tema 5 1

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05/01/2024, 16:10 Estácio: Alunos
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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies
bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral ∫π0∫
π
0∫
π
0cos(u + v + w)dudvdw.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS TRIPLAS
 
1.
2π.
π
2 .
0.
π.
3π
2 .
Data Resp.: 05/01/2024 16:06:04
Explicação:
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao u:
∫π0∫
π
0∫
π
0cos(u + v + w)dudvdw = ∫
π
0∫
π
0[sen(u + v + w)]
u= π
u= 0
dvdw
Como a derivada de sen(u + v + w) pela regra da cadeia é:
(sen(u + v + w))′ = cos(u + v + w) ⋅ (u + v + w)′ = cos(u + v + w) ⋅ (1 + 0 + 0) =
= cos(u + v + w)
Voltado a integral:
|
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
05/01/2024, 16:10 Estácio: Alunos
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A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de  
∭Ex
2dV, sabendo que E  compreende a região contida dentro do cilindro  x2 + y2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo
do cone  z2 = 4x2 + 4y2.
= ∫π0∫
π
0[sen(u + v + w)]
u= π
u= 0
dvdw = ∫π0∫
π
0sen(u + v + w) − sen(v + w)dvdw
Segundo, integrando em relação ao v:
∫π0∫
π
0[sen(u + v + w) − sen(v + w)]dvdw = ∫
π
0[ − cos(π + v + w) + cos(v + w)]
v= π
v= 0
dw =
= ∫π0[ − cos(2π + w) + cos(π + w) − ( − cos(π + w) + cos(w))]dw =
= ∫
π
0 − cos(2π + w) + 2cos(π + w) − cos(w)dw
Terceiro, integrando em relação ao w:
∫
π
0 − cos(2π + w) + 2cos(π + w) − cos(w)dw = [ − sen(2π + w) + 2sen(π + w) − sen(w)]|
w= π
w= 0 =
= [ − sen(3π) + 2sen(2π) − sen(π) − ( − sen(2π) + 2sen(π) − sen(0))] =
Sabendo que sen(kπ) = 0  para qualquer k ∈ Z
Logo:
sen(3π) = sen(2π) = sen(π) = sen(0) = 0
Portanto,
= [ − sen(3π) + 2sen(2π) − sen(π) − ( − sen(2π) + 2sen(π) − sen(0))] = 0
Logo, 
∫π0∫
π
0∫
π
0cos(u + v + w)dudvdw = 0
 
2.
5π
2 .
π
5 .
2
5 .
2π
5 .
π.
Data Resp.: 05/01/2024 16:06:45
Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
(x, y, z) → (r, θ, z)
x = rcosθ
y = rsenθ
z = z
De�nindo os limites de integração: 
Sabemos que x = rcosθy = rsenθ e que a região está dentro do cilindro  x2 + y2 = 1, logo:
|
|
{
05/01/2024, 16:10 Estácio: Alunos
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Determine o volume do sólido de�nido pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos planos x = 4, z
= 6 e z = 0. 
x2 + y2 ≤ 1
(rcosθ)2 + (rsenθ)2 ≤ 1
r2 cos2θ + sen2θ
⏟
1
≤ 1
0 ≤ r ≤ 1
Como a região está entre o plano z = 0 e abaixo do cone  z2 = 4x2 + 4y2, temos:
0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4(rcosθ)2 + 4(rsenθ)2
0 ≤ z2 ≤ 4r2 cos2θ + sen2θ
⏟
1
0 ≤ z ≤ 2r
Como não temos restrição para o ângulo  θ:
0 ≤ θ ≤ 2π
Montando a integral,
∭Ex
2dV = ∫2π0 ∫
1
0∫
2r
0 (rcosθ)
2rdzdrdθ
Calculando a integral, temos:
∭Ex2dV = ∫
2π
0 ∫
1
0∫
2r
0 (rcosθ)
2rdzdrdθ
⏟
dV
= ∫
2π
0 ∫
1
0∫
2r
0 r
3cos2θdzdrdθ
= ∫2π0 ∫
1
02r
4cos2θdrdθ = 2
r5
5
1
0
⏟
2
5
⋅
θ + senθ + cosθ
2
2π
0
⏟
π
=
2π
5
Logo,
∭Ex
2dV =
2π
5
 
3.
64
128
32
256
16
Data Resp.: 05/01/2024 16:07:38
Explicação:
A resposta correta é: 64.
 
