Lista+03+-+CVGA

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Curso: Ciclo Básico das Engenharias 
 
Disciplina: Cálculo Vetorial e Geometria Analítica (CVGA) 
 
Professor: Bruno Freitas 
 
3ª Lista de exercícios 
1) Determine o vetor projeção do vetor 
)3,2,1( u na direção de )2,1,2( v . 
2) Qual o comprimento do vetor projeção de 
)2,5,3(u
 sobre o eixo das abscissas. 
3) Dados os vetores 
)1,1,2( u
,
)0,1,1( v
 e 
)2,2,1(w
, calcule: 
a) 
vw
 
b) 
)( uwv 
 
c) 
)()( vuvu 
 
d) 
vu 32 
 
e) 
)()( vuvu 
 
f) 
wvu  )(
 
g) 
wvu  )(
 
h) 
)()( wuvu 
 
 
Sabendo que o vetor resultante do produto vetorial entre dois vetores é ortogonal a cada um dos 
vetores, responda: 
 
4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
ba 2
 e 
ab 
, sendo 
)2,1,3( a
 e 
)3,0,1( b
. 
5) Determine o valor de m para que o vetor 
),2,1( mw 
 seja simultaneamente ortogonal aos 
vetores 
)0,1,2( v
 e 
)1,3,1( u
. 
6) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores 
)2,1,3(u e )0,1,4( v 
7) Calcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A (3,2,1) e uma diagonal de 
extremidades B (1,1,-1) e C (0,1,2). 
8) Calcule x, sabendo que A (x,1,1), B (1,-1,0) e C (2,1,-1) são vértices de um triângulo de área 
2
29 . 
9) Verifique se são coplanares os pontos a seguir: 
a) A (1,1,1), B (-2,-1,-3), C (0,2,-2) e D (-1,0,-2) 
b) A (1,0,2), B (-1,0,3), C (2,4,1) e D (-1,-2,2) 
c) A (2,1,3), B (3,2,4), C (-1,-1,-1) e D (0,1,-1) 
10) Determine o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: 
a) 
),1,2( ka 
 , 
)2,0,1(b
 e 
),3,( kkc 
 
b) 
)0,1,2(a
 , 
)3,1,1( b
 e 
),1,( kkc 
 
11) Sejam os vetores 
)0,1,1(u
, 
)1,0,2(v
, 
vuw 231 
, 
vuw 32 
 e 
kjiw 23 
. 
Determine o volume do paralelepípedo definido por 
1w
, 
2w
e 
3w
. 
12) Os vetores 
)3,1,2( u
, 
)4,1,1( v
 e 
)1,,1(  mmw
determinam um paralelepípedo de 
volume 42. Calcule m. 
13) Dados os pontos A (1,-2,3), B (2,-1,-4), C (0,2,0) e D (-1,m1), determine o valor de m para que 
seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AB
, 
AC
 
e 
AD
. 
14) Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo A (1,0,0), B (0,1,0), C(0,0,1) e D (4,2,7). 
 
 
 
GABARITO 
 
 
1) 
)1,1,2(
9
10

 
2) 3 
3) 
a) (2,2,-1) 
b) (-1,-1,0) 
c) (-2,-2,2) 
d) (6,6,-6) 
e) 3 
f) -1 
g) (4,-1,3) 
h) 1 
 
4) 
IRnn  )1,7,3(
 
5) - 5 
6) 
117
 
7) 
74
 
8) 3 ou 1/5 
9) a) Sim b) Não c) Sim 
10) a) 6 b) 3/2 
11) 44 u.v. 
12) 2 ou – 8/3 
13) 6 ou 2 
14) 2