Prova Calculo E

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UFBA - Departamento de Matema´tica
Prova 4 - MATA06: Ca´lculo E
Professor: Henrique Barbosa da Costa
Nome:
Matr´ıcula
Data: 04/09/2017
Questa˜o Nota Valor
1 2,0
2 2,0
3 2,0
4 2,0
5 2,0
Total 10,0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova.
Boa prova!
Questa˜o 1 Calcule o valor da integral tripla
∫∫∫
B
√
x2 + y2 + z2 dxdydz, onde B e´ o conjunto
dado por B = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 ≤ 1 e z ≥ 0}
Questa˜o 2 Calcule o volume do so´lido que se encontra acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo
da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Questa˜o 3 Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
σ
zdS, em que σ e´ a parte do paraboloide z =
x2 + y2 abaixo do plano z = 4.
Questa˜o 4 Calcule o fluxo
∫∫
σ
~F · ~ndS, onde ~F (x, y, z) = x~i + y~j + z2~k, σ e´ a fronteira do
cilindro B = {(x, y, z);x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} e ~n e´ a normal apontando para fora de B.
Questa˜o 5 Calcule a a´rea da parte da superf´ıcie z = xy, que esta´ dentro do cilindro x2+y2 = 1.
Lembretes
As coordenadas esfe´ricas:

x = ρ senϕ cos θ,
y = ρ senϕ sen θ,
z = ρ cosϕ.
As coordenadas cil´ındricas:

x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ,
z = z.
Uma superf´ıcie S e´ a imagem de uma aplicac¸a˜o σ : K → R3, em que K e´ compacto de
R2. De modo mais geral, uma superf´ıcie S e´ a unia˜o de superf´ıcies Si, i = 1, . . . , n, que se
interceptam apenas na fronteira.