Algebra 2 - ficha01

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1 
 
Álgebra Linear - II 
ESPAÇOS VECTORIAIS 
 
SUBESPAÇOS DE ESPAÇOS VECTORIAIS 
SOMAS 
Sejam U e W subconjuntos de um espaço vectorial V. A soma WU  de U e W consiste de 
todas as somas wu  , onde Uu  e Ww . Isto é; 
 WwUuwuWU  ,: 
INTERSEÇÃO 
Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços U e W, denotada por WU 
, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é: 
 WvUvvWU  : 
SOMAS DIRECTAS DE SUBESPAÇOS 
Diz-se que o espaço vectorial V é a soma direta de seus subespaços U e W, e denota-se por 
WUV  , se todo vetor Vv pode escrever-se de maneira única como wuv  , onde 
Uu  e Ww . 
De uma forma geral, podemos dizer que o espaço vectorial V é a soma direta de seus 
subespaços U e W se e somente se: 
(i) WUV  
(ii)  0WU 
 
DIMENSÃO FINITA 
Sejam U e W subespaços de dimensão finita de um espaço vectorial V, então WU  tem 
dimensão finita e, 
   WUWUWU  dimdimdimdim 
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2 
 
Tarefas 01 
1. Considere os seguintes subespaços de IR4 : 
      1,3,3,2,0,3,2,1,1,0,1,1  gerU 
      3,4,3,1,3,2,3,2,2,2,2,1  gerW 
Ache  WU dim e  WU dim . 
 
2. Sejam U e W os seguintes subespaços de IR4 
  0:,,,  dcbdcbaU 
  dcbadcbaW 2,0:,,,  
Ache uma base e a dimensão de: (i) U; (ii) W; (iii) WU  e; (iv) WU  
 
3. Suponha que U e W são subespaços quadridimensionais distintos de um espaço 
vectorial V, onde 6dim V . Ache as dimensões possíveis de WU  . 
 
4. Considere os seguintes subespaços de IR5; 
      9,2,1,3,2,2,4,3,4,1,3,2,2,3,1...U 
      1,2,3,5,2,3,6,6,5,1,1,2,0,3,1...W 
Ache uma base e a dimensão de (a) WU  ; (b) WU  
 
5. Sejam U e W subespaços de IR3 definidos por   cbacbaU  :,, e   cbW ,,0
. Mostre que WUIR 3 . 
 
6. Sejam U e W subespaços bidimensionais de IR3. Mostre que  0WU . 
 
7. Sejam U e W subespaços de IR3, para os quais 1dim U , 2dim W e WU . Mostre 
que WUIR 3 
 
 
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3 
ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 
Espaço Vetorial Euclidiano é todo o espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está 
definido um produto interno. 
Produto Interno em Espaços vetoriais 
Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma aplicação que a todo par de vetores 
VVvu ),(

 associa um número real, indicado por vu

 ou  vu

, , com as seguintes 
propriedades: 
1.  uvvu

,, ; 
2.  wuvuwvu

,,, ; 
3. IRparavuvu   todo)(,

; 
4. 0u se, somente e se,0,0,

 uueuu 
 
Exemplos: 
1) No espaço vetorial 2IRV  , a função que associa a cada par de vetores, ),( 11 yxu 

 e 
),( 22 yxv 

 o número real 2121 43, yyxxvu 

 é um produto interno? 
Solução: 
É necessário mostrar que a função dada verifica as 4 propriedades. 
1. uvyyxxvuyyxxvu

 12122121 43,43, . 
 
2. Seja ),( 33 yxw 

, então: 
)(4)(3),(),(, 321321323211 yyyxxxyyxxyxwvu 

 
wuvuyyxxyyxxwvu

 )43()43(, 31312121 . 
3. )()43()(4)(3),(),x(, 212121212211 vuyyxxyyxxyxyvu

  ; 
 
4. 04x3yy4x3x, 21
2
11111  yuu

 e 04x3
2
1
2
1  yuu

 se, e somente se, 
011  yx , isto é, 0)0,0(

u . 
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4 
Isto prova que a aplicação dada define um produto interno em V. Porém, esse produto interno 
é diferente do produto interno usual de 2IR , definido por: 2121, yyxxvu 

. 
2) Em relação ao produto interno usual de 2IR , calcule  vu

, , sendo dados: 
a) )2,5()4,3(  veu

 
b) )4,
2
1
()1,6(  veu

 
c) )0,0()3,2(  veu

 
Solução: 
a) 23)2(45)3(,  vu

 
b) 7)4(1)
2
1
(6,  vu

 
c) 0)0(3)0(2,  vu

 
 
