Caderno RQ2-Proporcionalidade

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Caderno RQ2 
Proporcionalidade 
 
 
 
Prof. Milton Araujo 
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br 
1 
 
 
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Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4 
2 RAZÃO ............................................................................................................................................. 5 
2.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................... 5 
3 PROPORÇÃO .................................................................................................................................... 5 
3.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................... 5 
3.2 VARIANTES NA FORMA DE SE REPRESENTAR A PROPORÇÃO ..................................................................... 6 
3.3 PROPRIEDADES ............................................................................................................................ 6 
3.3.1 Fundamental ....................................................................................................................... 6 
3.3.2 Soma dos antecedentes e soma dos consequentes .............................................................. 7 
4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 10 
5 DIVISÃO PROPORCIONAL .............................................................................................................. 21 
5.1 DIRETA .................................................................................................................................... 21 
5.2 INVERSA ................................................................................................................................... 22 
6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 23 
7 REGRAS DE TRÊS ............................................................................................................................ 31 
7.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO ............................................................................................................. 31 
7.2 MÉTODO DA REDUÇÃO À UNIDADE DE TEMPO .................................................................................. 35 
7.3 MÉTODO DA REDUÇÃO À UNIDADE DE TEMPO PONDERADO ................................................................ 39 
8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 41 
9 PORCENTAGEM ............................................................................................................................. 61 
9.1 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................ 61 
9.2 SÍMBOLO .................................................................................................................................. 61 
9.3 CÁLCULO DE PORCENTAGEM ......................................................................................................... 62 
9.3.1 Direto ................................................................................................................................ 62 
9.3.2 Pela fórmula ...................................................................................................................... 62 
9.3.3 Por regra de três ................................................................................................................ 63 
9.4 FATOR MULTIPLICATIVO............................................................................................................... 63 
9.4.1 Fórmula ............................................................................................................................. 64 
9.5 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS ............................................................................................................. 65 
9.5.1 Fórmula ............................................................................................................................. 65 
9.6 VARIAÇÃO PERCENTUAL ............................................................................................................... 66 
9.6.1 Fórmula ............................................................................................................................. 66 
10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 67 
11 PROBLEMAS DE COMPRA E VENDA ............................................................................................... 82 
11.1 FÓRMULAS ............................................................................................................................... 82 
11.1.1 Venda com lucro ........................................................................................................... 82 
11.1.2 Venda com prejuízo ....................................................................................................... 82 
11.2 LUCRO SOBRE O CUSTO ................................................................................................................ 82 
11.3 LUCRO SOBRE A VENDA ................................................................................................................ 83 
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11.4 PREJUÍZO SOBRE O CUSTO............................................................................................................. 84 
11.5 PREJUÍZO SOBRE A VENDA ............................................................................................................ 84 
11.6 QUESTÕES RESOLVIDAS ................................................................................................................ 85 
12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 88 
13 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 94 
14 CURRÍCULO INFORMAL ............................................................................................................... 101 
 
 
 
 
 
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Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente. 
 
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1 Introdução 
 
“Se o problema tem solução, por que te preocupas? 
Se o problema não tem solução, por que te preocupas?” 
[Chinês] 
 
A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e 
comum relação entre grandezas. 
 
Nosso raciocínio funciona de modo proporcional. É uma forma que o cérebro 
frequentemente utiliza para trabalhar de modo mais rápido, por uma questão de 
simplicidade e economia de energia. A isto dá-se o nome de heurística. Para uma 
breve explicação sobre o que é heurística, consulte o post 
http://profmilton.blogspot.com.br/2013/11/mate-o-seu-professor-de-
matematica.html. 
 
Devemos apenas ter cuidado com a heurística, pois ela nos conduz a muitos erros 
cognitivos, e os examinadores (claro!) costumam explorar isto em suas questões, 
naquelas famosas "pegadinhas". Vamos aprender a não cair nessas armadilhas... 
 
Proporcionalidade é um assunto amplamente explorado em provas de concursos 
públicos e também no Teste ANPAD. 
 
Sem maiores delongas, passemos a dissecá-lo... 
 
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2 Razão 
 
Uma razão matemática é o quociente entre duas grandezas. 
 
2.1 Notação 
 
 
 
 
 
Onde a e b são números inteiros. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos de razão: velocidade, que é a razão entre a distância percorrida 
por um objeto e o tempo gasto no trajeto; pressão, que é a razão entre a força 
exercida sobre um corpo e sua área de superfície; etc. 
 
 
3 Proporção 
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
3.1 Notação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leitura: "a está para b assim como c está para d." 
 
a, b, c e d são os termos da proporção. 
 
a e c são os termos antecedentes; 
 
b e d são os termos consequentes. 
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a e d são os extremos da proporção. 
 
b e c são os meios da proporção. 
 
3.2 Variantes na forma de se representar a proporção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Propriedades 
 
3.3.1 Fundamental 
 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3.2 Soma dos antecedentes e soma dos consequentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é a propriedade usada na divisão proporcional, que será vista mais adiante. 
 
Esta propriedade também é válida para a operação de subtração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) A idade de um pai está para a idade de seu filho como 3 está para 1. Calcule 
essas idades, sabendo que a soma delas é 48 anos. 
 
Solução/Comentários: 
 
Sejam: x a idade do pai e y a idade do filho. 
 
Com as informações do enunciado, podemos escrever a seguinte proporção: 
 
 
 
 
 
 
 
e ainda: 
 
 
 
Note que, para que possamos aplicar a propriedade, será necessário recorrer a 
uma das variantes vistas no tópico 3.2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aplicando a propriedade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na proporção acima, o resultado "12" é chamado de constante de 
proporcionalidade. 
 
Continuando... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: o pai tem 36 anos e o filho tem 12. 
 
A questão acima também pode ser resolvida por meio de um sistema de duas 
equações com duas incógnitas (este assunto será visto, em detalhes, em outro 
Caderno RQx): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isolando-se o x na primeira equação e substituindo-se na segunda, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: o filho tem 12 anos e o pai tem 36. 
 
(3) FCC-2000. Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45 
funcionários que se revezam, mantendo a relação de 3 homens para 2 mulheres. 
É correto afirmar que, nessa empresa, dão atendimento 
 
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a) 18 homens. 
b) 16 mulheres. 
c) 25 homens. 
d) 18 mulheres. 
e) 32 homens. 
 
Solução/Comentários: 
 
Seja x o número de mulheres e y o número de homens. Com a informação dada 
no enunciado, podemos escrever a seguinte proporção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
e ainda: 
 
 
 
Aplicando-se a propriedade da soma dos antecedentes e soma dos consequentes à 
proporção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fica para o leitor a tarefa de tentar resolver a questão por meio de um sistema de 
equações. 
 
