PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO E DIC 2017 1 POS

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CAP I - INTRODUÇÃO À EXPERIMENTAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO 
 
A experimentação tem por objetivo o estudo dos experimentos, isto é, 
seu Planejamento, execução, análise dos dados obtidos e 
interpretação dos resultados. 
O planejamento do experimento constitui a etapa inicial de qualquer 
trabalho, e, portanto, um experimento também deve se devidamente 
planejado, de modo a atender aos interesses do experimentador e às 
hipóteses básicas necessárias para validade da análise estatística. 
Frequentemente, o estatístico é consultado para tirar conclusões com 
base em dados experimentais. 
Considerando que essas conclusões dependem da forma como foi 
realizado o experimento, o estatístico solicitará uma descrição 
detalhada do experimento e de seus objetivos e com relativa 
frequência, ocorrem casos em que, após a descrição do experimento, 
o estatístico verifica que não pode chegar a nenhuma conclusão, 
tendo em vista que o experimentador ou não utilizou um delineamento 
adequado, ou não atendeu às hipóteses básicas necessárias para a 
validade da análise estatística. 
Para evitar que o experimentador perca tempo ou recursos, é 
essencial o planejamento adequado do experimento. 
 
 
 
ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS 
 
a) Experimento ou ensaio: é um trabalho previamente planejado, 
que segue determinados princípios básicos e no qual se faz a 
comparação dos efeitos dos tratamentos. 
b) Fator: aquilo que se aplica em um ensaio de uma forma não 
homogênea, por exemplo, cultivar, quando se testam várias delas; 
adubação, ao se compararem diversas formulações, etc. 
c) Nível: as diferentes manifestações de um fator, por exemplo: as 
doses de adubação empregadas, os espaçamentos utilizados, as 
cultivares/linhagens que se testam, marcas de pneus, etc.. 
d) Tratamento: cada um dos níveis de um fator ou cada uma das 
combinações dos níveis dos fatores, quando testado mais de um 
fator. É o método, elemento ou material cujo efeito deseja medir ou 
comparar em um experimento. 
e) Unidade Experimental: é a unidade que vai receber o tratamento e 
fornecer os dados que deverão refletir o seu efeito. Pode ser uma 
área de solo, um vaso, um animal, a posição de montagem de um 
pneu, etc. 
f) Delineamento experimental: é o plano utilizado na 
experimentação e implica na forma como os tratamentos serão 
designados às unidades experimentais e em um amplo 
entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados 
estiverem disponíveis. 
g) Esquema: quando em um mesmo experimento são avaliados dois 
ou mais fatores cada um com dois ou mais níveis, que podem ser 
combinados de maneiras diferentes. O esquema é justamente a 
maneira utilizada pelo pesquisador ao combinar os níveis dos 
fatores para obter os tratamentos. Exemplos: Esquema Fatorial e 
Esquema em Parcelas subdivididas. 
h) Variável resposta: é a variável mensurada usada para avaliar o 
efeito de tratamentos. Ex.: produtividade, massa seca, etc.. 
i) Erro experimental: é o efeito de fatores que atuam de forma 
aleatória e que não são passíveis de controle pelo experimentador. 
A pesquisa científica está constantemente se utilizando de 
experimentos para provar suas hipóteses. É claro que os 
experimentos variam de uma pesquisa para outra, porém, todos eles 
são regidos por alguns princípios básicos, necessários para que as 
conclusões que venham a ser obtidas se tornem válidas. 
 
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO 
São três os princípios básicos da experimentação: repetição, 
casualização e controle local. 
 
PRINCÍPIOS DA REPETIÇÃO: 
Consiste em ter várias parcelas com o mesmo nível do fator 
(tratamento), com isso, procura-se confirmar a resposta que o 
individuo (material) dá a um determinado nível do fator (tratamento), e 
tem por finalidade propiciar a obtenção de uma estimativa do erro 
experimental. 
Quanto maior é o número de repetições, maior será a precisão do 
experimento. Porém esta relação vale até determinado número de 
repetições, pois depois daquele número, o incremento na precisão não 
é significativo. 
Não existe uma regra dizendo qual deve ser o número de repetições. 
Isto depende do conhecimento do pesquisador sobre o assunto e do 
conjunto de condições em que será realizado o experimento. 
O número de repetições necessários pode ser calculado através de 
fórmulas. A aplicação de tais fórmulas exige, no entanto, que o 
pesquisador tenha informações estatísticas de experimentos 
anteriores, o que, em geral, não acontece. 
O número de repetições dos níveis do fator (tratamentos) de um 
experimento está na dependência de vários fatores, dos quais o mais 
importante é, o nível de precisão desejado. 
Como regra prática, aplicável a uma grande maioria dos ensaios, 
recomenda-se que devem ter pelo menos 20 parcelas e 12 graus de 
liberdade para o resíduo. 
 
PRINCÍPIOS DA CASUALIZAÇÃO 
Consiste em distribuir dos níveis dos fatores (tratamentos) pelas 
parcelas através de sorteio, com isso, tem por finalidade propiciar, a 
todos os níveis (tratamentos), a mesma chance de serem designados 
a qualquer das unidades experimentais, evitando assim que nenhum 
dos níveis (tratamentos) seja sistematicamente favorecido ou 
desfavorecido por fatores externos. 
O princípio da casualização se faz necessário para que as variações 
que contribuem para o erro experimental sejam convertidas em 
variáveis aleatórias. Além disso, a casualização: 
a) Permite obter uma estimativa válida do erro experimental; 
b) Garante o uso de testes de significância por tornar os erros 
experimentais independentes; 
Vale ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da 
casualização não existe experimentação. 
 
