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62 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Transformação Linear Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT →: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos: TL1. Para quaisquer Vuv ∈, , )()()( uTvTuvT +=+ . TL2. Para todo Vv∈ e para todo R∈k , )()( vTkvkT ⋅=⋅ . Exemplos: 1) 22 RR →:T ),(),(),( yxyxTyx −−=a Verificando os axiomas: TL1. ),(),()),(),(( tzTyxTtzyxT +=+ , para quaisquer 2R∈),(),,( tzyx ? ),())(),((),()),(),(( tyzxtyzxtyzxTtzyxT −−−−=+−+−=++=+ ),(),(),(),(),( tyzxtzyxtzTyxT −−−−=−−+−−=+ Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores. TL2. ),()),(( yxTkyxkT ⋅=⋅ , para todo 2R∈),( yx e para todo R∈k ? ),(),())(),(())(),((),()),(( yxTkyxkykxkkykxkykxTyxkT ⋅=−−⋅=−−=−−==⋅ Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar. Considere )3,1( e )2,1( −== uv . )2,1()2,1()( −−== TvT )3,1()3,1()( −=−= TuT )5,0()3,1()2,1()()( −=−+−−=+ uTvT )5,0()5,0())3,1()2,1(()( −==−+=+ TTuvT )(2)2,1(2)2,1(2)4,2()4,2())2,1(2()2( vTTTTvT ⋅=⋅=−−⋅=−−==⋅=⋅ 2) 33 RR → :T )0,,(),,(),,( yxzyxTzyx =a T é uma transformação linear (Verifique !) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY. X Y (x, y) y x X Y -x -y T(x, y)=(-x, -y) T 63 A transformação linear WVT →:0 tal que WvTv 00 =)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT →: . Se os conjuntos V e W são iguais, WV = , então T é denominada um Operador Linear. O operador linear VVIV →: tal que vvIv V =)( a é denominado Operador Identidade. As transformações lineares R→VT : são denominadas Funcionais Lineares. Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 Reflexão em torno do eixo X: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno do eixo Y: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno da origem: ),(),( yxyxT −−= . Reflexão em torno da reta yx = : ),(),( xyyxT = . Reflexão em torno da reta yx −= : ),(),( xyyxT −−= . X Z Y (x, y, z) X Z Y T(x, y, z)=(x, y, 0) T T(v) T(u) T(v+u) u v v+u Y X 64 Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: R∈= kkykxyxT com ),(),( . Se 1>k : dilatação. Se 1<k : contração. Se 0<k : troca de sentido. Se 1=k : operador identidade. Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo X: 0, com ),(),( >∈= kkykxyxT R . Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração. Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo Y: 0, com ),(),( >∈= kkkyxyxT R . Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração. Cisalhamento na direção do eixo X: R∈+= kykyxyxT com ),(),( . Cisalhamento na direção do eixo Y: R∈+= kykxxyxT com ),(),( . v T(v) v+u T(v+u) u T(u) X Y X T(u) T(v) v+u u v T(v+u) Y 65 Rotação: πθθθθθ 20 com )cossen,sencos(),( ≤≤+−= yxyxyxT . Propriedades 1. Se WVT →: é uma transformação linear então WVT 00 =)( . dem.: )()()()( VVVVV TTTT 00000 +=+= . Mas, WVV TT 000 += )()( , pois WT V ∈)(0 e W0 é o elemento neutro em W. Assim, , WVVV TTT 0000 +=+ )()()( . Logo, WVT 00 =)( . Portanto, se WVT 00 ≠)( então T não é uma transformação linear. No entanto, o fato de WVT 00 =)( não é suficiente para que T seja linear. Por exemplo, 22 RR →:T tal que ),(),( 22 yxyxT = . )4,1()2,1()2,1( 22 ==T )25,9()5,3()5,3( 22 ==T )29,10()5,3()2,1( TTT =+ )49,16()7,4()7,4())5,3()2,1(( 22 ===+ TT Assim, )()()( uTvTuvT +≠+ Embora, )0,0()0,0( =T , T não é uma transformação linear. 2. Seja WVT →: uma transformação linear. Então )(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 . Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT →: . X T(u) T(v) v+u uv T(v+u) Y 66 Obtendo a Lei de uma Transformação Linear Seja 22 RR →:T um operador linear tal que )5,1()3,2( −=T e )1,2()1,0( =T . Como encontrar a lei que define este operador? Solução: )}1,0(),3,2{( é base para R2 .(Verifique!) Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores. )1,0()3,2(),( 21 ⋅+⋅== kkyxv com R∈21 , kk . ),0()3,2( 211 kkk += )3,2( 211 kkk += Assim, 211 3 e 2 kkykx +== . Então, 2 32 e 2 21 xykxk −== . Logo, )1,0( 2 32)3,2( 2 ),( xyxyx −+= . Aplicando o operador linear, −+= )1,0( 2 32)3,2( 2 ),( xyxTyxT )1,0( 2 32)3,2( 2 TxyTx ⋅−+⋅= )1,2( 2 32)5,1( 2 ⋅−+−⋅= xyx −−+ −= 2 32,32 2 5, 2 xyxyxx ++−= yxyx , 2 47 Logo, ++−= yxyxyxT , 2 47),( . Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor W0 . Notação: })(|{)()( WvTVvTKerTN 0=∈== Imagem de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores de W que são imagem dos vetores do conjunto V. Notação: } algum para ,)(|{)()Im( VvwvTWwVTT ∈=∈== N(T) Im(T) 0W V W T 67 Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V. 2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdim TTNV += Exemplo: Seja 32 RR →:T tal que )0,,0(),( yxyxT += . )}0,0,0(),(|),{()( =∈= yxTyxTN 2R . Então, )0,0,0()0,,0(),( =+= yxyxT . Assim, yxyx −=∴=+ 0 . Portanto, }),,{(}|),{()( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxTN . Uma base é )}1,1{(− e 1)(dim =TN . Representação gráfica, }),( para todo ),0,,0(),({)Im( 2R∈+== yxyxyxTT Uma base para o conjunto imagem é 1)Im(dim e )}0,1,0{( =T . Observe que, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R , )112( += . (0,0,0) Y Y X X Z N(T) : x+y=0 Y : Im(T) Z X X Y T R268 Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT →: é injetora, se para quaisquer Vuv ∈, , se uv ≠ então )()( uTvT ≠ . O que é equivalente a, se )()( uTvT = então uv = . Exemplo: 1) A transformação linear 32 RR →:T tal que ),,(),( yxyxyxT += é injetora. Sejam 2R∈),(),,( tzyx . Se ),,(),,(),(),( tztzyxyxtzTyxT +=+∴= . Então +=+ = = tzyx ty zx Logo, ),(),( tzyx = . 2) Seja o operador linear no R3 tal que )0,0,(),,( xzyxT = , que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo X. Considere os vetores )3,1,2( e )4,0,2( − . Assim, )0,0,2()4,0,2()3,1,2( =−= TT . Então, T não é injetora, pois uvuTvT ≠= com )()( . Teorema: Uma transformação WVT →: é injetora se e somente se }{)( VTN 0= . Assim, basta verificar se }{)( VTN 0= para garantir que uma transformação linear T é injetora. Exemplo: Seja o operador linear em no 2R tal que ),2(),( yxxyxT += é injetora, pois: )}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 22 RR . Assim, =+ = 0 02 yx x Então, )}0,0{()( =TN . Transformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear WVT →: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é, WT =)Im( . Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor. Então, 0)(dim =TN . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R . Assim, 2)Im(dim)Im(dim02 =∴+= TT . Logo, 2R=)Im(T . 69 Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT →: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos. Exemplos: 1) 22 RR →:T tal que ),(),( xyyxT −= . 2) VVIV →: tal que vvIV =)( . 3) 4RR →× )(: 22MatT tal que ),,,()( xyzttz yx T = . Uma transformação WVT →: é denominada de transformação invertível quando existir uma transformação VWT →− :1 tal que WITT =−1o e VITT =− o1 . A transformação 1−T é denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis. Teorema: Seja WVT →: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é invertível. Teorema: Seja WVT →: uma transformação linear invertível. Então a transformação VWT →− :1 é linear. Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa 1−T Seja o operador linear 22 RR →:T tal que ),2(),( yxyxT −= . O operador linear inverso 1−T será obtido da maneira a seguir: )}1,0(),0,1{( é uma base para R2. )0,2()0,1( =T e )1,0()1,0( −=T . Portanto, )0,1()0,2(1 =−T e )1,0()1,0(1 =−−T . Obtendo a lei de 1−T : ),2(),0()0,2()1,0()0,2(),( 212121 kkkkkkyx −=−+=−⋅+⋅= . Assim, −= = 2 12 ky kx Tem-se que, ykxk −== 21 e 2 . Então, )1,0()()0,2(),( 2 −⋅−+⋅= yyx x . ( ))1,0()()0,2(),( 211 −⋅−+⋅= −− yTyxT x )1,0()()0,2( 112 −⋅−+⋅= −− TyTx )1,0()()0,1(2 −⋅−+⋅= yx ( )yx −= ,2 Logo, a lei é ( )yyxT x −=− ,),( 21 . v=T-1(w) T(v)=w V W T T-1 70 Matriz Associada a uma Transformação Linear Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT →: uma transformação linear. Considerando as bases },...,,{ 21 nvvvA = de V e },...,,{ 21 mwwwB = de W e um vetor qualquer Vv∈ , tem-se: nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= ...2211 com niki ,...,1 para todo , =∈R . Aplicando a transformação linear T, )...()( 2211 nn vkvkvkTvT ⋅++⋅+⋅= )(...)()()( 2211 nn vTkvTkvTkvT ⋅++⋅+⋅= (1) Além disso, WvT ∈)( , portanto: mm wlwlwlvT ⋅++⋅+⋅= ...)( 2211 (2) com mjl j ,...,1 para todo , =∈R . Como niWvT i ,...,1 para todo ,)( =∈ . ⋅++⋅+⋅= ⋅++⋅+⋅= ⋅++⋅+⋅= mmnnnn mm mm wa...wawavT ... wa...wawavT wa...wawavT 2211 22221122 12211111 )( )( )( (3) Substituindo (3) em (1), tem-se: )...(...)..()...()( 112112211111 mmnnnmmmm wawakwawakwawakvT ⋅++⋅⋅++⋅++⋅⋅+⋅++⋅⋅= mmnnmmnn wakakakwakakakvT ⋅+++++⋅+++= )...(...)...()( 221111122111 (4) Comparando (2) e (4), tem-se: nn akakakl 11221111 ... +++= nn akakakl 22222112 ... +++= ................................................ mnnmmm akakakl +++= ...2211 Na forma matricial: 2 1 21 22221 11211 2 1 = nmnnn n n m k ... k k . a...aa ............ a...aa a...aa l ... l l ou seja, A A BB vTvT ].[][)]([ = A matriz ABT ][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32 RR →T tal que ),,(),( yxyxyxT += . Sendo A a base canônica do R2 e B a base canônica do R3, tem-se: )1,0,0(1)0,1,0(0)0,0,1(1)1,0,1()0,1( ⋅+⋅+⋅==T e )1,0,0(1)0,1,0(1)0,0,1(0)1,1,0()1,0( ⋅+⋅+⋅==T . 71 Então, = 11 10 01 ][ ABT . Por exemplo, = 3 2 )]3,2[( A . Obtém-se, . 3 2 11 10 01 5 3 2 )]5,3,2[()]3,2([ ⋅ = == BBT Sejam as bases não canônicas .)}1,1,0(),1,3,2(),0,2,1{( e )}5,3(),2,1{( −−== BA Assim, )1,1,0( 2 7)1,3,2() 2 1()0,2,1(2)3,2,1()2,1( −⋅+−⋅−+⋅==T e )1,1,0( 6 55)1,3,2() 6 7()0,2,1( 3 16)8,5,3()5,3( −⋅+−⋅−+⋅==T . Então, −−= 6 55 2 7 6 7 2 1 3 162 ][ ABT . Por exemplo, . 1 1 )]3,2[( −=A Obtém-se, −= −⋅ −−== 3 17 3 2 3 10 6 55 2 7 6 7 2 1 3 16 1 1 2 )]5,3,2[()]3,2([ BBT As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R2 em relação à base canônica. A A B vT ].[][ = BvT )]([ Reflexão em torno do eixo X ⋅ − y x 10 01 − y x Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor ⋅ y x k k 0 0 ky kx Cisalhamento na direção do eixo Y ⋅ y x k 1 01 + ykx x Rotação ⋅ − y x sen sen θθ θθ cos cos + − θθ θθ cos cos yxsen ysenx 72 Operações com Transformações Lineares 1. Adição Sejam WVTWVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a adição de 21 com TT como sendo a transformação linear: :)( 21 WVTT →+ )()())(( 2121 vTvTvTTv +=+a Matricialmente, AB2121][][][ TTTT A B A B +=+ , onde A é uma base de V e B uma base de W. Exemplo: Sejam : 1 33 RR →T tal que ),2,(),,(1 zyxzyxT = e : 2 33 RR →T tal que ),0,0(),,(2 zzyxT = . A transformação soma é :)( 21 33 RR →+ TT tal que .)2,2,(),,)(( 21 zyxzyxTT =+ Ainda, = 100 020 001 ][ 1T , = 100 000 000 ][ 2T e =+ 200 020 001 ][ 21 TT em relação a base canônica do R3. 2. Multiplicação por Escalar Sejam WVT →: uma transformação linear e R∈k um escalar. Define-se a transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo: :)( WVTk →⋅ )())(( vTkvTkv ⋅=⋅a Matricialmente, AB A B TkTk ][][ ⋅=⋅ , onde A é uma base de V e B é uma base de W. Exemplo: Seja 2k e 03 10 21 ][ = =T . Então, )3,,2(),( xyyxyxT += e )6,2,42(),)(2( xyyxyxT +=⋅ . Ainda, ][2 06 20 42 ]2[ TT ⋅= =⋅ 3. Composição Sejam WUTUVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a composta de 21 com TT como sendo a transformação linear: :)( 12 WVTT →o ))(())(( 1212 vTTvTTv =oa Matricialmente, AB B C A C TTTT ][][][ 1212 ⋅=o , onde A é uma base de V , B é uma base de U e C é uma base de W. 73 Exemplo: Sejam os operadores lineares no R2, ),2(),(1 yyxyxT −+= e )3,2(),(2 yxyyxT +−= . )3,7())3(),3()2(2()3,2()),((),)(( 12121 yxyxyxyxyyxyTyxTTyxTT −+−=+−−+−+=+−==o )42,2())(3)2(),(2(),2()),((),)(( 21212 yxyyyxyyyxTyxTTyxTT −−−=−++−−=−+==o Com relação a base canônica: −= 10 12 ][ 1T e −= 31 20 ][ 2T . Assim, − −= −⋅ −= 31 71 31 20 10 12 ][ 21 TT o e −− −= −⋅ −= 42 20 10 12 31 20 ][ 12 TT o . Propriedades de Transformações Invertíveis Sejam UWTWVTWVT →→→ : e : ,: 21 transformações lineares invertíveis e 0, ≠∈ kk R . 1. TT =−− 11 )( 2. 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk 3. 12 1 1 1 12 )( −−− = TTTT oo Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares: a) ),(),,(),,( : 2 zyxzyxTzyx T += → a 23 RR b) )2,(),,(),,( : yxzyxTzyx T = → a 23 RR c) }0{, ),,(),(),( : −∈++= → R RR 22 babyaxyxTyx T a d) 13),,(),,( : +−= → yxzyxTzyx T a RR 3 e) xyxTyx T = → ),(),( : a RR 2 2) Para que valores de R∈k a transformação no R3 tal que )3,,32(),,( zykxzyxT += é linear? 3) Seja )(RnnMat × o espaço vetorial das matrizes quadradas nn × sobre R e )(RnnMatM ×∈ uma matriz arbitrária qualquer. A transformação )()(: RR nnnn MatMatT ×× → tal que AMMAAT ⋅+⋅=)( é linear? 