Resposta: há 18 mulheres e 27 homens. 
 
Observação: 
 
Há outras propriedades das proporções, que não serão abordadas neste Caderno, 
devido a sua pouca incidência em provas de concursos em geral. 
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4 Exercícios Propostos 
 
1) Num concurso público, concorreram 12.000 candidatos para 600 vagas. A 
razão entre o número de vagas e o número de candidatos foi de: 
 
a) 1/2000. 
b) 1/200. 
c) 1/20. 
d) 1/2. 
e) 2/1. 
 
2) Numa escola há 3200 estudantes, dos quais 1800 são moças. A razão entre o 
número de rapazes e moças é: 
 
a) 7/16. 
b) 7/8. 
c) 7/9. 
d) 9/7. 
e) 9/16. 
 
3) PMPA-2000. A razão entre o número de passagens escolares e o de passagens 
normais, em determinado percurso, é 
 
 
. Sabendo-se que o número de passagens 
escolares é 27, conclui-se que o número de passagens normais é 
 
a) 36. 
b) 40. 
c) 45. 
d) 63. 
e) 65. 
 
4) Num tanque de combustível há 6 litros de óleo e 24 litros de querosene. A 
razão entre o querosene e a mistura é: 
 
a) 0,72. 
b) 0,2. 
c) 0,6. 
d) 1,25. 
e) 0,8. 
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5) A razão entre a quantia que um trabalhador gasta e a quantia que recebe como 
salário mensal é de 
 
 
. O que resta, ele aplica em caderneta de poupança. Se, em 
um determinado mês, o salário desse trabalhador foi de R$ 2.700,00, então, a 
quantia(em R$) que deve aplicar na caderneta de poupança é: 
 
a) 270,00. 
b) 250,00. 
c) 320,00. 
d) 360,00. 
e) 300,00. 
 
6) Um garoto de 1 metro de altura projeta uma sombra de 50 cm. No mesmo 
instante, um edifício de 18 m de altura irá projetar uma sombra (em metros) de: 
 
a) 12. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 6. 
e) 15. 
 
7) ESAF-2001. Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. 
 
a) 52/68. 
b) 54/66. 
c) 56/64. 
d) 58/62. 
e) 60/60. 
 
8) Numa amostra retirada de um lote de feijão constatou-se que 3/7 dele eram de 
feijão branco e o resto de feijão preto. Sabe-se que a diferença entre as 
quantidades de sacos de um e de outro tipo de feijão é 120. Os sacos de feijão 
branco eram, em n.º de: 
 
a) 840. 
b) 360. 
c) 480. 
d) 240. 
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e) 720. 
 
9) Para todo número real x, tal que 0 < x < 1, pode-se considerar 2 - x como uma 
boa aproximação para o valor de 
x2
4
. Nessas condições, a razão positiva entre 
o erro cometido ao se fazer essa aproximação e o valor correto da expressão, 
nessa ordem, é 
 
a) 
4
2x
. 
b) 
2
2x
. 
c) x
2
. 
d) 
x
x
2
2 . 
e) 
x
x
2
2 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
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10) Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes 
diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é: 
 
a) 6,0. 
b) 8,2. 
c) 8,4. 
d) 14,4. 
e) 20,4. 
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11) Se 
a
axy
xy


93
, sendo 
axy 
, o valor da razão 
x
y
, para a > 9, é igual a 
a) (a – 9). 
b) (a – 3). 
c) (a + 3). 
d) (a + 9). 
e) 2a. 
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12) A temperatura de um corpo em graus Fahrenheit subtraída de 32 unidades, e 
a temperatura do mesmo corpo em graus Celsius são proporcionais a 9 e 5, 
respectivamente. Assim, a água que ferve a 100 graus Celsius ferverá a quantos 
graus Fahrenheit? 
 
a) 100. 
b) 125. 
c) 208. 
d) 212. 
e) 300. 
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13) Numa pesquisa realizada nos EUA a respeito de câncer de mama, 46.355 
mulheres foram acompanhadas por um período de 15 anos. No período, 2.082 
mulheres apresentaram a doença. A razão entre o número de mulheres que não 
contraíram a doença e o número total de mulheres pesquisadas é, 
aproximadamente, de: 
 
a) 0,75. 
b) 0,84. 
c) 0,871. 
d) 0,91. 
e) 0,96. 
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14) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. 
Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? 
 
a) 10 e 34. 
b) 12 e 36. 
c) 15 e 39. 
d) 6 e 30. 
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e) 18 e 42. 
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15) As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora 
estão na razão de 4 para 5. qual é a idade da mais velha atualmente? 
 
a) 15. 
b) 20. 
c) 25. 
d) 30. 
e) 35. 
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16) Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45 funcionários que 
se revezam, mantendo a relação de 3 homens para 2 mulheres. É correto afirmar 
que, nessa empresa, dão atendimento 
 
a) 18 homens. 
b) 16 mulheres. 
c) 25 homens. 
d) 18 mulheres. 
e) 32 homens. 
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17) Os salários de dois técnicos judiciários, X e Y, estão entre si assim como 3 
está para 4. Se o dobro do salário de X menos a metade do salário de Y 
corresponde a R$ 720,00, então os salários dos dois totalizam 
 
a) R$ 1.200,00. 
b) R$ 1.260,00. 
c) R$ 1.300,00. 
d) R$ 1.360,00. 
e) R$ 1.400,00. 
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18) Há quatro anos, as idades de duas pessoas estavam entre si como 8 está para 
11. Se hoje a razão entre essas idades é igual a , então, daqui a 8 anos, elas terão 
juntas 
 
a) 34 anos. 
b) 43 anos. 
c) 48 anos. 
d) 57 anos. 
e) 61 anos. 
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19) Um carteiro é responsável pela entrega das 610 correspondências de três 
condomínios, sendo a, b e c, respectivamente, o número de correspondências de 
cada condomínio, em que a < c. 
Se 
c
b
b
a

 e b = 200, então 
c
ab
 é igual a 
 
a) 120. 
b) 128. 
c) 160. 
d) 200. 
e) 210. 
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20) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. 
Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? 
 
a) 10 e 34. 
b) 12 e 36. 
c) 15 e 39. 
d) 6 e 30. 
e) 18 e 42. 
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21) Em determinado país existem dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-
se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barrisquanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oito dias. a produção do 
poço Pa, portanto, é: 
 
a) 60,0% da produção do poço Pb. 
b) 60,0% maior do que a produção do poço Pb. 
c) 62,5% da produção do poço Pb. 
d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb. 
e) 75,0% da produção do poço Pb. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
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22) A massa de um certo volume de tinta é de 6 kg. Se substituirmos metade do 
volume desta tinta por água, a massa da mistura será de 5 kg. Quanto pesa cada 
litro desta tinta? 
 
