CÁLCULO IV - AULA 2 1 - Exercícios

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CÁLCULO IV
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1408_A2_201907231821_V2
	
	
	
	
		Aluno: THIAGO MENDONÇA DA SILVA
	Matr.: 201907231821
	Disc.: CÁLCULO IV 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z.
	
	
	
	Será (17 ππ) / 8 u.m
	
	
	7 ππ u.m
	
	
	ππ u.m
	
	
	2ππ/3  u.m
	
	
	2ππ u.m
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x  está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4  e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4  e  1≤y≤21≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ?
	
	
	
	A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6
	
	
	A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4
	
	
	A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
	
	
	A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4
	
	
	A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2
	
Explicação:
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4  e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy:
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos  3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz.
	
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	2.5
	
	
	1
	
	
	1.5
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	45
	
	
	23/35
	
	
	1/3
	
	
	216/35
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou seja, eu onde  u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e  0<= y <= x
	
	
	
	e - 1
	
	
	e
	
	
	 (e−1)2(e−1)2
	
	
	1/2
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
Explicação:
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de  y temos  ∫10xex2dx∫01xex2dx
chame u = x2  e du = 2x dx
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
	
	
	
	3π53π5
	
	
	2 ππ
	
	
	​7π37π3​
	
	
	​2π32π3​
	
	
	8π8π
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
	
	
	
	5 u.v
	
	
	1 u.v
	
	
	4 u.v
	
	
	10 u.v
	
	
	9 u.v
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
	
	
	
	22
	
	
	30
	
	
	56
	
	
	36
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
	 
	Não Respondida
	 
	 
	 Não Gravada
	 
	 
	Gravada