Modelo de Leslie

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
LILIAN B. OLIVEIRA
Orientador : Profo. Carlos H. Costa Moreira
1
SUMA´RIO
Introduc¸a˜o................................................................................ 3
CAPI´TULO I Modelo de Leslie
1.1Introduc¸a˜o ................................................................................ 4
1.2 Bases do Modelo............................................................................ 5
1.3 Estruturac¸a˜o do Modelo ...................................................................... 5
1.4 Aplicac¸a˜o do Modelo ........................................................................... 8
CAPITULO II Adaptac¸a˜o do Modelo de Leslie
2.1 Introduc¸a˜o ................................................................................ 10
2.2 Bases do Modelo ............................................................................ 11
2.3 Estruturac¸a˜o do Modelo ....................................................................... 11
2.4 Aplicac¸a˜o do Modelo ............................................................................ 14
2.5 Aprimoramento do Modelo ................................................................... 18
Considerac¸o˜es Finais.............................................................................. 20
Refereˆncias Bibliogra´ficas ...................................................................... 21
2
INTRODUC¸A˜O
Matema´tica e biologia possuem uma interessante relac¸a˜o enquanto a biologia se encarrega
de produzir problemas a matema´tica,por sua vez, provideˆncia modelos que auxiliara˜o na ana´lise
desses diversos problemas.Isso , de fato , ocorre em Dinaˆmica populacional, cieˆncia essa que
estuda a curto e longo prazo mudanc¸as no tamanho e na composic¸a˜o eta´ria das populac¸o˜es . A
Dinaˆmica Populacional lida com a maneira com que as populac¸o˜es sa˜o afetadas por taxas de
nascimento e morte e por fatores como imigrac¸a˜o. Durante esse estudo, podem surgir inu´meras
perguntas, quantos humanos se espera que existam na terra em 2057? Que quantidade de
salma˜o podem ser pescada anualmente sem colocar em risco sua populac¸a˜o? Como o fator
AIDS influenciara´ faixas eta´rias que constituem a populac¸a˜o economicamente ativa do Brasil
daqui a 30 anos? Foram criados inu´meros modelos matema´ticos capazes de auxiliar a busca
da necessidade de encontrar as respostas para essas perguntas , foram elaborados inu´meros
modelos matema´ticos. Um deles o modelo de Leslie, sera´ o alvo de estudo desse trabalho.
3
CAPITULO I
Modelo De Leslie
1.1 INTRODUC¸A˜O
A Matriz de Leslie ( tambe´m chamada de modelo Leslie) e´ uma das formas mais conheci-
das para descrever o crescimento da populac¸a˜o ( e sua distribuic¸a˜o eta´ria projetada), em que a
populac¸a˜o esta´ fechada para migrac¸a˜o e onde apenas o sexo feminino e´ considerado. O modelo
foi descrito pela primeira vez, em 1920, pelo matema´tico Alfred J. Lotka mas foi formalizado e
nomeado, em 1940, por Leslie Patrick Holt (1900-1974).
4
1.2 BASES DO MODELO
No modelo de Leslie a populac¸a˜o e´ dividida em grupos baseados em faixas eta´rias. Especi-
ficamente, considere I a idade ma´xima atingida por qualquer feˆmea da populac¸a˜o estudada. Se
dividirmos a populac¸a˜o em n faixas eta´rias, enta˜o cada faixa eta´ria tera´ I/n anos de idade. A
matriz de Leslie e´ uma matriz quadrada, cuja ordem corresponde ao mesmo numero de ele-
mentos do vetor populac¸a˜o. Tal vetor representa a populac¸a˜o a cada passo de tempo, com um
elemento para cada classe de idade onde cada elemento indica o nu´mero de indiv´ıduos atual-
mente em sua respectiva classe. A medida que o tempo avanc¸a, o numero de feˆmeas dentro de
cada uma das n faixas eta´rias muda em virtude de treˆs processos biolo´gicos: nascimento, morte
e envelhecimento. Descrevendo estes treˆs processos quantitativamente, no´s veremos como pro-
jetar o vetor de distribuic¸a˜o eta´ria inicial .
1.3 ESTRUTURAC¸A˜O DO MODELO DE LESLIE
Nosso objetivo nesta primeira subsec¸a˜o e´ introduzir o principal obejeto de estudo desse
modelo: a Matriz de Leslie, bem como algumas definic¸o˜es e considerac¸o˜es que sera˜o u´teis na
pro´xima subsec¸a˜o. Adotemos a seguinte nomenclatura : xt1 feˆmeas na primeira faixa eta´ria no
instante t, xt2 feˆmeas na segunda faixa eta´ria no instante t , e assim por diante. Como sa˜o n
faixas eta´rias , formamos um vetor- coluna no instante t, indicado por xt :
X =

