TRABALHO DE GEOGEBRA FINAL PARA ENVIO

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Conhecendo o Geogebra
Antes de iniciarmos o passo a passo para a construção do círculo trigonométrico, precisamos no familiarizar com o Geogebra.
Este é o Geogebra:
Nele, nós temos a Janela de Visualização (verde), a Janela de Álgebra (azul), a caixa de entrada (vermelho) e a barra de menu (laranja):
Logo acima das janelas de Visualização e de Álgebra, temos 11 símbolos. São as ferramentas do Geogebra, cada uma com uma função específica:
Note que cada símbolo tem uma seta no canto inferior direito. Ao clicar nelas, a ferramenta se expande, abrindo novas funcionalidades.
Neste passo a passo, não utilizaremos todas as ferramentas. Por isso, apresentaremos apenas as que serão necessárias para a construção do círculo trigonométrico.
A primeira é a ferramenta Mover . Ela permite que você mova alguns objetos pela Janela de Visualização, e permite que você mova a própria visualização da janela, a fim de observar o comportamento de gráficos, etc.
A próxima é a ferramenta Ponto . Ela permite a criação de pontos em qualquer local da Janela de Visualização.
A ferramenta Reta não será utilizada, mas usaremos uma de suas funcionalidades, que é a ferramenta Segmento:
A primeira ferramenta que utilizaremos é a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos . Ela nos permite criar uma circunferência centrada em qualquer ponto do plano cartesiano.
A última ferramenta que precisamos é a ferramenta Ângulo . Com ela, podemos criar ângulos selecionando três pontos ou duas retas/segmentos de retas.
Para finalizar esse tutorial básico, é importante avisar que, em muitos momentos deste passo a passo, o leitor vai se deparar com expressões do tipo “clique com o botão direito sobre tal objeto (...)”. Existem duas formas de realizar esta ação. A primeira é você posicionar o cursor do mouse (a setinha) sobre o objeto na Janela de Visualização e clicar com o botão direito. A segunda é posicionar o cursor do mouse sobre a representação algébrica do objeto (que fica localizada na Janela de Álgebra) e clicar com o botão direito.
Círculo trigonométrico: Passo a passo para construção no programa Geogebra.
Parte 1 – Configurando a janela de visualização
Antes de construir o círculo trigonométrico, precisamos primeiro configurar a janela de visualização, a fim de diminuir a quantidade de informações visuais (malhas, números nos eixos, etc.).
1°- Com o botão direito do mouse, clique na janela de visualização. Um menu aparecerá, então clique na opção “Janela de Visualização” que possui uma engrenagem ao lado. Aparecerá uma janela, com 4 abas: “Básico”, “EixoX”, “EixoY” e “Malha”;
2°- Na aba “Básico”, nada iremos fazer. Passe para a aba “EixoX”. Na aba “EixoX”, há uma opção desmarcada escrito “Distância”. Marque a caixa e vá até a lista logo ao lado (1, π, π/2) e selecione a opção “1”. Repita o mesmo processo na aba “EixoY”;
3°- Na aba “Malha”, vá até a lista “Tipo de Malha” (Major Gridlines, Isométrica, Polar, Major and Minor Gridlines), e selecione a opção “Major Gridlines”. Marque também a caixa “Distância”, logo abaixo.
Parte 2 – Construindo o círculo trigonométrico
Agora que configuramos a janela de visualização do Geogebra, podemos iniciar a construção do círculo trigonométrico. Primeiro, vamos construir as figuras necessárias para se fazer o círculo trigonométrico. Apenas implantaremos as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) depois.
1°- Com a ferramenta “Círculo dados Centro e Um de seus Pontos”, desenhe uma circunferência com centro na origem e raio 1;
2°- Na Janela de Álgebra, desmarque os pontos “A” e “B”. Esses pontos não serão utilizados no círculo trigonométrico;
3°- Com o botão direito do mouse, clique na circunferência construída e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
4°- Novamente, clique com o botão direito do mouse na circunferência e selecione a opção “Propriedades”. Vá até a aba “Cor” e selecione a cor vermelha (ou outra de sua preferência). Depois, arraste o ponteiro na opção “Trasparência” até o valor 25. Vá até a aba “Estilo”, arraste o ponteiro da opção “Espessura da Linha” até o valor 5. Depois, arraste o ponteiro da opção “Opacidade do traço” até o valor 100;
5°- Usando a ferramenta “Ponto”, construa um ponto “C” sobre a circunferência (Note que, se você usar a ferramenta “Mover” e tentar mover o ponto, ele vai se mover apenas por cima da circunferência). Com o botão direito do mouse, clique sobre o novo ponto e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
6°- Usando a ferramenta “Segmento”, construa um segmento que ligue a origem do plano cartesiano ao ponto “C” (Perceba que, como o ponto “C” se move livremente por sobre a circunferência, o segmento de reta irá se mover de acordo com a posição do ponto “C”). Com o botão direito do mouse, clique no segmento de reta e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
O círculo está montado! Hora de inserir as funções.
Parte 3 – Inserindo as funções trigonométricas
Com o círculo pronto, podemos começar a inserir os elementos que, no final, representarão as funções trigonométricas.
1°- Com a ferramenta “Ângulo”, selecione o Eixo x e o segmento de reta, para construir o ângulo que será usado como referência para as funções trigonométricas. ATENÇÃO: Para não haver problemas na construção do ângulo, é recomendado que o segmento de reta esteja posicionado no primeiro quadrante, e que na construção do ângulo, o eixo x seja selecionado primeiro (Para verificar se o ângulo foi construído corretamente, faça o ponto “C” dar uma volta em sentido anti-horário sobre a circunferência e observe se o valor do ângulo varia de 0° até 360°);
2°- Com o botão direito do mouse, clique sobre o ângulo α e selecione a opção “Propriedades”. Na aba “Básico”, Vá até a lista na opção “Exibir Rótulo” (Nome, Nome & Valor, Valor, Legenda, Legenda & Valor) e escolha a opção “Valor”. Por fim, ainda na aba “Básico”, desmarque a caixa “Realçar Ângulos Retos”;
3°- Vamos construir dois pontos utilizando a caixa de entrada. Para o primeiro ponto, digite na caixa de entrada (sem as aspas) o par ordenado “(0, sin(α))”. Aparecerá um ponto “D”, sobre o eixo y (Note que, se você mover o ponto “C”, o ponto “D” irá se mover, de acordo com a posição de “C”. Porém, se você tentar mover apenas o ponto “D”, não irá conseguir, pois ele depende do valor do ângulo α). Para o segundo ponto, digite na caixa de entrada (também sem as aspas) o par ordenado “(cos(α), 0)”. Aparecerá um ponto “E”, sobre o eixo x. Tal qual o ponto “D”, o ponto “E” se move a medida que o ângulo α varia;
Observação: Algumas versões do Geogebra admitem a escrita da função seno como “sen(x)”, porém existem casos onde a entrada da função seno só funciona em inglês, ou seja, “sin(x)”.
4°- No ponto “D”, clique com o botão direito do mouse e desmarque a opção “Exibir Rótulo”. Faça o mesmo para o ponto “E”;
5°- Construa agora dois segmentos de reta: um que ligue o ponto “D” ao ponto “C”, e outro que ligue o ponto “E” ao ponto “C”. Esses segmentos vão variar de tamanho conforme o ponto “C” contorna a circunferência. Com o botão direito do mouse, clique sobre um dos segmentos e desmarque a opção “Exibir Rótulo”. Faça o mesmo para o outro segmento;
6°- Na caixa de entrada, digite (com as aspas): “sen(α) = ”+sin(α). Aparecerá na janela de visualização a função seno, com o valor do seno que corresponde ao ângulo α. Conforme você mova o ponto “C” para variar o ângulo α, o valor do seno que está sendo exibido também irá variar. Com o botão direito do mouse, clique sobre o texto e selecione a opção “Propriedades”. Vá até a aba “Posição”, e na lista, escolha a opção “D”. Caso a caixa “Posição Absoluta na Tela” esteja marcada, desmarque. Agora, o texto irá “acompanhar” o ponto “D” a medida que este se desloca pelo eixo y. Para o texto ficar bastante visível, posicione-o no lado esquerdo do ponto “D”;
7°- Novamente, na caixa de entrada, digite (com as aspas): “cos(α) = ”+cos(α). Aparecerá na janela de visualização a função cosseno, com o valor do cosseno que corresponde ao ângulo α. Tal qual o passo anterior,o valor mostrado no texto irá variar conforme o ângulo α varia. Com o botão direito do mouse, clique sobre o texto e selecione a opção “Propriedades”. Vá até a aba “Posição”, e na lista, escolha a opção “E”. Caso a caixa “Posição Absoluta na Tela” esteja marcada, desmarque. Agora, o texto irá “acompanhar” o ponto “E” a medida que este se desloca pelo eixo x. Para o texto ficar bastante visível, posicione-o abaixo do ponto “E”;
8°- Para não atrapalhar a visualização dos textos, podemos diminuir a opacidade do segmento que une os pontos “D” e “C”, e do segmento que une os pontos “E” e “C”. Para isso, com o botão direito do mouse, clique sobre o segmento e selecione a opção “Propriedades”. Vá para a aba “Estilo”, e arraste o ponteiro da opção “Opacidade do Traço” até o valor 50. Na mesma aba, vá até a lista “Estilo” e selecione o estilo tracejado (costuma ser a segunda opção). Repita o processo para o outro segmento;
O círculo trigonométrico está quase pronto! Só falta implantar uma função: a função Tangente.
Parte 4 – Implantando a função Tangente
Para implantar a função tangente ao nosso círculo trigonométrico, precisamos construir uma reta tangente, que será usada como referência para os valores da função tangente.
1°- Na caixa de entrada, digite (sem as aspas) “x=1”. Aparecerá uma reta perpendicular ao eixo x no ponto (1,0). Essa será a reta tangente que usaremos como referência para os valores da função tangente. Com o botão direito do mouse, clique sobre a reta e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
2°- Precisamos de um ponto sobre a reta x=1 que varie de acordo com o valor do ângulo α. Para isso, escreva na caixa de entrada (sem as aspas) “(1,tan(x))”. Aparecerá um ponto “F” na reta x=1, que irá mudar de posição a medida que o ângulo α varia de tamanho. Com o botão direito do mouse, clique sobre o ponto “F” e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
3°- Com a ferramenta “Segmento”, construa um segmento de reta que ligue o ponto “C” ao ponto “F”. Para questão de estética, procure deixar as configurações de “Cor” e “Estilo” desse novo segmento iguais ao segmento que liga o ponto “C” à origem. Com o botão direito do mouse, clique sobre o novo segmento e desmarque a opção “Exibir Rótulo”;
4°- Na caixa de entrada, digite (com as aspas): “Tg(α) = ”+tan(α). Aparecerá na janela de visualização a função tangente, com o valor da tangente que corresponde ao ângulo α. Conforme você mova o ponto “C” para variar o ângulo α, o valor da tangente que está sendo exibido também irá variar;
5°- Com o botão direito do mouse, clique sobre o texto e selecione a opção “Propriedades”. Vá até a aba “Posição”, e na lista, escolha a opção “F”. Caso a caixa “Posição Absoluta na Tela” esteja marcada, desmarque. Agora, o texto irá “acompanhar” o ponto “F” a medida que este se desloca pela reta x=1. Para o texto ficar bastante visível, posicione-o no lado direito do ponto “F”.
Pronto! Está finalizado o Círculo Trigonométrico com as funções seno, cosseno e tangente. Para deixar as coisas mais interessantes, clique com o botão direito sobre o ponto “C” e marque a opção “Animar”.
Exercícios
1°- Utilizando o círculo trigonométrico construído, construa o gráfico das funções sen(x), cos(x) e tg(x).
Resolução
Para construir esses gráficos, precisamos de outra Janela de Visualização, já que a janela atual está com o círculo trigonométrico. Para implementar outra janela de visualização, vá até a barra de menu, e na opção “Exibir”, clique em “Janela de Visualização 2”.
Uma segunda janela de visualização aparecerá, em paralelo com a primeira. Os gráficos serão construídos nessa segunda janela. Certifique-se de que a nova Janela de Visualização esteja selecionada nos próximos passos (O nome “Janela de Visualização 2” deve ficar em negrito):
Com o botão direito do mouse, clique na nova Janela de Visualização e clique na opção “Janela de Visualização”. Vá até a aba “EixoX”, e na lista ao lado da caixa “Distância” (1, π, π/2), escolha a opção “π/2”.
Na caixa de entrada, vamos criar três pontos: (α, sin(α)), (α, cos(α)) e (α, tan(α)). Logo após digitar e dar “Enter” para cada ponto, clique na Janela de Visualização 2, para certificar-se que eles estarão nessa janela. Em seguida, clique com o botão contrário em cada um deles, e clique na opção “Habilitar rastro”.
Para distinguir cada gráfico, experimente mudar a cor do ponto. Para isso, clique com o botão direito do mouse em cada ponto, e na opção “Propriedades”, vá até a aba “Cor” e selecione uma cor diferente para cada ponto.
Após isso, basta animar o ponto “C” no círculo trigonométrico, e os gráficos das funções seno, cosseno e tangente serão desenhados na Janela de Visualização 2.
