Estudo dirigidoProbabilidade e Estatística GPI 1

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
Olá pessoal! 
Durante este módulo A 2015, observamos que é extremamente difícil definir 
estatística, e, tendo em vista que o seu domínio é muito amplo, o número de definições 
que encontramos é grande. Segundo Castanheira (2010), o dicionarista Aurélio Buarque 
de Holanda Ferreira definiu-a como uma parte da matemática, ou seja, é uma 
metodologia desenvolvida para coleta, classificação, a apresentação, a análise e a 
interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de 
decisões. 
No estudo da estatística, é normal encontrarmos diversos termos específicos dessa 
área e eles devem ser de conhecimento dos profissionais de hoje. Por isto há 
necessidade de conhecermos alguns termos como População e Amostra, então vejam: 
 População: é o conjunto de elementos que desejamos observar para obtermos 
determinados dados. 
 Amostra: é o subconjunto de elementos retirados da população que estamos 
observando para obtermos determinados dados. 
Desta forma,quando estamos preparando uma pesquisa, devemos considerar o 
tipo de população que essa pesquisa abrangerá. Temos a população finita e a 
população infinita, ou seja: 
 População finita: é quando sabemos exatamente o tamanho dela, por exemplo, 
vamos pesquisar a altura dos alunos de uma sala de aula com 50 alunos ou vamos 
pesquisar a variação de idade dos sócios do clube X etc. 
 População infinita: é quando a população tem um número infinito de elementos 
ou é difícil de ser quantificada, por exemplo, a quantidade de rosas amarelas que 
florescem no outono no Brasil, ou a quantidade peixes X no oceano Atlântico etc. 
É comum o estatístico defrontar-se com a situação de dispor de tantos dados que 
se torna difícil absorver completamente a informação que está procurando investigar 
(CASTANHEIRA, 2008). Para isto, foi dividido em Estatística descritiva ou dedutiva, que 
é o tipo de estatística que tem por objetivo descrever e analisar determinada população 
sem, com isso, pretender tirar conclusões de caráter mais genérico. É a parte da 
estatística referente à coleta e à tabulação dos dados. 
Outro ramo da estatística aplicada é a Estatística Indutiva ou Inferência 
Estatística, que é quando admitirmos que os resultados obtidos na análise dos dados de 
uma amostra são válidos para toda a população da qual aquela amostra foi retirada. 
Consiste em obtermos e generalizarmos conclusões. 
Um estudo estatístico completo compreende oito fases distintas para que se 
chegue ao resultado final, ou seja: 
2 
 
1. Definição do problema; 
2. Delimitação do problema; 
3. Planejamento para obtenção dos dados; 
4. Coletar os dados; 
5. Apuração dos dados; 
6. Apresentação dos dados; 
7. Análise dos dados; 
8. Interpretação dos dados. 
Uma vez concluída a coleta de dados e também a ordenação dos mesmos, 
devemos apresentá-las de tal forma que o leitor consiga identificar, rapidamente, uma 
série de informações. Para tal processo, a estatística costuma utilizar-se de duas 
ferramentas: tabelas e gráficos. Para as tabelas, a sua estrutura é constituída de: 
1. Cabeçalho; 
2. Corpo e 
3. Rodapé. 
Outra definição que devemos compreender é sobre Classes ou Intervalos, que é 
quando o número de resultados obtidos em uma pesquisa é demasiadamente grande, 
sendo necessário agruparmos esses resultados em faixas de valores, denominados 
classes ou intervalos. 
Dentro da Estatística, encontramos o termo “Séries Estatísticas”, denominação 
dada a uma tabela na qual existe um critério distinto que a especifica e a diferencia. 
Existem cinco tipos de tabelas de Séries Estatísticas, cada uma tem particularidades que 
as definem e as diferenciam das outras. 
1. Temporais (cronológica, evolutiva ou histórica) é quando esse tipo de série tem 
como característica a variação do tempo (época), enquanto o local (fator 
geográfico) e o fato (fenômeno) permanecem fixos. 
 
ANO EXPORTAÇÕES (em US$ 1.000.000,00) 
2008 344 
2009 434 
2010 667 
2011 892 
2012 1.465 
Fonte: Estatística Aplicada a todos os níveis, adaptado. 
Podemos observar na tabela que as Séries Temporais (cronológicas, evolutivas ou 
históricas) têm como característica a variação do tempo (época), enquanto o local (fator 
geográfico) e o fato (fenômeno) permanecem fixos. 
 