PRINCÍPIO DO CONTROLE LOCAL 
É usado quando a área ou material experimental é heterogêneo. Neste 
caso, a área ou material experimental é subdividido em áreas ou lotes 
menores e homogêneos, de modo, a tornar o delineamento 
experimental mais eficiente, pela redução do erro experimental. 
A utilização do princípio do controle local sempre conduz a uma 
redução do número de graus de liberdade do resíduo, o que causa 
uma desvantagem. Entretanto, essa desvantagem geralmente é 
compensada, pois ocorrerá também uma redução na soma de 
quadrados do resíduo obtendo-se, assim, maior precisão para o 
experimento, pois há uma redução na variância residual, devido ao 
fato de se isolar o efeito dos fatores que normalmente seriam incluídos 
no resíduo. 
A formação dos blocos corresponde a uma estratificação e a 
casualização dos níveis (tratamentos) às unidades experimentais sofre 
a restrição de ser dentro de cada bloco. 
Poderá haver grande variação de um bloco para os outros, isto não 
importa, o que importa é que cada bloco seja tão uniforme quanto 
possível. 
 
FONTES DE VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
Como a principal função dos delineamentos experimentais é controlar 
as fontes de variação, veremos os tipos de fontes de variação que 
ocorrem: 
PREMEDITADA 
É aquela introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer 
comparações. Por exemplo: níveis dos fatores (tratamentos). 
SISTEMÁTICA 
Variações não intencionais, mas de natureza conhecida. Variação 
inerente ao material experimental. Podem ser controladas pelo 
pesquisador. Por exemplo: heterogeneidade do solo, tamanho de 
semente, etc... . 
ALEATÓRIA 
São variações de origem desconhecida, não podendo ser controladas. 
Constituem o erro experimental. São devidas a duas fontes: variações 
no material experimental e falta de uniformidade nas condições 
experimentais. Nem sempre é possível distinguir claramente este tipo 
de variação da anterior. 
 
RELAÇÃO ENTRE OS PRINCÍPIOSBÁSICOS DA 
EXPERIMENTAÇÃO E OS DELINEAMENTOS 
Fischer desenvolveu a técnica denominada análise de variância, que 
teve grande repercussão na pesquisa científica. Esta técnica consiste 
na decomposição do número de graus de liberdade e da variância total 
de um material heterogêneo em partes atribuídas a causas conhecidas 
e independentes (fatores controlados), e a uma porção residual de 
origem desconhecida e de natureza aleatória (fatores não 
controlados). 
Em outras palavras, a técnica da análise de variância é a que permite 
fazer partições número de graus de liberdade e das somas de 
quadrados, com cada uma das partes nos proporcionando uma 
estimativa de variância, denominada de quadrado médio. 
Para podermos utilizar a metodologia estatística nos resultados de um 
experimento, é necessário que o mesmo tenha considerado pelo 
menos os princípios da repetição e da casualização, a fim de que 
possamos obter uma estimativa válida para o erro experimental, que 
nos permite a aplicação dos testes de significância. 
Ao fazer um experimento considerando apenas esses dois princípios, 
ou seja, da repetição e da casualização, sem utilizar o principio do 
controle local, temos o delineamento inteiramente casualizado. Neste 
delineamento, que só deve ser utilizado quando tivermos absoluta 
certeza de homogeneidade das condições experimentais, as parcelas 
que receberão cada um dos tratamentos são distribuídas de forma 
inteiramente casual e por meio de sorteio. 
Se as condições experimentais não forem homogêneas, devemos 
utilizar o principio do controle local, estabelecendo então os blocos. O 
delineamento experimental assim obtido é denominado delineamento 
em blocos casualizado. Neste caso, devemos isolar mais uma causa 
de variação conhecida (fator controlado), que são os blocos. 
 
 
CAP II - DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) 
 
INTRODUÇÃO 
 
Este delineamento apresenta como característica principal a 
necessidade de homogeneidade de ambiente para todas as unidades 
experimentais. 
É o tipo de delineamento mais simples que existe. A distribuição dos 
níveis dos fatores (tratamentos) às unidades experimentais é feita 
completamente ao acaso, ou seja, não é feita nenhuma restrição na 
casualização. 
Este é o delineamento básico, os demais se originam dele pela 
imposição de restrições (controle local). Envolve dois princípios 
básicos da experimentação: repetição e casualização. 
É indicado quando as condições experimentais são homogêneas, no 
caso da agricultura, estas condições homogêneas são mais facilmente 
encontráveis em laboratórios, casas de vegetação ou telados, 
câmaras de crescimento ou em canteiros; e, na pecuária, em 
maternidades, aviários ou criatórios com controle do ambiente. 
Para a instalação desses experimentos no campo, deve-se ter certeza 
da homogeneidade da área, das condições do ambiente e do material. 
Este delineamento apresenta as seguintes vantagens, em relação a 
outros delineamentos: 
a) É um delineamento bastante flexível visto que, pode-se usar 
qualquer número de tratamentos e repetições, sendo que o 
número de repetições pode variar de um tratamento para 
outro sem que isto venha dificultar a análise. No entanto, 
sempre que possível, deve-se usar o mesmo número de 
repetições. 
b) Apresenta maior número de graus de liberdade associado ao 
resíduo em relação a outros delineamentos. 
c) A análise estatística é simples, mesmo quando o número de 
repetições por tratamento é variável. 
Também apresenta as seguintes desvantagens, em relação a outros 
delineamentos: 
a) Exige homogeneidade total das condições experimentais. 
b) Pode conduzir a uma estimativa de variância residual 
bastante alta, uma vez que, não se utilizando o princípio do 
controle local, todas as variações exceto as devidas a 
tratamentos, são consideradas como variação do acaso. 
 