a) 1 kg. 
b) 1,5 kg. 
c) 2 kg. 
d) 2,5 kg. 
e) 3 kg. 
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23) Em uma pesquisa eleitoral, de um universo de 240 pessoas entrevistadas, 50 
votam no candidato A, 90 no candidato B e 80 no candidato C. Os restantes 
votam em branco. Mantendo-se esta proporção, podemos dizer que em 150 
milhões de eleitores, o vencedor terá: 
 
a) 56.250.000 votos. 
b) 18.750.000 votos. 
c) 93.750.000 votos. 
d) 112.500.000 votos. 
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e) 37.500.000 votos. 
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24) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de 
tempo igual seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor 
capital deve superar a do maior em: 
 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
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25) ANPAD-2004. Num mapa, cuja escala é 1/9.000.000, a estrada São Paulo – 
São Luís tem 33 cm. A distância real, em km, é 
 
a) 2.727. 
b) 2.870. 
c) 2.970. 
d) 3.027. 
e) 3.270. 
 
26) ANPAD-2003. Duas velas cilíndricas de mesma altura são acesas ao mesmo 
tempo. A primeira é consumida em 6 horas e a segunda, em 2 horas. Se cada vela 
queima a uma velocidade constante, então a altura da primeira vela é o triplo da 
altura da segunda após 
 
a) 1 hora. 
b) 1 hora e 15 minutos. 
c) 1 hora e 20 minutos. 
d) 1 hora e 30 minutos. 
e) 1 hora e 45 minutos. 
 
27) Uma jarra contém uma mistura de sucos de laranja e abacaxi, na proporção 
de 4:16. Outra jarra, com o mesmo volume da primeira, contém a mesma mistura 
18 
 
 
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de sucos de laranja e abacaxi, porém na proporção de 4:6. Juntando-se os 
conteúdos das duas jarras, obtém-se outra mistura dos sucos, cuja proporção 
entre laranja e abacaxi é 
 
a) 4/11. 
b) 3/8. 
c) 3/7. 
d) 2/3. 
e) 1/4. 
[Fonte: banco de questões do autor] 
 
28) ANPAD-2003. Os diâmetros de dois círculos têm 8 cm e 12 cm cada. A 
razão entre a área do maior e a área do menor é 
 
a) 2/3. 
b) 4/9. 
c) 4/3. 
d) 3/2. 
e) 9/4. 
 
Desafio: 
29) O pároco da igreja Nossa Senhora do Bom Princípio é também professor na 
escola de mesmo nome. Seu coroinha é também seu aluno, e, por ser brilhante 
em Matemática, o padre decide propor-lhe o seguinte desafio: entrega ao rapaz 
duas velas de mesma altura; uma delas queima totalmente em seis horas e a outra 
queima totalmente em quatro horas. O padre, então, pede ao coroinha para que 
acenda ambas ao mesmo tempo, em um momento qualquer após o meio-dia, de 
modo que, ao terminar a missa da tarde, às 16 h, a altura de uma vela seja 
exatamente o quádruplo da outra. Em que hora o coroinha acendeu as velas? 
 
a) às 12:16h. 
b) às 12:24h. 
c) às 13:36h. 
d) às 14:24h. 
e) às 14:36h. 
[Fonte: banco de questões do autor] 
 
Dica: transforme o tempo das duas velas para minutos, divida-as em 10 pedaços 
cada uma e faça a contagem "manual" do tempo de queima... 
19 
 
 
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30) ANPAD-2003. A razão entre o número de homens e o de mulheres em uma 
academia é 3/4. Um possível número total de pessoas nessa academia é 
 
a) 34. 
b) 39. 
c) 46. 
d) 48. 
e) 49. 
 
31) ANPAD-2003. Um filme tem duração de 4 horas. Sabendo-se que o que resta 
para terminar o filme é 1/3 do que já passou, então o tempo gasto até o momento 
é 
 
a) 33 min. 
b) 1h. 
c) 1h20min. 
d) 1h30min. 
e) 3h. 
 
32) ANPAD-2002. A soma de três números é igual a 30. o primeiro está para o 
segundo assim como 2 está para 3, e, subtraindo o segundo do primeiro, obtém-
se o número 5. o maior desses números é 
 
a) 15. 
b) 20. 
c) 22. 
d) 25. 
e) 55. 
 
33) ANPAD-2006. Duas jarras contêm, cada uma, o mesmo volume de uma 
mistura de água e álcool, nas proporções de 2:8 na primeira jarra e de 2:3 na 
segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obtém-se uma mistura 
de água e álcool cuja proporção entre água e álcool é 
 
a) 2:5. 
b) 3:7. 
c) 3:11. 
d) 4:11. 
20 
 
 
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e) 4:24. 
 
 
[Nota] Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões 
por Assunto no livro "500 questões resolvidas". 
 
Baixe o caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral! 
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Gabarito 
 
1-C 2-C 3-A 4-E 5-E 6-C 7-C 8-B 9-A 10-E 
11-C 12-D 13-E 14-B 15-D 16-D 17-B 18-B 19-B 20-B 
21-C 22-B 23-A 24-E 25-C 26-D 27-C 28-E 29-B 30-E 
31-E 32-E 33-B 
 
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21 
 
 
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5 Divisão Proporcional 
 
5.1 Direta 
 
Exemplo: 
 
Dividir o número 600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
 
Solução/Comentários: 
 
Sejam x, y e z as partes que compõem o número. Assim, podemos escrever a 
proporção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e também a seguinte equação: 
 
 
 
Na proporção acima, aplica-se a propriedade da soma dos antecedentes e soma 
dos consequentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: as três partes nas quais o número 600 foi dividido são 120, 180 e 300. 
 
 
22 
 
 
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5.2 Inversa 
 
Exemplo: 
 
Dividir o número 620 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
 
Solução/Comentários: 
 
Sejam x, y e z as partes que compõem o número. Assim, deve-se escrever a 
proporção:[Observe que, na divisão proporcional inversa, os fatores são escritos de modo invertido!] 
 
e também a seguinte equação: 
 
 
 
Para que se possa resolver a divisão proporcional inversa, é necessário que se 
reduza as frações ao mesmo denominador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MMC(2, 3, 5) = 30 
 
Para se reduzir frações ao mesmo denominador, divide-se o MMC pelo antigo 
denominador e multiplica-se o resultado pelo antigo numerador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à proporção original: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
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Note que, agora, podemos simplificar os denominadores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, aplica-se a propriedade da soma dos antecedentes e soma dos 
consequentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: As partes nas quais o número 620 foi dividido são 300, 200 e 120. 
 
