Lista Conicas Superficies

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4.13 Lista de exerc´ıcios
Para´bola:
1. Para cada uma das para´bolas nos exerc´ıcios abaixo encontre as coordenadas
do foco, e uma equac¸a˜o da diretriz:
(a) x2 = 4y
(b) y2 = −8x
(c) 2y2 − 9x = 0
2. Encontre uma equac¸a˜o da para´bola que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas:
(a) Foco (5,0), diretriz x = −5
(b) Foco (0,-2), diretriz y − 2 = 0
(c) Foco (1
2
,0), diretriz 2x+ 1 = 0
(d) Ve´rtice (0,0), diretriz y = −2
(e) Foco (2,0), diretriz x+ 2 = 0
(f) Ve´rtice (0,0), foco (0,-3)
3. Encontre uma equac¸a˜o da para´bola que tenha seu ve´rtice na origem, o eixo y
como seu eixo e que passe pelo ponto (-2,-4).
4. Obtenha o paraˆmetro, o foco e a diretriz da para´bola nos casos:
(a) y2 = 5x
(b) y2 = −5x
(c) y = 10x2
5. Esboce o gra´fico da seguinte equac¸a˜o: 4x+ 9y2 = 36.
Elipse:
1. Em cada um dos problemas, determinar os ve´rtices, os focos e a excentricidade
de cada elipse:
(a) 25x2 + 4y1 = 100
(b) 9x2 + 16y2 − 144 = 0
173
2. Em cada um dos problemas determinar uma equac¸a˜o da elipse que satisfac¸a as
condic¸o˜es dadas:
(a) Focos F1(−4,0) e F2(4,0) , eixo maior igual a 10.
(b) Focos F1(0,− 5) e F2(0,5) , eixo menor igual a 10.
(c) Focos F1(±3,0) e ve´rtices A(±4,0).
3. Determinar a equac¸a˜o reduzida, o centro, os ve´rtices , os focos e a excentricidade
da elipse: 4x2 + 9y2 − 24x+ 18y + 9 = 0
4. Dada a equac¸a˜o da elipse 9x2 + 25y2 − 225 = 0 determinar:
(a) a medida dos semi-eixos.
(b) Um esboc¸o do gra´fico.
(c) Os focos.
(d) A excentricidade.
5. Dada a equac¸a˜o da elipse 16x2 + 9y2 − 144 = 0 pede-se:
(a) O gra´fico, as coordenadas dos focos e ve´rtices.
(b) A excentricidade.
6. Uma elipse tem centro C(4,2) e excentricidade 1
2
. Determinar sua equac¸a˜o e
constru´ı-la, sabendo que seu eixo focal e´ paralelo a Oy e mede 6.
Circunfereˆncia:
1. Nos exerc´ıcios abaixo encontre uma equac¸a˜o da circunfereˆncia com Centro C e
raio r, escreva a equac¸a˜o na forma centro-raio e na forma geral:
(a) C(4,− 3), r = 5
(b) C(−5,− 12), r = 3
2. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia cujo centro (1,2) e passe pelo ponto (3,-1).
3. Encontre o centro e o raio da circunfereˆncia:
(a) x2 + y2 − 6x− 8y + 9 = 0
(b) 3x2 + 3y2 + 4y − 7 = 0
174
4. O segmento de extremidade P (2,8) eQ(4,0) e´ o diaˆmetro de uma circunfereˆncia.
Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia
5. Qual e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia que passa pela origem e tem o ponto C(-1,-5)
como centro?
Hipe´rbole
1. Em cada um dos problemas, determinar os ve´rtices, os focos, a excentricidade
e equac¸o˜es das ass´ıntotas das hipe´rboles:
(a)
x2
4
− y
2
9
= 1
(b) 16x2 − 25y2 − 400 = 0
(c) 9x2 − 16y2 − 144 = 0
(d) x2 − 2y2 − 8 = 0
(e) 4x2 − 9y2 − 36 = 0
2. Determinar uma equac¸a˜o da hipe´rbole que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas:
(a) Focos F (±5,0), ve´rticesA(±3,0)
(b) Focos F (0,± 3), ve´rticesA(0,± 2)
(c) Ve´rtices A(0,± 5), excentricidade 2.
(d) Ve´rtices A(0,± 2), distaˆncia focal 2
√
11
3. Dada a equac¸a˜o da hipe´rbole
y2
4
− x
2
16
= 1 , determine: a medida dos semi-eixos,
um esboc¸o do gra´fico, os ve´rtices, os focos, a excentricidade, e as equac¸o˜es das
ass´ıntotas.
4. Uma hipe´rbole tem focos (±5,0) e diretrizes y± 3
4
x Determinar a sua equac¸a˜o
e a de sua conjugada. Esboce a figura.
Coˆnicas Transladadas:
1. Trac¸ar um esboc¸o do gra´fico e obter uma equac¸a˜o da para´bola de V (−2,3) e
F (−2,1).
175
2. Trac¸ar um esboc¸o do gra´fico e obter uma equac¸a˜o da para´bola de V (2,− 1) e
F (5,− 1) .
3. Trac¸ar um esboc¸o do gra´fico e obter uma equac¸a˜o da para´bola de V (4, − 3),
eixo paralelo ao eixo x, passando pelo ponto P (2,1).
4. Determine o ve´rtice, o foco, a diretriz e o eixo da para´bola: (y−3)2 = 5(x+7).
5. Determinar a equac¸a˜o da para´bola cujo foco e´ F (1,2) e cuja diretriz e´ a reta
x− 5 = 0.
6. Determine todos os elementos da para´bola de equac¸a˜o x2− 2x− 20y− 39 = 0.
7. Obter a equac¸a˜o canoˆnica das coˆnicas, determine seus elementos e identifique-a:
(a) y2 − 12x+ 2y = 11
(b) x2 + 2x+ 4y − 3 = 0
(c) y2 − 6y − 8x+ 33 = 0
(d) x2 − 2x+ 12y − 35 = 0
(e) y = −2x2 + 8x− 8
8. Obter uma equac¸a˜o da elipse de C(1,4) , foco F (5,4) e excentricidade 2
3
9. Obter uma equac¸a˜o da elipse de eixo maior igual a 10 e focos F1(2, − 1) e
F2(2,5).
10. Determine o centro, os focos, os ve´rtices da elipse:
(x− 3)2
225
+
(y − 4)2
289
= 1.
11. Determine a equac¸a˜o reduzida, o centro, os ve´rtices, o foco, a excentricidade e
trac¸ar o esboc¸o do gra´fico da elipse de equac¸a˜o geral: 16x2+y2+64x−4y+52 =
0.
12. Determine a equac¸a˜o reduzida, o centro, os ve´rtices, o foco, a excentricidade e
trac¸ar o esboc¸o do gra´fico da elipse de equac¸a˜o geral: 16x2+9y2− 96x+72y+
144 = 0.
13. Obter a equac¸a˜o canoˆnica das coˆnicas, determine seus elementos e identifique-a:
(a) 9x2 + 4y2 − 54x− 32y + 109 = 0
(b) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
176
(c) 3x2 − y2 − 24x+ 4y + 41 = 0
(d) 4x2 − y2 − 8x− 4y − 4 = 0
(e) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0
14. Determinar a equac¸a˜o canoˆnica, o centro e a excentricidade da hipe´rbole 9x2−
4y2 − 18x− 16y − 43 = 0.
15. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro C(3,2), um ve´rtice A(1,2) e um
foco F (−1,2).
16. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro C(1,− 3), F (1,2), A(1,1)
17. Determine a equac¸a˜o reduzida, o centro, os ve´rtices, o foco, a excentricidade e
trac¸ar representar geometricamente a hipe´rbole de equac¸a˜o geral: 25x2−36y2−
100x− 72y − 836 = 0.
18. Identifique a coˆnica de equac¸a˜o −16x2 + 9y2 − 160x − 54y − 895 = 0 seus
elementos e represente geometricamente.
19. Nos exerc´ıcios abaixo sa˜o dadas equac¸o˜es de para´bolas, elipses e hipe´rboles e
e´ dito em quantas unidades para cima ou para baixo e para direita ou para
esquerda cada uma foi transladada. Determine a equac¸a˜o das novas coˆnicas e
determine o novo centro, foco(s), ve´rtices, diretriz(para´bola) e ass´ıntotas(hipe´rbole):
(a) y2 = 4x para a esquerda 2, para baixo 3.
(b) x2 = 8y para a direita 1, para baixo 7.
(c)
x2
6
+
y2
9
= 1 para a esquerda 2, para baixo 1.
(d)
x2
3
+
y2
2
= 1 para a direita 2, para cima 3.
(e)
x2
4
− y
2
5
= 1 para a direita 2, para cima 2.
(f) y2 − x2 = 0 para a esquerda 1, para baixo 1.
20. Identifique cada uma das coˆnicas abaixo e determine todos os seus elementos:
(a) x2 + 4x+ y2 = 12
(b) x2 + 2x+ 4y − 3 = 0
177
(c) x2 + 2y2 − 2x− 4y = −1
(d) x2 − y2 − 2x+ 4y = 4
Superf´ıcies Qua´dricas
1. Reduzir cada uma das equac¸o˜es a` forma canoˆnica, se necessa´rio, identificar o
gra´fico da qua´drica que ela representa:
(a) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36
(b) 36x2 + 9y2 − 4z2 = 36
(c) 36x2 − 9y2 − 4z2 = 36
(d) x2 + y2 + z2 = 36
(e) x2 + y2 − 9z2 = 0
(f) x2 − y2 + 2z2 = 4
(g) 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0
(h) 36x2 + 16y2 + 9z2 − 144 = 0
(i) 25x2 + 100y2 + 36z2 − 900 = 0
(j) x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y − 6z + 8 = 0
(k) (x− 2)2 + y2 + z2 = 21
(l) 36x2 + 16y2 − 9z2 − 144 = 0
(m) 4x2 − y2 + 4z2 − 4 = 0
(n) z2 − 4x2 − 4y2 = 4
(o) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0
(p) 4x2 − 2y2 + z2 − 24x− 4y + 8z + 42 = 0
(q) 2x2 + y2 − 4z2 + 2y + 5 = 0
(r) 9x2 + 4y2 + 9z = 0
(s) y2 + 4z2 − x = 0
(t) z = y2 − x2
(u) x2 + 4z2 − 8y = 0
(v) 4x2 − 9y2 − 36z = 0
(w) 4y2 + z2 − 4x = 0
178
Coordenadas Polares
1. Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes
pontos cujas coordenadas polares sa˜o dadas:
(a) (3,pi)
(b) (
√
2,-3pi/4)
(c) (-4,2pi/3)
(d) (-2,-1pi/2)
(e) (-2,7pi/4)
(f) (-1,-7pi/6)
Refereˆncias:
Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Pearson Makron
Books, 1987.
Winterle, P. Vetores e Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Makron Books, 2000.
Boulos, P. Geometria Anal´ıtica: um tratamento vetorial,Sa˜o Paulo: McGraw-Hill,
1987.
Tabela - Valorespara sin x e cos x em radianos:
x 0 pi/6 pi/4 pi/3 1pi/2 2pi/3 3pi/4 5pi/6 pi 3pi/2 2pi
sin x 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0 -1 0
cos x 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0 -1/2 −
√
2/2 −
√
3/2 -1 0 1
179