CAP 03 CONDUÇÃO 02 ESA 2016.1

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1 
Considere uma placa plana, construída de um material isotrópico 
cuja condutividade térmica é constante e que no interior desta 
placa existe uma geração uniforme de calor por unidade de 
volume. As temperaturas superficiais da placa são mantidas a TS,1 
e TS,2 
2 



2
2
0
d T
dx
q
k
 

,1
,2
( )
( )
S
S
T L T
T L T
   
   
    
    
    
22
2 1 1 2( ) 1
2 2 2
S S S S
T T T Tq L x x
T x
k L L
3.5.1 – A PAREDE PLANA 
3.5 – CONDUÇÃO COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA 
A taxa de transferência de calor por condução em qualquer 
ponto da placa pode ser determinado, usando-se a lei de Fourier 
e o perfil de temperatura 
 
 
CASO ESPECIAL: Temperaturas superficiais iguais 
 
3 
  
   
 
 
 
2 1
2
T Tq x
q kA
k L

  
  
  
  
22
( ) 1
2
S
q L x
T x
k L
T

 
2
2
SMAX
q L
T
k
T

  
 
  
q x
q kA
k
APLICAÇÃO 
PROB. 3.72 - Uma parede plana de espessura 0,1 m e 
condutividade térmica 25 W/m.K com geração volumétrica de 
calor uniforme de 0,3 MW/m3 é isolada de um lado enquanto o 
outro é exposto a um fluido a 92 °C. O coeficiente de 
transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é 
500 W/m2°K. Determine a temperatura máxima da parede. 
4 
PROB. 3.73: 
Considere a condução unidimensional em uma parede plana 
composta. As superfícies externas são expostas a um fluido a 25 
C com um coeficiente de convecção de 1000 W/m2K. Na parede 
intermediaria “B” há geração de calor, enquanto que nas 
paredes “A” e “C” não ocorre geração. As temperatura das 
interfaces são T1 = 261 e T2 = 211 C. Considerando a resistência 
de contato desprezível nas interfaces, determine a geração de 
calor volumétrica. 
 
5 
 CILINDRO MACIÇO 
Considere um cilindro solido, construído de um material isotrópico e de 
condutividade térmica constante. O cilindro possui L >> D de tal forma que o 
gradiente de T na direção longitudinal é desprezível, quando comparado com 
a direção radial. A temperatura no interior do cilindro não varia com o tempo 
e existem fontes internas de geração de energia. 
 
6 



 
 
 
1
0
d dT
r
r dr dr
q
k


0
0
r
dT
dr
3.5.2 – SISTEMAS RADIAIS 
0r
0rr  STrT )( 0
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
7 
PERFIL DE TEMPERATURA 
sT
r
r
k
qr
rT 







2
0
22
0 1
4
)(
TEMPERATURA MÁXIMA 
sT
k
qr
TT 

4
)0(
2
0
0
0r
TEMPERATURA SUPERFICIAL 
)(  TTh
dr
dT
k S
h
qr
TTs
2
0

 
TAXA DE CALOR 
0rr
dr
dT
kAq

 volqqLrqq .20

 
PROB. 3.92: 
Uma barra longa cilíndrica de diâmetro 200 mm com 
condutividade térmica de 0,5 W/m.K está sujeita a um fluxo de 
geração de calor volumétrico uniforme de 24000 W/m3. A barra 
é envolta por uma camisa circular com diâmetro externo de 400 
mm e condutividade térmica de 4 W/mK. A superfície externa da 
camisa encontra-se exposta a um escoamento de ar cruzado a 27 
°C com um coeficiente de convecção de 25 W/m2K. Determine a 
temperatura na interface entre o bastão e a camisa e na 
superfície externa. Qual a temperatura no centro da barra? 
8 
 ESFERA MACIÇA 
Considere uma esfera maciça construída de um material isotrópico cuja 
condutividade térmica é constante. A superfície em r = R é exposta a troca de 
calor por convecção para um fluido. 
 
