Lentes

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL IV
LENTES
Acadêmicos: Giovana Simeoni Mota RA:98619
 
Professora: Alice Sizuko Iramina
Maringá, 2017
RESUMO 
 Esse experimento tem por objetivos estudar as imagens formadas por lentes delgadas, determinar a distância focal de uma lente convergente e determinar a distância focal de uma lente divergente. Para a realização do mesmo foram utilizados uma fonte, banco ótico, lâmpada, fenda rotatória, cavaleiros, suportes para lentes, espelho plano, lentes convergentes e divergente, anteparo e trena. Após a execução da parte experimental, anotou-se os dados e em posse dele fez-se a análise pela qual pode-se atingir os objetivos da prática. 
INTRODUÇÃO
Lentes
 Lentes são dispositivos ópticos que funcionam pela refração da luz. Elas podem ser classificadas como convergentes e divergentes de acordo com o seu formato. 
 As lentes são dispositivos ópticos que funcionam por refração da luz e são muito utilizadas no nosso dia a dia, como nos óculos, nas lupas, nas câmeras fotográficas, nas filmadoras e em telescópios. O material que as constitui normalmente é o vidro, mas o plástico também pode ser utilizado. As principais características desses dispositivos são a transparência e a superfície esférica.
Classificação das lentes
 O que caracteriza uma lente esférica são os seus elementos geométricos, que são:
C1 e C2: centros de curvatura das faces esféricas;
R1 e R2: raios de curvatura das faces esféricas;
Eixo principal da lente: onde estão contidos C1 e V1;
e: espessura da lente;
V1 e V2: Vértices da lente.
 A disposição desses elementos nas lentes se da de acordo com as figuras 1 e 2:
Figura 1 – Disposição dos elementos em lentes côncavas.
Figura 2 – Disposição dos elementos em lentes convexas.
 Quando a espessura da lente é muito menor do que o raio de suas faces, ela é denominada lente delgada. Nesse tipo de lente, os vértices V1 e V2 estão praticamente no mesmo ponto sobre o eixo principal e passam a ser chamados de centro óptico.
Equação do dioptro esférico
A Figura 3 mostra a tragetória de dois raios luminosos que, divergem de um ponto objeto ( O ) , são refratados por uma superfície esférica convexa e formam uma imagem real do ponto ( O ) em ( I ).
Figura 3 – Dioptro esférico convenxo.
Onde,
 r - raio de curvatura; 
o - distância objeto; 
i - distância imagem;
n1 - índice de refração do meio de onde provém a luz; 
n2 - índice de refração do 2º meio, em relação á incidência da luz.
Por considerações geométricas e para raios paraxiais, temos:
 (1)
Convenção de sinais:
Como nas superfícies refringentes a luz é refratada, nelas acontece o contrário dos espelhos onde a luz é refletida. Desta forma, as imagens reais se formam no lado oposto da superfície refringente, enquanto as imagens se formam do mesmo lado de onde vem a luz, em relação á superfície refringente.
 • Quando o objeto e a luz incidente estiverem do mesmo lado da superfície refratora, a distância objeto ( o ) será positiva, caso contrário será negativa. 
• Quando a imagem e a luz refratada estiverem do lado oposto da superfície refratora, a distância imagem ( i ) será positiva, caso contrário será negativa. 
• Quando o centro de curvatura ( C ) estiver do lado oposto da superfície refratora, o raio de curvatura será positivo, caso contrário será negativo. Assim, na Fig.(3), ( o ), ( i ) e ( r ) são quantidades positivas.
Equação das lentes delgadas
 Uma lente esférica delgada, substitui a superfície refringente da Fig.(3), e acompanhemos a tragetória do raio luminoso OA ao atravessar a lente, conforme a Figura 4.
Figura 4 – Lente delgada biconvexa.
 O raio é refratado no primeiro dioptro, tornando-se o raio AB que,
se prolongado, passaria por I1. Por ocasião de ficar do mesmo lado da luz
incidente. I1 é a imagem virtual de O, para o primeiro dioptro. 
 Essa imagem virtual serve de objeto real ( fica do mesmo lado da luz incidente ) para o segundo dioptro da lente, formando uma imagem real ( I2). Para a lente, como um todo, I2 é a imagem real de O.
