Exercício de Análise Real - Função Lipschitziana

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shichibukai

16/12/2017

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Exerc´ıcio 1 Seja f : [a, b]→ R integra´vel. Prove que a func¸a˜o F : [a, b]→ R, definida por
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt, e´ lipschitziana.
Resoluc¸a˜o:
Para x, y ∈ [a, b],
|F (x)− F (y)| =
∣∣∣∣ ∫ x
a
f(t)dt−
∫ y
a
f(t)dt
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− (− ∫ x
a
f(t)dt+
∫ y
a
f(t)dt
)∣∣∣∣
=
∣∣∣∣− (∫ a
x
f(t)dt+
∫ y
a
f(t)dt
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ a
x
f(t)dt+
∫ y
a
f(t)dt
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ y
x
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ y
x
|f(t)|dt
≤M.|x− y|,
onde M = sup{|f(t)|; t ∈ [a, b]}.
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