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09   Aula O Centro de Massa e Momento Linear 20171111 1106

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PROF. JHONE RAMSAY ANDREZ
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BIBLIOGRAFIA
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move
como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto
e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
𝑀 = 𝑚1 +𝑚2
Considere um sistema unidimensional com duas partículas pontuais de massas
𝑚1 e 𝑚2 com coordenadas 𝑥1 e 𝑥2. A posição do centro de massa é dado por:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑀
Podemos entender este conceito para o caso em que temos 𝑛 partículas ao
longo do eixo 𝑥:
𝑀 = 𝑚1 +𝑚2 +⋯+𝑚𝑛
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +⋯+𝑚𝑛𝑥𝑛
𝑀
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑥𝑖
Para três dimensões:
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑦𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑧𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑧𝑖
𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 Ƹ𝑖 + 𝑦𝑖 Ƹ𝑗 + 𝑧𝑖 ෠𝑘
Ԧ𝑟𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖
Podemos definir o centro de massa utilizando a notação vetorial. Sendo Ԧ𝑟 o
vetor posição das partículas, centro de massa fica::
Para um corpo contínuo:
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
න𝑥𝑑𝑚 𝑦𝐶𝑀 =
1
𝑀
න𝑦𝑑𝑚 𝑧𝐶𝑀 =
1
𝑀
න𝑧𝑑𝑚
Se a massa específica for homogenia, temos que: 
𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
=
𝑀
𝑉
Assim:
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑉
න𝑥𝑑𝑉 𝑦𝐶𝑀 =
1
𝑉
න𝑦𝑑𝑉 𝑧𝐶𝑀 =
1
𝑉
න𝑧𝑑𝑉
A equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de um
sistema de partículas é:
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀 𝑀 =෍
𝑖=𝑖
𝑚𝑖
Podemos escrever a 2° lei em termos das componentes nos três eixos:
𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑥 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑥 𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑦 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑦 𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑧 = 𝑀𝑎𝐶𝑀,𝑧
(Demonstração em sala)
O momento linear de uma partícula é definido através da equação:
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Assim, podemos escrever a 2º Lei de Newton na forma:
A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é
igual à força resultante que age sobre a partícula e tem a mesma
orientação que a força resultante.
O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da
massa total do sistema pela velocidade do centro de massa:
𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀
Ԧ𝐹𝑅 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
A segunda lei para um sistema de partículas fica:
Durante uma colisão, dois corpos se aproximam e interagem fortemente
durante um curto intervalo de tempo.
Ԧ𝐽 = න
𝑡1
𝑡2
Ԧ𝐹𝑑𝑡
Ԧ𝐽 = ∆ Ԧ𝑝
Em uma colisão, a força exercida sobre o corpo é de curta duração, tem um
módulo elevado e muda bruscamente o momento do corpo. Da Segunda Lei
de Newton:
න𝑑 Ԧ𝑝 = න Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
O lado direito da equação é o impulso Ԧ𝐽:
→ ∆ Ԧ𝑝 = න Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Podemos escrever também:
𝐽 = 𝐹𝑚𝑒𝑑∆𝑡
O impulso resultante que é submetido o alvo é igual a variação do
momento linear ∆𝑝 dos 𝑛 projéteis que colidem com o alvo, mas com o
sinal invertido:
𝐽 = −𝑛∆𝑝
Se a força externa resultante atuando sobre um sistema permanece nula, a
quantidade de movimento total do sistema permanece constante.
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0 → 𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀 ≡ contante
𝑃𝑖 = 𝑃𝑓
Em outras palavras, se um sistema de partículas não está submetido a
forças externas, o momento linear total 𝑃 do sistema não pode variar.
Quando a energia cinética total antes e após da colisão é a mesma, a
colisão é chamada de elástica. Caso contrario, é chamada de inelástica.
Se toda energia cinética relativa ao centro de massa é convertida em
energia térmica ou interna do sistema, e os dois corpos permanecem
unidos após a colisão, ela é chamada de perfeitamente inelástica.
𝑚1𝑣1𝑓 +𝑚2𝑣2𝑓 = 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖
Pela conservação da quantidade de movimento:
Ԧ𝑝1𝑓 + Ԧ𝑝2𝑓 = Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖
A partir da equação 𝑝 = 𝑚𝑣, temos que:
As partículas mantêm-se unidas após a colisão, e as velocidades finais são
iguais para ambos as partículas e iguais a velocidade do centro de massa
do sistema:
𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖 = 𝑚1 +𝑚2 𝑉
𝑉 =
𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖
𝑚1 +𝑚2
Se 𝑣2𝑖 = 0
𝑉 =
𝑚1𝑣1𝑖
𝑚1 +𝑚2
𝑃 = 𝑀 Ԧ𝑣𝐶𝑀
Sendo 𝑃 = Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖 (ou 𝑃 = Ԧ𝑝1𝑓 + Ԧ𝑝2𝑓):
Temos que:
Ԧ𝑣𝐶𝑀 =
𝑃
𝑚1 +𝑚2
=
Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖
𝑚1 +𝑚2
Na colisão elástica, a energia cinética final e inicial são iguais:
𝐾𝑓 = 𝐾𝑖
𝑚1𝑣1𝑓
2
2
+
𝑚2𝑣2𝑓
2
2
=
𝑚1𝑣1𝑖
2
2
+
𝑚2𝑣2𝑖
2
2
𝑚1𝑣1𝑓 +𝑚2𝑣2𝑓 = 𝑚1𝑣1𝑖 +𝑚2𝑣2𝑖
Pela conservação da quantidade de movimento:
𝑚1 𝑣1𝑖 − 𝑣1𝑓 𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 = 𝑚2(𝑣2𝑓 − 𝑣2𝑖) 𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓
𝑚1(𝑣1𝑖−𝑣1𝑓) = 𝑚2(𝑣2𝑓 − 𝑣2𝑖)
Partindo da conservação do momento linear e da conservação da energia
cinética, obtemos:
Dividindo uma equação pela outra:
𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓
𝑣1𝑓 =
𝑚1 −𝑚2
𝑚1 +𝑚2
𝑣1𝑖 +
2𝑚2
𝑚1 +𝑚2
𝑣2𝑖
𝑣2𝑓 =
2𝑚1
𝑚1 +𝑚2
𝑣1𝑖 +
𝑚2 −𝑚1
𝑚1 +𝑚2
𝑣2𝑖
Realizando algumas manipulações, obtemos: