Exercícios Resolvidos de pré-cáculo

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Exercícios Resolvidos
1) Marque os pontos P = (1, 2) e Q = (−3, 5) no plano cartesiano, dese-
nhe a reta determinada por eles e calcule seu coeficiente angular.
Resolução:
Vamos calcular o coeficiente angular m da reta:
m =
yQ−yP
xQ−xP =
5−2
−3−1 = −34
2) Marque no plano cartesiano os pontos (1,2), (-3,5) e (2,6) e utilize o
coeficiente angular para determinar se os três pontos são colineares.
Resolução:
Se três pontos forem colineares então os coeficientes angulares das retas
determinadas por cada par deles são iguais (afinal eles estão sobre a mesma
reta). Reciprocamente, se pares distintos de pontos gerarem retas com mesmo
coeficiente angular, então os três pontos são colineares. Mais ainda, sabemos
que se os coeficientes angulares distinguirem para pelo menos dois pares de
pontos, então os pontos não são colineares.
Vejamos o que acontece no nosso caso:
Seja m1 o coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5). Já
sabemos do exemplo anterior que m1 = −34 .
Seja m2 o coeficiente angular da reta que passa por (-3,5) e (2,6). Então
m2 =
6−5
2−(−3) =
1
5
.
Logo, como m1 e m2 são diferentes, temos que os pontos (1,2), (-3,5) e
(2,6) não são colineares.
3) Marque os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) no plano cartesiano e utilize
os coeficientes angulares para determinar se os pontos formam um triângulo
retângulo.
Resolução:
Duas retas com coeficientes angulares m1 6= 0 e m2 6= 0 são perpendicu-
lares se m1 e m2 satisfazem a relação: m1 = − 1m2 .
Vejamos o que acontece no nosso caso:
1
Seja m1 o coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5). Já
sabemos que m1 = −34 .
Seja m2 o coeficiente angular da reta que passa por (-3,5) e (7,10). Então
m2 =
10−5
7−(−3) = − 510 = 12 .
Seja m3 o coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (7,10). Então
m3 =
10−2
7−1 =
8
6
= 4
3
.
Logo, m3 = − 1m1 e então a reta definida por (1,2) e (-3,5) e a reta definida
por (1,2) e (7,10) são perpendiculares.
Temos então que os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) formam um triângulo
retângulo.
4) Escreva a equação da reta do Problema 1 na forma y = mx + h uti-
lizando a forma ponto-coeficiente angular para determinar o seu coeficiente
linear.
Resolução:
Sabemos que m = −3
4
. Logo, a equação da reta será y = −3
4
x+h. Vamos
determinar o coeficiente linear h:
Sabemos que a reta passa pelo ponto P = (1, 2). Substituindo x = 1 e
y = 2 na equação da reta temos:
2 = −3
4
.1 + h ⇒ h = 2 + 3
4
= 11
4
Logo, a equação da reta será y = −3
4
x+ 11
4
5) Ache a equação da reta que passa por (5,-2) e é paralela a x+ 2y = 3.
Resolução:
A equação da reta x+ 2y = 3 pode ser reescrita como: y = −x
2
+ 3
2
.
Como retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular, queremos
achar a reta que possui coeficiente angular −1
2
e passa pelo ponto (5,-2).
Vamos achar tal equação:
y = −x
2
+ h ⇒ −2 = −5
2
+ h ⇒ h = −2 + 5
2
= 1
2
.
Logo, a equação da reta será y = −x
2
+ 1
2
.
6) Ache a equação da reta que passa (5,1) e é perpendicular a y+3 = 4x.
Resolução:
2
A equação da reta y + 3 = 4x pode ser reescrita como y = 4x− 3. Logo,
o coeficiente angular desta reta é m = 4.
Já sabemos que uma reta perpendicular a ela deverá ter coeficiente an-
gular − 1
m
= −1
4
.
Procuramos então a equação da reta que possui coeficiente angular −1
4
e
passa pelo ponto (5,1). Vejamos:
y = −1
4
x+ h ⇒ 1 = −5
4
+ h ⇒ h = 1 + 5
4
= 9
4
.
Logo, a equação da reta será y = −1
4
x+ 9
4
.
7) A equação de uma reta que corta o eixo x no ponto (a,0) e que corta
o eixo y no ponto (0,b) pode ser escrita da seguinte maneira:
x
a
+ y
b
= 1
Esta é chamada forma segmentária da equação da reta.
Coloque a equação 6x+ 9y = 5 na forma segmentária.
Resolução:
Se y = 0 ⇒ 6x+ 9.0 = 5 ⇒ 6x = 5 ⇒ x = 5
6
.
Se x = 0 ⇒ 6.0 + 9y = 5 ⇒ 9y = 5 ⇒ y = 5
9
.
Logo, a = 5
6
e b = 5
9
, e a forma segmentária da equação da reta será
x
5/6
+ y
5/9
= 1.
8) Determinar a equação da mediatriz do segmento AB, onde A = (7, 4)
e B = (−1,−2).
Resolução:
A inclinação da reta que contém o segmento AB é m = 4−(−2)
7−(−1) =
3
4
.
O ponto médio de AB é
(
7−1
2
, 4−2
2
)
= (3, 1).
A reta que buscamos passa pelo ponto (3,1) e é perpendicular a reta que
contém AB. Logo, sua equação é dada por y = −4
3
x+ 5.
9) Achar a equação da reta s cujos pontos são equidistantes das retas r1
: 12x− 5y + 3 = 0 e r2 : 12x− 5y − 6 = 0.
3
Resolução:
Observe que r1 e r2 são paralelas de inclinação
12
5
. Logo, a reta s procu-
rada deve ter inclinação
12
5
.
Para encontrar um ponto que passe por s considere um reta qualquer que
corte r1 e r2, e tome o ponto médio das interseções desta reta com r1 e r2.
Escolho aqui o próprio eixo y que intersepta r1e r2 em (0,
3
5
) e (0,−6
5
). O
ponto médio destes pontos é (0,− 3
10
).
O teorema de Tales garante de (0,− 3
10
) pertence à reta procurada.
Assim s : y + 3
10
= 12
5
(x)⇒ s : y = 12
5
(x)− 3
10
.
10) Determinar a equação de um círculo, sabendo que A = (−2, 1) e
B = (4, 3) são extremidades de um diâmetro.
Resolução:
O comprimento D do diâmetro é a distância entre (−2, 1) e (4, 3) dada
por:
D2 = (4− (−2))2 + (3− 1)2 ⇒ D = √40.
Logo, o raio do círculo é
√
40/2.
O centro é o ponto médio das extremidades do diâmetro. Portanto,
C =
(−2+4
2
, 1+3
2
)
⇒ C = (1, 2).
Logo, a equação do círculo é (x− 1)2 + (y − 2)2 = 10.
11) Determinar a equação do círculo de centro em C = (−2, 3) e que é
tangente à reta 20x− 21y − 42 = 0.
Resolução:
O raio do círculo é a distância D entre o centro e a reta dada por:
D = |20(−2)−21(3)−42|√
400+441
= 145
29
= 5
Logo, a equação do círculo será (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 25.
4