xt1
xt2
xt3
...
xtn

que chamamos de vetor de distribuic¸a˜o eta´ria no instante t.
O modelo de Leslie requer que a durac¸a˜o entre dois tempos de observac¸a˜o sucessivos seja igual a
durac¸a˜o de uma faixa eta´ria. Com essa hipo´tese, todas as feˆmeas na (i+1)-e´sima faixa eta´ria no
instante tk estavam na i-e´sima faixa no instante tk−1 , ou seja, os indiv´ıduos que sobreviveram
da faixa i contados no instante tk−1 constituira˜o a faixa (i+1) na contagem no instante tk.
Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observac¸o˜es sucessivas podem ser
descritas por meio dos seguintes paraˆmetros demogra´ficos:
ai nu´mero me´dio de feˆmeas nascidas por ma˜e durante o tempo em que
(i = 1, 2, 3, ..., n) a ma˜e esta na i-e´sima faixa eta´ria.
bi frac¸a˜o de feˆmeas na i-e´sima faixa eta´ria que se espera que va´
(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+ 1) faixa eta´ria.
Pelas definic¸o˜es acima e, em condic¸o˜es normais , temos como consequ¨eˆncias:
(i) ai ≥ 0parai = 1, 2, ..., n
(ii) 0< bi ≥ parai = 1, 2, ..., n− 1.
Notemos que na˜o permitimos qualquer bi ser zero , pois enta˜o nenhuma feˆmea sobreviveria
alem da i-e´sima faixa eta´ria. Tambe´m vamos supor que pelo menos um dos ai e´ positivo, de
5
modo que ha´ algum nascimento. Qualquer faixa eta´ria para a qual o correspondente valor de
ai e´ positivo e´ chamada uma faixa eta´ria fe´rtil . Deste modo, no instante tk , as feˆmeas na faixa
eta´ria 1 sa˜o exatamente as filhas nascidas entre os instantes tk−1 e tk de todas as faixas eta´rias.
Assim, podemos escrever de modo gene´rico:

Numero de
f eˆmeas na
faixa eta´ria
1 no tempo tk
 =

Numero de filhas
nascidas das
femeas na faixa
etaria 1 entre
os tempos tk−1 e tk
+· · ·+

numero de filhas
nascidas das
femeas na faixa
etaria n entre os
tempos tk−1 e tk

ou matematicamente,
X tk1 = a1x
tk−1
1 + a2x
tk−1
2 + · · ·+a3xtk−13 (3)
As feˆmeas na (i+1)- esima faixa eta´ria (i = 1,2,...,n-1) no instante tk sa˜o aquelas que estavam
na i-e´sima faixa eta´ria no instante tk−1 e que ainda vivem no instante tk . Assim,
Numero de f eˆmeas
na faixa
eta´ria i+ 1
no tempo tk
 =

Frac¸a˜o de f eˆmeas
na faixa eta´ria
i que sobrevive e
passa para a
faixa eta´ria i+ 1
 .