9 

 
 
 
2
2
1
0
d dT
r
r dr dr
q
k


0
0
r
dT
dr
PERFIL DE TEMPERATURA E TAXA DE CALOR 
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
0r
0rr 
STrT )( 0
sT
r
r
k
rq
rT 







2
0
22
0
1
6
)( volqqrqq .
3
03
4   
 ESFERA MACIÇA 
Considere uma esfera maciça construída de um material isotrópico cuja 
condutividade térmica é constante. A superfície em r = R é exposta a troca de 
calor por convecção para um fluido. 
 
10 

 
 
 
2
2
1
0
d dT
r
r dr dr
q
k


0
0
r
dT
dr
 


  
S
r R
dT
hA T T kA
dr
PERFIL DE TEMPERATURA E TAXA DE CALOR 

 
   
  
  
  
22
( ) 1
6 3
q R r q R
T r T
k R h
  3
4
3
q qR
PROB 3.95 : 
Resíduos radioativos (k = 20 W/m.K) são armazenados em um 
contêiner esférico de aço inoxidável (k = 15 W/m.K) e raios 
interno e externo iguais a 0,5 e 0,6 m, respectivamente. Calor é 
gerado volumetricamente no interior dos resíduos a uma taxa 
uniforme de 0,1 MW/m3 e a superfície externa do contêiner 
encontra-se exposta a uma corrente de água para a qual h = 
1000 W/m2K e T = 25 °C. Determine as temperaturas da 
superfície interna e externa do contêiner e a temperatura 
máxima dos resíduos. 
 
11 
3.6 -TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFICIES ESTENDIDAS 
A taxa de transferência de calor entre uma superfície e um 
fluido é dada pela lei de resfriamento de Newton 
 
 
Supondo que as temperaturas são fixas devido a restrições 
de projeto. 
Como conseguir o aumento da taxa de transferência? 
 
 Aumento do coeficiente de transferência de calor. 
 Aumento da área de troca térmica. 
12 
( )Sq hA T T 
Solução mais usada é o aumento da área através do uso de 
superfícies estendidas (ALETAS). 
 
 
13 
ALETAS 
Construídas de materiais bons 
condutores de calor 
ANÁLISE DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
Considere um elemento de volume em uma aleta conforme 
mostrado na figura abaixo. 
 
14 
Em regime estacionário, o balanço 
energético sobre o elemento de 
volume, tem a seguinte forma: 
Taxa de Calor Taxa de Calor Taxa de Calor
entrando por saindo por saindo por convecção
condução em x condução em x+ x no elemento de volume
     
      
     
          
Obtendo-se a seguinte equação diferencial: 
15 
2
2
2
0
d
m
dx

 
2 hPm
kA
T T 

 
Onde  
Esta equação possui as seguintes soluções gerais: 
   
1 2
1 2
1 2
( ) (1)
( ) cosh( ) ( ) (2) 
( ) cosh ( ) ( ) 
mx mxx C e C e
x C mx C senh mx
x C m L x C senh m L x



 
 
    (3) 
Vamos analisar diversas situações que podem ser 
consideradas em uma aleta 
 
 
 
 
 
16 
0(0) B T T    
Condição de contorno na base: 
 
 Aleta Longa (infinita) 
 Aleta de ponta isolada 
 Aleta com temperatura prescrita 
 Aleta com perda de calor por convecção 
Condição de contorno na ponta da aleta: 
 CASO 01: Aleta Longa (infinita) 
Em uma aleta suficientemente longa é razoável admitir que a 
temperatura da ponta da aleta se aproxima da temperatura do 
fluido que a circunda. 
 
Condições de contorno: 
 
O perfil de temperatura (usando a solução 1), tem a seguinte 
forma: 
 
 
A taxa de transferência de calor é calculada por: 
 
17 
0 0( ) em x = 0
( ) 0 em x 
x T T
x
 

  
 
0 0
( ) mxT Tx e
T T





 

0q PhkA
 CASO 02: Aleta de ponta isolada 
A área de transferência de calor na ponta da aleta é geralmente 
muito pequena quando comparada com a área lateral, de tal 
forma que podemos desprezar a perda de calor pela ponta. 
 