4.
( )
( )
( )| ( )|
05/01/2024, 16:10 Estácio: Alunos
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Determine o valor da integral ∭V 64z dxdydz, onde V está contido na região de�nida por 
(r, φ, θ) ∈ R3 / 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤
π
4 e 0 ≤ φ ≤
π
4 .  
Seja o sólido limitado pelos planos z = 9 e pelo paraboloide z = 25 − x2 − y2. Sabe-se que sua
densidade volumétrica de massa é dada pela equação δ (x, y, z) = x2y2. Marque a alternativa que
apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o
volume  ∭E√x2 + y2dV, sabendo que E  compreende a região contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os
planos z = − 5 e  z = 4.
25π
15π
30π
10π
20π
Data Resp.: 05/01/2024 16:08:01
Explicação:
A resposta correta é: 15π
 
5.
4
∫
− 4
√16 − x2
∫
−√16 − x2
25 − x2 − y2
∫
9
 x2y2dxdydz
4
∫
0
√16 − x2
∫
−√16 − x2
25 − x2 − y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
0
√16 − x2
∫
0
25 − x2 − y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
− 4
√16 − x2
∫
−√16 − x2
25 − x2 − y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
5
∫
− 5
√16 − x2
∫
−√16 − x2
25 − x2 − y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dxdydz
Data Resp.: 05/01/2024 16:08:10
Explicação:
A resposta correta é: 
4
∫
− 4
√16 − x2
∫
−√16 − x2
25 − x2 − y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
 
6.
384π.
{ }
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Marque a alternativa que apresenta a integral ∭V e
( x2 + y2 )3 / 2dV em coordenadas cilíndricas, onde
V é o sólido limitado inferiormente pelo cone  z2 = x2 + y2 e superiormente pelo paraboloide 
z = 4 − x2 − y2
 
184π.
484π.
284π.
84π.
Data Resp.: 05/01/2024 16:08:52
Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
(x, y, z) → (r, θ, z)
x = rcosθ
y = rsenθ
z = z
De�nindo os limites de integração:
Sabemos que x = rcosθ e que y = rsenθ , e que a região está dentro do cilindro x2 + y2 = 16 , logo:
x2 + y2 ≤ 16
(rcosθ)2 + (rsenθ)2 ≤ 16
r2 cos2θ + sen2θ
⏟
0 ≤ r≤ 4
≤ 42
Como não temos restrição para o ângulo θ:
0 ≤ θ ≤ 2π
Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é (r):
∭E√x2 + y2dV = ∫4− 5∫2π0 ∫40(r)rdrdθdz
⏟
dV
Calculando a integral, temos:
∫
4
− 5∫
2π
0 ∫
4
0r
2drdθdz = ∫
4
− 5∫
2π
0
r3
3
4
0
dθdz = ∫
4
− 5∫
2π
0
64
3
dθdz = ∫
4
− 5
64
3
θ
2π
0
dz = ∫
4
− 5
64
3
(2π)dz =
= ∫
4
− 5
128π
3
dz =
128π
3
z
4
− 5
=
128π
3
(4 + 5) = 384π
Logo, ∭E√x2 + y2dV = 384π
 
7.
π
∫
0
1
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 ρeρ
3
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 ρ3 dzdρdθ
{
( )
| |
|
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As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e
a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos
planos coordenados e pelo plano  x + y + z = 2, sabendo que a densidade do sólido é   ρ(x, y, z) = 2x.
2π
∫
0
4
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 eρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 ρ2eρ
3
 senθ dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
Data Resp.: 05/01/2024 16:09:17
Explicação:
A resposta correta é: 
2π
∫
0
2
∫
0
4 − x2 − y2
∫
√x2 + y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
 