MODELO ESTATÍSTICO 
Para todos os delineamentos que serão estudados nesta disciplina, 
será lançado um modelo estatístico. Este modelo estatístico visa 
identificar que fatores estão influenciando a variável em estudo. 
 Para o DIC tem-se o seguinte modelo: 
 Yik = m + ti + eik i = 1, 2, ....., I; k = 1, 2, ....., K 
em que: 
Yik = é o valor observado para a variável em estudo referente ao 
i–ésimo do nível do fator (tratamento) na k–ésima repetição; 
m = média de todas a unidades experimentais para a variável em 
estudo; 
ti = é o efeito do particular do nível do fator (tratamento) i no 
valor observado Yik; 
eik = é o erro associado a observação Yik ou seja, é o efeito das 
variações de origem desconhecidas e/ou conhecidas, não 
controlados na parcela; eik = Yik - mi 
Obs.: O erro se deve ao fato de não ser possível controlar todas as 
condições experimentais. O erro experimental se refere às 
variações observadas entre as repetições do mesmo tratamento. 
 
ESQUEMA DE CASUALIZAÇÃO DOS TRATAMENTOS 
Seja um experimento com 5 tratamentos (A, B, C, D, E) e 4 repetições 
(20 parcelas) 
 A B D E 
B A C D 
E A B C 
D E A B 
C E D C 
 
 
QUADRO DE TABULAÇÃO DOS DADOS 
A título de exemplo, considere um experimento instalado no DIC com I 
tratamentos e K repetições. A coleta de dados da pesquisa pode ser 
resumida, num quadro do tipo a seguir: 
 
 
 
 Tratamentos 
Repetições 1 2 3 ........ I 
1 Y11 Y21 Y31 ...... YI1 
2 Y12 Y22 Y32 ...... YI2 
..... ...... ...... ...... ...... ...... 
K Y1K Y2K Y3K ...... YIK 
Totais T1 T2 T3 ...... TI 
 
 
Deste quadro pode-se retirar algumas informações de interesse: 
 
 No de unidades experimentais: N = I x K 
 Total geral: 





I
1i
i
I,
1k 
1i
ik TYG
K 
 Total para o tratamento i: 



K
1k
iki YT
 
 Média para o tratamento i: 
K
T
m ii ˆ
 
 Média geral do experimento: 
KI
G
m ˆ
. 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
A análise de variância foi introduzida por Fisher e é essencialmente 
um processo baseado na decomposição da variação total existente 
entre uma série de observações, ou seja, a variação existente entre 
todas as observações, em partes, na variação devido à diferença entre 
os efeitos dos níveis do fator (tratamentos) e na variação devido ao 
acaso, que também é denominada de erro experimental ou resíduo. 
Na análise de variância, os valores observados Yik de uma variável 
resposta são descritos em termos de um modelo estatístico. Uma das 
pressuposições para a realização da análise de variância é que o 
modelo estatístico seja composto pela soma de efeitos, os quais 
podem ser fixos ou aleatórios. Em geral, o efeito do fator em estudo é 
considerado fixo. Enquanto que o efeito do erro experimental é 
considerado aleatório. 
Por exemplo, para os valores observados em um experimento 
instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado (DIC) com 
I níveis do fator (tratamentos) e K repetições, o modelo estatístico é: 
Yik = m + ti + eik 
em que, 
Yik: é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo 
nível do fator (tratamento) em sua k-ésima repetição; 
m: é a média fixa de todos os valores possíveis da variável resposta; 
ti: é o efeito fixo do nível do fator (tratamento) i no valor observado Yik; 
ti = mi − m 
eik: é o efeito aleatório do erro ou resíduo experimental associado ao 
valor observado Yik, definido por 
eik = Yik – mi 
As pressuposições para a validade dos resultados da análise de 
variância são que os erros experimentais: 
1. Os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos; 
2. Os erros experimentais devem independentes; 
3. Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos;e 
4. As variâncias das diferentes amostras devem ser homogêneas. 
A estimativa do erro experimental, no DIC, é obtida pela diferença 
entre o valor observado e o respectivo valor predito 
ikYˆ
, ou seja, 
ikikik YˆYeˆ 
. 
O valor predito é obtido por: 
iik tˆmˆYˆ 
 
A estimativa do efeito do nível do fator (tratamento) i, 
itˆ
, por sua vez 
é obtida por, 
mˆmˆtˆ ii 
 
Portanto temos que, 
iik mˆYˆ 
 
Então a estimativa do resíduo experimental, 
ikeˆ
, de acordo como o 
modelo estatístico apresentado anteriormente é obtida por: 
i ikik mYe ˆˆ 
 
Portanto, antes de interpretar os resultados da análise de variância 
recomenda-se verificar, por meios dos procedimentos descritos a 
seguir, se as estimativas dos resíduos satisfazem as pressuposições 
da análise de variância. 
No entanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que 
sejam satisfeitas as seguintes pressuposições: 
 
1a) Os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos 
Nos experimentos, os vários efeitos devem ser aditivos, tanto é que 
para cada delineamento estatístico existe um modelo matemático 
denominado modelo linear aditivo. 
Para o delineamento inteiramente casualizado (DIC), este modelo é 
Yik = m + ti + eik, onde expressa que o valor de qualquer unidade 
experimental é resultante de uma média geral, mais um efeito do nível 
do fator (tratamento) e mais o efeito do erro experimental. 
O modelo correspondente ao Delineamento em Blocos Casualizado 
(DBC) é Yik = m + ti +bk + eik, onde o valor de qualquer unidade 
experimental é resultante de uma média geral, mais um efeito do nível 
do fator (tratamento), mais um efeito de blocos e mais um efeito do 
erro experimental. O aspecto importante, que deve notar-se nestes 
modelos, é que os efeitos se somam daí o nome de modelo linear 
aditivo. 
O modelo para o delineamento em blocos casualizados, por exemplo, 
implica que um efeito do nível do fator (tratamento) é o mesmo para 
todos os blocos e que o efeito de bloco é o mesmo para todos os 
tratamentos. Em outras palavras, se um tratamento aumenta a 
produção em certa quantidade acima da média geral, supomos que 
este tenha o mesmo efeito tanto nos blocos de alta produção como 
nos blocos de baixa produção. 
 