Considerando a lente imersa no ar ( nar = 1, 0 ) e aplicando a Eq.(1) a cada uma das refrações temos:
 1ª refração: n1 = 1 e n2 = n 
(2)
2ª a refração: n1 = n e n2 = 1
(3)
Como na 2ª refração ( o = - i1 ), adicionando as Eq.(2) e (3) :
(4)
A Eq.(4) vale para lentes esféricas delgadas e para raios centrais. Levando em conta a convenção de sinais, vemos que, para a Fig. (4), o, i e r1 são quantidades positivas, enquanto r2 é negativo.
Ponto focal e distância focal. Equação dos pontos conjugados.
 Por apresentar dois dioptros, uma lente esférica possui dois focos
( foco objeto - Fo e foco imagem - Fi ), situados em lados opostos da lente
e definidos assim:
• Foco-objeto ( Fo ) – ponto do eixo principal, cuja imagem está no
infinito, observe a Fig.(5-a).
• Foco-imagem ( Fi ) – ponto do eixo principal, cujo objeto está no
infinito, observe a Fig.( 5-b).
Figura 5 – Ponto focal.
Quando se consideram ( o ) ou ( i ) distâncias infinitas, devemos ter, respectivamente, i = f ( distância focal imagem ) ou o = f (distância focal objeto). Escreve-se a Eq.(4), assim:
(5)
onde f é a distância focal da lente.
Obs:
• f é positiva para uma lente convexa ou convergente.
• f é negativa para uma lente côncava ou divergente.
A Eq.(5) é conhecida como a equação dos fabricantes de lentes.
Comparando as Eq.(4) e (5):
(6)
 A Eq.(6) é conhecida como equação dos pontos conjugados, ela nos permite determinar a distância focal ( f ) de uma lente, de uma forma indireta, sem necessidade de conhecer o índice de refração e raios de curvatura da lente.
Imagens reais e virtuais. Método gráfico para determinação
da imagem.
 A determinação da imagem de um objeto, formado por uma lente delgada, pode ser feita graficamente, usando as propriedades de certos raios, chamados de raios principais.
Figura 6 - Determinação gráfica da imagem através da lente convergente.
Propriedades dos raios principais:
a) Raio incidente paralelo ao eixo principal: – depois de refratado pela
lente, passa pelo foco imagem ( Fi ), se a lente for convergente, ou parecerá vir do foco imagem, se a lente for divergente.
Figura 7 - Determinação gráfica da imagem através da lente divergente.
b) Raio incidente passando pelo centro ótico ( P ): – se refrata na mesma
direção, não sofrendo desvio ( lentes delgadas ).
c) Raio incidente ( ou prolongamento ) que passa pelo foco: – emerge
paralelamente ao eixo principal.
 Observando as Fig. (6) e (7), verifica-se que temos uma imagem real,
no primeiro caso e uma imagem virtual no segundo caso. A lente divergente,
em qualquer situação, sempre resulta numa imagem virtual, direita e menor que o objeto, relativa a um objeto real.
 Em problemas que envolvem a formação de imagens, dadas por uma lente,
é conveniente fazer o diagrama de raios principais visando, não somente, a
verificação gráfica dos cálculos numéricos, como também entender os conceitos de imagem e objeto ( reais ou virtuais).
Obs:
• Uma imagem real localiza-se na interseção dos raios refratados, enquanto
que, uma imagem virtual localiza-se na interseção do prolongamentos
destes raios; observe as Fig. (6) e (7).
• Um objeto é real sempre que raios divergentes incidirem sobre a lente,
Fig.(6) e (7), e virtual quando os raios convergirem para a lente
Fig.(8).
Vergência de uma lente ou sistema de lentes
Por definição, vergência ( V ) ou convergência de uma lente é o inverso
de sua distância focal:
(7)
Figura 8 – Objeto virtual.
Pode-se demonstrar que um sistema de lentes esféricas delgadas, justapostas, se comporta como se fosse uma única lente, cuja vergência é a soma algébrica das vergências das lentes que compõem o sistema:
(8) ou(9)
Onde,
 F é a distância focal do sistema .
Em nossos experimentos, utilizaremos a Eq.(9), como auxiliar, na determinação
da distância focal de uma lente divergente.
PROCEDIMENTOS
 Materiais utilizados
 Fonte, banco ótico, lâmpada, fenda rotatória, cavaleiros, suportes para lentes, espelho plano, lentes convergentes e divergente, anteparo, trena.
Procedimentos
Parte 1
 Primeiramente, procedeu-se com a determinação da distancia focal de uma lente convergente, através de medida direta, posicionando o objeto e a imagem em diferentes pontos. 
