Lista de exercícios da 2ª Área, com respostas

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MAT 01355 A´lgebra Linear I-A
LISTA 1 - 2017/2
Exerc´ıcio 1.
Para as seguintes matrizes, encontre os autovalores e os autoespac¸os associados.
(a)
 4 6 4−2 −3 −4
0 0 2

(c)
 1 2 00 1 2
0 0 1

(e)
 1 2 00 2 −1
−1 0 2

(b)
 0 −2 21 3 −1
0 0 2

(d)
 2 0 01/2 3/2 1/2
−1/2 1/2 3/2

Exerc´ıcio 2.
Decida quais das matrizes do Exerc´ıcio 1 sa˜o diagonaliza´veis. Para cada uma delas, escreva
uma decomposic¸a˜o na forma PDP−1, onde P e´ uma matriz diagonal.
Exerc´ıcio 3.
Dizemos que uma matriz A n×n e´ similar a uma matriz B se existe uma matriz invers´ıvel
Q tal que Q−1AQ = B ou, analogamente, A = QBQ−1. Escrevemos A ∼ B para denotar
que A e´ similar a B.
(a) Mostre os seguintes fatos sobre matrizes similares:
(i) Para toda matriz A, temos A ∼ A.
(ii) Sejam A e B matrizes. Se A ∼ B, enta˜o B ∼ A.
(iii) Sejam A, B e C matrizes. Se A ∼ B e B ∼ C, enta˜o A ∼ C. (Dica: Mostre
inicialmente que, se P e Q sa˜o matrizes invers´ıveis n× n, enta˜o (PQ)−1 = Q−1P−1.)
(b) Mostre que duas matrizes diagonais sa˜o similares se, e somente se, possuem os mesmos
autovalores com as mesmas multiplicidades. Poder´ıamos remover a palavra diagonais do
enunciado acima? Justifique.
(c) Identifique todos os pares de matrizes similares entre as matrizes do exerc´ıcio 1.
Exerc´ıcio 4.
Utilizando o fato de que
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
,
definimos a exponencial de uma matriz A n× n pela fo´rmula
eA =
∞∑
n=0
1
n!
An = I + A+
1
2
AA+ · · · .
Calcule a exponencial das seguintes matrizes:
(a) Para a, b ∈ R,
[
a 0
0 b
]
.
(b)
[
5 1
2 2
]
.
(c) Para b ∈ R,
[
0 −b
b 0
]
.
(Dica: E´ poss´ıvel calcular a exponencial diretamente (deduzindo uma fo´rmula para as
poteˆncias da matriz) ou considerar a matriz como uma matriz sobre os nu´meros complexos
e diagonaliza´-la.)
Exerc´ıcio 5.
Seja A uma matriz diagonaliza´vel n × n cujos autovalores sa˜o nu´meros reais. Considere
a transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn dada por T (x) = Ax.
(a) Interprete geometricamente o fato de que v e´ um autovetor de A.
(b) Seja B = {v1, . . . , vn} uma base de autovetores de A associados a autovalores reais
λ1, . . . , λn. Para um vetor x ∈ Rn, explique como podemos calcular T (x) utilizando B.
(c) Suponha que n = 2 e considere a matriz A =
[
5 1
2 2
]
. Calcule uma diagonalizac¸a˜o
A = PDP−1 da matriz A (veja o exerc´ıcio 4(b)). Para o vetor x = (1, 1), explique o
significado dos vetores x1 = P
−1x, x2 = Dx1 e x3 = Px2 no contexto da transformac¸a˜o
linear do item (b).
Exerc´ıcio 6.
Seja A uma matriz 2× 2 cujos autovalores sa˜o nu´meros complexos a± bi tais que b 6= 0.
Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 dada por T (x) = Ax. Para a matriz
A =
[
3 −2
5 −3
]
, encontre uma matriz B =
[
a −b
b a
]
tal que A = PBP−1 para uma
matriz invers´ıvel P .
Exerc´ıcio 7.
Seja V o espac¸o vetorial dos polinoˆmios com coeficientes reais e grau menor ou igual a
treˆs na varia´vel x.
(a) Determine uma base para o espac¸o vetorial V .
(b) Considere a aplicac¸a˜o T : V → V tal que T (f) = f ′, onde f ′ denota a derivada
da func¸a˜o f . Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear em V e escreva T na forma
2
T (xf ) = Axf , onde A e´ uma matriz e xf e´ o vetor que representa f na base do item (a).
Determine os autovalores de A e seus autoespac¸os associados.
(c) Considere a aplicac¸a˜o U : V → V tal que U(f) = xf ′. Mostre que U e´ uma trans-
formac¸a˜o linear em V e escreva U na forma U(xf ) = Bxf , onde B e´ uma matriz e xf
e´ o vetor que representa f na base do item (a). Determine os autovalores de B e seus
autoespac¸os associados.
Exerc´ıcio 8
Suponha que, em uma populac¸a˜o de pinguins, haja migrac¸a˜o entre duas coloˆnias A e B.
A cada ano, 10% da populac¸a˜o de pinguins da coloˆnia A migra para a coloˆnia B e 5% da
populac¸a˜o da coloˆnia B migra para a coloˆnia A.
(a) Suponha que xA e xB sejam a proporc¸a˜o da populac¸a˜o em cada uma das coloˆnias
no instante inicial, de forma que xA, xB ≥ 0 e xA + xB = 1. Determine a proporc¸a˜o da
populac¸a˜o em cada coloˆnia apo´s k anos.
(b) Se xA = 3/4 e xB = 1/4, quantos anos se passara˜o ate´ que a populac¸a˜o de xB seja
maior do que a de xA?
(c) Para que valores de xA e xB na˜o ter´ıamos variac¸a˜o na proporc¸a˜o de habitantes em
cada coloˆnia?
Exerc´ıcio 9. Verifique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa, justifi-
cando a sua resposta.
(a) Uma matriz quadrada A e´ diagonaliza´vel se e somente se os autovalores de A sa˜o
distintos.
(b) Se A e´ uma matriz singular tal que A = PDP−1 para uma matriz diagonal D, enta˜o
D possui uma coluna nula.
(c) Seja A uma matriz 8 × 8 que possui treˆs autovalores distintos λ1, λ2, λ3. Suponha
que os autoespac¸os associados a λ1 e λ2 tenham dimensa˜o 4 e 2, respectivamente. Nes-
sas condic¸o˜es, A e´ diagonaliza´vel se e somente se existirem dois autovetores linearmente
independentes associados a λ3.
(d) Duas matrizes similares sempre teˆm os mesmos autovetores.
(e) Duas matrizes com os mesmos autovalores, incluindo multiplicidade, necessariamente
sa˜o similares.
(f) Uma matriz quadrada A e´ invers´ıvel se e somente se na˜o possui autovalor nulo.
(g) Seja A uma matriz tal que A2 = A. E´ poss´ıvel que λ = −1 seja autovalor de A.
(h) Se λ e´ autovalor de uma matriz invers´ıvel A, enta˜o λ−1 e´ autovalor de A−1.
(i) Se duas matrizes teˆm o mesmo determinante, enta˜o sa˜o similares.
(j) Define-se uma matriz de permutac¸o˜es como uma matriz com entradas 0 e 1 tal que
3
ha´ exatamente uma ocorreˆncia de 1 em cada linha e coluna. Se P e´ uma matriz de
permutac¸o˜es, enta˜o det(P ) ∈ {1,−1}.
(k) A transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 e´ tal que T (x) e´ uma rotac¸a˜o de 120o, no sentido
anti-hora´rio, do vetor x. Ale´m disso, ||T (x)|| = 1
2
||x||. Enta˜o T (x) = Ax, onde A =[
−1
4
−
√
3
4√
3
4
−1
4
]
.
RESPOSTAS
Exerc´ıcio 1.
(a) Autovalores: 0,1,2, cada um com multiplicidade 1. Autoepac¸os gerados pelos
seguintes vetores: 0 : (−3, 2, 0), 1 : (−2, 1, 0), 2 : (−2, 0, 1).
(b) Autovalores: 1,2, com multiplicidades 1 e 2, respectivamente. Autoepac¸os gerados
pelos seguintes vetores: 1 : (−2, 1, 0), 2 : (−1, 1, 0), (1, 0, 1).
(c) Autovalores: 1 com multiplicidade 3. Autoepac¸o gerado pelo vetor (1, 0, 0).
(d) Autovalores: 1,2, com multiplicidades 1 e 2, respectivamente. Autoepac¸os gerados
pelos seguintes vetores: 1 : (0,−1, 1), 2 : (1, 1, 0), (−1, 0, 1).
(e) Autovalores: 1,2, com multiplicidades 1 e 2, respectivamente. Autoepac¸os gerados
pelos seguintes vetores: 1 : (1, 1, 1), 2 : (0, 1, 0).
Exerc´ıcio 2.
(a)
 4 6 4−2 −3 −4
0 0 2
 =
 −2 −3 −21 2 0
0 0 1
 1 0 00 0 0
0 0 2
 −2 −3 −41 2 2
0 0 1

(b)
 0 −2 21 3 −1
0 0 2
 =
 −2 1 −11 0 1
0 1 0
 1 0 00 2 0
0 0 2
 −1 1 10 0 1
1 2 −1

(c) Na˜o e´ diagonaliza´vel.
(d)
 2 0 01/2 3/2 1/2
−1/2 1/2 3/2
 =
 1 −1 01 0 −1
0 1 1
 2 0 00 2 0
0 0 1
 1/2 1/2 1/2−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2

(e) Na˜o e´ diagonaliza´vel.
4
Exerc´ıcio 3.
(c) Apenas as matrizes (b) e (d) sa˜o similares, pois sa˜o similares a` mesma matriz diagonal.
Exerc´ıcio 4.
(a)
[
ea 0
0 eb
]
.
(b)
[
2e4 − e3 e4 − e3
2e3 − 2e4 2e3 − e4
]
.
(c)
[
cos b − sen b
sen b cos b
]
.
Exerc´ıcio 5.
(c) Uma diagonalizac¸a˜o de A e´
[
5 1
2 2
]
=
[
1 1
−1 −2
] [
4 0
0 3
] [
2 1
−1 −1
]
.
Seja B =
{[
1
−1
]
,
[
1
−2
]}
a base de R2 formada pelos autovetores de A.
O vetor x1 e´ o vetor dos coeficientes da representac¸a˜o de
[
1
1
]
na base B.
O vetor x2 e´ definido pela primeira componente de x1 multiplicada por 4 e a pela
segunda componente de x1 multiplicada por 3, o que significa que, com respeitoa` base B
a transformac¸a˜o linear expande a imagem em 4 na direc¸a˜o de (1,−1) e em 3 na direc¸a˜o
de (1,−2).
O vetor x3 representa, na base canoˆnica, o vetor v cujos coeficientes na base B esta˜o
em x2.
Exerc´ıcio 6.
Podemos escrever
[
3 −2
5 −3
]
=
[
2 0
3 1
] [
0 −1
1 0
] [
1/2 0
−3/2 1
]
Exerc´ıcio 7.
(a) B = {1, x, x2, x3}
(b) Para f(x) = a0+a1x+a2x
2+a3x
3 e xf = (a0, a1, a2, a3), temos T (x) =

0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
 .
O u´nico autovalor e´ λ = 0 (com multiplicidade quatro). Seu autoespac¸o associado e´ gerado
por (1, 0, 0, 0).
5
(c) Para f(x) = a0+a1x+a2x
2+a3x
3 e xf = (a0, a1, a2, a3), temos T (x) =

