √27 
 
Solução: 
Aplicando a definição... 
log3 √27 = 𝑥 ⇒ 3
𝑥 = √27 ⇒ 3𝑥 = √3³ ⇒ 3𝑥 = 3
3
2 ⇒ 𝑥 =
3
2
 
 
Respeitando as devidas condições de existência, veja algumas consequências da definição de 
logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consequências da definição 
 
 log𝑎 1 = 0 
 log𝑎 𝑎 = 1 
 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛 
 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 
 log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
51 | P á g i n a 
Exemplo 15: 
Encontre o valor de A na expressão: 
A = log2 2
10 + log√15 1 +7
log7 3 
Solução: 
𝐴 = 10 + 0 + 3 
 
𝐴 = 13 
 
Veja o que foi feito: 
 log2 2
10 = 10 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 à 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜: log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛 
log√15 1 = 0 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 à 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜: log𝑎 1 = 0 
7log7 3 = 3 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 à 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜: 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 
 
 
1.8.2 Propriedades operatórias dos logaritmos 
São elas: 
 Logaritmo de um produto 
log𝑎(𝑏. 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
 
 Logaritmo de um quociente 
log𝑎 (
𝑏
𝑐
) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 
 
 Logaritmo de uma potência 
log𝑎 𝑏
𝑐 = 𝑐 ∙ log𝑎 𝑏 
 
 
 Mudança de base 
log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
52 | P á g i n a 
Exemplo 16: 
Sabendo que log𝑎 𝑥 = 2, log𝑎 𝑦 = 3 𝑒 log𝑎 𝑧 = 5 calcule o valor da expressão a seguir: 
log𝑎
𝑥³ ∙ 𝑦²
𝑧4
 
 
Aplicando as propriedades , temos: 
 
log𝑎
(𝑥3 ∙ 𝑦2)
𝑧4
 → log𝑎(𝑥
3 ∙ 𝑦2) − log𝑎 𝑧
4 
 
log𝑎(𝑥
3 ∙ 𝑦2) − log𝑎 𝑧
4 → log𝑎 𝑥³ + log𝑎 𝑦² − log𝑎 𝑧
4 
 
log𝑎 𝑥³ + log𝑎 𝑦² − log𝑎 𝑧
4 → 3 ∙ log𝑎 𝑥 + 2 ∙ log𝑎 𝑦 − 4 log𝑎 𝑧 
 
Segundo enunciado, temos que: log𝑎 𝑥 = 2, log𝑎 𝑦 = 3 𝑒 log𝑎 𝑧 = 5 : 
 
3 ∙ log𝑎 𝑥 + 2 ∙ log𝑎 𝑦 − 4 ∙ log𝑎 𝑧 = 3 ∙ (2) + 2 ∙ (3) − 4 ∙ (5) = 6 + 6 − 20 = −8 
 
Denomina-se função logarítmica de base a a função 𝑓:ℜ+
∗ → ℜ definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com a >0 
e 𝑎 ≠ 1. Vamos analisar duas funções logarítmicas com comportamentos diferentes levando em 
consideração suas bases, uma quando a base for um número real entre zero e um (0 < 𝑎 < 1) e outra 
quando a base for um número real maior que 1 (𝑎 > 1).Observe: 
 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
53 | P á g i n a 
Veja o comportamento da função 𝑓(𝑥) = log1
2
𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 1 
 
Veja o comportamento da função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, à medida que aumentamos os 
valores de x, as imagens vão diminuindo, 
caracterizando uma função decrescente. 
 
Logo: 
Quando a base de uma função logarítmica for 
um número real no intervalo]𝟎, 𝟏[ temos uma 
função decrescente. 
 
Note que, à medida que aumentamos os 
valores de x, as imagens vão 
aumentando, caracterizando uma função 
crescente. 
 
Logo: 
Quando a base de uma função 
logarítmica for um número real no 
intervalo]𝟏, +∞[ temos uma função 
crescente. 
 Cálculo Diferencial 
 
 
54 | P á g i n a 
2. Exercícios 
2.1. Função do 1° Grau 
1. Dada a função polinomial do 1
o 
grau f(x) = 4x – 1, determine: 
a) f(0) 
b) f(– 1) 
c) f






8
1
 
d) f
 2
 
 
2. Dada a função 
  12  xxf
, determine: 
a) f(a + 1) 
b) f(x + 1) 
c) f(2x) 
d) 2 f(x) 
e) f(x + h) 
f) f(x) + f(h) 
g) 
   
h
xfhxf 
, h ≠ 0 
3. Determine o domínio das funções: 
 
 
 
 
 