Norma/Módulo de um vetor 
Dado um vetor v

 de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou 
comprimento de v

 o número real não-negativo, indicado por v

, definido por: 
 vvv

, 
Observe que se ),,( 111 zyxu 

 for um vetor do 3R com produto interno usual, tem-se: 
2
1
2
1
2
1111111 ),,(),,( zyxzyxzyxu 

 
Propriedades do Módulo de um vetor 
Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Então, as seguintes propriedades são válidas: 
I) 0v se, somente e se, ,0||,0||

 veVvv . 
II) RVvvv   ,,||||||  . 
III) Vvuvuvu   ,,|||||| . 
IV) Vvuvuvu   ,,|||||| . 
Distância entre dois vetores 
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5 
Chama-se distância entre vetores (ou pontos) u

 e v

 o número real representado por ),( vud

 
e definido por: 
||),( vuvud

 
Sendo ),,( 111 zyxu 

 e ),,( 222 zyxv 

 vetores do 3IR , com produto interno usual, tem-se: 
|),,(|||),( 212121 zzyyxxvuvud 

 
Ou 
2
21
2
21
2
21 )()()(),( zzyyxxvud 

 
 
Ângulo de dois vetores 
Sejam u

 e v

 vetores não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V. 
A desigualdade de Schwartz |||||,| vuvu   , pode ser escrita como: 
1
|,|


vu
vu


 O que implica: 1
,
1 


vu
vu


 
Por esse motivo, pode-se dizer que essa fração é o co-seno de um ângulo , denominado 
ângulo dos vetores u

 e v

: 
  0,,)cos(
vu
vu


 
Exemplos; 
1) Considere o 3IR com o produto interno usual. Determine a componente c do vetor 
),3,6( cv 

 tal que 7v

. 
Solução: 
24499367)3(6 22222  ccccv

 
2) Seja o produto interno usual no 3R . Determinar o ângulo entre os seguintes vetores: 
)5,1,2( u

 e )2,0,5(v

 
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6 
Solução: 
30)5(12 222 u
 
29205 222 v

 
010102)5(0152  vu

 
 
 
 Donde vem: 
 
 
0
2930
0
)cos( 




vu
vu


 
  
2
  rad. 
 
 
Exercícios Propostos 
1) Determinar o valor de m para que os vetores )3,,2(  mu

 e )4,2,1(  mv

 sejam 
ortogonais em relação ao produto interno usual do 3R . 
 
2) O conjunto )},2(),1,1{( bB  é uma base ortogonal de 2R em relação ao produto 
interno definido por: 
21212211 2),(),,( yyxxyxyx  
Calcule o valor de b e a partir de B, calcule uma base ortonormal. 
 
3) Considere o seguinte produto interno em 0011222 ,: bababaqpP 

, sendo 
01
2
2 axaxap 
 e 01
2
2 bxbxbq 
 . Dados os vetores 3221  xxp

, 
432  xp

 e 23 1 xp 
 , calcule: 
a)  21, pp

 b) 31 pep
 c) 21 pp

 d) 
2
2
p
p


 
e) co-seno do ângulo entre 31 pep

. 
 
4) Verifique, em cada um dos casos abaixo, se a aplicação definida representa ou não um 
produto interno no espaço vectorial V. 
a)     212122112 42,,,,, yyxxwueyxwyxuIRV  . 
b)       3322103322103 ,, tbtbtbbtqtatataatpIRPV  e 
33221100, babababaqp  . 
c) 2,22,2 ,, MBAMV  e  BAtrBA t, . 
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7 
d)    2221113 ,,,,,, zyxvzyxuIRV  e 2121, yyxxvu  . 
 
5) Sabe-se que 1 vu e 2 vu . Calcule o ângulo entre u e v. 
 
6) Para cada um dos casos seguintes, determinar: (i) vu, ; (ii) vu , e; (iii) o ângulo 
entre veu 
a) 3IRV  , com produtointerno usual,  1,2,1u e  2,4,3v . 
b) 2,2MV  , com produto interno  BAtrBA t, , 






124
21
A e 





 

34
18
B . 
 
7) Determine a distancia  vud , , em 3,3MV  , com produto interno  BAtrBA t, , 











111
654
321
u e 











222
100
121
v . 
 