Condições de contorno: 
 
O perfil de temperatura (usando a solução
3), tem a seguinte 
forma: 
 
 
A taxa de transferência de calor é calculada por: 
 
18 
0 0( ) em x = 0
( )
= 0 em x = L
x T T
d x
dx
 

  
 
0 0
cosh ( )( )
cosh( )
m L xT Tx
T T mL





 

 0 tanh( )q PhkA mL
 CASO 03: Temperatura Prescrita 
Caso a temperatura da ponta da aleta seja prescrita, teremos as 
seguintes condições de contorno: 
 
 
 
O perfil de temperatura (usando a solução 3), tem a seguinte 
forma: 
 
 
A taxa de transferência de calor é calculada por: 
 
19 
0 0( ) em x = 0
( ) em x = LL L
x T T
x T T
 
 


  
  
   
0 0
( ) ( )( )
( )
L B senh mx senh m L xT Tx
T T senh mL
 
 
 
 

 0
cosh( )
( )
L BmLq PhkA
senh mL
     
 
 CASO 04: Aleta com perda de calor por convecção 
Este caso representa a hipótese mais realística, pois inclui o 
efeito da convecção na ponta da aleta: 
 
 
 
O perfil de temperatura (usando a solução 3), tem a seguinte 
forma: 
 
 
A taxa de transferência de calor é calculada por: 
 
20 
0 0( ) em x = 0
( )
( ) 0 em x = L
x T T
d x
k h x
dx
 
 
  
 
     
 0 0
cosh ( ) ( )( )
( ) ( )
m L x h mk senh m L xT Tx
T T cosh mL h mk senh mL

 
  
 
 
   
 0
( ) cosh( )
( ) ( )
senh mL h mk mL
q PhkA
cosh mL h mk senh mL
    
 
21 
DESEMPENHO DE UMA ALETA 
Uma forma de medir a desempenho de 
uma aleta, é através da sua efetividade 
() que é definida como sendo a razão 
entre a taxa de transferência de calor 
da aleta e a taxa de transferência de 
calor se não existisse a aleta 
 
aleta
base base
q
hA



A principio, recomenda-se o uso de 
aletas apenas quando a efetividade 
for maior do que 2.0 
 
Outra forma de medir o desempenho da aleta é através de sua 
eficiência (), que é definida como sendo a razão entre o calor 
transferido pela aleta e a quantidade máxima que poderia ser 
transferida. 
22 
aleta
aleta base
q
hA



A quantidade máxima ocorrerá 
quando toda a aleta esta na 
mesma temperatura da base 
EFETIVIDADE GLOBAL DA SUPERFÍCIE ALETADA 
A eficiência global da superfície caracteriza o conjunto de 
aletas e a base da superfície na qual elas estão fixadas. 
23 
total sem aletas aletasq q q 
( )sem aletas sem aletas Bq hA T T   
( )aletas aleta aleta Bq N hA T T  
( )( )total sem aletas aleta aleta Bq h A NA T T   
( )( )total aletada sem aletas aleta aleta B
global
sem aletas sem aletas base
q h A NA T T
q hA
    
 
 
APLICAÇÕES 
PROB. 3.120: 
Uma barra de latão de 100 mm de comprimento e 5 mm de 
diâmetro se estende horizontalmente de um molde de fundição 
a 200 ºC. A barra esta no ar ambiente com uma temperatura de 
20 ºC e h = 30 W/m2K. 
(a) Qual a temperatura da barra a 25, 50 e 100 mm a partir do 
molde? 
(b) Qual a taxa de transferência de calor na aleta 
(c) Determine a efetividade e a eficiência da aleta 
 
24 
Departamento de Engenharia Sanitária e 
Ambiental/CCT/UEPB 
 
e-mail: caplima@uepb.edu.br 
 caplima2000@yahoo.com.br 
 
Web-site: http://caplima.googlepages.com 
 
 
 
CAMPINA GRANDE, PB 
 
25