 
3
2
)
32
1
)
12)
2
2
)
1)
4
1
)()
2
1
)()
23)
3
3
3
2
















x
x
xfh
x
xhg
xxgf
x
x
xfe
xxfd
x
x
xhc
x
xgb
xxfa
 
4. Responda às questões a partir do gráfico da função f dado ao lado. 
a) Qual é o domínio e qual é a imagem de f? 
b) Em quantos pontos o gráfico corta o eixo dos x? 
c) E o eixo dos y? 
d) f(1,7) é maior, menor ou igual a f(2,9)? 
e) Qual é o valor máximo de f(x)? E o valor 
mínimo? 
f) Qual ponto do gráfico tem abscissa -1? 
g) O ponto (4,-1) pertence ao gráfico de f? 
h) Qual é o valor de x, quando f(x) = 3? 
i) Para que valores de x a função é decrescente? 
j) Para que valores de x a função é crescente? 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
55 | P á g i n a 
5. Um produtor verificou que o Custo Médio de fabricação de um produto, em reais, variava com a 
quantidade q de acordo com a função 
.20
120
)( 
q
qCme
 
 a) Qual o domínio da função? 
 b) Qual será o custo médio de cada unidade ao fabricar 10 unidades? 
 c) Qual será o custo médio de cada unidade ao fabricar 100 unidades? 
 d) Se o custo médio foi de R$23,00, quantas unidade foram fabricadas? 
 e) O que acontece com o custo médio a medida em que a quantidade fabricada aumenta? 
 
6. A função consumo numa certa economia é dada pela equação 
675,0)(  yyC
, onde 
)(yC
 é o 
total de gastos de consumo pessoal, y é a renda total disponível para gastos, e tanto 
)(yC
 quanto y 
são medidos em bilhões de dólares. Determine: 
a) C(0) 
b) C(50) 
c) C(100) 
7. Um vendedor recebe um salário fixo de R$800,00 e mais uma comissão de 4% sobre o total das 
vendas realizadas durante o mês. Assim, o seu ganho mensal (y) é dado em função do total das 
vendas realizadas (x). 
a) Qual é a lei de formação que define essa função? 
b) No mês que vem esse vendedor pretende obter um ganho de R$2.000,00. Qual o total de 
vendas, em reais, que deverá realizar? 
8. Para cada uma das funções a seguir: (a) determine se a função é crescente, decrescente ou 
constante. (b) Encontre, se existir, o ponto onde o gráfico corta o eixo y. (c) encontre, se existir, o zero 
da função (interseção com o eixo x). (d) Desenhe o gráfico da função. 
8.1 𝑓(𝑥) = 𝑥 
8.2 𝑓(𝑥) = −2 
8.3 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 
8.4 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 
 
9. O gráfico de uma função linear contém os pontos (1, -2) e (5, 3). 
a) Determine a expressão da função. 
b) Determine o zero da função. 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
56 | P á g i n a 
10. Uma empresa, para construir uma estrada, cobra uma taxa fixa e uma taxa que varia de acordo 
com o número de quilômetros de estrada construída. O gráfico a seguir descreve o custo da obra, emmilhões de dólares, em função do número de quilômetros construídos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obter a lei 
),(xfy 
 para 
,0x
 que determine esse gráfico. 
b) Determinar a taxa fixa cobrada pela empresa para a construção da estrada. 
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a estrada terá 50 Km de extensão? 
 
11. O custo de produção de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 2.000,00 
(equipamentos) e uma quantia varável de R$ 5,00 por unidade (matéria-prima). 
a) Expresse o custo total de produção C como função do número de unidades produzidas q. 
b) Qual é o domínio da função? Explique seu significado no contexto do problema. 
c) Desenhe o gráfico da função. 
12. Um biólogo cultiva duas folhagens A e B de mesma espécie usando um vaso para cada uma, 
contendo adubos distintos. O crescimento das plantas é dado respectivamente pela pelas funções 
1 thA
e 
12  thB
, onde t representa o tempo em dias e h representa a altura em centímetros. 
a) Desenhe o gráfico de ambas as funções no mesmo plano cartesiano. 
b) Qual é a altura atingida pelas plantas em dois dias? 
c) Em algum momento a plantas possuem a mesma altura? Quando? 
d) Em qual momento a diferença entre as alturas é de 4 centímetros? 
 