4) Sejam )2,1( e )1,2( ),0,1( ),1,0( ==== wtuv e 22 RR →:T tal que )2,2(),( yxyxT = , que define a dilatação de fator 2 na direção do vetor. Represente )( e )( ),( ),( , , , , wTtTuTvTwtuv em um sistema de eixos cartesianos. 74 5) Considere a transformação linear )(: 12 RR 2 ×→ MatT tal que ⋅ = y x yxT 30 21 ),( . Determine ),( e )4,3( ),1,1( yxTTT − . 6) Encontre a lei que define a transformação linear 22 RR →:T que faz associar cada vetor ),( yxv = à sua reflexão em torno do eixo Y. Determine )3,2( −−T . Represente no sistema de eixos cartesianos. 7) Seja 23 RR →:T uma transformação linear tal que )5,3()0,1,0( ),4,2()0,0,1( == TT e )1,1()1,1,1( =T . Indique a lei de T. 8) Seja 23 RR →:T uma transformação linear definida por )3,2()0,1,1( ),2,1()1,1,1( == TT e )4,3()0,0,1( =T . a) Determine ),,( zyxT . b) Determine 3R∈),,( zyx tal que )2,3(),,( −−=zyxT . c) Determine 3R∈),,( zyx tal que )0,0(),,( =zyxT . 9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo: a) )23,32(),,(),,( : zyxzyxzyxTzyx T ++++= → a 23 RR b) )3,2,(),(),( : yxyxyxyxTyx T +−−+= → a 32 RR 10) Ache uma transformação linear 23 RR →:T cujo núcleo seja gerado pelo vetor )0,1,1( . 11) Determinar um operador linear no R3 cujo conjunto imagem seja gerado por )}2,1,1(),1,1,2{( − . 12) Indique a lei de 1−T para cada uma das transformações lineares: a) ),(),(),( : xyyxTyx T −= → a 22 RR b) vvIv VVI V V = → )( : a c) ),,,()( )( : 22 xyzt tz yx T tz yx MatT = →× a 4RR 13) Seja o operador linear T no R3 tal que ),,2(),,( zxyyxzyxT ++= . Mostre que T é um isomorfismo e indique sua inversa. 75 14) Considere },,{ wuvB = uma base do R3, onde )3,2,1(=v , )3,5,2(=u e )1,0,1(=w . a) Ache uma fórmula para a transformação linear 23 RR →:T tal que )0,1()( =vT , )0,1()( =uT e )1,0()( =wT . b) Encontre uma base e a dimensão do )(TN . c) Encontre uma base e a dimensão da )Im(T . d) T é invertível? Justifique sua resposta. 15) Seja 23 RR →:T tal que ),(),,( zxyxzyxT ++= . Indique: a) ABT ][ considerando A e B bases canônicas. b) CDT ][ onde )}2,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( −=C e )}5,3(),2,1{(=D . c) DvT ])([ onde )0,1,1(=v . 16) Sejam S e T operadores lineares no R2 definidas por ),2(),( yyxyxS += e )3,(),( yxyxT = . Determine: a) TS + b) )4()2( TS ⋅+⋅ c) TS o d) SS o 17) Escolha alguns vetores de R2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece. 18) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador T. 19) Seja T a transformação linear determinada pela matriz − 40 04 02 . a) Indique a lei da transformação. b) Calcule )1,2(−T . 20) Seja T o operador linear no R3 definido por )3,4,2(),,( xyxzyzyxT −+= . a) Encontre a matriz de T na base )}0,0,1(),1,0,1(),0,1,1{(=B . b) Encontre BT )]1,0,1([ − utilizando BBT ][ . 21)Seja T a transformação linear associada a matriz − 002 103 201 . a) Ache uma base para )(TN . b) Ache uma base para )Im(T . c) T é sobrejetora ? E injetora? d) Determine a matriz associada a T em relação a base )}2,1,0(),1,1,0(),0,2,1{( − . 22) Seja 32 RR →:T a transformação linear definida por )0,,2(),( xyxyxT −+= . a) Ache a matriz associada a T relativa as bases )}4,2(),3,1{( −=A e )}0,0,3(),0,2,2(),1,1,1{(=B . 