numero de f eˆmeas
na faixa
eta´ria i no
instante tk−1

ou seja:
X tki+1 = bix
tk
i , i= 1,2,3,...,n-1 (4)
sendo bi a frac¸a˜o dos indiv´ıduos que sobrevivem, da faixa i para a faixa i+1 daqui a L/n anos.
Deste modo, a quantidade de indiv´ıduos na faixa i+1 no instante tk e´ proveniente da taxa de
sobreviveˆncia da faixa i no instante tk−1 multiplicada pela quantidade de indiv´ıduos que havia
na faixa i no instante tk−1. Usando notac¸a˜o matricial, podemos juntar as equac¸o˜es (3) e (4) e
escrever : 
xtk1
xtk2
xtk3
...
xtkn
 =

a1 a2 a3 · · · an−1 an
b1 0 0 · · · 0 0
0 b2 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · bn−1 0


xtk−11
xtk−12
xtk−13
...
xtk−1n

ou, mais compactamente:
X tk = Lxtk−1 , k =1,2,3,... (5)
6
Definimos L como sendo a MATRIZ DE LESLIE:
L =

a1 a2 a3 · · · an−1 an
b1 0 0 · · · 0 0
0 b2 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · bn−1 0

Utilizando a equac¸a˜o (5) podemosescrever:
X t1 = Lxt0
X t2 = Lxt1 = L2xt0
...
X tk = Lxtk−1 = Lkxt0 (6)
Assim se conhecermos a distribuic¸a˜o eta´ria inicial xt0 e a matriz de Leslie L, podemos deter-
minar a distribuic¸a˜o eta´ria das feˆmeas em tempos posteriores. Embora a equac¸a˜o (6) deˆ a
distribuic¸a˜o eta´ria da populac¸a˜o em qualquer instante ela na˜o da automaticamente uma ide´ia
geral da dinaˆmica do processo de crescimento. Por isso precisamos investigar os autovalores e
autovetores da matriz de Leslie. Para isso dispomos de alguns teoremas importantes.
◦ EXISTEˆNCIA DE UM AUTOVALOR POSITIVO
Uma matriz de Leslie tem um u´nico autovalor positivo. Este autovalor tem multiplicidade
1 e um autovetor associado xi cujas entradas sa˜o todas positivas.
◦ AUTOVALORES DE UMA MATRIZ DE LESLIE
Se λ e´ o u´nico autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e λ1 e´ qualquer outro autovalor
real ou complexo de L, enta˜o |λ1 | ¡ λ .
◦ AUTOVALOR DOMINANTE
Se duas entradas sucessivas ai e ai+1 da primeira linha de uma matriz de Leslie L sa˜o na˜o-
nulas, enta˜o o autovalor positivo de L e´ dominante.
Assim, se a populac¸a˜o de feˆmeas tem duas faixas eta´rias fe´rteis sucessivas, enta˜o a matriz
de Leslie tem um autovalor dominante.
◦ De acordo com o autovalor positivo λ temos treˆs casos:
(i) A populac¸a˜o acaba aumentando se λ > 1
7
(ii) A populac¸a˜o acaba diminuindo se λ < 1
(iii) A populac¸a˜o acaba estabilizando se λ = 1
O caso λ = 1 e´ particularmente interessante pois determina uma populac¸a˜o com crescimento
populacional nulo.
1.4 APLICAC¸A˜O DO MODELO DE LESLIE
Projec¸a˜o da Populac¸a˜o de Mulheres Brasileiras por Faixas Eta´rias
Consideremos os dados da populac¸a˜o brasileira de mulheres de 1980 e de 1990,respectivamente,
por faixas eta´rias de 10 anos cada.