13. Um pesquisador estabeleceu uma equação para a estimativa da população p de uma cidade do 
estado de Minas Gerais, em função do tempo t em anos, a partir do ano de 2010. 
A equação estabelecida é: 
2t
120
90)t(p


 mil habitantes. 
Pergunta-se: qual será o crescimento da população da cidade entre os anos de 2020 e 2024. 
(A) 2500 habitantes. 
(B) 3600 habitantes. 
(C) 5000 habitantes. 
(D) 6400 habitantes. 
10 
4 
5 
X (km) 
Y (Em milhões de dólares) 
 Cálculo Diferencial 
 
 
57 | P á g i n a 
14. No período de 15 a 31 de março, o saldo 
y
, em milhões de dólares, da balança comercial de um 
país (a diferença entre o valor das exportações e o das importações, nessa ordem), em função do 
tempo 
x
, em dias, pôde ser descrito por 17 pontos (um para cada dia) da reta representada a seguir. 
 
Com base nessas informações, determine: 
a) a lei correspondente a esse gráfico. 
b) o dia desse período em que o saldo da balança comercial foi nulo. 
 
15. Uma barra de ferro foi aquecida até a temperatura de 30°C e a seguir foi resfriada até a 
temperatura de -6°C. O gráfico mostra a temperatura da barra em função do tempo. 
 
 
Depois de quanto tempo, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0°C? 
(A) 4 minutos 
(B) 6 minutos 
(C) 5 minutos 
(D) 3 minutos 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
58 | P á g i n a 
Enunciado para as questões 16 e 17 
 
16. Existem diversas escalas termométricas, a mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Nos EUA e 
Inglaterra, a escala utilizada é a Fahrenheit (ºF). 
O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus 
Celsius. 
 
A equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius, é: 
(A) 
8,132)(  ccF 
(B) 
8,132)(  ccF
 
(C) 
328,1)(  ccF 
(D) 
328,1)(  ccF 
(E) 
328,1)(  ccF 
 
 
17. O valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit, é: 
(A) 0° 
(B) 1,8° 
(C) 32° 
(D) −17,78° 
(E) −20,2° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
59 | P á g i n a 
18. O capim-elefante é uma designação genérica que reúne mais de 200 variedades de capim e se 
destaca porque tem produtividade de aproximadamente 40 toneladas de massa seca por hectare por 
ano, no mínimo, sendo, por exemplo, quatro vezes maior que a da madeira de eucalipto. Além disso, 
seu ciclo de produção é de seis meses, enquanto o primeiro corte da madeira de eucalipto é feito a 
partir do sexto ano. 
Considere uma região R plantada com capim-elefante que mantém produtividade constante com o 
passar do tempo. Para se obter a mesma quantidade, em toneladas, de massa seca de eucalipto, 
após o primeiro ciclo de produção dessa planta, é necessário plantar uma área S que satisfaça à 
relação: 
(A) S = 4R. 
(B) S = 6R. 
(C) S = 12R. 
(D) S = 36R. 
(E) S = 48R. 
 
Enunciado para as questões 19 e 20 
De acordo com o Censo 2010 a popopulação do Brasil é de 190.732.694 pessoas. Do total dos 67,6 
milhões de domicílios recenseados, os moradores foram entrevistados em 56,5 milhões de domicílios. 
Entre as 10 maiores cidades brasileiras houve mudanças em relação ao Censo 2000 (ver tabela 
abaixo). 
 
 
19. A partir das informações acima, julgue os itens a seguir. 
I – No Censo 2010 a população das 10 maiores cidades brasileiras representam aproximadamente 
18% do total de brasileiros. 
II – Do Censo 2000 para o Censo 2010 a cidade de Fortaleza apresentou um aumento percentual da 
população maior que a cidade de São Paulo. 
Assinale a opção correta. 
(A) Apenas o item I está correto
 
(B) Apenas o item II está correto 
(C) Todos os itens estão corretos 
(D) Todos os itens estão incorretos 
(E) Não é possível verificar as informações em I e II 
 Cálculo Diferencial 
 
 
60 | P á g i n a 
20. Sabendo que no Censo 2000 as 10 maiores cidades brasileiras representavam 18,5% da 
população brasileira. Então, podemos afirmar que o Brasil tinha aproximadamente: 
(A) 165 milhões de habitantes
 
(B) 170 milhões de habitantes 
(C) 175 milhões de habitantes 
(D) 180 milhões de habitantes 
(E) 185 milhões de habitantes 
 
21. Há diversas maneiras de o ser humano obter energia para seu próprio metabolismo utilizando 
energia armazenada na cana-de-açúcar. O esquema abaixo apresenta quatro alternativas dessa 
utilização. 
 
 
 
A partir das informações acima, julgue os itens a seguir. 
I – A alternativa 1 provoca a maior emissão de gás carbônico na atmosfera. 
II – A alternativa 4 requer maior conhecimento tecnológico. 
III – Apenas as alternativas 1 e 2 utilizam força humana. 
 