8) Encontre as coordenadas de   21,1 IR com relação à base formada por 





2
2
2
2 , e 





 
2
2
2
2 , . 
 
9) Seja 






ac
ba
A ortonormal. Mostre que 122  ba e 







ac
ba
A ou 








ab
ba
A . 
 
Transformações lineares 
 
Lembre-se 
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8 
Função de A a B ( BAf : ) é definida como sendo uma aplicação que faz corresponder a 
cada elemento do conjunto de partida A (domínio) denominado objeto, um e um só elemento 
do conjunto de Chegada B, denominado imagem. 
)(;!,: xfyByAxBAf  
As funções podem serem injetivas, sobrejetivas ou bijectivas. 
Transformação linear de A a B ( BAT : ) 
Uma transformação linear é uma função cujo domínio e contradomínio são espaços vetoriais, 
tal que: 
1) Linear na soma:      212121, xTxTxxTAxx  
2) Linear na multiplicação por escalares:    xTxTIRAx   , 
 
Exemplo, 23: IRIRT  , dada por    0,,, zyxzyxT  é uma transformação linear 
porque o seu domínio e contradomínio são espaços vetoriais e observam as duas condições de 
transformações lineares. 
 
Núcleo de uma transformação linear BAT : , (  )()( TKerouTNuc 
É o conjunto de objetos de T cuja imagem é o vetor nulo do seu espaço de chagada, isto é, 
    0/)()(  xTAxTKerouTNuc 
Exemplo: 
 
Imagem de uma transformação linear BAT : , ( )Im(T ) 
É o conjunto de elementos do espaço de chegada de T que são imagens de pelo menos um dos 
objetos de T. Contradomínio de T. 
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9 
  yxTAxByTmI
BAT


)(;)(
:
 
Uma transformação linear BAT : é chamada singular se existir um elemento x de A não 
nulo para o qual 0)(

xT . Caso transforme apenas o vetor nulo em nulo, a transformação é 
dita não singular. 
 Exemplo: verificar se 34: IRIRT  é ou não singular, onde 


























tzyx
tzx
tzyx
t
z
y
x
T
33
2 caso for, determine a dimensão e uma base para Nuc(T). 
 
Operações com transformações 
1. Composição de transformações lineares 
Seja BAT :1 e DCT :2 duas transformações lineares. Define-se DATT  :12 
como sendo a aplicação que aplica cada objecto x de 1T obtendo uma imagem  )(12 xTT 
pertencente a D. observe que a aplicação DATT  :12 só é definida se CB  . 
 
 Exemplo: 
32
1 : IRIRT  e 
23
2 : IRIRT  definidas por    xyxyxyxT 2,,,1  e 
   xyzzyxzyxT  ,,,2 . 
 A aplicação 2212 : IRIRTT  será dada por 
      0,42,,, 212 xxyxyxTyxTT  
 
 
 
2. Matriz de transformação de uma transformação linear mn IRIRT : , ( tA ) 
Co
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10 
É uma matriz nm  que permite obter a imagem de qualquer objecto de T através da 
multiplicação à esquerda por esse objecto, isto é; 
tA é matriz de transformação de T se e só se   xAxTIRx tn  , . 
 
Exemplo: 
23: IRIRT  , dada por    zyxzyxzyxT 32,,,  





 

321
111
tA tal que     























 

zyx
zyx
z
y
x
zyxTIRzyx
32321
111
,,,,, 3 . 
 
3. Transformação linear composta e matrizes de transformação 
A matriz de transformação da transformação linear composta 12 TT  de duas transformações 
lineares T1 e T2, se existir, é o produto entre as matrizes de transformação de T2 e de T1, por 
esta ordem. 
Por exemplo, para as transformações 321 : IRIRT  e 
23
2 : IRIRT  definidas por 
   xyxyxyxT 2,,,1  e    xyzzyxzyxT  ,,,2 onde,     0,4,12 xyxTT  
temos: 











02
11
11
1tA , 






111
111
2tA e 




 00
04
12 ttA 
1212
02
11
11
111
111
00
04
tttt AAA 























 
4. Invertibilidade de uma transformação linear 
Seja mn IRIRT : uma transformação linear. As seguintes afirmações são equivalentes: 
 T é invertível; T é bijectiva;    nTNuc 0

 ;   nIRT Im ;   0det tA . 
Exercícios 
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11 
1. Seja 24: IRIRT  uma transformação linear tal que    1,1 uT ,    2,1vT e 
   1,3 wT . 
a) Calcule: 
i)  vuT 2 
ii)  vuT 3 
iii)  wvuT 4 
b) Determine  e  tais que    8,0  wuT  
 
