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Técnicas de integração: Funções Hiperbólicas: Em algumas integrais será útil saber a de�nição e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Não vamos fazer um grande estudo destas funções. Nos limitaremos as de�nições, algumas propriedades e alguns comentários. Para os alunos mais curiosos indico o texto de Sonia Pinto de Carvalho da UFMG Texto em pdf que pode ser encontrado em: www.mat.ufmg.br/comed/2005/b2005/funchiper.pdf De�nições: senhx := ex − e−x 2 e coshx := ex + e−x 2 Observações: • Domínio da função seno hiperbólico: D = R, Imagem da função seno hiperbólico: Im = R. • Domínio da função cosseno hiperbólico: D = R, Imagem da função cosseno hiperbólico: Im = ] 0 , +∞ [. Observações: Podemos analogamente as funções trigonométricas de�nir as funções: tghx := senhx coshx , sechx := 1 coshx , cossechx := 1 senhx e cotghx := coshx senhx Identidades: Analogamente as funções trigonométricas as funções hiperbólicas satisfazem várias Identidades, vamos citar as principais: cosh 2 x− senh2 x = 1 senh 2x = 2 senhx coshx , cosh 2x = cosh2 x+ senh2 x , tgh2 x = 1− sech2 x e cotgh2 x = 1 + cossech2 x . Todas as identidades tem fácil demonstração. Para ilustrarmos isto, vamos demostrar a primeira identidade: cosh 2 x− senh2 x = 1 cosh 2 x− senh2 x = ( ex + e−x 2 )2 − ( ex − e−x 2 )2 = (ex + e−x)2 4 − (e x − e−x)2 4 = = (ex)2 + 2(ex)(e−x) + (e−x)2 4 − (e x)2 − 2(ex)(e−x) + (e−x)2 4 = = (ex)2 + 2(ex−x) + (e−x)2 4 − (e x)2 − 2(ex−x) + (e−x)2 4 = = (ex)2 + 2(e0) + (e−x)2 4 − (e x)2 − 2(e0) + (e−x)2 4 = = (ex)2 + 2 + (e−x)2 4 − (e x)2 − 2 + (e−x)2 4 = 1 = (ex)2 + 2 + (e−x)2 − (ex)2 + 2− (e−x)2 4 = = ∗︷ ︸︸ ︷ (ex)2+2 + ∗∗︷ ︸︸ ︷ (e−x)2− ∗︷ ︸︸ ︷ (ex)2+2− ∗∗︷ ︸︸ ︷ (e−x)2 4 = 4 4 = 1 Portanto: cosh 2 x− senh2 x = 1 Derivadas e Integrais: É facil calcular as derivadas e integrais das funções hiperbólicas: [ senhx ]′ = coshx ⇒ ∫ coshx dx = senhx+ C [ coshx ]′ = senhx ⇒ ∫ senhx dx = coshx+ C [ tghx ]′ = sech2 x ⇒ ∫ sech 2 x dx = tghx+ C [ cotghx ]′ = −cossech2 x ⇒ ∫ cossech 2 x dx = −cotghx+ C [ sechx ]′ = −sechx tghx ⇒ ∫ sechx tghx dx = −sechx+ C [ cossechx ]′ = −cossechx cotghx ⇒ ∫ cossechx cotghx dx = −cossechx+ C [ arcsenhx ]′ = 1√ 1 + x2 ⇒ ∫ 1√ 1 + x2 dx = arcsenhx+ C [ arccoshx ]′ = 1√ x2 − 1 ⇒ ∫ 1√ x2 − 1 dx = arccoshx+ C Obs: x > 1[ arctghx ]′ = 1 1− x2 ⇒ ∫ 1 1− x2 dx = arctghx+ C Obs: |x| < 1[ arccotghx ]′ = 1 1− x2 ⇒ ∫ 1 1− x2 dx = arccotghx+ C Obs: |x| > 1[ arcsechx ]′ = − 1 x √ 1− x2 ⇒ ∫ 1 x √ 1− x2 dx = −arcsechx+ C Obs: 0 < x < 1[ arccossechx ]′ = − 1|x|√ 1 + x2 ⇒ ∫ 1 |x|√ 1 + x2 dx = −arccossechx+ C Obs: x 6= 0 Vamos a alguns exemplos: 2 Exemplos: 1. Calcular as integrais abaixo: (a) ∫ ( coshx+ senhx ) dx Resolução:∫ ( coshx+ senhx ) dx = ∫ coshx dx+ ∫ senhx dx = senhx+ coshx+ C ∫ ( coshx+ senhx ) dx = senhx+ coshx+ C (b) ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx Resolução 1: ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx Primeiramente, vamos resolver a integral sem usar as funções e hiperbólicas e depois usando, para mostrar que em alguns casos o uso das funções hiperbólicas facilita muito o trabalho.∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx = ∫ ( ex + e−x )( ex − e−x) 4 dx = = ∫ ( ex )2 − (ex)(e−x)+ (e−x)(ex)− (e−x)2 4 dx = 1 4 ∫ [( ex )2 − (e−x)2] dx = = 1 4 [∫ ( ex )2 dx− ∫ ( e−x )2 dx ] = 1 4 [∫ e2x dx− ∫ e−2x dx ] = 1 4 [ e2x 2 − e −2x −2 ] + C = = 1 4 [ e2x 2 + e−2x 2 ] + C = 1 8 ( e2x + e−2x ) + C ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx = 1 8 ( e2x + e−2x ) + C Resolução 2: ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx = ∫ senhx coshx dx fazendo senhx = t ⇒ coshx dx = dt ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx = ∫ t︷ ︸︸ ︷ senhx dt︷ ︸︸ ︷ coshx dx = ∫ t dt = t2 2 + C = 1 2 senh 2 x+ C ∫ ( ex + e−x 2 )( ex − e−x 2 ) dx = t2 2 + C = 1 2 senh 2 x+ C 3 Observação:[ 1 8 ( e2x + e−2x )]− [ 1 2 senh 2 x ] = 1 8 4
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