Aplicações da integral

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APLICAÇÕES DA 
INTEGRAL
Prof. Dr. Flausino Spindola
Trajeto do Prédio Paulo Freire à 
Entrada da UFMA
Trecho de Trajeto da Entrada da UFMA 
ao Terminal Praia Grande
Comprimento de Curvas dadas como 
Gráfico de Função Diferenciável
■ No caso de curvas que se expressam como gráfico da forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
com 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, o comprimento é:
𝐿 = න
𝑎
𝑏
1 + 𝑦′(𝑥)2 𝑑𝑥
Comprimento de Curvas 
Parametrizadas Diferenciáveis
■ No caso em que a curva é dada na forma paramétrica 
𝛾 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
o comprimento da curva é dada por:
𝐿 = න
𝑎
𝑏
𝑥′(𝑡)2 + 𝑦′(𝑡)2𝑑𝑡.
Exemplo 1
■ Uma partícula efetua uma trajetória espiral:
𝛾 𝑡 = 𝑡 ∙ cos 𝑡 , 𝑡 ∙ sin 𝑡 ,
onde 𝑡 denota o tempo em segundos e 𝛾 𝑡 a posição da partícula no instante 𝑡. 
Determine a distância percorrida pela partícula entre 𝑡 = 0 e 𝑡 = 1𝑠?
Espiral
Exemplo 2
■ Ao andar de bicicleta, conforme a roda gira, um ponto no pneu descreve uma 
trajetória chamada de cicloide. Se o raio da roda é 𝑟, a cicloide é uma curva 
parametrizada por: 
𝛾 𝑡 = (𝑟 𝑡 − sin 𝑡 , 𝑟 1 − cos 𝑡
Determine o comprimento da curva quando 𝑡 varia de 0 a 2𝜋.
Ciclóide
Ciclóide
Comprimento de Curvas dadas em 
Coordenadas Polares
■ Considere uma curva 
𝜌 = 𝜌 𝜃 , 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽.
onde 𝜌 é uma função diferenciável. 
O comprimento da curva é:
න
𝛼
𝛽
𝜌2 + 𝜌′2𝑑𝜃 .
Exemplo 3
■ Considere o cardioide, cuja equação é dada por:
𝜌 = 1 + cos 𝜃 .
Determine o comprimento da curva quando 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.
Área em Coordenadas Polares
■ Considere uma região do plano cuja fronteira é gráfico de uma função dada em 
coordenadas polares 𝜌 = 𝜌 𝜃 , 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. Nestas condições, a área da região é 
dada por:
𝐴 =
1
2
න
𝛼
𝛽
𝜌2𝑑𝜃 .
Exemplo 4
■ Calcule a área da região delimitada pelo cardioide, cuja equação é dada por:
𝜌 = 1 + cos 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
Exemplo 5
■ Calcule a área da região delimitada pelas curvas 
𝜌 = 3cos(𝜃)
e
𝜌 = 1 + cos 𝜃 .