Assinale a opção correta. 
(A) Apenas o item I está correto
 
(B) Apenas o item II está correto 
(C) Apenas o item III está correto
 
(D) Todos os itens estão corretos 
(E) Todos os itens estão incorretos 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
61 | P á g i n a 
RESPOSTAS 
 
 
1a). -1 1b). -5 1c). −
1
2
 1d). 
124 
 2a). 2a + 1 2b). 2x + 1 2c). 4x – 1 2d). 4x – 2 
2e). 2x + 2h – 1 2f). 2x + 2h – 2 2g). 2 3a). 

 3b). 
 2
 3c).
 2;2
 3d).
1
 
3e).
 22  xexx
 3f).

 3g).







2
3
 3h).
 3
 4a). D:[-1,4]; Im: [-1, 3] 4b). um 
4c). um 4d). igual 4e). máximo: f(x) = 3; mínimo: f(x) = -1 4f). (-1, 1) 4g). sim 
4h). 
 31  xx
 4i). 
 43  xx
 4j). 
 11  xx
 5a). 
 0 qNq
 
5b). R$ 32,00 5c). R$ 21,20 5d). 40 5e). diminui 6a). 6 bilhões 6b). 43,5 bilhões 
6c). 81 bilhões 7a). y = 800 + 0,04x 7b). R$ 30.000,00 8.1 a) Crescente; b) (0,0); c) x = 0; 
d) gráfico a seguir 8.2 a) Constante; b) (0,-2);c) não existe; d) gráfico a seguir 
8.3 a) decrescente; b) (0,1); c) x = 1/3; d) gráfico a seguir 8.4 a) Crescente; b) (0,-4); c) x = 2; 
d) gráfico a seguir 9a). 𝒚 =
𝟓
𝟒
𝒙 −
𝟏𝟑
𝟒
 9b). 𝒙 =
𝟏𝟑
𝟓
 10a). 𝒚 = 𝟒 + 𝟎, 𝟏𝒙 10b). 4 milhões 
10c). 9 milhões 11a). q(p) = 2000 + 5q 11b). {𝒒 ∈ 𝒁; 𝒒 ≥ 𝟎} 12a). Gráfico a seguir 
12b). 
cmhA 3)2( 
; 
cmhB 5)2( 
 12c). Sim, t = 0 12d). t = 4 13. A 14 a). 
1055  xy
 
14 b). 21 de março 15. A 16. E 17. D 18. E 19. C 20. B 21. B 
Gráficos 
8.1) d 
 
 
 
 
8.2) d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
62 | P á g i n a 
 
8.3) d 
 
 
8.4) d 
 
 
 
12a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
63 | P á g i n a 
2.2. Função do 2° Grau 
 
1. Dada a função 
12  x)x(f
, determine 
     2310 fffA 
. 
2. Sendo 
  92  xxf
, uma função real, calcule x para que se tenha: 
a) f(x) = 7 
b) f(x) = – 9 
c) f(x) = 1 
3. Dada a função 
  352 2  xxxf
, calcule: 
a) f(h + 1) 
b) f(2x
2
) 
c) f(x
2 
- 3) 
 
4. Para cada uma das funções a seguir: (a) determine a concavidade da parábola. (b) Encontre o 
ponto onde o gráfico corta o eixo y. (c) encontre, se existir, o zero da função (interseção com o 
eixo x). (d) Encontre as coordenadas do vértice da parábola e determine se o vértice é ponto de 
máximo ou mínimo da função. (e) Desenhe o gráfico da função. 
 
4.1) y = x
2
 – 6x + 8 
4.2) f(x) = -2x
2
 + 4x 
4.3) y = x
2
 – 4x + 4 
4.4) f(x) = x
2
 + 2x + 5 
4.5) y = - x
2
 + 
1
4
 
 
5. Gerador é um aparelho que transforma qualquer energia em energia elétrica. Se a potencia P em 
watts que certo gerador lança num circuito é dada pela relação 
  iiiP 520 2 
, em que i é a 
intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o numero de watts que 
expressa a potencia P quando i= 3 ampéres. 
 
6. Uma bola lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) 
expressa em função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei h(t) = 40t – 
5t
2
. Determine: 
a) a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento 
b) o instante em que a bola se encontra a 75 m do chão 
c) a altura máxima atingida pela bola 
d) o instante em que a bola retorna ao solo 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
64 | P á g i n a 
7. Duas empresas, A e B comercializam o mesmo produto. Seus lucros diários variam de acordo 
com o número de unidades vendidas (x) segundo as expressões: 
- empresa A: L = x
2 
– 20x + 187 
- empresa B: L = 135 + 8x 
Em que intervalo deve variar o número de unidades vendidas a fim de que o lucro da empresa B 
supere o da empresa A? 
 
8. Suponha que o lucro (em reais) de uma empresa seja dado, em função do preço p de venda de 
seu principal produto, pela lei: L(p) = -50(p
2
 – 24p + 80). Classifique em verdadeiro (V) ou falso 
(F) as afirmações a seguir: 
a) Quando o produto é vendido a R$ 7,00 ou a R$ 17,00 a empresa obtém o mesmo lucro. 
b) Quando o preço de venda do produto é colocado a R$ 5,00 o lucro obtido é inferior a 
R$ 700,00. 
c) O lucro máximo possível nessas condições é de R$ 3200,00. 
d) Os preços de venda de R$ 4,00 e de R$ 20,00 não proporcionam lucro algum. 
 
9. Duas empresas, A e B comercializam o mesmo produto. Seus lucros diários variam de acordo 
com o número de unidades vendidas (x) segundo as expressões: 
- empresa A: L = x
2 
– 20x + 187 
- empresa B: L = 135 + 8x 
Em que intervalo deve variar o número de unidades vendidas a fim de que o lucro da empresa B 
supere o da empresa A? 
 
10. Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reservatório de gasolina provocou um grande 
vazamento. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que, a partir do instante que 
ocorreu a avaria, o volume V da gasolina restante no reservatório, em quilolitros, em função do 
tempo t, em horas, podia ser calculado pela função 
12082)( 2  tttV
. 
a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reservatório 3 horas depois da ocorrência da 
avaria? 
b) Calcule a capacidade desse reservatório, sabendo que ele estava completamente cheio no 
momento em que ocorre a fissura. 
c) Qual será o tempo necessário para que o reservatório fique vazio, caso os técnicos não 
consigam realizar o conserto? 
d) Para que sejam salvos 80% da gasolina do reservatório, em quanto tempo os técnicos 
deverão realizar o conserto? 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
65 | P á g i n a 
11. Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de 
certo produto é 
10x
, sendo 
x
 o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, 
a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 
x70
. Nas condições 
dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função 
quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é: 
 
(A) 1200 
(B) 1000 
(C) 800 
(D) 900 
(E) 1100 
 
 
12. O custo C da construção de um prédio de 31 apartamentos foi de 600 mil dólares. O construtor 
espera que a Receita 
R
, em milhares de dólares, apurada pela venda dos apartamentos, cresça 
de acordo com a função 
xxR 622 
, em que 
x
 é o número de apartamentos vendidos. O 
lucro 
L
 é a diferença entre a receita 
R
 e o custo 
C
 da obra, isto é, 
600622  xxL
. 
 
O gráfico da função 
L
 é formado por pontos isolados da parábola acima (não é toda a parábola, 
porque a variável 
x
 assume apenas valores naturais sendo 
310  x
). Determine as abscissas 
21 xex
 e a ordenada 
k
 dos pontos comuns ao gráfico e aos eixos coordenados. 
(A) 
121 x
; 
502 x
 e 
600k
 
(B) 
621 x
; 
502 x
 e 
538k
 
(C) 
121 x
; 
622 x
 e 
600k
 
(D) 
501 x
; 
622 x
 e 
438k
 
(E) 
121 x
; 
622 x
 e 
600k
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
 
 
66 | P á g i n a 
13. Uma Chapa de aço tem a forma retangular e espessura desprezível, seu comprimento e sua 
largura são representados pelos polinômios 
 6x
 e 
 6x
 centímetros, respectivamente. 
Sendo a área da chapa igual a 64 cm. Nessas condições determine as dimensões da chapa. 
 
(A) 
cm10
 e 
cm4
 
(B) 
cm10
 e 
cm16
 
(C) 
cm10
 e 
cm4
 
(D) 
cm16
 e 
cm4
 
(E) 
cm8
 e 
cm8
 
 
14. O gráfico de uma função de 2º grau é uma curva aberta denominada parábola que intercepta o 
eixo das abscissas nas raízes da função do 2º grau, dessa maneira marque a função que 
representa o gráfico. 
 
(A) 
83)( 2  xxxf
 
(B) 
2124)( 2  xxxf
 
(C) 
834)( 2  xxxf
 
(D) 
12)( 2  xxxf
 
(E) 
8124)( 2  xxxf
 
 
 
 
Enunciado para as questões 15 e 16 
 
Uma