0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
 .
Os autovalores sa˜o λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2 e λ4 = 3. Seus autoespac¸os associados sa˜o
gerados pelos vetores da base canoˆnica, sendo ei associado a λi.
Exerc´ıcio 8.
(a) Apo´s k anos, a proporc¸a˜o da populac¸a˜o em A e´ 1
3
+
(
17
20
)k (2xA
3
− xB
3
)
; a proporc¸a˜o da
populac¸a˜o em B e´ 2
3
+
(
17
20
)k (xB
3
− 2xA
3
)
.
(b) Apo´s 7 anos, a populac¸a˜o de B sera´ maior que a populac¸a˜o de A.
(c) xA = 1/3, xB = 2/3
Exerc´ıcio 9.
(a) Falso. A afirmac¸a˜o Uma matriz quadrada A e´ diagonaliza´vel se os autovalores de A
sa˜o distintos. seria verdadeira, mas existem matrizes com diagonaliza´veis com autovalores
repetidos (isto e´ com multiplicidade maior ou igual a dois).
(b) Verdadeiro, pois A singular implica que possui autovalor nulo, logo 0 aparecera´ como
elemento da diagonal de D.
(c) Verdadeiro, pois uma matriz 8 × 8 e´ diagonaliza´vel se e somente se possui oito au-
tovetores linearmente independentes. Sabemos que autovetores associados a autovalores
distintos sa˜o linearmente independentes. A afirmac¸a˜o implica que podemos obter seis au-
tovetores linearmente independentes associados aos autovalores λ1 e λ2. Assim, a matriz
sera´ diagonaliza´vel se e somente se tivermos dois autovetores linearmente independentes
associados a λ3.
(d) Verdadeiro, isso e´ um teorema visto em aula.
(e) Falso, as matrizes
[
1 0
0 1
]
e
[
1 1
0 1
]
na˜o sa˜o similares, apesar de possuirem o auto-
valor 1 com multiplicidade 2.
(f) Verdadeiro. Sabemos que uma matriz e´ singular se e somente se dim(Nul(A)) > 0.
Note que um elemento na˜o-nulo de Nul(A) e´ justamente um autovetor de A associado ao
autovalor λ = 0.
(g) Falso. Suponha que v e´ um autovetor de A associado a λ = −1. Assim A2v =
A(Av) = A(−v) = −A = −(−v) = v. Por hipo´tese temos A2v = Av = −v. Deduzimos
que v = 0, contradizendo o fato de v ser autovetor.
(h) Verdadeiro. Como A e´ invers´ıvel, sabemos que os autovalores de A na˜o sa˜o nulos.
Seja v um autovetor associado ao autovalor λ. Note que
Av = λv =⇒ A−1(Av) = A−1(λv) =⇒ (AA−1)v = λA−1v =⇒ λ−1v = A−1v.
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Assim λ−1 e´ autovalor de A−1 associado ao autovetor v.
(i) Falso, as matrizes
[
4 0
0 1
]
e
[
2 0
0 2
]
teˆm o mesmo determinante, mas na˜o sa˜o simi-
lares, pois nem mesmo teˆm os mesmos autovalores. Por outro lado, e´ verdadeiro que duas
matrizes similares necessariamente teˆm o mesmo determinante.
(j) Verdadeiro. Toda matriz de permutac¸a˜o pode ser obtida da matriz identidade de
mesma ordem atrave´s de uma sucessa˜o de trocas de linhas e colunas. Cada uma dessas tro-
cas altera o determinante por um fator multiplicativo −1. Assim det(P ) = (−1)r det(I),
onde r e´ o nu´mero de trocas de linhas e colunas feitas. Assim, det(P ) ∈ {−1, 1}.
(k) Verdadeiro.
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