Álgebra Linear - Lista de Exercícios 2

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Álgebra Linear I
Resolução dos Exercícios –lista II
Resolva e classifique os sistemas.
(a) 
Solução. Este sistema pode ser escrito 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
O sistema equivalente é 
A última equação não estabelece nenhuma condição para x e y; por isso, a solução do sistema é dada pelas duas primeiras equações:
 x=3-2z e y=3-2z. Os valores de x e y (que são iguais) são obtidos atribuindo valores arbitrários a z.
Logo, o sistema é compatível e indeterminado e seu conjunto solução é 
.
(b) 
Solução.
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
O sistema equivalente é 
. Logo, o sistema é incompatível.
(c)
Solução.
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente
	
As segunda e terceira equações mostram que o sistema é incompatível, porque, se subtrairmos, obtemos 0x+0y+0z = 3 ou 0 = 3.
Determine k, para que o sistema admita solução,
Solução.
Temos: 
�� EMBED Equation.3 . Assim, o sistema dado é equivalente ao sistema
. Logo, k = - 6.
Considere o sistema 
 
Verifique que a matriz X1 = 
 é uma solução para o sistema.
Solução. 
Note que podemos escrever o sistema na forma matricial 
. Como 
, a matriz X1 é solução do sistema dado.
Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma 
X= 
 onde 
 
Solução.
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Daí, x = - 4z - 1 e
y = 2z + 1/3. Logo, a solução do sistema é dada por X=
 onde z
© Verifique 
 é a solução do sistema homogêneo associado ao sistema dado.
Solução.O sistema homogêneo associado é 
. Daí, x = - 4z e y = 2z. Logo, X = 
 é a solução do sistema homogêneo associado.
(d) Conclua, dos itens (a), (b) e (c) que o conjunto-solução do sistema inicial é o conjunto-solução do sistema homogêneo associado somado a uma de suas soluções particulares.
Solução.
Se 
 é uma solução particular do sistema dado, 
. Então, qualquer outro solução deste sistema satisfaz estas equações e daí 
. Logo,
, ou seja, 
 é solução do sistema homogêneo associado.
Ache todas as soluções do sistema 
.
Solução.
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Assim, o sistema dado é equivalente ao sistema 
. Logo, o sistema dado só admite a solução trivial x = y = z =0.
2. Determine os valores de a, de modo que o sistema 
 tenha
	(a) nenhuma solução
	(b) mais de uma solução
	( c) uma única solução
Solução.
Obtemos o seguinte sistema equivalente
que tem solução única se o coeficiente de z na terceira equação não é zero, isto é, se 
 e 
. No caso de a = 2, a terceira equação é 0=0 e o sistema tem mais de uma solução. No caso de a=-3, a terceira equação é 0=5 e o sistema não tem solução.
Logo, o sistema não possui solução se a = -3, possui mais de uma solução para a=2 e uma única solução se 
 e 
.
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