2. Quais das seguintes transformações são lineares? 
a)    2121 ,, xxxxT  
b)    2121 ,1, xxxxT  
c)    1212121 ,2, xxxxxxT  
d)    3212121321 2,2,2,, xxxxxxxxxxT  
e)    32143214321 3,2,,, xxxxxxxxxxxT  
 
3. Obter a expressão geral da transformação linear T: IR³ IR² definida de tal modo que 
T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma geral, obtenha 
o vetor v em IR³, tal que T(v)=(1,2). 
4. Obter expressão geral da transformação linear T: IR³ IR² tal que T(1,0,0)=(1,0), 
T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7). 
5. 
6. A transformação linear IPIPT : , entre o espaço de todos os polinómios IP e ele 
próprio, é dada por     ttptpT  . 
a) Calcule  32 2345 tttT  . 
b) Mostre que T é uma transformação linear. 
 
7. Seja    IRaataaIRIP  10101 ,; o espaço dos polinómios de grau não superior a 
1. A transformação    ,: 11 IRIPIRIPT  entre  IRIP1 e ele próprio, é dada por 
  tbbtaaT 1010  em que 



















1
0
1
0
11
11
a
a
b
b
. 
a) Calcule  tT 21 . 
b) Determine 0a e 1a tais que   ttaaT  110 . E tais que   ttaaT 2110  . 
c) Mostre que T é uma transformação linear 
 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
12 
8. Considere as aplicações lineares 23: IRIRS  e 32: IRIRT  definida por 
   zxzyxzyxS  ,43,, e    yxyxyxyxT 63,52,4,  . Determine a 
representação matricial de TS e de ST . 
 
9. Seja 34: IRIRF  a aplicação linear definida por 
 tsyxtsxtsyxtsyxF 33,2,),,,(  . 
a) Ache uma base e a dimensão do ImF. 
b) Ache uma base e dimensão do NucF. 
 
10. Seja 22: IRIRF  definida por  yxyxyxF 43,52),(  . 
a) Escreva F em notação matricial, isto é,   AXXF  . 
b) Referindo aos novos eixos coordenados s e t de 2IR e usando  ttsY , , 
determine   BYtsF , , onde 1 AB . 
 
 
Autovalores e autovectores 
 
Operadores lineares 
É uma transformação linear na qual o contradomínio é o mesmo espaço vetorial V, isto é, 
VVT : . 
Define-se um autovector 0,  vVv do operador T se existir IR , denominado autovalor 
(valor próprio) tal que: 
  vvT  
Exemplo: 
Seja 22: IRIRT  tal que    yxyxyxT  2,54, . Verifique se  2,5v é um 
autovector de T. 
Por definição, v é autovector de T se   vvT  ! 
       
    64,562,5
12,30252,25542,5







T
TvT
 logo,  2,5v é um autovector 
de T associado ao autovalor 6 . 
 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
13 
Seja nn IRIRT : um operador linear tal que   AvvT  onde A é uma representação 
matricial de T de ordem n. por definição de operadores lineares, se IRv  0 tal que 
 
  vAvAvvT
masvvT







! O que equivale a 00  IvAvvAv  conduzindo-nos 
ao sistema linear homogéneo   0 vIA  
Para que o sistema homogéneo anterior tenha soluções não nulas, é necessário que 
  0det  IA  . A esta equação denomina-se equação característica da matriz A e as raízes  
são os Autovalores da matriz A. O determinante é um polinómio na variável  , denominado 
polinómio característico e denotado por    IAPn   det . 
Para determinar os autovectores associados aos autovalores  recorre-se a equação 
vAv  . 
 
Exemplo: 
Seja 22: IRIRT  dada por 













yx
yx
y
x
T
23
2
. Vamos encontrar uma representação 
matricial e determinar os respetivos autovectores de 2IR . 
Como 













yx
yx
y
x
T
23
2
 então 






y
x
v e 






23
21
A tal que   












y
x
AvvT
23
21
. 
O sistema homogéneo   0 vIA  será 
0
23
21
0
0
10
01
23
21












































y
x
y
x


 
O polinómio característico será:   43
23
21
det 2 


 


IA e, a equação 
característica 0432   . A resolução desta equação, conduz-nos aos seguintes 
autovalores da matriz A: 11  e 42  
Encontremos agora, os respectivos autovectores associados a estes autovalores. Para isso, 
lembremos que 




















0
0
23
21
y
x


; 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
14 
1) Para 






































033
022
0
0
33
22
0
0
33
22
11 yx
yx
yx
yx
y
x
 donde 
concluímos que yxyx  022 e yy  . Assim, o vector associado a este 
autovalor será 

















1
1
1
1
1vyy
y
. 
 