 
6 Exercícios Propostos 
 
1) ANPAD-2004. Um pai deseja dividir entre seus três filhos, Andréa, Bruno e 
Carla, a quantia de R$ 186,00 em partes inversamente proporcionais às faltas 
escolares que tiveram durante o ano. Andréa faltou 2 vezes, Bruno faltou 3 vezes 
e Carla faltou 5 vezes. Então, a quantia que Bruno deve receber é 
 
a) R$ 36,00. 
b) R$ 55,80. 
c) R$ 58,80. 
d) R$ 60,00. 
e) R$ 62,00. 
 
2) ANPAD-2002. Dividindo uma fita de 198 cm em partes proporcionais a 2, 3 e 
4, o tamanho da parte maior medirá 
 
24 
 
 
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a) 22 cm. 
b) 44 cm. 
c) 56 cm. 
d) 88 cm. 
e) 90 cm. 
 
3) ANPAD-2002. Um terreno de 3000 m
2
 de área foi dividido em 3 partes A, B e 
C tais que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a área das partes é 
 
a) A = 600m
2
; B = 1000m
2
; C = 1400m
2
. 
b) A = 600m
2
; B = 1200m
2
; C = 1200m
2
. 
c) A = 750m
2
; B = 750m
2
; C = 1500m
2
. 
d) A = 1500m
2
; B = 900m
2
; C = 600m
2
. 
e) A = 1000m
2
; B = 1200m
2
; C = 800m
2
. 
 
4) ESAF-1997. Um número é dividido em duas partes diretamente proporcionais 
a 3 e a 2, respectivamente. Dado que o quadrado da primeira parte menos 
quarenta vezes a segunda parte é 2.000, determine o número. 
 
a) 50. 
b) 80. 
c) 100. 
d} 150. 
e) 200. 
 
5) FCC-1999. Dividir 120 em partes inversamente proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/5. 
 
a) 20; 30; 70. 
b) 24; 36; 60. 
c) 10; 25; 85. 
d) 28; 42; 50. 
e) 75; 38; 7. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
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25 
 
 
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6) FCC-2000. Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382 processos, 
em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 
36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de processos 
arquivados pelo mais velho foi 
 
a) 112. 
b) 126. 
c) 144. 
d) 152. 
e) 164. 
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7) FCC-2001. No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois 
técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição 
judiciária. 
 
 Idade 
(em anos) 
Tempo de 
Serviço 
(em anos) 
João 36 8 
Maria 30 12 
 
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. 
Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de 
seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas 
do processo era 
 
a) 40. 
b) 41. 
c) 42. 
d) 43. 
e) 44. 
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8) ESAF-2001. Ao se dividir o número 400 em valores diretamente 
proporcionais a 1, 2/3 e 5/3, obtém-se, respectivamente: 
 
26 
 
 
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a) 120, 80 e 200. 
b) 360, 240 e 600. 
c) 60, 40 e 100. 
d) 40, 80/3 e 200/3. 
e) 100, 40 e 60. 
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9) CONSULTEC-2001. Três pessoas aplicaram certo capital a juros de 4% a.m. 
No final do mês, retiraram o montante, que foi dividido entre as pessoas A, B e 
C, em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 10, respectivamente, de acordo 
com o capital aplicado por cada uma. Considerando-se que B recebeu R$ 
1040,00 a mais que A, pode-se afirmar que o capital aplicado foi igual a 
 
a) R$ 12000,00. 
b) R$ 12480,00. 
c) R$ 12560,00. 
d) R$ 13000,00. 
e) R$ 13200,00. 
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10) Para fazermos concreto em uma construção usamos como proporção básica 
na mistura 1 balde de cimento, para 3 baldes de pedra britada e 4 baldes de areia. 
Sobre este total se acrescenta 20% de água. Quantos m³ de pedra britada serão 
necessários para fazer 12m³ de concreto? 
 
a) 4,5. 
b) 4. 
c) 3,75. 
d) 2,5. 
e) 2. 
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27 
 
 
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11) Um número x é dividido proporcionalmente a 2 e 3. Contudo, se este número 
x, fosse dividido proporcionalmente a 5 e 7, a segunda parte ficaria diminuída em 
16 unidades. determine o número. 
 
a) 210. 
b) 160. 
c) 630. 
d) 960. 
e) 1470. 
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12) A importância de $ 684,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a 
primeira recebeu na razão direta de 7 e 3 e que a segunda recebeu na razão direta 
de 9 e 4, calcular a parte de cada uma. 
 
a) $ 228,00 e $ 456,00. 
b) $ 342,00 e $ 342,00. 
c) $ 273,60 e $ 410,40. 
d) $ 252,00 e $ 432,00. 
e) $ 225,00 e $ 459,00. 
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13) Uma herança de $ 200000 foi dividida entre três irmãos de acordocom suas 
idades de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a 
menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos receberam $150000. Sabendo-se 
que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, a idade do irmão mais moço, 
contada em anos, é de: 
 
a) 10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 18. 
e) 20. 
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28 
 
 
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14) 165 balas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas 
totalizaram 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à 
idade de cada um, que o mais moço recebeu 40 balas e o do meio 50, calcular 
suas idades. 
 
a) 12, 11 e 10. 
b) 15, 10 e 8. 
c) 16, 11 e 6. 
d) 18, 10 e 5. 
e) 17, 9 e 7 
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15) Dividir o número 240 em 3 partes de tal forma que a primeira esteja para a 
segunda como 3 está para 4 e que a segunda esteja para a terceira como 6 está 
para 7,5. 
 
a) 60, 80 e 100. 
b) 50, 90 e 100. 
c) 40, 80 e 120. 
d) 40, 60 e 140. 
e) 80, 80 e 80. 
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16) Um certo número é dividido proporcionalmente a 7 e 8. No entanto se fosse 
dividido proporcionalmente a 3 e 9, a primeira parte ficaria diminuída em 26 
unidades. Qual é esse número? 
 
a) 240. 
b) 160. 
c) 120. 
d) 480. 
e) 320. 
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17) Paco fundou uma empresa com R$ 20.000,00 de capital e, após 4 meses, 
admitiu Capo como sócio, que ingressou com o capital de R$ 32.000,00. Se após 
1 ano de atividades a empresa gerou um lucro de R$ 19.840,00, então Paco 
recebeu 
 
a) R$ 520,00 a menos que Capo. 
b) R$ 580,00 a mais que Capo. 
c) R$ 580,00 a menos que Capo. 
d) R$ 640,00 a mais que Capo. 
e) R$ 640,00 a menos que Capo. 
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18) Dora e Aldo constituíram uma sociedade comercial nos seguintes termos: 
Dora contribuiu com do capital e Aldo com o restante. Se o lucro de R$ 
18.000,00 deve ser dividido entre os dois, a parte que caberá a Dora é 
 
a) R$ 8.000,00. 
b) R$ 8.200,00. 
c) R$ 8.500,00. 
d) R$ 8.600,00. 
e) R$ 8.800,00. 
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19) Um segmento de reta ligando dois pontos em um mapa mede 6,5 cm. 
Considerando que o mapa foi construído numa escala de 1: 25000, qual a 
distância horizontal em linha reta entre os dois pontos? 
 