Anos 1980 1990
Todas as Idades 61.788.144 76.085.913
[0− 9] 16.501.496 17.374.892
[10− 19] 14.122.244 16.331.170
[20− 29] 10.694.189 13.995.020
[30− 39] 7.433.643 10.520.936
[40− 49] 5.341.262 7.208.393
[50− 59] 3.859.426 5.013.134
[60− 69] 2.362.915 3.376.662
[70− 79] 1.179.785 1.722.798
[80− 89] 274.889 508.933
[90− 99] 18.179 33.737
[100+] 116 238
Fonte:U.S.Census Bureau,International Date Base.
Para estudar o comportamento da populac¸a˜o de mulheres brasieiras com idades entre 0 e
79 anos no futuro, tomemos as dez faixas eta´rias de dez anos cada: [0, 9], [10, 19], ..., [100+]
indicadas na tabela acima. Estamos desconsiderando a populac¸a˜o com idade superior a 100
anos por ser pouco representativa. Embora na˜o tenhamos encontrado uma estimativa oficial
do IBGE no que diz respeito ao nu´mero me´dio de meninas nascidas de mulheres brasileiras
entre 1980 1990 nas dez faixas eta´rias , vamos considerar os valores a1,a2,
..., an que julgamos
razoaveis para a primeira linha da Matriz de Leslie como sendo os seguintes:
[0− 9] : a1 = 0, (na˜o nascem filhas de meninas entre 0 e 9 anos)
[10− 19] : a2 = 0,2
[20− 29] : a3 = 0,7 (a maioria das filhas nasceu de mulheres entre 20 e 29 anos)
[30− 39] : a4 = 0,4
[40− 49] : a5 = 0,2
[50− 59] : a6 = 0,1
[60− 69] : a7 = 0 (na˜o nascem filhas de mulheres entre 60 e 69 anos)
[70− 79] : a8 = 0 (na˜o nascem filhas de mulheres entre 70 e 79 anos)
[80− 89] : a9 = 0 (na˜o nascem filhas de mulheres entre 80 e 89 anos)
8
[90− 99] : a10 = 0 (na˜o nascem filhas de mulheres entre 90 e 99 anos)
Ja´ a proporc¸a˜o b1 , b2 ,
..., bn−1 de mulheres que sobreviveram de uma faixa eta´ria para outra
entre 1980 e 1990 pode ser obtido das tabelas do IBGE :
Grupos de Idade Mulheres
[0− 9]para[10− 19] 0,9896781
[10− 19]para[20− 29] 0,9909912
[20− 29]para[30− 39] 0,9837993
[30− 39]para[40− 49] 0,9696986
[40− 49]para[50− 59] 0,9385673
[50− 59]para[60− 69] 0,874913
[60− 69]para[70− 79] 0,7290986
[70− 79]para[80− 89] 0,4313778
[80− 89]para[90− 99] 0,1227295
[90− 99]para[100+] 0,013092
Logo, a Matriz de Leslie para a populac¸a˜o de mulheres brasieiras sera´:
L =

0 0, 2 0, 7 0, 4 0, 2 0, 1 0 0 0 0
0.98968 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.99099 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.98379 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.96969 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.93857 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.87491 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.72909 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.43138 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.12273 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01309