Observe que o gráfico da função tangente fica pontilhado a medida que se aproxima (por ambos os lados) dos valores de π/2 e 3π/2. Para “corrigir” essa falha, basta mover devagar o ponto “C” com o mouse, ao invés de animar ele.
2°- Pelo exercício anterior, pode-se ver que o gráfico das funções seno e cosseno formam uma onda. O que aconteceria com o gráfico da função seno se implantássemos uma constante real k, da forma ? E da forma ? Vamos testar.
Resolução
Para realizar tal estudo, precisamos novamente de uma segunda Janela de Visualização. Para isso, vamos proceder da mesma forma que procedemos no exercício anterior. Na barra de menu, clique em “Exibir” e depois selecione “Janela de Visualização 2”.
Novamente, as construções serão feitas nessa nova janela. Portanto, certifique-se que ela esteja selecionada na hora da construção dos elementos necessários. Aproveite para configurar a distância do eixo X para π/2.
Vamos agora construir um ponto para desenhar o gráfico da função seno, da mesma forma que fizemos no exercício anterior, mas com uma diferença: precisamos implantar uma constante real k na função. Vá até a caixa de entrada e digite: (α, k*sin(α)). Aparecerá uma caixa de diálogo como a da imagem abaixo:
Clique em “Criar Controles Deslizantes”. Aparecerá a seguinte figura:
O controle deslizante serve para você alterar o valor de uma variável sem precisar desfazer uma construção. Apenas arrastando um botão. Vejamos o que acontece com o gráfico da função seno quando k é diferente de 1. Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função seno. Clique com o botão direito do mouse no ponto criado (G) e clique na opção “Habilitar Rastro”.
Em seguida, faça o ponto “C” dar uma volta no círculo trigonométrico e o gráfico da função seno será desenhado.
Vamos variar o valor de k. Para cada novo valor de k, atribua uma nova cor ao ponto “G”, para diferenciarmos as curvas dos gráficos depois. Primeiro faça . Para isso, arraste o ponteiro do controle deslizante para a esquerda, até mostrar “”. Depois, Faça o ponto “C” dar mais uma volta no círculo trigonométrico.
P.S.: o controle deslizante está em vermelho apenas para identificarmos qual será a curva para aquele valor de k.
Observe que a curva se inverteu, ao tomarmos . Primeiro ela decresce, para depois crescer e, por fim, decrescer novamente. E se tomarmos ? Mude a cor do ponto, depois arraste o ponteiro do controle deslizante para a direita até o valor de e, por fim, faça o ponto “C” dar uma volta no círculo trigonométrico.
Observe que a curva voltou a crescer primeiro, mas não é igual à curva do gráfico de . Observe que, enquanto a função varia de -1 até 1, a função está variando de -2 até 2. Isto significa que, se implementarmos uma constante na função seno da forma , o seu intervalo de variação irá aumentar (ou diminuir), de acordo com a constante k. E se for da forma ?
Vamos descobrir. Limpe a Janela de Visualização, apertando CTRL+Z. Após isso, desmarque o ponto “G”. Usaremos ele apenas mais tarde. Ficará apenas o controle deslizante na janela.
Na caixa de entrada, digite o ponto (α, sin(k*α)). Note que, como você já possui um controle deslizante para k, não aparecerá nenhuma caixa de diálogo. Caso você use outra constante nesse ponto, aparecerá uma nova caixa de diálogo para criar um novo controledeslizante. Clique com o botão direito do mouse no ponto “H”, e selecione a opção “Habilitar Rastro”. Ajuste o valor de k para 1, e desenhe novamente o gráfico da função seno.
Agora, mude a cor do ponto “H” e ajuste o valor de k para . Observe que o gráfico serão mesmo da função . 
Vamos tomar e ver o que acontece. Mude a cor do ponto “H”, arraste o controle deslizante para a direita até o valor e faça o ponto “C” dar uma volta no círculo trigonométrico.
Observe que o gráfico continuou variando de -1 até 1. A diferença do gráfico de para o gráfico de é que, enquanto o primeiro varia de -1 a 1 apenas uma vez no intervalo de 0 a 2π, o segundo varia duas vezes de -1 a 1 no mesmo intervalo.
Após isso, podemos concluir que, quando a constante k está fora do seno, o intervalo de variação do valor do seno irá mudar de acordo com o valor de k. Já se a constante k estiver dentro do seno, o que mudará é o número de vezes que o seno varia de -1 a 1. Além disso, podemos concluir que , mas .
Espero ter alcançado o objetivo do exercício proposto!
Um forte abraço professor Daniel, que Deus o abençoe junto aos seus familiares!