2a) Os erros experimentais devem independentes 
Cada observação possui um erro que deve ser independente dos 
demais. O princípio da casualização assegura a validade da estimativa 
do erro experimental, pois permite uma distribuição independente do 
mesmo. A casualização evita que todas as parcelas que recebem o 
mesmo tratamento sejam favorecidas ou desfavorecidas entre as 
parcelas experimentais 
 
 
3a) Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos 
 A única fonte de variação de amostragem são os erros aleatórios. 
Estes devem ter distribuição normal (ou aproximadamente normal) 
com média igual a zero e variância igual S2. Felizmente, as variações 
da suposição de normalidade não afetam muito seriamente a validade 
da análise de variância. 
 
4a) As variâncias das diferentes amostras devem ser homogêneas 
Na análise de variância, o valor do Quadrado Médio do Resíduo, que 
corresponde à estimativa da análise de variância do erro experimental, 
é utilizado nas fórmulas matemáticas dos testes de hipóteses. Tais 
testes são utilizados para verificar se existe ou não diferença 
significativa entre os níveis do fator (tratamentos) avaliados. O 
Quadrado Médio do Resíduo nada mais é que a média das diferentes 
variâncias de cada tratamento (amostras). Assim sendo, é importante 
que as variâncias das diferentes amostras sejam homogêneas, de 
modo que os resultados obtidos dos testes de hipóteses tenham 
validade. 
 
Homogeneidade das variâncias residuais 
Para uma variável resposta Y, considere I níveis do fator 
(tratamentos), cada um com K repetições, para os quais se deseja 
avaliar se a variância residual é idêntica para todos os níveis do fator 
(tratamentos). As hipóteses a serem testadas são: 
2
E
2
EI
2
E3
2
E2
2
E10 σσ.....σσσ:H 
 
Ha : pelo menos um nível do fator (tratamento) apresenta variância 
residual diferente dos demais. 
Em termos práticos estamos querendo verificar se o efeito do erro 
experimental afetou igualmente todos os níveis do fator (tratamentos). 
Caso isto ocorra, as variâncias dentro dos níveis do fator (tratamentos) 
tenderam a apresentar valores bem similares, sendo, portanto, viável a 
obtenção de um estimador comum para a variância dentro dos níveis 
do fator (tratamentos). 
Na análise de variância, o cálculo do quadrado médio do resíduo é o 
estimador comum da variância dentro dos níveis do fator 
(tratamentos). Portanto, antes de interpretar os resultados da análise 
de variância faz-se necessário realizar um teste de hipóteses para a 
homogeneidade da variância dentro dos níveis do fator (tratamentos). 
 
TESTE F – MÁXIMO – HARTLEY 
Uma das exigências do modelo matemático e, portanto, da validade da 
análise de variância, é que as variâncias das diferentes amostras 
devem serem homogêneas. 
Um dos testes que pode ser utilizado é o teste de Teste F – máximo – 
Hartley. 
O teste F - máximo é simples e rápido, e só pode ser aplicado quando 
o número de graus de liberdade for o mesmo para todas as variâncias, 
ou seja, quando o número de repetições por nível do fator (tratamento) 
for o mesmo, porém apresenta menor precisão quando as amostras 
tem graus de liberdade diferentes. 
A estatística do teste de Teste F – máximo – Hartley é definida como: 
 
2
mínimo
2
máximo
máximo
s
s
F  
 
onde: 
s2 máxima: maior valor das estimativas das variâncias entre as 
repetições de cada nível do fator (tratamento); 
s2 mínima: menor valor das estimativas das variâncias entre as 
repetições de cada nível do fator (tratamento); 
O valor calculado de Fmáximo é confrontado com o valor de Fmáximo 
tabelado, com I (número de estimativas das variâncias dos diferentes 
níveis do fator (tratamentos)) e (K – 1) graus de liberdade associados 
a cada estimativa de variância, sendo K número de observação 
(repetições) de cada nível do fator (tratamento). 
Logo, temos: 
Fmáximo calculado ≥ Fmáximo tabelado – as estimativas das variâncias são 
estatisticamente diferentes ao nível α% de probabilidade, isto é, não 
há homogeneidade de variâncias. 
Fmáximo calculado < Fmáximo tabelado – as estimativas das variâncias não 
diferem estatisticamente entre si, ao nível α% de probabilidade, isto é, 
as variâncias são homogêneas. 
Obs.: quando os graus de liberdade para cada amostra são diferentes, 
toma-se a média aritmética dos mesmos para usar a Tabela para 
Fmáximo. 
 
Ex.: Verificar se as variâncias são homogêneas pelo teste F-máximo a 
partir dos dados abaixo: 
 
Variedades 
Repetições 
Totais 
I II III IV V VI 
Var 1 78 90 90 75 70 88 491 
Var 2 100 65 78 92 85 90 510 
Var 3 102 95 102 85 80 98 562 
Var 4 98 70 85 85 88 80 506 
 
Ho: as estimativas das variâncias não diferem estatisticamente entre 
si, ao nível 5% de probabilidade. 
Ha: as estimativas das variâncias diferem estatisticamente entre si, ao 
nível α% de probabilidade. 
 