Notemos que existem duas faixas eta´rias ferteis consecutivas. Logo, L possui autovalor domi-
nante. Utilizando o software de calculo nume´rico e simbolico MAPLE para calculo do autovalor
dominante de L temos:
λ1 = 1,0489
Do autovalor acima, podemos concluir que a populac¸a˜o de mulheres brasileiras quase tende a
estabilidade no futuro, com um crescimento da ordem de 4,89
9
CAPITULO II
Adaptac¸a˜o Do Modelo De Leslie
1.1 INTRODUC¸A˜O
Com base no modelo matricial Leslie, que investiga a taxa de crescimento ao longo do tempo
de uma populac¸a˜o feminina que esta´ dividida em faixas eta´rias,desenvolve-se um novo mod-
elo.Afim de garantir um estudo mais completo da dinaˆmica populac¸a˜o, a adaptac¸a˜o do modelo
de Leslie possibilita analisar tanto a populac¸a˜o feminina quanto a masculina. Assim,sendo ele,
mais amplo e´ capaz de analisar sistematicamente todo o perfil da populac¸a˜o. Recorrendo a
conceitos de a´lgebra linear, o modelo procura desvendar o destino da dinaˆmica populacionala
respondendo as questo˜es essenciais para investigar o comportamento populacional, acolhiendo
e respeitando seus mu´ltiplos aspectos,sendo eles econoˆmicos ou sociais.
10
1.2 BASES DO NOVO MODELO
Como no modelo de Leslie, sua adaptac¸a˜o continua dividindo a populac¸a˜o, em estudo,
segundo as faixas eta´rias da mesma forma abordada no modelo base.
A matriz de transic¸a˜o do modelo adaptado,tambe´m e´ quadrada, cuja ordem e´ comum ao
nu´mero de elementos do vetor populac¸a˜o.Tal vetor, originalmene, representa a populac¸a˜o ini-
cial, com seus elementos compondo o nu´mero de ind´ıviduos da populac¸a˜o em cada faixa eta´ria.
Logo para compreender homens e mulheres o vetor populac¸a˜o e´ de ordem 2nx1, onde n corre-
sponde ao nu´mero de faixas eta´rias que e´ dividida a populac¸a˜o masculina e feminina. Assim as
primeiras n linhas do vetor populac¸a˜o correspondem as faixas eta´rias da populac¸a˜o feminina e
as outras representam as n faixas eta´rias da populac¸a˜o masculina.Portanto:
X =

mt1
mt2
mt3
...
mtn
ht1
ht2
ht3
...
htn

Ao longo do tempo, o nu´mero de indiv´ıduos masculinos e femininos dentro de cada uma das
n faixas eta´rias muda em virtude de treˆs processos bioo´logicos:nascimento, envelhecimento e
morte, ja´ menciondos em notas anteriores. Portanto como o modelo de Leslie,sua adaptac¸a˜o
tambe´m requer que a durac¸a˜o entre dois tempos de observac¸a˜o sucessivos seja igual a` durac¸a˜o
da faixa eta´ria.
1.3 ESTRUTURAC¸A˜O DO MODELO
Concordando com as hipo´teses que compo˜em as base do novo modelo, observa-se,tambe´m
que todos os indiv´ıduos, masculinos e femininos, na (i+1)-e´sima faixa eta´ria no instante tk
estavam na i-e´sima faixa no instante tk−1 constituira˜o a faixa (i-1)na contagem do instante tk.
Os treˆs processos que descrevem a dinaˆmica populacional, entre dois tempos de observac¸o˜es
sucessivos podem ser descritos por meio dos seguintes paraˆmetros demogra´ficos:
11
ai Nu´mero me´dio de feˆmeas nascidas por ma˜e durante o tempo em que
(i = 1, 2, 3, ..., n) a ma˜e esta´ na i-e´sima faixa eta´ria.
bi Frac¸a˜o de feˆmeas na i-e´sima faixa eta´ria que se espera que va´
(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+1)-e´sima faixa eta´ria.
ci Frac¸a˜o de machos na i-e´sima faixa eta´ria que se espera que va´
(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+1)-e´sima faixa eta´ria.
r sex ratio, i.e, frac¸a˜o de mulheres nascidas dentro do total.
Para a formac¸a˜o do novo modelo, destaca-se a taxa de sobreviveˆncia masculina e a presenc¸a
da taxa de sexo. Ataxa de sexo e´ a frac¸a˜o de mulheres nascidas dentro do total de individ-
uos nascidos, e´ uma taxa necessa´ria para ampliar a fecundidade das mulheres, em cada faixa
eta´ria, afim de abranger os homens nascidos por mulher,ate´ enta˜o ausente no modelo Leslie.Esta
taxa e´ um importante trac¸o do novo modelo que confirma a descric¸a˜o sistematica de todos os
indiv´ıduos da populaca˜o em questa˜o. Ressalta-se que com as definic¸o˜es mencionadas, e em
condic¸o˜es normais, as consequeˆncias que os ai´s e os bi´s sa˜o submetidos continuam as mesmas
do modelo base e, sa˜o extendidas aos ci´s. Ja´ as especificac¸o˜es da taxa de sexo sa˜o............
Afim de facilitar o estudo e compreensa˜o da matriz do modelo adaptado, e´ u´til organizar a sua
analise em blocos.Onde cada bloco e´ uma matriz quadrada, de ordem igual a quantidade de
faixas eta´rias vigentes na divisa˜o da populac¸a˜o em estudo. Dessa maneira divide-se a matriz
adaptada em quadro blocos.O primeiro bloco e´ formado basicamente pela matriz de Leslie,
exceto pela primeira linha ser toda multiplicada pela taxa de sexo, temos portanto a seguinte
matriz:
L =