a) 162,5 m. 
b) 15 hm. 
c) 1,5 km. 
d) 1,6 km. 
e) 1625 m. 
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20) Numa planta, um terreno de 320 m
2
 é representado por um desenho de 20 
cm
2
. A escala dessa planta é 
 
a) 1:1,6. 
b) 1: 16. 
c) 1:40. 
d) 1:160. 
e) 1:400. 
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Gabarito: 
 
1-D 2-D 3-D 4-C 5-B 6-A 7-C 8-A 9-A 10-C 
11-D 12-D 13-A 14-B 15-A 16-C 17-E 18-A 19-E 20-E 
 
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7 Regras de Três 
 
A regra de três (simples ou composta) é uma proporção. Nessa proporção há uma 
grandeza desconhecida. As grandezas podem variar de forma direta ou inversa. 
 
Este Caderno não irá separar as regras de três por simples direta ou inversa e 
composta, mas apresentará a metodologia correta de se analisar a variação das 
grandezas, que conduzirá o leitor à solução de qualquer regra de três, seja ela 
simples ou composta. 
 
Exemplo: 
 
32 homens constroem 50 m de calçada em 28 dias, trabalhando 7 h/dia. Em 
quanto tempo 48 homens construirão 90 m de calçada trabalhando 8 h/dia? 
 
a) 29 dias 9 horas e 36 minutos. 
b) 30 dias 3 horas e 12 minutos 
c) 29 dias 3 horas e 12 minutos. 
d) 31 dias e 6 horas. 
e) 40 dias. 
 
7.1 Método de Resolução 
 
 Separe as grandezas por colunas: uma coluna para cada variável; 
 Simplifique as grandezas em cada coluna (se for o caso), sempre dividindo 
cada grandeza pelo mesmo fator primo. Não faça simplificações entre 
colunas, mas apenas 'dentro' da coluna; 
 Na coluna da incógnita, coloque uma flecha apontando para a incógnita; 
 Analise as grandezas das outras colunas (uma coluna de cada vez), 
comparando essa variação com a coluna da incógnita; 
 Se, da análise resultar "aumenta-aumenta" ou "diminui-diminui", coloca-
se, na coluna analisada, uma flecha no mesmo sentido à da coluna da 
incógnita; 
 Se, da análise resultar "aumenta-diminui" ou "diminui-aumenta", coloca-
se, na coluna analisada, uma flecha no sentido oposto à flecha da coluna 
da incógnita; 
32 
 
 
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 Para finalizar, separe primeiro os elementos da coluna da incógnita numa 
igualdade, colocando a incógnita à esquerda e a grandeza que está na 
mesma coluna à direita da igualdade, no numerador de uma fração; 
 A seguir, coloque todas as grandezas que estiverem nas pontas das flechas 
multiplicando no numerador, e todas as grandezas que estiverem no 
começo das flechas multiplicando no denominador. 
 
O exemplo acima será resolvido passo a passo a seguir, para auxiliar no completo 
entendimento da metodologia: 
 
 Separe as grandezas por colunas: uma coluna para cada variável: 
 
 
 
 Simplifique as grandezas em cada coluna (se for o caso), sempre dividindo 
cada grandeza pelomesmo fator primo. Não faça simplificações entre 
colunas, mas apenas 'dentro' da coluna: 
 
 
 
 Na coluna da incógnita, coloque uma flecha apontando para a incógnita: 
 
 
 
 Analise as grandezas das outras colunas (uma coluna de cada vez), 
comparando essa variação com a coluna da incógnita: 
 
33 
 
 
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Observe, na figura acima, que o número de homens foi de 2 para 3 (aumentou). 
Comparando-se com a coluna da incógnita, verifica-se que, quanto maior o 
número de homens trabalhando, menor será o número de dias para executar a 
tarefa. 
 
 Se, da análise resultar "aumenta-diminui" ou "diminui-aumenta", coloca-
se, na coluna analisada, uma flecha no sentido oposto à flecha da coluna 
da incógnita: 
 
 
 
Observe na figura acima que nas colunas homens e dias a análise resultou 
"aumentou-diminuiu"; por isso a flecha da coluna "homens" foi colocada no 
sentido oposto ao da coluna da incógnita. 
 
Agora, faremos a análise das demais colunas. 
 
 
 
Na figura acima, na coluna "metros" a grandeza foi de 5 para 9 (aumentou). 
Comparando-se com a coluna da incógnita, vê-se que, quanto maior o 
comprimento da calçada, maior a quantidade de dias para realizar a tarefa. Como 
o resultado da análise foi "aumentou-aumentou", a flecha na coluna "metros" está 
no mesmo sentido da flecha da coluna da incógnita. 
34 
 
 
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Ainda na figura acima, na coluna "horas por dia" a grandeza foi de 7 para 8 
(aumentou). Comparando-se com a coluna da incógnita, vê-se que, quanto maior 
a carga horária diária de trabalho, menor será a quantidade de dias para realizar a 
tarefa. Como o resultado da análise foi "aumentou-diminuiu", a flecha na coluna 
"horas por dia" está no sentido oposto ao da flecha da coluna da incógnita. 
 
 Para finalizar, separe primeiro os elementos da coluna da incógnita numa 
igualdade, colocando a incógnita à esquerda e a grandeza à direita da 
igualdade, no numerador de uma fração: 
 
 
 
A figura acima apresenta um retângulo verde, destacando os elementos que serão 
separados primeiro: 
 
 
 
 
 
 A seguir, coloque todas as grandezas que estiverem nas pontas das flechas 
multiplicando no numerador, e todas as grandezas que estiverem no 
começo das flechas multiplicando no denominador. 
 
 
 
A figura acima mostra em destaque (círculos vermelhos) todas as grandezas que 
estão nas pontas das flechas e que ficarão no numerador: 
 
35 
 
 
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Na figura acima, observe que 3, 5 e 8 estão no começo das flechas, e devem ser 
colocados no denominador: 
 
 
 
 
 
 
Para finalizar, realize todas as simplificações possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muito cuidado na conversão das unidades! 
 
O resultado é 29 dias de trabalho (melhor seria dizer 29 "turnos de 8 horas") e 0,4 
de um dia de trabalho, que corresponde a 3h e 12 min. 
 
Resposta: 29 dias, 3 horas e 12 minutos. 
 
7.2 Método da Redução à Unidade de Tempo 
 
Exemplo: 
 
Uma torneira, funcionando sozinha, enche um tanque em 3 horas. Outra torneira, 
também sozinha, enche o mesmo tanque em 12 horas. Estando o tanque vazio, 
abrem-se, simultaneamente, as duas torneiras. Nessas condições, em quanto 
tempo o tanque estará cheio? 
 
 
36 
 
 
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Solução/Comentários: 
 
Apresentaremos duas soluções, sendo uma delas, um "atalho" para a solução 
rápida desse tipo de questão. A solução seguinte serve apenas para que o leitor 
entenda o método e opte (claro!) pelo "atalho"... 
 
Solução 1: 
 
A torneira A, sozinha, enche o tanque em 3 horas. Então, em 1 hora ela encherá: 
 
tempo tanque 
3  1 
1  x 
 
 
 
 
 
 
Em 1 hora, a torneira A encherá 1/3 do tanque. 
 
A torneira B, sozinha, enche o tanque em 12 horas. Então, em 1 hora ela encherá: 
 
tempo tanque 
12  1 
1  x 
 
 
 
 
 
 
Em 1 hora, a torneira B encherá 1/12 do tanque. 
 
Agora que já sabemos a produção das duas torneiras em 1 hora, podemos montar 
outra regra de três para as duas juntas: 
 
tempo tanque 
1  
 
 
 
 
 
x  1 
 
37 
 
 
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Resposta: As duas torneiras enchem o tanque juntas em 2,4 horas, ou 2 horas e 
24 minutos. 
 
Observação: 
 
Muito cuidado na conversão de fração de hora para minutos! 2,4 h não são 2 
horas e 40 minutos... 0,4 h corresponde a 24 minutos (faça uma regra de três e 
comprove!) 
 
Solução 2 (o "atalho"): 
 
O Método da Redução à Unidade de Tempo pode ser assim resumido: 
 
"O somatório dos inversos dos tempos individuais é igual ao inverso do tempo 
coletivo." 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
"Tempo coletivo" é o tempo das torneiras trabalhando juntas. 
 
Aplicando-se o atalho aos dados da questão, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
... 
 
 
38 
 
 
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Bônus: 
 
Especialmente para você, que me acompanhou até aqui, segue uma solução-
bônus, que irá economizar ainda mais o seu tempo para resolver questões desse 
tipo... 
 
O "atalho do atalho": 
 
Quando houver apenas duas torneiras, o tempo coletivo pode ser calculado da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Aplicando-se o "atalho do atalho" aos dados do problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando houver uma torneira e um ralo, o tempo coletivo pode ser calculado da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Uma torneira, funcionando sozinha, enche um tanque em 3 horas. Um ralo, 
sozinho, esvazia o tanque em 12 horas. Estando o tanque vazio, abrem-se, 
simultaneamente, a torneira e o ralo. Nessas condições, em quanto tempo o 
tanque estará cheio? 
 
Solução: 
 
Aplicando-se o "atalho do atalho": 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
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Resposta: o tanque estará cheio em 4 horas. 
 
Observação: 
 
Reiterando... O "atalho do atalho" só funciona quando houver apenas duas 
torneiras. 
 
7.3 Método da Redução à Unidade de Tempo Ponderado 
 
Exemplo: 
 
Uma torneira, funcionando sozinha, enche 1/2 tanque em 3 horas. Outra torneira, 
também sozinha, enche 3/4 do mesmo tanque em 12 horas. Estando o tanque 
vazio, abrem-se, simultaneamente, as duas torneiras. Nessas condições, em 
quanto tempo 4/5 do tanque estará cheio?Note que agora as torneiras sozinhas não enchem o tanque todo, mas uma parte 
(que chamamos de "peso da tarefa") dele... 
 
Enunciado do Método da Redução à Unidade de Tempo Ponderado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: encontre o MMC de ambos os lados da equação, incluindo o x: 
 
MMC(5, 6, 16, x) = 240x 
 
40 
 
 
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Simplificam-se os denominadores... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O tanque terá 4/5 do seu conteúdo preenchido em aproximadamente 3 
horas e 30 minutos. 
 
Desafio: 
 
O Síndico de certo Condomínio, composto pelas torres Alfa, com seis andares, e 
Beta, com cinco andares, contratou dois faxineiros, que deverão fazer a limpeza 
diária das duas torres. O síndico verificou que o faxineiro A, trabalhando 
sozinho, consegue limpar a torre Alfa em 6 horas e a torre Beta em 4 horas. Já o 
faxineiro B, também trabalhando sozinho, faz a limpeza da torre Alfa em 4 horas, 
e da torre Beta em 2 horas. Se o Síndico colocar os dois faxineiros trabalhando 
juntos, limpando uma torre de cada vez, o trabalho de limpeza das duas torres 
estará concluído em 
 
a) 3 horas e 44 minutos. 
b) 4 horas e 30 minutos. 
c) 5 horas e 24 minutos. 
d) 5 horas e 45 minutos. 
e) 6 horas e 24 minutos. 
[Fonte: banco de questões do autor] 
 
Sugestão: Monte um quadro com os dados e use o "atalho do atalho" para o 
Método da Redução à Unidade de Tempo. 
 
 Torre Alfa Torre Beta 
Faxineiro A 6 horas 4 horas 
Faxineiro B 4 horas 2 horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
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O leitor poderá, sem dificuldades, finalizar a questão... 
 
Gabarito: alternativa A 
 
[Nota] Esta questão fez parte do Concurso Público para o CREA-PR/2010. A 
Organizadora foi a FUNDATEC. 
 
 
8 Exercícios Propostos 
 
1) ANPAD-2007. Em uma fábrica, três costureiras, em oito horas de trabalho, 
produzem 48 calças. Como aumentou a demanda pelos produtos dessa fábrica, 
foram contratadas mais três costureiras, que apresentaram o mesmo desempenho 
das funcionárias veteranas. Se o último pedido é de 120 calças, qual o tempo 
necessário de trabalho para que as seis costureiras produzam tal quantidade? 
 
a) 8 horas. 
b) 10 horas. 
c) 12 horas. 
d) 16 horas. 
e) 24 horas. 
 