 
 
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2. Geográficas 
 
Região Quantidade de microempresas 
Norte 8.879 
Sul 23.986 
Sudeste 45.901 
Centro oeste 7.987 
Nordeste 16.439 
Fonte: IBGE, Censo Demográfico 2000, adaptado. 
 
Séries Estatísticas geográficas – sua característica é a variação do local de 
ocorrência (fator geográfico), enquanto tempo (a época) e o fato (o fenômeno) 
permanecem fixos. 
 
3. Específicas: esse tipo de série é caracterizado pela variação do fato (variação do 
fenômeno), enquanto local e o tempo são constantes. 
 
Cursos ofertados Número de candidatos 
Logística 5.980 
Recursos humanos 3.120 
Gestão ambiental 2.331 
Saúde ocupacional 1.567 
Gestão da produção 6.025 
Fonte: Estatística Aplicada a todos os níveis, adaptado. 
 
Séries Estatísticas específicas – sua característica é a variação do fato (variação 
do fenômeno), enquanto local e o tempo são constantes. 
 
4. Conjugadas: esse tipo de série, também conhecida como série mista, é 
caracterizada pela existência da combinação entre as séries temporais, 
geográficas e específicas. 
5. De distribuição de frequência. 
 
Sabemos que uma característica que observamos em uma pesquisa e que pode 
assumir diferentes valores é chamada de variável. As variáreis são classificadas em: 
1. Qualitativas: A variável qualitativa é a que descreve qualidades, categorias ou 
atributos que normalmente não podem ser expressos em valores numéricos. 
 Variável qualitativa nominal – permite somente a classificação dos dados. 
Ex.: sexo, cor da pele, origem, ramo de atividade de uma empresa etc. 
4 
 
 Variável qualitativa ordinal – permite que se estabeleça uma ordem nos 
seus resultados. Ex.: grau de instrução, status social, classificação em um 
concurso, classe social, ordem de chegada etc. 
2. Quantitativas: a variável quantitativa é expressa por meio de valores numéricos e 
pode relacionar todos os possíveis valores que ela pode assumir. Exemplo: número 
de peças defeituosas, quantidade de máquinas disponíveis, volume de água em 
reservatórios, altura dos empregados, temperatura ambiente etc. 
 
Após a realização de uma pesquisa, uma série de etapas é realizada, desde a 
tabulação dos dados (normalmente em tabelas) até a sua análise e suas conclusões. 
Dependendo do tipo de tabela gerada, podemos precisar fazer o cálculo da Mediana 
desses dados. 
 A mediana de um conjunto de dados é o valor que ocupa a posição central desses 
dados, desde que estejam colocados em ordem crescente ou decrescente, ou seja, 
em um rol. 
 Caso a quantidade de dados seja par, o valor da mediana será a média aritmética 
dos dois valores que estão no centro da série. 
Veja o Exemplo 1 a seguir e o passo a passo: 
10 - 7 - 12 - 6 - 10 - 9 
 
1º. Passo colocar em ordem crescente: 
6 – 7 – 9 – 10 – 10 - 12 
2º. Passo é verificar se a quantidade de dados é par ou impar, nesse caso é par então a 
mediana é a média aritmética dos dois valores centrais da série, ou seja: 
Md= (9+ 10)/2 
Md = 9,5 
 
Exemplo 2 
9 - 6 - 5 - 4 - 8 - 9 - 10 - 4 - 7 - 8 - 5 - 6 - 10 
Seguindo o mesmo raciocínio temos: 
1º. Passo colocar em ordem crescente: 
4 - 4 – 5 – 5 - 6 – 6 - 7 – 8 - 8 – 9 - 9 – 10 – 10 
5 
 
2º. Passo é verificar se a quantidade de dados é par ou impar, nesse caso é impar então 
a mediana é o valor central da série,ou seja: 
Md= 7 
 
Exemplo 3 
4, 7, 3, 9, 6, 15, 4, 7, 8, 10, 5, 3, 1 
 
1º. Passo colocar em ordem crescente: 
1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 15 
2º. Passo é verificar se a quantidade de dados é par ou impar, nesse caso é impar então 
a mediana é o valor central da série, ou seja: 
Md= 6 
 
Exemplo 4 
Neste caso, foi dado uma tabela que deverá ser analisada, veja que são os resultados de 
uma pesquisa feita em uma sala de aula, em relação à altura dos alunos, obtivemos os 
dados agrupados na tabela 1. Podemos então calcular a altura Mediana (Md) desses 
alunos da seguinte forma: 
ALTURA DOS ALUNOS FREQUÊNCIA 
163 cm 3 
165 cm 4 
167 cm 8 
169 cm 5 
171 cm 5 
173 cm 7 
175 cm 5 
177 cm 3 
Fonte: Estatística Aplicada a todos os níveis, adaptado. 
 
1º Verificar a quantidade de dados (n = ?). Para isso, fazer a frequência acumulada e verá 
que é 40, portanto, n = 40 “par”. 
2º Como é par, a Mediana (Md) será a média dos dois elementos centrais. 
3º Os elementos centrais são: os 20º e 21º , em que o 20º tem 169 cm e o 21º 171 cm. 
4º Calcular a média entre eles: (169 + 171) / 2 = 170 cm, essa é a Md. 
6 
 
 
Continuando com nosso estudo de estatística, podemos observar que um valor 
muito usado nos cálculos é a Moda (Mo) de uma amostra ou população. A Moda (Mo) é o 
valor dos resultados de uma pesquisa que acontecem com a maior frequência. 
Agora vamos observar na tabela qual é o valor modal e como foi encontrado. 
ALTURA DOS PILOTOS FREQUÊNCIA 
167 cm 10 
168 cm 12 
169 cm 13 
170 cm 15 
171 cm 9 
Fonte: Estatística Aplicada a todos os níveis, adaptado. 
O valor modal (Mo) é 170 cm, pois, para se determinar o valor modal de uma distribuição 
sem agrupamento, deve-se observar qual variável tem a maior frequência. 
 
Outro termo utilizado é a variância, que é a média aritmética dos quadrados dos 
desvios. 
Falando em desvio, observemos o conjunto de números inteiros abaixo, e vamos 
determinar o desvio médio desses valores em relação à média. 
Exemplo 5 
8, 4, 6, 9, 10, 5 
 
Dm = [∑|X - média aritmética|x f]/n 
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6 
X = 42/6 
X = 7 
Xi Xi - X I Xi – X I 
4 4 – 7 = - 3 3 
5 5 – 7 = -2 2 
6 6 – 7 = - 1 1 
8 8 – 7 = 1 1 
9 9 – 7 = 2 2 
10 10 – 7 = 3 3 
∑ 0 12 
 
Dm = 12/6 → Dm = 2 
7 
 
Exemplo 6 
 
Para o conjunto de números inteiros, vamos então calcular a variância do conjunto, 
supondo que esses valores correspondam a uma amostra. 
8, 4, 6, 9, 10, 5 
 
S2 = [∑(X - média aritmética)2 x f]/(n – 1) 
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6 
X = 42/6 
X = 7 
 
Xi Xi - X S2 
4 4 – 7 = - 3 9 
5 5 – 7 = -2 4 
6 6 – 7 = - 1 1 
8 8 – 7 = 1 1 
9 9 – 7 = 2 4 
10 10 – 7 = 3 9 
∑ 0 28 
 
S2 = 28/6-1 = 28/5 
S2 = 5,6 
 
Exemplo 7 
Para o conjunto de números inteiros, vamos calcular o desvio padrão do conjunto, 
supondo que esses valores correspondam a uma amostra. 
8, 4, 6, 9, 10, 5 
 
S = desvio padrão “é igual a raiz quadrada da variância”. 
 
S2 = [∑(X - média aritmética)2 x f]/(n – 1) 
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6 
X = 42/6 
8 
 
X = 7 
 
Xi Xi - X S2 
4 4 – 7 = - 3 9 
5 5 – 7 = -2 4 
6 6 – 7 = - 1 1 
8 8 – 7 = 1 1 
9 9 – 7 = 2 4 
10 10 – 7 = 3 9 
∑ 0 28 
 
S2 = 28/6-1 = 28/5 
S2 = 5,6 
 
S = desvio padrão “é igual a raiz quadrada da variância”. 
 
S = √ S2 
S = 2,36 
 
Exemplo 8 
Em uma distribuição de frequências, verificou-se que a mediana é igual a 15,40, a média 
é igual a 16,00 e o desvio padrão é igual a 6,00. 
Iremos então calcular segundo coeficiente de assimetria de Pearson, com duas casas 
depois da vírgula. 
 
As = 3 x (Média aritmética – Md) / S, ou seja, 
As= 3 . (média – mediana)/desvio padrão 
As = 3 (16 – 15,4) / 6 
As = 3 (0,6) / 6 
As = 1,8 / 6 
As = 0,30 
 
9 
 
Exemplo 9 
 
Em 100 lances de uma moeda honesta, qual a média esperada de caras obtidas e qual o 
desvio padrão do experimento? 
 
Média = 100 (1/2) = 50 
S2 = 100 (1/2) . (1/2) = 25 
S = 5 
 
“Os fenômenos estudados em estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo 
em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, 
dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro.” (Castanheira, 2010). 
Ainda, de acordo com (Castanheira, 2010) Historicamente, a teoria da probabilidade 
começou com o estudo dos jogos de azar, como a roleta e as cartas. Hoje, suas 
aplicações são inúmeras. 
Exemplo 10 
Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 bolas pretas 
e 4 bolas verdes. 
Desta forma será necessário demonstrar o cálculo da probabilidade dela não ser preta. 
Vejamos: 
A bola retirada não pode ser preta; logo, poderá ser vermelha ou verde. Então: 
P (Vermelha ou Verde) = P (Vermelha) + P (Verde) 
P (Vermelha ou Verde) = 6/18 + 4/18 
P (Vermelha ou Verde) = 10/18 
 
Exemplo 11 
 
Cálculo de Probabilidade: 
Qual a probabilidade de obtermos o total de seis (6) pontos na jogada de dois (2) dados 
honestos? 
 
S = {36 resultados possíveis} 
A = {a soma dos dois dados é igual a 6} 
A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} 
 
P(A) = 5/36 
Outras definições que necessitados compreender são: dados brutos, rol e 
frequência. 
10 
 
1 Dados brutos: são as relações dos resultados obtidos em uma pesquisa e que 
foram transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de qualquer ordem. 
2 Rol: é a relação dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram colocados 
em ordem numérica, crescente ou decrescente. 
3 Frequência: é o número de vezes que um mesmo resultado acontece durante uma 
pesquisa. 
 
Exemplo 12 
 
Para calcular a média das idades representadas na distribuição de frequências da tabela 
abaixo, podemos resolvê-las da seguinte forma: 
 
Idade Frequência 
4 4 
5 6 
6 6 
7 4 
 
Média = 4 .4 + 5 . 6 + 6 . 6 + 7 . 4 / 20 
Média = 16 + 30 + 36 + 28 / 20 
Média = 110 / 20 = 5,5 
 
Exemplo 13 
 
Para calcularmos o desvio médio do seguinte conjunto de números, podemos resolvê-los 
desta forma: 
4, 6, 8, 9, 10 e 11. 
 
Inicialmente devemos calcular a média aritmética dos valores dados: 
Média = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 / 6 
Média = 8 
Em seguida: 
4 4 – 8 = - 4 4 
6 6 – 8 = - 2 2 
8 8 – 8 = 0 0 
9 9 – 8 = 1 1 
10 10 – 8 = 2 2 
11 11 – 8 = 3 3 
∑ 0 12 
 
11 
 
Desvio médio = 12 / 6 = 2 
 
Há várias definições como já foi comentado, e uma delas é a hipótese, esta pode ser nula 
ou alternativa. Nisto há algo que necessitamos saber, ou seja, a diferença entre hipótese 
nula (H0) de hipótese alternativa (H1). 
 
 Hipótese nula: é a hipótese que será testada, ou seja, é a informação a respeito 
do valor do parâmetro que desejamos avaliar. 
 Hipótese alternativa: é a hipótese que afirma que a hipótese nula é falsa, ou seja, 
é a afirmação a respeito do valor do parâmetro que aceitaremos como verdadeiro, 
caso a hipótese nula seja rejeitada. 
 
A média correspondente ao centro de gravidade dos dados; a variância e o desvio padrão 
medem a variabilidade; mas a distribuição dos pontos sobre um eixo ainda tem outras 
características, que podem ser medidas – uma delas á a assimetria. Estas medidas de 
assimetria, também são denominadas de medidas de enviesamento, indicam o grau de 
deformação de uma curva de frequência. Uma distribuição de frequências ideal seria 
aquela em que a curva resultante simétrica, o que dificilmente acontece na prática. 
 
Observe as figuras abaixo conforme o tipo de distribuição que será representada 
graficamente. 
 
Distribuição simétrica Distribuição assimétrica 
negativa. 
Distribuição assimétricapositiva. 
 
Diante de um conjunto de dados e desejando efetuar uma análise criteriosa, 
notamos algumas características para tomada de decisão. Entre elas estão as medidas 
de posição, as medidas de dispersão e as medidas de assimetria. Entretanto entre elas 
temos outra ferramenta estatística denominada de medidas de curtose. Estas podem ser: 
 
1 Distribuição normal, damos o nome de curva mesocúrtica; 
2 Distribuição alongada, damos o nome de curva leptocúrtica; 
3 Distribuição achatada, damos o nome de curva platicúrtica. 
 
Bons Estudos 
 
Prof. Emerson Seixas