8.
2
3 .
4
3 .
5
3 .
1.
1
3 .
Data Resp.: 05/01/2024 16:09:30
Explicação:
Desenhando os limites de integração:
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A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia.
Determine o centro de massa do cubo  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, cuja densidade no ponto (x, y, z) é 
ρ(x, y, z) = x.
Onde
0 ≤ x ≤ 2
Para entender isso, vamos olhar o plano xy , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta  y = 2 − x .Para
um ponto (x,y)  determinado, a variável z, varia:
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
A massa é dada por:
m = ∭Wρ(x, y, z)dV = ∭W2xdV = ∫
2
0∫
2 − x
0 ∫
2 − x− y
0 2xdzdydx = ∫
2
0∫
2 − x
0 2xz
2 − x− y
0
dydx =
= ∫20∫
2 − x
0 2x(2 − x − y)dydx = ∫
2
0∫
2 − x
0 4x − 2x
2 − 2xy dydx = ∫20 4x − 2x2 − 2x
y2
2
2 − x
0
dx
= ∫20 4x − 2x2 −2x
(2 − x)2
2
dx = ∫20 x3 − 4x2 + 4x dx =
x4
4
−
4x3
3
− 2x2
2
0
=
4
3
Logo,
m =
4
3
 
9.
1
2 ,
1
2 ,
1
2 .
1
2 ,
2
3 ,
1
2 .
2
3 ,
2
3 ,
1
2 .
|
( ) ( ( )) |
( ( )) ( ) ( )|
( )
( )
( )
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2
3 ,
1
2 ,
1
2 .
2
3 ,
2
3 ,
2
3 .
Data Resp.: 05/01/2024 16:09:41
Explicação:
As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
x̄ =
Myz
m ; ȳ =
Mxz
m ; z̄ =
Mxy
m
Onde M  são os momentos e m  é a massa total do sólido. 
Calculando a massa  m, para um cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
m = ∭Wρ(x, y, z)dV = ∭WxdV = ∫
1
0∫
1
0∫
1
0xdxdydz = ∫
1
0∫
1
0
x2
2
1
0
dydz =
1
2 ∫
1
0∫
1
0dydz =
m =
1
2 ∫
1
0y
1
0
dz =
1
2 ∫
1
0dz =
1
2
z
1
0
=
1
2
Calculando os momentos:
Myz = ∭Wxρ(x, y, z)dV = ∭Wx2dV = ∫
1
0∫
1
0∫
1
0xdxdydz = ∫
1
0∫
1
0
x3
3
1
0
dydz =
1
3 ∫
1
0∫
1
0dydz =
1
3
Mxy = ∭Wzρ(x, y, z)dV = ∭WxzdV = ∫
1
0∫
1
0∫
1
0xzdxdzdy = ∫
1
0∫
1
0
x2
2
z
1
0
dzdy =
1
2 ∫
1
0∫
1
0zdzdy =
=
1
2 ∫
1
0
z2
2
1
0
dy =
1
4 ∫
1
0dy =
1
4
Mxz = ∭Wyρ(x, y, z)dV = ∭WxydV = ∫
1
0∫
1
0∫
1
0xydxdzdy = ∫
1
0∫
1
0
x2
2
y
1
0
dydz =
1
2 ∫
1
0∫
1
0ydydz =
=
1
2 ∫
1
0
y2
2
1
0
dz =
1
4 ∫
1
0dz =
1
4
Voltando para o cálculo do centro de massa:
x̄ =
Myz
m =
1 / 3
1 / 2 =
2
3
ȳ =
Mxz
m
=
1/4
1/2
=
1
2
z̄ =
Mxy
m
=
1/4
1/2
=
1
2
Logo,
(x̄, ȳ, z̄) =
2
3 ,
1
2 ,
1
2
 
10.
( )
( )
|
| |
|
|
|
|
|
( )
05/01/2024, 16:10 Estácio: Alunos
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Determine o valor de 
1
∫
3
1
∫
− 1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
70
30
60
50
40
Data Resp.: 05/01/2024 16:09:58
Explicação:
A resposta correta é: 40
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 05/01/2024 16:05:49.