2) ESAF-1998. Uma impressora laser realiza um serviço em 7 horas e meia, 
trabalhando na velocidade de 5.000 páginas por hora. Outra impressora, da 
mesma marca mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de 3.000 
páginas por hora, executará o serviço em 
 
a) 10 horas e 20 min. 
b) 11 horas e 20 min. 
c) 11 horas e 50 min. 
d) 12 horas e 30 min. 
e) 12 horas e 50 min. 
42 
 
 
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Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
3) ANPAD-2006. Considere-se que 3 impressoras idênticas, trabalhando durante 
10 horas por dia, levam 5 dias para fazer determinado trabalho. Numa situação de 
emergência, em que esse mesmo trabalho precisa ser realizado em apenas 4 dias, 
a jornada de trabalho diário dessas impressoras deve ter a duração de 
 
a) 8 h. 
b) 10 h 30 min. 
c) 12 h. 
d) 12 h 30 min. 
e) 14 h. 
 
4) ANPAD-2005. Cinco máquinas iguais funcionando em uma fábrica durante o 
mesmo tempo produzem 5000 peças em 72 horas. Sabendo que uma máquina 
quebrou, o tempo que as quatro máquinas levarão para fazer o mesmo serviço é 
 
a) 57 horas e 36 minutos. 
b) 90 horas. 
c) 95 horas e 36 minutos. 
d) 100 horas. 
e) 105 horas e 25 minutos. 
 
5) ANPAD-2004. Um navio, com uma guarnição de 300 homens, necessita de 
120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 21 dias. Se aumentar a 
guarnição em 50 homens e a água em 40.000 litros, então a duração máxima da 
viagem poderá ser de 
 
a) 42 dias. 
b) 36 dias. 
c) 30 dias. 
d) 28 dias. 
e) 24 dias. 
 
6) ANPAD-2004. Suponha que todos os 45 homens de uma obra tenham a 
mesma capacidade de trabalho e que para pavimentar um trecho de uma estrada 
eles gastam 5 horas. Utilizando 36 desses homens, o mesmo trabalho seria feito 
em 
43 
 
 
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a) 4h. 
b) 4h45min. 
c) 6h. 
d) 6h10min. 
e) 6h15min. 
 
7) ANPAD-2003. Uma determinada fruta quando fresca contém 70% de água e 
quando seca contém apenas 20% de água. Para produzir 30 kg da fruta seca, a 
quantidade necessária, em kg, da fruta fresca é 
 
a) 180. 
b) 150. 
c) 80. 
d) 70. 
e) 45. 
 
8) ANPAD-2003. Uma costureira fazendo x camisas por dia consegue entregar 
uma encomenda em 5 dias. Caso ela fizesse mais 4 camisas por dia, nas mesmas 
condições, a encomenda seria entregue em 3 dias. O valor de x está 
compreendido entre 
 
a) 3 e 7. 
b) 8 e 13. 
c) 14 e 17. 
d) 18 e 22. 
e) 23 e 28. 
 
9) ANPAD-2003. Em uma fábrica de automóveis, em 20 dias, com seus 
funcionários trabalhando 8 horas por dia, são montados 400 veículos de um 
mesmo modelo. Nessa mesma montadora, com os mesmos funcionários 
trabalhando 10 horas por dia, quantos dias serão necessários para montar 500 
veículos do mesmo modelo que os anteriores? 
 
a) 10. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 20. 
e) 25. 
44 
 
 
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10) ANPAD-2003. Foram usados 25 kg de fios para tecer 280 m de tecidos com 
0,90 m de largura. Quantos quilogramas serão necessários para produzir 144 m 
deste tecido com 1,4 m de largura? 
 
a) 14 kg. 
b) 16 kg. 
c) 20 kg. 
d) 24 kg. 
e) 25 kg. 
 
11) ANPAD-2003. Um granjeiro tem ração suficiente para alimentar 36 porcos 
durante 56 dias. Se ele precisar alimentar mais 6 porcos do mesmo tipo, quantos 
dias a ração deverá durar? 
 
a) 32. 
b) 36. 
c) 38. 
d) 44. 
e) 48. 
 
12) ANPAD-2003. Em uma certa fonte de água, uma garrafa de 2,5 litros é 
envazada em 50 segundos. O tempo necessário para encher um garrafão de 7 
litros, nessa mesma fonte, é de 
 
a) 1 min 30 s. 
b) 1 min 40 s. 
c) 1 min 50 s. 
d) 2 min 10 s. 
e) 2 min 20 s. 
 
13) ANPAD-2002. A faz uma peça em 9 dias de trabalho. B é 50% mais eficiente 
que A. Então, o número de dias que B deverá demorar para fazer a mesma peça é 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 9/2. 
d) 6. 
e) 7/2. 
45 
 
 
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14) ANPAD-2002. Com 100 kg de trigo, são produzidos 75 kg de farinha e, com 
25 kg de farinha, são feitos 30 kg de pão. Quanto de trigo é necessário para fazer 
450 kg de pão?a) 175 kg. 
b) 200 kg. 
c) 350 kg. 
d) 450 kg. 
e) 500 kg. 
 
15) ANPAD-2002. Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 
dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a 
estrada será concluída em 
 
a) 64 dias. 
b) 72 dias. 
c) 84 dias. 
d) 92 dias. 
e) 98 dias. 
 
16) Uma impressora laser realiza um serviço em 7 horas e meia, trabalhando na 
velocidade de 5.000 páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca mas de 
modelo diferente, trabalhando na velocidade de 3.000 páginas por hora, 
executará o serviço em 
 
a) 10 horas e 20 min. 
b) 11 horas e 20 min. 
c) 11 horas e 50 min. 
d) 12 horas e 30 min. 
e) 12 horas e 50 min. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
17) Um serviço deve ser realizado por indivíduos com a mesma capacidade de 
trabalho e trabalhando independentemente um dos outros. Nessas condições, três 
indivíduos realizaram 40% do serviço em 30 horas de trabalho. A esta altura, se 
acrescentarmos dois novos indivíduos nas mesmas condições, em quantas horas o 
serviço estará terminado? 
46 
 
 
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a) 18. 
b) 24. 
c) 27. 
d) 100/13. 
e) 75. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
18) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 
50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para 
que y realize essa tarefa é 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
19) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas 
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às 
primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 
108.000 bombons? 
 
a) 3. 
b) 3,5. 
c) 4. 
d) 4,5. 
e) 5. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
20) Para chegar ao trabalho, José gasta 2 h 30 min, dirigindo à velocidade média 
de 75 km/h. se aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minutos, 
para José fazer o mesmo percurso é: 
47 
 
 
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a) 50. 
b) 75. 
c) 90. 
d) 125. 
e) 180. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
21) A tripulação de um navio, composta de 180 homens, dispõe de víveres para 
60 dias. Decorridos 15 dias de viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para 
quantos dias ainda darão os víveres, após o aumento da tripulação? 
 
a) 36. 
b) 27. 
c) 30. 
d) 42. 
e) 92. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
22) Com 210 sacos de farinha, de 60 kg cada um, podem-se fazer 180 sacos de 
pães com 40 kg cada um. Quantos quilogramas de farinha serão necessários para 
produzir 120 sacos de pães, pesando 80 kg cada um? 
 