76 b) Use a matriz para calcular BvT )]([ onde −= 2 1 ][ Av . 23) Seja T a transformação linear associada a matriz − 12 03 21 . a) Qual a lei que define T? b) Determine o núcleo de T e uma base para )(TN . c) Determine a imagem de T e uma base para )Im(T . 24) Seja a transformação linear 23 RR →:T tal que )324,32(),,( zyxzyxzyxT +++−= . a) Considerando A e B as bases canônicas do R3 e do R2 , encontre [ ]ABT . b) Considerando )}1,0,1(),1,1,0(),0,1,1{(=A uma base do R3 e )}1,1(),1,1{( −=B uma base do R2, encontre [ ]ABT . 25) Seja a transformação linear 32 RR →:T tal que ),,2(),( yxyyxyxT ++= . Encontre: a) A matriz de T em relação a base canônica b) A matriz de T em relação as bases )}1,0(),2,1{( −=A e )}3,0,0(),1,2,0(),0,0,1{(=B . 26) Considere − = 20 01 12 ][ ABT onde )}1,1(),0,1{( −=A e )}2,0,0(),1,1,0(),3,2,1{( −=B . Encontre as coordenadas de BvT )]([ sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R 2 são − 2 1 . 27) Sabendo que a transformação linear 22 RR →:θT , cuja matriz em relação à base canônica é − θθ θθ cossen sencos , aplicada a um vetor = y x v][ indica a rotação do vetor v de um ângulo θ . Assim, ][ cossen sencos ][ vT ⋅ −= θθ θθ θ . Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice ),( yxC = de um triângulo retângulo e isósceles em A, onde )3,5( e )1,2( == BA . 28) Seja − 200 010 002 a matriz associada a um operador T em relação à base )}1,0,0(),1,1,0(),1,0,1{( − . Determine a lei de T. 77 Respostas 1) b) Sim 2) 0=k 3) Sim 5) = 3 3 )1,1(T e =− 12 5 )4,3(T += y yx yxT 3 2 ),( 16) a) )4,22(),)(( yyxyxTS +=+ b) )14,46(),)(42( yyxyxTS +=⋅+⋅ c) )3,6(),)(( yyxyxTS +=o d) ),4(),)(( yyxyxSS +=o 19) a) )4,4,2(),( yxxyxT −= b) )4,8,4()1,2( −−−=−T 6) ),(),( yxyxT −= e )3,2()3,2( −=−−T 7) )854,432(),,( zyxzyxzyxT −+−+= 8) a) )4,3(),,( zyxzyxzyxT −−−−= b) }),,6,1{( R∈− zzz }),,,0{( R∈− yyy 20) a) −− − = 432 333 113 ][ BT b) − =− 5 3 1 )]1,0,1([ BT 9) a) }),,2,{()( R∈−= zzzzTN 2R=)Im(T b) )}0,0{()( =TN }0345|),,{()Im( =++−∈= zyxzyxT 3R 21) a) base )}0,1,0{(:)(TN b) base )}0,1,2(),2,3,1{(:)Im( −T c) Nem injetora nem sobrejetora. d) −− = 3 10 3 5 3 20 3 10 1 0 421 ][ AT 12) a) ),(),(1 xyyxT −=− b) VV II =−1 c) =− xy zt tzyxT ),,,(1 22) a) −= 3 4 3 8 2 1 1 00 ][ ABT b) = 0 0 )]([ 25BvT 14) a) ),zyxT zyxzyx 8 39 2 17(),,( −−−+= b) }),0,,{()( 3 R∈= yyTN y base )}0,3,1{(:)(TN 1)(dim =TN c) 2R=)Im(T base )}1,0(),0,1{(:)Im(T 2)Im(dim =T d) Não, pois T não é injetora. 23) a) )2,3,2(),( yxxyxyxT ++−= b) )}0,0{()( =TN }0653|),,{()Im( =−+∈= zyxzyxT 3R base )}1,0,2(),2,3,1{(:)Im( −T 24) a) −= 324 312 ][ ABT b) 1 6 ][ 2 3 2 5 2 7 2 7 −−−= A BT 15) a) = 101 011 ][ ABT b) −− −= 221 652 ][ CDT c) −= 3 7 ])([ DvT 25) a) 11 10 12 ][ =ABT b) −= 6 1 2 1 0 1 10 ][ ABT 26) = 4 1 0 )]([ BvT 27) )4,0(=C ou )2,4( −=C 28) )24,,2(),,( zyxyxzyxT ++−−= 78 Apêndice C – Teoremas Teo33. Se WVT →: é uma transformação linear então WVT 00 =)( . Teo34. Seja WVT →: uma transformação linear. Então )(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ , para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 . dem.: (indução em n). Base: Para 2=k . =⋅+⋅ )( 2211 vkvkT =⋅+⋅ )()( 2211 vkTvkT )()( 2211 vTkvTk ⋅+⋅ por TL1 e TL2. Passo: (Hipótese de Indução) Supor que vale a igualdade para 2, >∈ kk N , isto é, )(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ . Vale a igualdade para 1+k vetores ? =⋅+⋅++⋅+⋅ ++ ))...