 Para o objeto no infinito, colocou-se a lente convergente e o anteparo nos respectivos suportes. Sobre a mesa, orientou-se a lente para um ponto distante, neste caso o desenho de uma flecha iluminada na parede da sala. Com o anteparo atrás da lente, este foi deslocado até obter-se uma imagem nítida da flecha. Mediu-se então com a trena a distancia i do anteparo à lente. Esta foi determinada como a distância focal f da lente convergente biconvexa. A operação foi repetida mais duas vezes e os resultados foram anotados na Tabela 1.
 Para o objeto no foco (o=f), utilizou-se o método da autocolimação. Numa das extremidades do banco ótico, colocou-se o objeto, neste caso a fenda, iluminado pela lâmpada, e foi colocado também um espelho plano interceptando o feixe de luz. Introduziu-se então a lente biconvexa conforme a Figura 4. Aos poucos aproximou-se a lente em direção à fenda, de modo que os raios refletidos pelo espelho retornassem através da lente e formasse a imagem do objeto ao lado do mesmo.
Figura 9 – Método da autocolimação
Repetiu-se a operação mais duas vezes e os resultados foram anotados na Tabela 1.
 Colocando a imagem no foco (i=f), utilizou-se o método do ponto focal imagem. No mesmo banco ótico onde foi realizado o método da autocolimação, substituiu-se a lente biconvexa por uma lente plano-convexa. 
 Ajustou-se a posição desta até obter, pelo método da autocolimação, um feixe paralelo de luz, na direção do banco ótico. Substituiu-se também o espelho pela lente biconvexa e colocou-se o anteparo no banco ótico, conforme mostrado na Figura 10. 
A lente biconvexa foi então deslocada até obter-se uma imagem nítida do objeto, eventualmente o anteparo também pode ter sido descolado. Mediu-se e registrou-se então a distância da lente biconvexa ao anteparo. Esta foi tida como a distância imagem i e também como a distancia focal da lente biconvexa (i=f). O procedimento foi repetido mais duas vezes e registrou-se os resultados na Tabela 1.
Figura 10 - Método do ponto focal imagem.
 Posteriormente foi feita então a determinação da distancia focal de uma lente convergente através da medida indireta. Retirou-se a lente plano-convexa do banco ótico e aproximou-se a lente biconvexa do anteparo, até obter-se uma imagem nítida porém diminuta, conforme a Figura 11. Foi medida a registrada as distancias da lente à fenda e ao anteparo, e repetiu-se a operação mais duas vezes registrando os resultados na Tabela 1. Após isto deslocou-se a lente em direção à fenda, até obter uma imagem nítida, porem aumentada, no anteparo, medindo-se então as distâncias objeto e imagem. Repetiu-se a operação mais duas vezes e registrou-se os resultados na Tabela 1.
Figura 11 – Distancia focal por medida indireta.
Parte 2 
 Foi determinada a distância focal de uma lente divergente pela medida indireta. Como o foco de uma lente divergente é virtual, para determinas a sua distancia focal há necessidade de usar uma lente convergente, como auxiliar e, de forma indireta, obter a distância focal da lente divergente. 
 Primeiramente, com o objeto no infinito, para um sistema de lentes justapostas, sendo uma divergente, bicôncava, a uma lente biconvexa. Sobre a mesa, orientou-se o sistema para um objeto distante, neste caso, uma flecha iluminada na parede. O sistema foi orientado até obter-se uma imagem nítida do objeto, no anteparo. 
 A distancia i do anteparo à parte central do sistema de lentes foi medida e tomada como a distancia focal do sistema. Repetiu-se mais duas vezes o procedimento e registrou-se os resultados na Tabela 2.
 Para um objeto virtual, em uma lente divergente, com formação de imagem real, utilizou-se uma lente biconvexa como auxiliar, lente esta que foi usada na primeira parte do experimento, e que portanto já se conhecia a sua distancia focal. Iluminou-se então o objeto com a lâmpada, e colocou-se a lente biconvexa (L1) e o anteparo (A1) no banco ótico. Ajustou-se o sistema até obter-se uma imagem nítida no anteparo. Foi medida então a distancia i1 do anteparo A1 à lente L1 e anotou-se os dados na Tabela 2. Após isto, colocou-se a lente bicôncava (L2) entre a biconvexa e o anteparo, a uma distância menor que a distancia focal da lente biconvexa, conforme a Figura 12. 
 
 Figura 12: Duas lentes separadas.