As variâncias de cada variedade são: 
 
   
74,5667
5
6
491
40.553
1N
N
X
X
s
22
2
2
1 







 
   
6000,491
5
6
510
44.098
1N
N
X
X
s
22
2
2
2 







 
 
 
2667,48
5
6
)62(5
062.35
1N
N
X
X
s
2
2
2
2
3 







 
 
   
06675
0983,8
5
6
506
.4
1N
N
X
X
s
22
2
2
4 







 
 
01,2
5667,74
60,149
s
s
F
2
mínimo
2
máximo
máximo 
 
 
Fmáximo tabelado (I = 4; K-1 = 5): 5% = 13,7 
 
Logo, Fmáximo calculado < Fmáximo tabelado, ou seja, 2,01 < 13,7; não 
rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade, ou seja, pode-se 
concluir que as estimativas das variâncias das variedades são 
homogêneas. 
 
Teste de Cochran 
 
Outro teste que também pode ser utilizado é o teste de Cochran. Este 
teste só pode ser aplicado quando o número de graus de liberdade for 
o mesmo para todas as variâncias, ou seja, quando o número de 
repetições por tratamento for o mesmo. 
A estatística do teste de Cochran é definida como: 
 



t
1i
2
i
2
máx
cal
s
s
C 
 
Se Ccal ≥ Ctab (α, I, K–1), rejeita-se H0. Caso contrário, se Ccal < Ctab, 
não se rejeita H0 e conclui-se que existe homogeneidade de variâncias 
residuais entre os níveis do fator (tratamentos). O valor de Ch será 
comparado ao tabelado, com (I, K-I) graus de liberdade, aos níveis de 
5 e 1% de probabilidade. Para os dados abaixo as variâncias dentro 
do nível do fator (tratamento) são apresentadas na Tabela x. 
 
 
 
Tabela x – Valores originais e ajustados de Y e estimativas dos efeitos 
do erro experimental. 
Trat Rep Yik 
ikYˆ
 
ikeˆ
 
2
EiS
 
1 1 25 23 2 
5,6S21E 
 
1 2 26 23 3 
1 3 20 23 -3 
1 4 23 23 0 
1 5 21 23 -2 
2 1 31 27 4 
5,7S2 2E 
 
2 2 25 27 -2 
2 3 28 27 1 
2 4 27 27 0 
2 5 24 27 -3 
3 1 22 26 -4 
5,7S2 3E 
 
3 2 26 26 0 
3 3 28 26 2 
3 4 25 26 -1 
3 5 29 26 3 
4 1 33 31 2 
5,6S2 4E 
 
4 2 29 31 -2 
4 3 31 31 0 
4 4 34 31 3 
4 5 28 31 -3 
 
As hipóteses testadas na pressuposição de homogeneidade de 
variâncias são iguais a: 
2
E
2
E4
2
E3
2
E2
2
E10 σσσσσ:H 
 
Ha: pelo menos uma 
2
Ei
 (i = 1, 2, 3 e 4) difere das demais. 
 
O valor da estatística de Cochran, para os dados deste exemplo, é 
obtido por: 
2679,0
5,65,75,75,6
5,7
Ccal 


 e Ctab (5%, 4, 4) = 0,6287; 
Como Ccal < Ctab não rejeita-se H0. 
Portanto, considera-se satisfeita a pressuposição de homogeneidade 
de variâncias. 
 
A análise gráfica da homogeneidade de variâncias pode ser feita por 
meio da dispersão dos valores observados para cada nível do fator em 
estudo. Para o exemplo em estudo este gráfico de dispersão é 
apresentado na Figura abaixo. Pode ser observado que a variabilidade 
da produção dentro de cada variedade tende a ser a mesma em todas 
as variedades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura x – Dispersão das produções observadas em cada variedade. 
 
Um exemplo em que visualmente poderíamos ter um indicativo de que 
a variância não é a mesma para todos os tratamentos é apresentado 
na Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura x - Exemplo de gráfico de dispersão quando as variâncias 
dentro do nível do fator (tratamento) não é homogênea. 
 
TESTE DE BARTLETT 
O teste de Bartlett é dado por: 
 
C
M
χ 2 lg1k 
 
O método para testar se as estimativas de variâncias quando o no de 
repetições por tratamento forem desiguais, sendo (ni - 1) é o nº de 
graus de liberdade associado a essas estimativas e k nº de 
estimativas de variâncias, em que: 
    





  
 
k
1i
t
1i
2
ii
2
i slog1nslog1n2,3026M
 em que 
 
e 
    














 


t
1i
t
1i
i
i 1n
1
1n
1
1t3
1
1C 
 
Ni – número de repetições do nível do fator (tratamento) i; 
2
is
- estimativa da variância do nível do fator (tratamento) i. 
 
Sob a hipótese de nulidade de que os valores assumidos por 
2
is
 serão 
estimativas de um mesmo valor de σ2 (variância comum), a razão M/C 
tem distribuição aproximada de χ2 com (t - 1) graus de liberdade, onde 
C é um fator de correção. 
Rejeita-se a hipótese Ho de homogeneidade de variâncias quando o 
valor calculado da razão M/C ≥ χ2 tab, a um nível α de probabilidade, 
com (k – 1) graus de liberdade. 
 
No caso de estimativas de variâncias com mesmo número de graus de 
liberdade a elas associado temos: 
  





 

k
1i
2
i
2 slogslogK1n2,3026M .
 
e 
 
 1nk3
1k
1C



 
 
 
 
 
 
 
NORMALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO DOS ERROS EXPERIMENTAIS 
 
Uma das exigências do modelo matemático e, portanto, da validade da 
análise de variância, é que os erros eik tenham distribuição normal. 
 
