Deflexao de Vigas

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CIV 151 – Resistência dos Materiais II
Capítulo
Deflexão de Vigas
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Professores: Flávio Antônio Ferreira
Diôgo Silva de Oliveira
Versão SET16
Deflexão de Vigas
Sumário
9.1 - Introdução
9.2 - Deformação de uma Viga sob Carregamento Transversal
9.3 - Equação da Linha Elástica
9.4 - Determinação Direta da Linha Elástica com Base na Força Distribuída
9.5 - Vigas Estaticamente Indeterminadas
9.7 - Método da Superposição
9.8 - Aplicação da Superposição em Vigas Estaticamente Indeterminadas
9.9 - Teoremas do Momento de Área
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9.9 - Teoremas do Momento de Área
9.10 - Aplicação em Vigas em Balanço e Vigas com Carregamento Simétrico
9.11 - Diagramas de Momento Fletor por Partes
9.12 - Aplicação Teorema Momento de Área a Vigas com Carregamento Assimétrico
9.13 - Deflexão Máxima
9.14 - Aplicação Teorema Momento de Área a Vigas Estaticamente Indeterminadas
9.1 - Introdução
Convenção de Sinais para Vigas
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9.2 – Deformação de uma Viga sob Carregamento Transversal
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Do capítulo 4 (Flexão: Resistência I), temos:
Relação
(Momento-Curvatura)
9.3 – Equação da Linha Elástica
Primeiramente recordamos do cálculo elementar que a curvatura de uma equação qualquer em um
ponto Q(x,y) qualquer pode ser expressa como:
onde: dy/dx e d2y/dx2 são a primeira e a segunda derivada
da função y(x) representada pela curvatura da viga. Mas no
caso da linha elástica (deformação em vigas) sabemos que a
inclinação q = dy/dx é muito pequena. Logo, o seu quadrado
é menor ainda podendo ser desprezado.
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Substituindo (9.3) em (9.1), temos:
A equação 9.4 é a equação diferencial que governa a linha elástica
O produto EI é chamado
de rigidez a flexão da viga
Lembrando que para pequenas deformações:
9.3 – Equação da Linha Elástica
Exercício: Beer
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9.3 – Equação da Linha Elástica
Exercício: Beer
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9.3 – Equação da Linha Elástica
Exercício: Beer
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9.4 – Determinação Direta da Linha Elástica com Base na Força Distribuída
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Fazendo equilíbrio de um segmento dx de uma viga
com carregamento distribuído, temos:
 xw
dx
dV  V
dx
dM 
A derivada força
cortante em cada
ponto é igual a
intensidade da carga
naquele ponto
A derivada do momento em
cada ponto é igual a força
cortante neste mesmo
ponto
9.4 – Determinação Direta da Linha Elástica com Base na Força Distribuída
Vimos na secao anterior que a equação da linha elástica pode ser obtida integrando-se duas vezes a
equação (9.4):
Se derivarmos ambos os lados da equação (9.4), temos:
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Se derivarmos ambos os lados da equação (9.31), temos:
A equação 9.32 é a equação diferencial que governa a linha elástica de uma viga com carregamento
distribuído
9.4 – Determinação Direta da Linha Elástica com Base na Força Distribuída
Exercício: Beer
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9.5 – Vigas Estaticamente Indeterminadas (Hiperestáticas)
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9.5 – Vigas Estaticamente Indeterminadas (Hiperestáticas)
Exercício: Beer
Exemplo 9.5: Determine as reações de apoio, a linha elástica, a deformação máxima e o momento
máximo da viga abaixo.
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EXERCÍCIO
Exercício: Hibbeler
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EXERCÍCIO
Exercício: Beer
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EXERCÍCIO
Exercício: Hibbeler
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EXERCÍCIO
Exercício: Hibbeler
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9.7 – Método da Superposição
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9.7 – Método da Superposição
Tabelas de Flechas de Vigas
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9.7 – Método da Superposição
Tabelas de Flechas de Vigas
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9.7 – Método da Superposição
Tabelas de Flechas de Vigas
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9.7 – Método da Superposição
Tabelas de Flechasde Vigas
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9.7 – Método da Superposição
Exercício: Beer
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9.7 – Método da Superposição
Exercício: Beer
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9.7 – Método da Superposição
Exercício: Beer
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9.8 – Método da Superposição para Vigas Hiperestáticas
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9.8 – Método da Superposição para Vigas Hiperestáticas
Exercício: Beer
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9.8 – Método da Superposição para Vigas Hiperestáticas
Exercício: Beer
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9.9 – Teoremas do Momento de Área (TMA)
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9.9 – Teoremas do Momento de Área (TMA)
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(1º Teorema do Momento de Área)
9.9 – Teoremas do Momento de Área (TMA)
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9.9 – Teoremas do Momento de Área (TMA)
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(2º Teorema do Momento de Área)
9.10 – Aplicação TMA em Vigas em Balanço e em Vigas com Carreg Simétrico
Exercício: Exemplo 12.7 Hibbeler
Determine a inclinação e o deslocamento para a viga mostrada nos pontos B e C. Considere EI
constante.
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9.10 – Aplicação TMA em Vigas em Balanço e em Vigas com Carreg Simétrico
Exercício: Beer
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9.11 – Diagramas de Momento Fletor por Partes
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9.11 – Diagramas de Momento Fletor por Partes
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9.11 – Diagramas de Momento Fletor por Partes
Exercício: Beer
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9.11 – Diagramas de Momento Fletor por Partes
Exercício: Beer
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9.12 – Aplicação do TMA em Vigas com Carregamento Assimétrico
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9.12 – Aplicação do TMA em Vigas com Carregamento Assimétrico
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9.12 – Aplicação do TMA em Vigas com Carregamento Assimétrico
Exercício: Beer
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9.13 – Deflexão Máxima
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9.13 – Deflexão Máxima
Exercício: Beer
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9.14 – Aplicação do TMA em Vigas Estaticamente Indeterminadas
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9.14 – Aplicação do TMA em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Exercício: Beer
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