 O anteparo foi então ajustado para obter-se uma imagem nítida. Foi medida então a distância do anteparo à lente bicôncava (i2) e a distancia (d) entre as lentes, e registrou-se os dados na Tabela 2, após repetir o procedimento mais duas vezes. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO
 Tabela 1: Distancia focal de uma lente convergente.
	 Medida Direta
	Objeto no infinito
	Autocolimação
	P. focal imagem
	i=f(cm)
	o=f (cm)
	i=f (cm)
	15,8
	15,5
	15,0
	15,3
	15,3
	14,2
	16,5
	15,7
	14,4
	f= 15,86
	f= 15,5
	f= 14,5
	 Medida indireta
	 Imagem > Objeto
	 Imagem < Objeto
	o(cm)
	i(cm)
	f(cm)
	o(cm)
	i(cm)
	f(cm)
	22,5
	53,7
	15,9
	56,2
	21,4
	15,5
	22,2
	53,5
	15,7
	57,4
	21,2
	15,5
	22,1
	54,1
	15,7
	56,2
	21,3
	15,5
	
	
	F = 15,8
	
	
	F =15,5
Para comparar os valores obtidos para distância focal ( f ) da lente biconvexa, com o seu valor nominal utiliza-se a seguinte equação:
Sabendo-se que o valor nominal para a distância focal da lente biconvexa é 15,0 cm, os desvios obtidos para as medidas diretas foram:
- 5,73% para objeto no infinito;
- 3,33% para autocolimação;
-3,33% para P. focal Imagem.
Para as medidas indiretas:
-5,33% para I>O;
-3,33% para I<O.
Os desvios apresentados ocorreram devido a imprecisão na retirada dos dados, erros aleatórios e o uso de diferentes lentes.
Por meio da equação apresentada abaixo demonstra-se que a distância medida pelo método de autocolimação é relativa ao ponto focal objeto (Fo). A luz refratada na lente biconvexa é refletida no espelho plano que está no infinito, refletindo por sua vez raios paralelos na lente, que forma uma imagem real ao lado do objeto. Portanto a distância focal medida é relativa ao ponto focal objeto.
 
 Pela equação que será mostrada abaixo demonstra-se que a distância medida pelo método do ponto focal na imagem é relativa ao ponto focal imagem (Fi). Considera-se que o objeto está no infinito desse modo a lente plano-convexa usada refrata a luz paralelamente, logo a distância focal medida, é relativa ao ponto focal imagem.
Há duas posições para a lente no método da medida indireta, uma é quando o objeto é colocado entre a lente e o centro de curvatura onde a imagem formada é menor que o objeto. A segunda é quando o objeto está entre o foco e a lente onde a imagem formada é maior que o objeto.
 Tabela 2: Distancia focal de uma lente divergente.
	 Objeto(20 cm)
	Real(objeto no infinito)
	 Virtual
	F(cm)
	fd(cm)
	i1=L1A1(cm)
	d=L1L2(cm)
	o=d-i1(cm)
	i=L2A2(cm)
	fd(cm)
	59,2
	20,50
	24,0
	9,4-15,6
	59,5
	-21,21
	58,8
	21,71
	24,0
	9,3
	-15,8
	61,6
	-21,51
	59,6
	22,62
	24,0
	8,7
	-15,5
	58,3
	-21,69
Discussão
Método 1 de determinação da distância focal da lente convergente:
 O objeto está no infinito e a distância focal é obtida pela distância da lente até a imagem, de acordo com a equação abaixo em que se a distância até o objeto é infinita obtém-se que 1 / o tende a 0. Portanto nota-se que i = f logo a imagem está no ponto focal.
Método 2 (autocolimação)
 A distância focal é a distância entre o objeto e a lente, pois a imagem que está refletida no espelho forma-se no mesmo ponto em que o objeto está, logo os raios refratados foram paralelos ao eixo principal, pois tais raios foram emitidos através do foco e o objeto encontrava-se no eixo central, então ele está no ponto focal.
Método 3, do ponto focal da imagem
 A distância focal é a distância da lente até a imagem, pois com a lente plano-convexa, os raios que foram emitidos pelo objeto chegaram até a lente biconvexa de forma paralela ao eixo central. Nota-se que os raios vão ser refratados bem na direção do ponto focal, logo vão formar imagem bem no ponto focal, assim podemos encontrar a distância focal medindo-se a distância da lente até a imagem.
Método da medida indireta
 É preciso calcular a distância focal pela fórmula abaixo. 