TESTE DE LILLIEFORS 
Para verificar se os resíduos associados ao modelo estatístico 
utilizado aderem a uma distribuição normal, pode-se realizar o teste de 
hipóteses de Lilliefors. As hipóteses para este teste são: 
H0: os resíduos experimentais seguem uma distribuição normal. 
Ha: os resíduos experimentais não seguem uma distribuição normal. 
Este teste se baseia na comparação da frequência acumulada 
empírica com a frequência acumulada teórica, as quais são obtidas 
para cada valor do resíduo experimental. 
Após a ordenação crescente dos valores residuais, a frequência 
acumulada empírica, 
)eˆS( ik
 é obtida por: 
 
n
eˆS valoresdenº
)eˆS( ikik


 
Por outro lado, para obter o valor da frequência acumulada teórica, 
)eˆF( ik
, para cada valor 
ikeˆ
, é necessário especificar a que distribuição 
normal os resíduos experimentais tendem a se aderir. 
Uma distribuição normal é especificada pelos parâmetros média e 
variância. Na realização deste teste, assume-se que os parâmetros da 
suposta distribuição normal dos resíduos são iguais aos valores da 
média e variância dos resíduos experimentais. 
A partir da especificação dos parâmetros da distribuição normal é 
possível calcular a frequência acumulada teórica. A distribuição 
acumulada é definida como 
)eˆEˆP()eˆF( ikikik 
. 
Supondo que a distribuição dos resíduos experimentais tenha sido 
definida como 
ikEˆ
~ N(m; σ2), então o valor de 
)eˆF( ik
 é obtido por: 
 
 
 
 
Uma representação genérica para os gráficos de uma distribuição 
normal e respectiva distribuição acumulada teórica são apresentados 
na Figura x - (a) e (b), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Figura x – Distribuição normal (a) e distribuição acumulada (b). 
 
Espera-se que para cada valor êik os valores obtidos para )eˆS( ik e 
)eˆF( ik
sejam bem similares, caso os resíduos experimentais sigam a 
distribuição normal especificada. É por esta razão que o teste de 
Lilliefors se baseia na comparação destes dois valores de distribuição 
acumulada. 
Após a ordenação em ordem crescente (j = 1, 2, ... , n) dos resíduos 
experimentais são obtidos, para cada 
ikeˆ
, os módulos das diferenças 
entre 
)eˆF( ik
− 
)eˆS( ik
e entre 
 1jikjik )eˆS()eˆF( 
. O teste de Lilliefors se 
baseia na maior diferença absoluta encontrada. Esta diferença é 
definida como sendo a estatística D obtida por: 
  1jikjikjikjikj )eˆS()eˆF(,)eˆS()eˆF(máx D 
 
O valor da estatística D é então comparado com o valor tabelado Dtab 
de acordo com o nível de significância α e do número de resíduos 
experimentais. 
Na Figura x, apresenta as situações com um bom ajustamento a uma 
distribuição normal e outra com um mal ajustamento. Nesta Figura x, a 
curva representa a distribuição acumulada teórica, e a escada 
representa a distribuição acumulada empírica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura x – Ilustraçõesde um bom ajuste a um ajuste ruim de uma 
distribuição normal. 
 
Esta verificação dessa exigência pode ser feita pelo teste de Lilliefors. 
O teste de Lilliefors consiste em se obter: 
  1jikjikjikjikj )eˆS()eˆF(,)eˆS()eˆF(máx D  
 
D = máxj │F(Zi) – S(Zi)│ ou D = máx │F(Zi) – S(Zi - 1)│ 
 
Em que, F(Zi) são as probabilidades da variável normal reduzida. 
 
s
mˆX
Z ii


 
em que: 
 Xi – são os erros eik; 
mˆ
– é a estimativa da média dos eik estimados, portanto, é igual a 
zero; 
 s – é a estimativa do desvio padrão dos eik. 
 
ik
ik
i d
s
e
Z 


0 = desvios padronizados, 
 
n
K
ZS i 
, onde K é o número de observações ≤ Xi, em nosso caso, 
é o número de desvios ≤ eik. 
 
Devemos, inicialmente, obter os erros eik 
 
Como: Yik = m + ti + eik, 
temos que: eik = Yik - m - ti 
 
Mas, não conhecemos m e ti, logo, devemos trabalhar com suas 
estimativas: 
iikik tm Ye
ˆˆˆ 
 
 
Temos que: 
ii tˆmˆ mˆ 
 logo 
mˆ mˆtˆ ii 
 
 
 
Exemplo: 
Um pesquisador instalou um experimento com objetivo de comparar 
cultivares de pêssego quanto ao enraizamento de estacas. Para isto, 
utilizou um delineamento inteiramente casualizado com 4 cultivares e 
5 repetições. O resultado em nº de estacas enraizadas foi: 
 
 REPETIÇÕES 
TRATAMENTOS 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª TOTAL 
1 – A 2 2 1 1 0 6 
2 – B 1 0 0 1 1 3 
3 – C 12 10 14 17 11 64 
4 – D 7 9 15 8 10 49 
 
9,4tˆ1 
; 
5,5tˆ 2 
; 
7,6tˆ 3 
; 
7,3tˆ 4 
; 
1,6mˆ 
 
 
0tˆ
I
1i
i 

 ↔ (-4,9) + (-5,5) + 6,7 + 3,7 = 0 
 
Com essas estimativas, obtemos as estimativas do erros 
iikik tm Ye
ˆˆˆ 
. 
0,84,9) (-6,1 2 eˆ11 
 
0,84,9) (-6,1 2 eˆ12 
 
0,24,9) (-6,1 1 eˆ13 
 
......................................... 
0,2(3,7)6,1 10 eˆ45 
 
 
 
 
 
 Repetições 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª si
2 
1 – A 0,8 0,8 -0,2 -0,2 -1,2 0,7 
2 – B 0,4 -0,6 -0,6 0,4 0,4 0,3 
3 – C -0,8 -2,8 1,2 4,2 -1,8 7,7 
4 – D -2,8 -0,8 5,2 -1,8 0,2 9,7 
 
 
6,4
16
6,73




1)(KI
e
s
2
ik2
 
 
1448,26,4s 
 
 
Os 16 g.l. correspondem a 4 + 4 + 4 + 4 (de cada parcela), ou, I(K – 1) 
= 4 x 4 = 16 
 
O teste de Lilliefors irá nos dizer que a distribuição dos dados (erros) 
difere ou não da distribuição normal. 
 