(( 112211 nnnn vkvkvkvkT por TL1. =⋅+⋅++⋅+⋅ ++ )()...( 112211 nnnn vkTvkvkvkT por TL2. =⋅+⋅++⋅+⋅ ++ )()...( 112211 nnnn vTkvkvkvkT por hipótese de indução. )()(...)()( 112211 ++ ⋅+⋅++⋅+⋅ nnnn vTkvTkvTkvTk . Assim, )()(...)()...( 11111111 ++++ ⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ nnnnnnnn vTkvTkvTkvkvkvkT Logo, vale a igualdade para todo 2, ≥∈ nn N . Corolário34: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT →: . Teo35. Seja WVT →: é uma transformação linear. Então i) )()( vTvT −=− , para todo Vv∈ . ii) )()()( uTvTuvT −=− , para quaisquer Vuv ∈, . Teo36. Seja WVT →: uma transformação linear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial V então })( que tal existe |{)( wsTSsWwST =∈∈= é um subespaço vetorial do espaço W. dem.: (Sub1) Por hipótese, VS ≤ . Por Sub1, SV ∈0 . Pelo Teo33, WVT 00 =)( . Logo, )(STW ∈0 . (Sub2) Sejam )(, 21 STww ∈ . Então, existem Svv ∈21 , tais que 11 )( wvT = e 22 )( wvT = . Assim, )()( 2121 vTvTww +=+ )( 21 vvT += , por TL1. Como, VS ≤ . Pelo fechamento para operação de adição em S, Svv ∈+ 21 . Então, )(21 STww ∈+ . Logo, vale o fechamento para operação de adição em )(ST . (Sub3) Sejam R∈∈ kSTw e )( . Então, existe Sv∈ tal que wvT =)( . Assim, )(vTkwk ⋅=⋅ )( vkT ⋅= , por TL2. 79 Como, VS ≤ . Pelo fechamento para operação de multiplicação por escalar em S, Svk ∈⋅ . Então, )(STwk ∈⋅ . Logo, vale o fechamento para operação de multiplicação por escalar em )(ST . Teo37. )(TN é um subespaço vetorial de V. Teo38. )Im(T é um subespaço vetorial de W. Teo39. (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja WVT →: uma transformação linear . Então )Im(dim)(dimdim TTNV += . dem.: Considere tTN =)(dim e )(},...,,{ 21 TNvvv t ⊆ uma base para )(TN . Seja sT =)Im(dim e )Im(},...,,{ 21 Twww s ⊆ uma base para )Im(T . Existem Vuuu s ∈,...,, 21 tais que ss wuTwuTwuT === )(,...,)(,)( 2211 . (1) Considere o conjunto Vuuvv st ⊆},...,,,...,{ 11 . Se Vv∈ então )Im()( TvT ∈ . Como )Im(],...,[ 1 Tww s = , existem R∈sll ,...,1 tais que ss wlwlvT ⋅++⋅= ...)( 11 . (2) Considere o vetor vululu ss −⋅++⋅= ...11 . (3) Assim, )...()( 11 vululTuT ss −⋅++⋅= . Pelo Teo34, )()(...)()( 11 vTuTluTluT ss −⋅++⋅= . De (1), )(...)( 11 vTwlwluT ss −⋅++⋅= . De (2), )()()( vTvTuT −= . Assim, WuT 0=)( . Então, )(TNu∈ . Mas, )(],...,[ 1 TNvv t = . Então, existem R∈tkk ,...,1 tais que tt vkvku ⋅++⋅= ...11 . (4) De (3) e (4), ttss vkvkvulul ⋅++⋅=−⋅++⋅ ...... 1111 . Assim, ttss vkvkululv ⋅−−⋅−⋅++⋅= ...... 1111 . Então, Vuuvv st =],...,,,...,[ 11 . (5) Seja Vsstttt ukukvkvk 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ ...... 1111 , com R∈+stkk ,...,1. (6) Assim, )()......( 1111 Vsstttt TukukvkvkT 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ . Pelo Teo33, Wsstttt ukukvkvkT 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ )......( 1111 . Pelo Teo34, Wsstttt uTkuTkvTkvTk 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ )(...)