Imagem>Objeto
Encontramos a distância lente-objeto menor que a distância lente-imagem.
Imagem<Objeto
Encontramos a distância lente-objeto maior que a distância lente-imagem.
Método da sobreposição de lentes
O inverso da distância focal ambas as lentes é igual a soma dos inversos da distância focal de cada uma das lentes.
Método 2 para lente divergente
Utiliza-se novamente a equação:
A fim de achar a distância da lente até objeto (negativa, porque o objeto está na frente da lente bicôncava), ocorre também a formação de uma imagem virtual, obtém-se também a distância focal (negativa), mas como não existe distância negativa, multiplica-se por -1.
Questões.
01 - Através da Eq.(69), mostre que a distância medida pelo método de autocolimação é relativa ao ponto focal objeto (Fo).
Resp: Nesse método usando-se o espelho plano coloca-se o objeto no ponto focal, daí forma-se um raio refletido paralelo ao eixo principal o que quer dizer que se não tivesse o espelho os raios que são paralelos formariam uma imagem no infinito, assim o inverso da distância da lente até a imagem tende a zero, logo, a distância focal é a distância da lente até o objeto.
02 - Através da Eq.(69) mostre que a distância medida pelo método (1.1.3)
é relativa ao ponto focal imagem (Fi).
Resp: Os raios que chegam até a lente são paralelos, logo foram emitidos de um mesmo objeto, que está no infinito, assim o inverso da distância entre objeto e lente tende a zero. Portanto a distância focal é a distância entre a lente e a imagem.
03 – Porquê no método 1.2 ( medida indireta ) existem duas posições para
a lente, nas quais se observa a imagem no anteparo ?
Resp: Tem-se duas posições , uma para o objeto posto a uma distância menor que a distância focal, a imagem é maior que o objeto, pois antes do ponto focal a refração ocorre diferente para o objeto depois do ponto focal, assim depois do ponto focal a imagem formada é menor que o objeto.
04 - Para todos os métodos utilizados, faça a determinação gráfica da imagem, para a lente convergente, usando o diagrama de raios principais.
Objeto no infinito e ponto focal imagem:
 
Autocolimação:
Medida Indireta:
 
05 - Complete a tabela (7). Compare os valores obtidos para distância focal ( f ) da lente divergente, com o seu valor nominal. Comente os resultados.
Resp: Os resultados da distância focal da lente divergente na tabela (2) foram 21,61 cm e 21,47 cm, a distância focal teórica é de 20,0 cm, apresentando desvios de, respectivamente de 8,05% e 7,35%.
06 – Porquê na determinação da distância focal de uma lente divergente
( método 2.1 ), a distância focal da lente convergente tem de ser menor que a da lente divergente ?
Resp: A distância focal da lente convergente precisa ser menor, pois o objeto está no infinito, logo os raios que passam através da lente são refratados bem na direção do foco e se o foco for maior que o foco da lente divergente os raios são refratados para fora do anteparo e não formará imagem.
07 - Porquê, no procedimento (07) do método (2.2), você tem que colocar
a lente bicôncava a uma distância menor que a distância imagem da lente
biconvexa ?
Resp: Isso é necessário para que os raios de luz que vão passar pela lente bicôncava não cruzem e formem imagem antes de chegar até lente, a lente deve ser colocada em um ponto antes do ponto em que os raios de luz emitidos se cruzam.
08 - Faça a determinação das imagens, usando diagrama de raios, nos dois métodos da parte 2.
Diagrama de raios para o método com o objeto real no infinito:
Diagrama de raios para o método do objeto virtual:
CONCLUSÃO
 Foi calculada a distância focal mostrada nas Tabelas 1 e 2, por meio da equação dos fabricantes, e da equação dos pontos conjugados. Observou-se que a lente convergente, cujo valor nominal indicado na lente era de 15 cm, apresentou o maior erro como sendo 5,73 %.Dentre os erros experimentais que podem ter alterado os resultados, destaca-se a dificuldade em se determinar, pela observação, a distância da imagem e, o bom alinhamento das lentes com a fonte luminosa, que deveriam ter os eixos centrais de forma concêntrica.
REFERÊNCIAS
[1] Apostila Laboratório de Física Experimental IV – Circuitos Série Sob Tensão Alternada e Ótica, p. 32-41.
[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos da Física – Volume 4: Óptica e Física Moderna. 8ª ed. Rio de Janeiro, LTC, 2009.