A seguir, consulta-se a tabela de probabilidade da distribuição normal 
reduzida, obtendo-se antes, as variáveis reduzidas Zi. 
 
s
eˆ
Z iki
0

 
 
Por exemplo: 
30,1
1448,2
02,80-
Z1 


 F(Z1) = 0,5000 – 0,4032 = 0,0968 
84,0
1448,2
01,80-
Z2 


 F(Z2) = 0,5000 – 0,2996 = 0,2005 
...................................... ..................................................... 
42,2
1448,2
02,5
Zi 


 F(Zi) = 0,5000 + 0,4922 = 0,9922 
 
 
n
K
ZS i 
 onde K é o número de desvios ≤ 
ikeˆ
 
Por exemplo: 
  1000,0
02
2
ZS 1 
 
  2000,0
02
4
ZS 2 
 
  2500,0
02
5
ZS 3 
 
................................... 
  0000,1
02
02
ZS 20 
 
Colocando-se os eik (ordenados) e respectivos Zi numa tabela, 
obtemos: 
ijeˆ
 fi Zi F(Zi) S(Zi) │F(Zi) – S(Zi)│ │F(Zi) – S(Zi-1)│ 
-2,8 2 -1,30 0,0968 0,1000 0,0032 0,0968 
-1,8 2 -0,84 0,2005 0,2000 0,0005 0,1005 
-1,2 1 -0,56 0,2877 0,2500 0,0377 0,0877 
-0,8 2 -0,37 0,3557 0,3500 0,0057 0,1057 
-0,6 2 -0,28 0,3897 0,4500 0,0603 0,0397 
-0,2 2 -0,09 0,4641 0,5500 0,0859 0,0141 
0,2 1 0,09 0,5359 0,6000 0,0641 0,0141 
0,4 3 0,19 0,5753 0,7500 0,1747 0,0247 
0,8 2 0,37 0,6443 0,8500 0,2057 0,1057 
1,2 1 0,56 0,7123 0,9000 0,1877 0,1377 
4,2 1 1,96 0,9750 0,9500 0,0025 0,0750 
5,2 1 2,42 0,9922 1,0000 0,0078 0,0422 
 
O maior valor de │F(Zi) – S(Zi)│ e │F(Zi) – S(Zi-1)│ é 0,2057, logo, 
 
D = máx │F(Zi) – S(Zi)│ = 0,2057 
 
Consultando a tabela de Lilliefors com n = 20 e α = 0,05, obtemos: 
 
Dtab (0,05) = 0,190 
 
Como Dcal > Dtab, rejeitamos H0, ao nível de 5% de probabilidade, isto 
é, a distribuição dos eij não pode ser aceita como distribuição normal. 
 
Concluímos, que os erros eik não têm homogeneidade das variâncias 
(teste Fmáx) e também não têm distribuição normal. Portanto, não se 
verifica duas das 4 exigências do modelo. 
 
 
INDEPENDÊNCIA DOS ERROS 
A independência dos erros da análise de variância significa que os 
erros não são correlacionados. Uma das situações que podem fazer 
com que este resultado não aconteça é aquela em que o valor do erro 
tende diminuir na sequência cronológica em que os valores são 
observados. 
Isto pode ocorrer quando, por exemplo, um laboratorista está 
aprendendo a usar um equipamento. No início, o erro associado a 
leitura é grande. À medida que são feitas novas leituras o erro tende a 
ser menor. 
Portanto, para fazer a avaliação da independência dos erros é 
necessário ter informações adicionais, por exemplo ordem de coleta 
das observações. 
A ordem de coleta das observações dos dados do Exemplo anterior é 
apresentada na Tabela abaixo e o gráfico de dispersão dos resíduos 
versus a ordem de coleta é apresentada na Figura abaixo. Pode-se 
observar na Figura abaixo que não existe nenhuma tendência nos 
resíduos em relação à ordem de coleta. 
 
Tabela x – Valores observados com os respectivos valores preditos, 
residuais e ordem de coleta. 
Ordem de 
coleta 
Variedade Rep Yik 
ikYˆ
 
ikeˆ
 
1 1 1 25 23 2 
5 1 2 26 23 3 
9 1 3 20 23 -3 
13 1 4 23 23 0 
17 1 5 21 23 -2 
2 2 1 31 27 4 
6 2 2 25 27 -2 
10 2 3 28 27 1 
14 2 4 27 27 0 
18 2 5 24 27 -3 
3 3 1 22 26 -4 
7 3 2 26 26 0 
11 3 3 28 26 2 
15 3 4 25 26 -1 
19 3 5 29 26 3 
4 4 1 33 31 2 
8 4 2 29 31 -2 
12 4 3 31 31 0 
16 4 4 34 31 3 
20 4 5 28 31 -3 
 
 
 
Figura x – Gráfico de dispersão dos resíduos versus a ordem de coleta 
das observações. 
 
A Figura abaixo apresenta o gráfico de dispersão em que os erros não 
são independentes. Nesta Figura, pode-se observar que nas primeiras 
coletas, os valores residuais tendem a serem maiores do que nas 
últimas coletas. Uma possível explicação para isto é o aprendizado na 
realização do experimento. 
 
 
 
 
ANÁLISE DE RESÍDUOS 
 
É outra alternativa que vem ganhando maior ênfase em função dos 
pacotes estatísticos. De acordo com vários autores (PARENTE, 1984), 
os erros padronizados: 
 
2
ikik
ik
s
e
QMRes
e
d 
 
 
Quando colocados em um gráfico, contra os valores (Yik), podem nos 
dar as seguintes orientações (padrões): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geralmente, essas verificações não têm sido feitas na prática. Através 
de experiência, sabe-se que, por exemplo, dados de produção 
geralmente satisfazem a essas exigências. 
 