ra1 ra2 ra3 · · · ran−1 ran
b1 0 0 · · · 0 0
0 b2 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · bn−1 0

A segunda e´ composta por zero, logo e´ uma matriz nula. Esta matriz e´ de suma importaˆncia
para a inclusa˜o da populac¸a˜o masculina. Ela auxilia nas operac¸o˜es matriciais propiciando as
projec¸o˜es desejadas. Assim temos:
O =

0 0 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · 0 0

A terceira matriz possue apenas a primeira linha com elementos diferentes de zero.Esta
linha e´ composta pelas taxas de fecundidade da populac¸a˜o feminina multiplicadas por 1-( a
12
taxa de sexo), essa pequena operac¸a˜o representa os homens nascidos por mulher em cada faixa
eta´ria.Como, ja´ dito, esse trac¸o do novo modelo contribui muito para a descric¸a˜o total da pop-
ulac¸a˜o.Portanto:
A =

(1-r)a1 (1-r)a2 (1-r)a3 · · · (1-r)an−1 (1-r)an
0 0 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · 0 0

Por fim a quarta matriz e´ composta pelas taxas de sobreviveˆncia da populac¸a˜o masculina.
B =

0 0 0 · · · 0 0
c1 0 0 · · · 0 0
0 c2 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · cn−1 0

Dessa forma, definimos a matriz adaptada como sendo:
P =

ra1 ra2 ra3 · · · ran−1 ran 0 0 0 · · · 0 0
b1 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 0
0 b2 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 0
0 0 b3 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · bn−1 0 0 0 0 · · · 0 0
(1-r)a1 (1-r)a2 (1-r)a3 · · · (1-r)an−1 (1-r)an 0 0 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0 c1 0 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0 c2 0 · · · 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0 0 c3 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · cn−1 0

