Aula 21 Função Distribuição Cumulativa para VACs

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Aula 21 
Função Distribuição Cumulativa 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
 
FDC para VAC 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Aula 21 
Função Distribuição Cumulativa 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... Distribuições de Probabilidades 
 
Definição: 
 X pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo. 
 Diz-se que X é uma VAC, se existir uma função f(x), denominada função densidade de 
probabilidade (fdp) de x que satisfaça às seguintes condições: 







b
a
dxxfbXaP
dxxf
xf
)()()3(
;1)()2(
;0)()1(
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Função de Distribuição Cumulativa de uma VAC 
 
 A FDC para uma VAC é: 
 

xduufxXPxF
x
 para ,)()()(
  x
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Exemplo 1 
 Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida 
em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a 
função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Construa a 
função de probabilidade cumulativa utilizando gráfico e expressão. 
 
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Exemplo 1 – Solução 
 Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida 
em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a 
função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Construa a 
função de probabilidade cumulativa utilizando gráfico e expressão. 
 









20 se 1
200 se 5
0 se 0
)(
x
xx
x
xF
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Exemplo 2 
 Seja uma variável aleatória contínua X o diâmetro de um orifício perfurado em uma 
peça metálica. O diâmetro alvo é de 12,5 mm. A maioria dos distúrbio aleatórios no 
processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos revelam que a distribuição de 
X pode ser modelada pela uma função densidade de probabilidade 
 
 
 Construa os gráficos da FDP e da FCP. Apresente a equação que representa a FDC. 
5,12;
20
)(
)5,12(20


x
e
xf
x
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Exemplo 2 – Solução 
 
 
 
5,12;
20
)(
)5,12(20


x
e
xf
x 







 5,12 se ,11
5,12 se ,0
)(
1
1
20
)(
)5,12(20
)5,12(20
5,12
)5,12(20
x
e
x
xF
e
du
e
xF
x
x
x
u
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FDC  FDP 
 
 Se para construir uma FDC a partir de uma FDP fazemos: 
 
 
 
 Para construir a FDP a partir de uma FDC, devemos proceder da seguinte forma: 
 

xduufxXPxF
x
 para ,)()()(
 )()()()( xF
dx
d
xfduuf
dx
d
xf
x
 

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L4.2. Exercício 1 
A FDP para o diâmetro, em milímetros, de um orifício é para x > 5 mm. 
Embora o diâmetro alvo seja 5 mm, vibrações e desgastes da ferramenta e outros 
inconvenientes produzem diâmetros maiores que 5 mm. 
 
a) Esboce o gráfico da FDP 
b) Desenvolva a FDC de X 
c) Esboce o gráfico da FDC 
d) Determine a probabilidade de o diâmetro do orifício estar entre 5,1 e 5,6 mm 
e) Determine a probabilidade de o diâmetro do orifício ser maior que 5 mm 
 
)5(1010)(  xexf
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L4.2. Exercício 2 
 
Suponha que a FDC de X seja 
 
Determine 
a) P (x < 2,8) 
b) P (x < 2) 
c) P (x > –1,5) 
d) P (– 1 < x < 1) 
e) Esboce os gráficos de F(x) e f(x) 
 
 









x
xx
x
xF
5 se ,1
50 se ,2,0
0 se ,0
)(
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L4.2. Exercício 3 
Considere a FDP . 
 
a) Determine a FDC 
b) Represente a FDP e a FDC graficamente. 
c) Determine a probabilidade da variável x estar entre 5 e 10 
 
xexf )(
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L4.2. Exercício 4 
 
 
Determine a FDP para a seguinte FDC: 












9 se ,1
94 se ,64,04,0
40 se ,2,0
0 se ,0
)(
x
xx
xx
x
xF
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L4.2. Exercício 5 
O tempo de vida em horas de uma válvula é uma variável aleatória com função densidade 
de probabilidade dada por: 
 
 
 
Determine a probabilidade de que exatamente 2 válvulas de um circuito tenham que ser 
trocadas nas primeiras 150 horas de operação. Suponha que os eventos Ei com 
i = 1, 2,...,5 em que a i-ésima válvula precisa ser substituída dentro do intervalo de tempo 
sejam independentes. 







100 se ,
²
100
100 se , 0
)(
x
x
x
xXfX
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Gabarito 
1. b) 1 – e-10(x-5); d) 1,36E-44; e) 1 
2. a) 0,56; b) 0,4; c) 1; d) 0,2 
3. a) 1 – e-x; c) 0,00669 
4. 0,2; 0,4 
5. 0,3292 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar o item 4.3 da referência abaixo 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.