2) Para 








































023
023
0
0
23
23
0
0
23
23
42 yx
yx
yx
yx
y
x
 donde 
concluímos que yxyx
3
2
023  e yy  . Assim, o vector associado a este 
autovalor será 
































1
3
2
1
3
2
3
2
2vy
y
y
. 
 Observe que   111 1
1
1
1
1
1
1
vTvT 


















 enquanto que 
  222
1
3
2
4
4
3
8
1
3
2
vTvT 
































 
 
Diagonalização 
 
Sabemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação dessas 
matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imaginemos que essas 
matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, então devemos 
encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e assim ganhar em 
tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplificação 
consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, e a esse 
processo chamamos de diagonalização de matrizes. 
 
Por definição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz P , 
invertível, tal que: 
APPB 1 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
15 
Então, se encontrarmos a matriz P , estamos encontrando a matriz que diagonaliza A , e B
será uma matriz diagonal. 
 
Matriz diagonal 
Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando as 
matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A 
é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A : 
APPDB 1 
 
se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, enato basta encontrarmos os 
autovalores da matriz A , porem, muitos problemas requerem encontrar a matriz que 
diagonaliza A , uma vez que essa simplificação na matriz de trabalho implica em uma mudança 
de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original 
necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas. 
 
Matriz que diagonaliza a matriz A 
Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A , devemos encontrar os autovectores da matriz 
A ,  nvvv .,..,, 21 , e montar a matriz P com os autovectores por coluna. 
É preciso ter em conta que os autovectores não devem ser linearmente dependentes, pois a 
matriz P deve ser imersível. Portanto, se os autovectores forem linearmente independentes e 
a quantidade de autovectores for igual à ordem da matriz A , então dizemos que A é 
diagonalizável. 
 
Exemplo: 
Encontre a matriz que diagonaliza 






23
21
A . 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
16 
Os autovalores desta matriz foram calculadas anteriormente como 11  e 42  cujos 
respectivos autovectores são: 







1
1
1v e 











1
3
2
2v . Verificando se os autovectores são LI temos: 











 









 





















 
0
3
5
0
0
3
2
1
~
011
0
3
2
1
0
0
11
3
2
1
2
1
k
k
 logo, a partir da ultima equação, 
não existe nenhuma outra possibilidade para 2k se nao zero para que 03
5
2 k ! 
Consequentemente, se 02 k entao, a primeira so sera verdadeira se 021  kk , isto é, 1v 
e 2v sao LI. 
Assim, a matriz P será 











11
3
2
1
P cuja inversa é 


























5
3
5
3
5
2
5
3
11
3
2
1
5
31P . 
Portanto, a matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A será 


























































 
40
01
41
3
8
1
5
3
5
3
5
2
5
3
11
3
2
1
23
21
5
3
5
3
5
2
5
3
1 　　APPD . 
 
 
 
Diagonalização ortogonal de matrizes 
 
Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes ocorre quando a matriz que 
diagonaliza A é uma matriz ortogonal: 
1 PPt 
Ou seja, quando os vectores linhas e colunas de P forem ortonormais entre si. 
A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para outro 
ocorra sem perda de proporções. Portanto, se houver uma matriz P , tal que 
APPAPPD t 1 , então dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável. 
Co
m
pi
la
do
 p
ar
a 
Á
lg
eb
ra
 L
in
ea
r 
II,
 L
ic
en
ci
at
ur
a 
em
 M
at
em
át
ic
a 
 
 
 
17 
Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma 
matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então: 
Se AAt  (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente. 
O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o mesmo 
do processo de diagonalização convencional, porem quando encontramos os autovectores LI, 
estes devem ser ortonormais e, caso não sejam ortogonais, aplicamos o processo de Gram-
Schmidt e depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P . 
Exemplo: 
Encontre a matriz que diagonaliza 











101
000
101
A ortogonalmente. 
 
 
Exercícios 
1. Determine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre a matriz que 
diagonaliza A . 
 
 
2. Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afirmativo, 
encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente.