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PROF. JHONE RAMSAY ANDREZ NÃO DEIXE DE LER O LIVRO! A maioria das figuras e tabelas foram obtidas destes livros. BIBLIOGRAFIA O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 𝑚1 +𝑚2 𝑀 = 𝑚1 +𝑚2 Considere um sistema unidimensional com duas partículas pontuais de massas 𝑚1 e 𝑚2 com coordenadas 𝑥1 e 𝑥2. A posição do centro de massa é dado por: 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 𝑀 Podemos entender este conceito para o caso em que temos 𝑛 partículas ao longo do eixo 𝑥: 𝑀 = 𝑚1 +𝑚2 +⋯+𝑚𝑛 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +⋯+𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑀 𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑖 Para três dimensões: 𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑦𝐶𝑀 = 1 𝑀 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑧𝐶𝑀 = 1 𝑀 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 Ƹ𝑖 + 𝑦𝑖 Ƹ𝑗 + 𝑧𝑖 𝑘 Ԧ𝑟𝐶𝑀 = 1 𝑀 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 Podemos definir o centro de massa utilizando a notação vetorial. Sendo Ԧ𝑟 o vetor posição das partículas, centro de massa fica:: Para um corpo contínuo: 𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 න𝑥𝑑𝑚 𝑦𝐶𝑀 = 1 𝑀 න𝑦𝑑𝑚 𝑧𝐶𝑀 = 1 𝑀 න𝑧𝑑𝑚 Se a massa específica for homogenia, temos que: 𝜌 = 𝑑𝑚 𝑑𝑉 = 𝑀 𝑉 Assim: 𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑉 න𝑥𝑑𝑉 𝑦𝐶𝑀 = 1 𝑉 න𝑦𝑑𝑉 𝑧𝐶𝑀 = 1 𝑉 න𝑧𝑑𝑉 A equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é: Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀 𝑀 = 𝑖=𝑖 𝑚𝑖 Podemos escrever a 2° lei em termos das componentes nos três eixos: 𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑥 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑥 𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑦 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑦 𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑧 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑧 (Demonstração em sala) O momento linear de uma partícula é definido através da equação: Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣 Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑑 Ԧ𝑝 𝑑𝑡 Assim, podemos escrever a 2º Lei de Newton na forma: A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à força resultante que age sobre a partícula e tem a mesma orientação que a força resultante. O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa: 𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀 Ԧ𝐹𝑅 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 A segunda lei para um sistema de partículas fica: Durante uma colisão, dois corpos se aproximam e interagem fortemente durante um curto intervalo de tempo. Ԧ𝐽 = න 𝑡1 𝑡2 Ԧ𝐹𝑑𝑡 Ԧ𝐽 = ∆ Ԧ𝑝 Em uma colisão, a força exercida sobre o corpo é de curta duração, tem um módulo elevado e muda bruscamente o momento do corpo. Da Segunda Lei de Newton: න𝑑 Ԧ𝑝 = න Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 O lado direito da equação é o impulso Ԧ𝐽: → ∆ Ԧ𝑝 = න Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Podemos escrever também: 𝐽 = 𝐹𝑚𝑒𝑑∆𝑡 O impulso resultante que é submetido o alvo é igual a variação do momento linear ∆𝑝 dos 𝑛 projéteis que colidem com o alvo, mas com o sinal invertido: 𝐽 = −𝑛∆𝑝 Se a força externa resultante atuando sobre um sistema permanece nula, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante. 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 0 → 𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀 ≡ contante 𝑃𝑖 = 𝑃𝑓 Em outras palavras, se um sistema de partículas não está submetido a forças externas, o momento linear total 𝑃 do sistema não pode variar. Quando a energia cinética total antes e após da colisão é a mesma, a colisão é chamada de elástica. Caso contrario, é chamada de inelástica. Se toda energia cinética relativa ao centro de massa é convertida em energia térmica ou interna do sistema, e os dois corpos permanecem unidos após a colisão, ela é chamada de perfeitamente inelástica. 𝑚1𝑣1𝑓 +𝑚2𝑣2𝑓 = 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖 Pela conservação da quantidade de movimento: Ԧ𝑝1𝑓 + Ԧ𝑝2𝑓 = Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖 A partir da equação 𝑝 = 𝑚𝑣, temos que: As partículas mantêm-se unidas após a colisão, e as velocidades finais são iguais para ambos as partículas e iguais a velocidade do centro de massa do sistema: 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖 = 𝑚1 +𝑚2 𝑉 𝑉 = 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖 𝑚1 +𝑚2 Se 𝑣2𝑖 = 0 𝑉 = 𝑚1𝑣1𝑖 𝑚1 +𝑚2 𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀 Sendo 𝑃 = Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖 (ou 𝑃 = Ԧ𝑝1𝑓 + Ԧ𝑝2𝑓): Temos que: Ԧ𝑣𝐶𝑀 = 𝑃 𝑚1 +𝑚2 = Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖 𝑚1 +𝑚2 Na colisão elástica, a energia cinética final e inicial são iguais: 𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 𝑚1𝑣1𝑓 2 2 + 𝑚2𝑣2𝑓 2 2 = 𝑚1𝑣1𝑖 2 2 + 𝑚2𝑣2𝑖 2 2 𝑚1𝑣1𝑓 +𝑚2𝑣2𝑓 = 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖 Pela conservação da quantidade de movimento: 𝑚1 𝑣1𝑖 − 𝑣1𝑓 𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 = 𝑚2(𝑣2𝑓 − 𝑣2𝑖) 𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓 𝑚1(𝑣1𝑖−𝑣1𝑓) = 𝑚2(𝑣2𝑓 − 𝑣2𝑖) Partindo da conservação do momento linear e da conservação da energia cinética, obtemos: Dividindo uma equação pela outra: 𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓 𝑣1𝑓 = 𝑚1 −𝑚2 𝑚1 +𝑚2 𝑣1𝑖 + 2𝑚2 𝑚1 +𝑚2 𝑣2𝑖 𝑣2𝑓 = 2𝑚1 𝑚1 +𝑚2 𝑣1𝑖 + 𝑚2 −𝑚1 𝑚1 +𝑚2 𝑣2𝑖 Realizando algumas manipulações, obtemos:
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