()(...)( 1111 Mas, )(},...,{ 1 TNvv t ⊆ . Então, WtW vTvT 00 == )(,...,)( 1 . (7) De (1) e (7), WssttWtW wkwkkk 000 =⋅++⋅+⋅++⋅ ++ ...... 111 . Assim, Wsstt wkwk 0=⋅++⋅ ++ ...11 . Como, },...,{ 1 sww é uma base para )Im(T . Então, },...,{ 1 sww é linearmente independente. 80 Tem-se, 0...1 === ++ stt kk . Substituindo em (6), Vtt vkvk 0=⋅++⋅ ...11 . Como, },...,{ 1 tvv é uma base para )(TN . Então, },...,{ 1 tvv é linearmente independente. Tem-se, 0...1 === tkk . Então, },...,,,...,{ 11 st uuvv é linearmente independente. (8) De (5) e (8), },...,,,...,{ 11 st uuvv é uma base de V. Logo, )Im(dim)(dimdim TTNstV +=+= . Teo40. Seja WVT →: é uma transformação linear. T é uma transformação linear injetora se e somente se }{)( VTN 0= . dem.: )(→ Se T é uma transformação linear injetora então }{)( VTN 0= ? Considere )(TNv∈ qualquer. Então, WvT 0=)( . Pelo Teo33, WVT 00 =)( . Assim, )()( VTvT 0= . Como T é uma transformação linear injetora. Se )()( VTvT 0= então Vv 0= . Logo, }{)( VTN 0= . )(← Se }{)( VTN 0= então T é uma transformação linear injetora ? Sejam )()( que tais, uTvTVuv =∈ . Assim, WuTvT 0=− )()( . Pelo Teo35, WuvT 0=− )( . Mas, }{)( VTN 0= . Assim, Vuv 0=− . Então, uv = . Logo, T é uma transformação linear injetora. Teo41.Seja WVT →: é uma transformação linear injetora e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 um conjunto de vetores linearmente independente. O conjunto WvTvTvT n ⊆)}(),...,(),({ 21 também é linearmente independente. Teo42.Seja WVT →: é uma transformação linear injetora e WV dimdim = . Então a transformação linear T é sobrejetora. Teo43.Seja WVT →: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se for invertível. 81 Teo44. Seja WVT →: uma transformação linear e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . Se Vvvv n =],...,,[ 21 então )Im()](),...,(),([ 21 TvTvTvT n = . Teo45. Sejam WVT →: e UWR →: transformações lineares. Então a transformação composta UVTR →:)( o tal que ))(())(( vTRvTR =o é linear. Teo46. Sejam WVT →: e UWR →: transformações lineares bijetoras e 0, ≠∈ kk R . Então i) a transformação inversa VWT →− :1 é linear. ii) TT =−− 11)( iii) 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk iv) 111)( −−− = RTTR oo Teo47. Seja WVQ →: , WVR →: , UWS →: e UWT →: transformações lineares e R∈k . Então i) )()()( QTQSQTS ooo +=+ ii) )()()( RTQTRQT ooo +=+ iii) )()()( QkTQTkQTk ⋅=⋅=⋅ ooo Teo48.Sejam V e W espaços vetoriais e },...,,{ 21 nvvv uma base V. Se o vetor iv pode ser associado a um vetor Wwi ∈ , para todo ni ,...,1= então existe uma única transformação linear WVT →: tal que ii wvT =)( , para todo ni ,...,1= . Teo49. Seja ),( WVL (ou ),( WVHom ) o conjunto de todas as transformações lineares de V em W e as seguintes operações: )()())(( que tal ),( ),(),(),(: 21212121 vTvTvTTTTTT WVLWVLWVL +=++ →×+ a )())(( que tal ),( ),(),(: vTkvTkTkTk WVLWVL ⋅=⋅⋅ →×⋅ a R Então ],,),,([ ⋅+RWVL é um espaço vetorial. Teo50. Se nV =dim e mW =dim então nmWVL =),(dim . O conjunto ),( RVL ou ),( RVHom ou *V de todos os funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V.
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