a) 9450. 
b) 9600. 
c) 16800. 
d) 20800. 
e) 21600. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
23) Um ônibus viajando com uma determinada velocidade média completou um 
percurso de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 
km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos minutos durou a 
viagem? 
48 
 
 
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a) 360. 
b) 390. 
c) 420. 
d) 480. 
e) 510. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
24) Quatro funcionários de uma empresa são capazes de atender, em média, 52 
pessoas por hora. Diante disso, espera-se que seis funcionários, com a mesma 
capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender por hora uma 
média de 
 
a) 72 pessoas. 
b) 75 pessoas. 
c) 78 pessoas. 
d) 82 pessoas. 
e) 85 pessoas. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
25) Um funcionário levou 8 horas para executar os 2/5 de certa tarefa. Quantas 
horas seriam necessárias para que outro funcionário completasse a tarefa, se sua 
capacidade de produção fosse igual a 120% da do primeiro? 
 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
e) 13. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-
concursos-500-questoes.html 
 
26) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente 
beneficiam ao todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. 
Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser 
49 
 
 
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entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem 
ser utilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? 
 
a) 5. 
b) 10. 
c) 15. 
d) 20. 
e) 25. 
Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o 
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27) Um avião consome 900 litros de combustível por hora de viagem. Em uma 
viagem de 3 h 20 min 16 s, o número de litros de combustível consumido é igual 
a: 
 
a) 3004. 
b) 3016. 
c) 3025. 
d) 3030. 
e) 3049. 
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28) A Companhia Municipal de Limpeza Urbana possui combustível para 
durante 18 dias, abastecer com a mesma quantidade de litros cada veículo de uma 
frota de 200 caminhões de lixo. Após 6 dias do início deste abastecimento, 
chegam mais 50 caminhões iguais aos anteriores que são incorporados à frota 
primitiva. O número de dias que ainda deve durar o combustível restante, 
abastecendoa frota, se cada caminhão passar a receber, diariamente, 80% do 
abastecimento inicial, é igual a 
 
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d)16. 
e)18. 
50 
 
 
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29) Uma impressora a jato de tinta possui duas velocidades. Na velocidade mais 
baixa, imprime 4.000 páginas por hora, e na mais alta 6.000 páginas por hora. Se 
a máquina fez um serviço em 8 horas na velocidade mais alta, em quanto tempo 
faria esse serviço trabalhando na velocidade mais baixa? 
 
a) 10 horas. 
b) 11 horas. 
c) 12 horas. 
d) 13 horas. 
e) 14 horas. 
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30) Em quatro horas de trabalho, duas equipes de manutenção preventiva visitam 
80 cruzamentos semaforizados, em uma certa cidade. Em quantas horas, cinco 
dessas equipes visitariam 600 desses cruzamentos semaforizados? 
 
a) 13. 
b) 12. 
c) 11. 
d) 10. 
e) 9. 
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31) Uma pizzaria fabrica pizzas circulares de diversos tamanhos, cujos preços 
são proporcionais às áreas correspondentes. Se uma pizza com 16 cm de raio 
custa R$ 19,20, o preço da pizza com 10 cm de raio é 
 
a) R$ 6,00. 
b) R$ 7,50. 
c) R$ 10,00. 
d) R$ 12,50. 
e) R$ 14,00. 
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32) Um trem percorreu a distância de 60 km com uma parada de 10 min na 
metade do percurso. Na primeira metade, a velocidade média desenvolvida pelo 
trem foi de 60 km/h e, na segunda metade, foi de 90 km/h. o tempo total gasto 
pelo trem no percurso foi de 
 
a) 50 min. 
b) 1 hora. 
c) 1 h 05 min. 
d) 1 h 10 min. 
e) 1 h 15 min. 
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33) A capacidade de certo vagão é de exatamente 30 adultos ou 40 crianças. 
Havendo já 24 crianças nesse vagão, qual o número máximo de adultos que ainda 
poderiam entrar? 
 
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 18. 
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34) Se o relógio de determinada empresa está com defeito e aumenta 15 minutos 
em um dia, então, ao longo de 5 horas e 20 minutos, terá aumentado 
 
a) 1 min e 10 s. 
b) 1 min e 30 s. 
c) 2 min e 40 s. 
d) 3 min e 20 s. 
e) 3 min e 30 s. 
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35) Um agente dos Correios que deve entregar 60 correspondências, entrega 8 
nos primeiros 40 minutos. Admitindo-se que ele continue fazendo seu trabalho 
no mesmo ritmo, sem qualquer alteração, o tempo que falta para entregar as 
correspondências restantes é igual a 
 
a) 2 h e 30 min. 
b) 3 h e 10 min. 
c) 3 h e 40 min. 
d) 4 h e 20 min. 
e) 5 h e 40 min. 
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36) Para realizar uma tarefa, 30 funcionários levam 6 dias, trabalhando 8 horas 
por dia. Para realizar a mesma tarefa, em iguais condições, 20 operários, 
trabalhando 9 horas por dia, levarão 
 
a) 4 dias. 
b) 5 dias. 
c) 6 dias. 
d) 7 dias. 
e) 8 dias. 
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37) Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio. Em quanto 
tempo 1 gato come 2 ratos? 
 
a) 2 min. 
b) 3 min. 
c) 5 min. 
d) 1 min. 
e) 4 min. 
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38) Uma construtora se compromete a realizar uma obra em 60 dias, iniciando a 
obra com 20 operários, trabalhando 8 horas por dia. Decorridos 15 dias, 5 
operários abandonaram a obra e não foram substituídos durante 40 dias. com 
quantos operários deverá a construtora continuar a obra, a partir do dia seguinte, 
para concluí-la dentro do prazo? 
 
a) 72. 
b) 64. 
c) 56. 
d) 48. 
e) 60. 
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39) Um agricultor colhe as laranjas de um pomar em 10 horas. Sua esposa faz o 
mesmo trabalho em 12 horas. Se o casal trabalhar junto com o filho, colherão as 
laranjas em 4 horas. Em quantas horas o filho, trabalhando sozinho, fará a 
colheita? 
 
a) 14. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 17. 
e) 18. 
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40) A tripulação de um navio, composta de 180 homens, dispõe de víveres para 
60 dias. Decorridos 15 dias de viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para 
quantos dias ainda darão os víveres, após o aumento da tripulação? 
 
a) 36. 
b) 27. 
c) 30. 
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d) 42. 
e) 92. 
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41) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e 
correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem 
intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi 
exatamente 3 horas, o tempo em que ele caminhou superou o tempo em que 
correu em 
 
a) 36 minutos.