Assim, se conhecemos o vetor populac¸a˜o inicial e a matriz adaptada, e´ pos´ıvel descrever a
distribuic¸a˜o eta´ria da populac¸a˜o total em estudo.
13
1.4 APLICAC¸A˜O
Projec¸a˜o da Populac¸a˜o Brasileira por Grupos de Idade
Para estudar o comportamento da populac¸a˜o brasileira, de acordo com os objetivos propos-
tos do modelo ampliado da Matriz de Leslie, consideremos os dados da populac¸a˜o brasileira de
1980 e de 1990 por faixas eta´rias de 10 anos cada, segundo o U.S Census Bureau, International
Data Base.
Tabela 1: Populac¸a˜o por sexo segundo os grupos de idade Brasil: populac¸a˜o-base em 1980
Grupos de Idade Ambos os Sexos Homens Mulheres
Todas as Idades 12.301.9627 61.231.483 61.788.144
[0− 9] 33.590.361 17.088.865 16.501.496
[10− 19] 28.706.511 14.584.267 14.122.244
[20− 29] 21.534.288 10.840.099 10.694.189
[30− 39] 14.776.596 7.342.953 7.433.643
[40− 49] 10.439.267 5.098.005 5.341.262
[50− 59] 7.287.112 3.427.686 3.859.426
[60− 69] 4.266.594 1.903.679 2.362.915
[70− 79] 1.982.407 802.622 1.179.785
[80− 89] 412.870 137.981 274.889
[90− 99] 23.487 5.308 18.179
[100+] 134 18 116
Tabela 2: Populac¸a˜o por sexo segundo os grupos de idade Brasil: populac¸a˜o-base em 1990
Grupos de Idade Ambos os Sexos Homens Mulheres
Todas as Idades 151.170.059 75.084.146 76.085.913
[0− 9] 35.392.575 18.017.683 17.374.892
[10− 19] 33.179.430 16.848.260 16.331.170
[20− 29] 28.248.453 14.253.433 13.995.020
[30− 39] 20.943.824 10.422.888 10.520.936
[40− 49] 14.104.259 6.895.866 7.208.393
[50− 59] 9.541.909 4.528.775 5.013.134
[60− 69] 6.076.225 2.699.563 3.376.662
[70− 79] 2.877.285 1.154.487 1.722.798
[80− 89] 761.843 252.910 508.933
[90− 99] 43.978 10.241 33.737
[100+] 278 40 238
Fonte:U.S.Census Bureau,International Date Base.
14
Desconsiderando a populac¸a˜o com idade superior a 100 anos, por ser pouco representativa,
tomemos as dez faixas eta´rias de dez anos cada: [0-9], [10-19], [20-29],...,[90-99] expl´ıcitas nas
tabelas acima. Embora na˜o tenhamos encontrado uma estimativa oficial do U.S.Census Bu-
reau, International Data Base ou ate´ mesmo do IBGE, no que diz respeito ao nu´mero me´dio de
meninas nascidas de mulheres brasileiras entre 1980 e 1990 nas dez faixas eta´rias, consideramos
valores que julgamos razoa´veis para representar a primeira linha do primeiro bloco da matriz
do Modelo de Leslie Adaptado. Como mencionado em notas anteriores, a primeira linha do
primeiro bloco da matriz do Modelo de Leslie Adaptado representa as taxas de fecundidade das
mulheres em sua referente faixa eta´ria. Obtemos os seguintes valores:
Tabela 3: Taxa de Fecundidade da Populac¸a˜o Feminina segundo as faixas eta´rias Brasil:
Populac¸a˜o-base em 1980
Grupos de Idade Mulheres
[0− 9] 0
[10− 19] 0,2
[20− 29] 0,7
[30− 39] 0,4
[40− 49] 0,2
[50− 59] 0,1
[60− 69] 0
[70− 79] 0
[80− 89] 0
[90− 99] 0
Ainda obtendo informac¸o˜es necessa´rias para o estudo da dinaˆmica populacional segundo o Mod-
elo de Leslie Adaptado, a proporc¸a˜o de homens e mulheres brasileiros que sobreviveram de uma
faixa eta´ria para outra entre 1980 e 1990 pode ser analisado das tabelas do U.S.Census Bureau,
International Data Base. Assim:
Tabela 4: Proporc¸a˜o da populac¸a˜o por sexo que sobreviveu de um grupo de idade para outro
entre 1980 e 1990
Grupos de Idade Homens Mulheres
[0− 9]para[10− 19] 0,9859204 0,9896781
[10− 19]para[20− 29] 0,9773157 0,9909912
[20− 29]para[30− 39] 0,9615123 0,9837993
[30− 39]para[40− 49] 0,9391135 0,9696986
[40− 49]para[50− 59] 0,8883426 0,9385673
[50− 59]para[60− 69] 0,7875759 0,874913
[60− 69]para[70− 79] 0,6064505 0,7290986
[70− 79]para[80− 89] 0,3151047 0,4313778
[80− 89]para[90− 99] 0,0742204 0,1227295
[90− 99]para[100+] 0,0075358 0,013092
15
Com base nas tabelas acima da populac¸a˜o de 1980 e 1990 concluimos que a taxa de sexo e´ 0,49.
Portanto, a Matriz de Leslie Adaptada da populac¸a˜o brasileira de 1980 sera´:
16
[
0
0
,
3
6
0
5
2
0
,
3
4
3
0
,
1
9
6
0
,
3
6
0
5
2
0
,
1
8
0
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
8
9
6
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
9
0
9
9
0
0
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0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
8
3
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
6
9
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
3
8
5
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
8
7
4
9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
7
2
9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
,
4
3
1
3
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
1
2
2
7
3
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
1
0
2
0
,
3
5
7
0
,
2
0
4
0
,
1
0
2
0
,
1
8
7
6
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
8
5
9
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
7
7
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
6
1
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
9
3
9
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
8
8
8
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
7
8
7
5
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
6
0
6
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
3
1
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
2
7
3
0
4
0 
17
1.5 APRIMORAMENTO DO MODELO
Na tentativa de responder a algumas perguntas e aperfeic¸oar o modelo adaptado, fez-se um
modelo cont´ınuo para descrever o comportamento da populac¸a˜o ao longo dos anos. Este modelo
baseava-se nas taxas de fertilidade e mortalidade feminina e masculina. Entretanto este modelo,
mostrou-se bastante complexo e inapropriado para os nossos propo´sitos . Assim sendo,seguiu-
se na direc¸a˜o de continuar aprimorando o modelo adaptado atrave´z da correc¸a˜o de seus erros
primitivos. Para tanto criou-se um programa computacional para fragmentar a populac¸a˜o por
faixas eta´rias e a partir dessa fragmentac¸a˜o, usando o modelo adaptado, inserido no software
matema´tico maple , fez-se projec¸o˜es e comparou-se com o respectivo ano.
Alguns dos gra´ficos feitos encontram-se abaixo:
18
19
CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
O trabalho aqui descrito se trata de uma obra inovadora que ainda esta´ em aberto e necessita
de muitos aprimoramentos. Entretanto foram apresentados muitos avanc¸os, dentre eles o es-
tudo da populac¸a˜o masculina,podendo assim ampliar o conhecimento da dinaˆmica da estrutura
populacional. Dentre as questo˜es que ainda tem-se a tratar destacam-se os to´picos:
* Os autovalores da Matriz Ampliada seriam somente os autovalores da Matriz de Leslie?
* Tais autovalores tambe´m dizem respeito ao crescimento ou decrescimento populacional?
* Como incluir fatores externos no modelo matricial?
* Como o modelo adaptado pode auxiliar na previsa˜o da dinaˆmica populacional?
Agora com esse aprimoramento surgem novas questo˜es sobre o modelo,tais como:
* Observa-se um padra˜o de ”superestimativa infantil”, ou seja, o medelo preveˆ mais crianc¸as
do que o registrado nesses gra´ficos,a que se deve este fator?
*Para o gra´fico que representa a evoluc¸a˜o do Brasil,tanto feminina quanto masculina,vemos um
”pico da projec¸a˜o”somente nos anos iniciais, ja´ para o gra´fico que representa Minas Gerais
temos um pico a mais,situado aproximadamente entre os 23-34 anos. Aque se deve este
padra˜o?
20
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS
HOWARD,A.A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es.8aed.Porto Alegre:Bookman. 2001.
BASSANEZZI,R.C.Ensino e Aprendizagem com Modelagem Matema´tica.Sa˜o Paulo:Editora
Contexto. 2002
BOLDRINI,J.L.ET ALLI.A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es.8aeld.Rio de Janeiro:Harbra.1986.
www.census.gov.Site do U.S. Census Bureau, International Data Base.
21