Exemplo: 
Um pesquisador instalou um experimento com objetivo de comparar 
cultivares de pêssego quanto ao enraizamento de estacas. Para isto, 
utilizou um delineamento inteiramente casualizado com 4 cultivares e 
5 repetições. O resultado em nº de estacas enraizadas foi: 
 
 
 REPETIÇÕES 
TRATAMENTOS 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª TOTAL 
1 – A 2 2 1 1 0 6 
2 – B 1 0 0 1 1 3 
3 – C 12 10 14 17 11 64 
4 – D 7 9 15 8 10 49 
 
No nosso exemplo temos: 
 
TRATAMENTOS Totais 
imˆ
 
2
is
 C.V.(%) 
2s
mˆ
 
1 – A 6 1,2 0,7 69,72 1,7 
2 – B 3 0,6 0,3 91,29 2,0 
3 – C 64 12,6 7,7 21,68 1,7 
4 – D 49 9,8 9,7 31,78 1,0 
 G = 122 
mˆ
= 6,1 
6,4s 2 
 
 
Façamos a verificação das condições de homogeneidade de 
variâncias e da normalidade dos erros, para os dados do nossoexemplo: 
Sabe-se que: 
ii tˆmˆ mˆ 
 
mˆ mˆtˆ ii 
 
9,4tˆ1 
 
5,5tˆ 2 
 
7,6tˆ 3 
 
7,3tˆ 4 
 
 
2
ikik
ji
s
e
QMRes
e
d 
 em que 
iikik tm Ye
ˆˆˆ 
então temos: 
 
0,84,9) (-6,1 2 eˆ11 
 
0,84,9) (-6,1 2 eˆ12 
 
0,24,9) (-6,1 1 eˆ13 
 
............................................... 
0,2(3,7)6,1 10 eˆ44 
 
 
Logo, usando-se os valores de 
ijeˆ
 apresentado acima, temos os dij, 
na tabela a seguir: 
37,0
4,60
0,8
d11 
 
37,0
4,60
0,8
d12 
 
09,0
4,60
0,2-
d13 
 
........................................................................... 
09,0
4,60
0,2
d44 
 
 
 dij 
1 – A 0,37 0,37 -0,09 -0,09 -0,56 
2 – B 0,19 -0,28 -0,28 0,19 0,19 
3 – C -0,37 -1,31 0,56 1,96 -0,84 
4 – D -1,31 -0,37 2,42 -0,84 0,09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y estimado 
 
 
Observa-se, pelo gráfico, a heterogeneidade de variâncias: a variância 
cresce com crescimento de 
ikYˆ
. 
 
Façamos agora o teste Fmáx para a homogeneidade de variâncias: 
 
Gráfico de dispersão
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14
33,32
33,0
7,9
s
s
F
2
mínimo
2
máximo
máximo 
 
 
Fmáximo tabelado (K = 4; N-1 = 4): 5% = 20,6 
 
Logo, Fmáximo calculado = 32,33 > Fmáximo tabelado: 5%; rejeita-se a 
hipótese de homogeneidade de variâncias, assim, chegamos à 
conclusão de que as estimativas das variâncias não são homogêneas. 
A não verificação de uma só exigência do modelo já é suficiente para 
a não validade da análise de variância. 
 
 
Transformação de dados 
 
Quando Fmáx é significativo em nível de 5% de probabilidade, 
rejeitamos a hipótese H0, ou seja, as variâncias não são homogêneas. 
A não verificação de uma só exigência do modelo já é suficiente para 
a não validade da analise de variância. Porém, foi verificada também a 
normalidade através do teste de Lilliefors, chegando-se a conclusão 
que os dados não seguem distribuição normal. 
Como alternativas para torna-la válida, temos: 
Transformação de dados, as mais usadas são: 
KX 
, onde K 
≥ 0 é uma constante, para dados de contagem; arc sen 
100/P
, onde P = percentagem, para dados de percentagem, 
geralmente entre 0 e 30% ou entre 70 e 100%; log (X + K), 
quando há proporcionalidade entre médias e desvios padrões. 
Pode-se, no entanto, de acordo com BOX e COX (1964), determinar 
analiticamente, que tipo de transformação pode ser usado. 
Estabelece-se uma regressão linear entre log s2, com a variável 
dependente e log m ˆ , como independente. 
Determina-se 
bˆ 
e, a seguir: 
2
bˆ
1λ 
 
 
O valor de 
λ 
nos indica que tipo de transformação deve ser feito. 
Se 
λ 
≠ 0 temos 
λYY 
 
Se 
λ 
= 0 temos 
YlogY 
 
 
Em nosso exemplo, temos 
bˆ 
= 1,1310 
 
4345,0
2
1,1310
1λ 
 
Isso nos permitiu usar 
λ 
= 0,5, por ser uma transformação de uso 
corrente, ou seja, 
YYY 0,5 
 
 
Portanto, em nosso exemplo, vamos usar a transformação 
0,5x 
 
ou 
0,5Y ik 
. A constante K = 0,5 é usada porque temos várias 
observações com valores baixos, inclusive nulos. 
Com essa transformação, temos: 
 
 Repetições 
Tratamento 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Totais 
imˆ 
 
2s i
 CV% 
2smˆ 
 
A 1,58 1,58 1,22 1,22 0,71 6,31 1,262 0,1276 28,35 9,9 
B 1,22 0,71 0,71 1,22 1,22 5,08 1,016 0,0780 27,39 13,0 
C 3,53 3,24 3,81 4,18 3,39 18,15 3,630 0,1386 10,26 26,2 
D 2,74 3,08 3,94 2,91 3,24 15,91 3,182 0,2144 14,56 14,8 
 45,45 2,272 0,1396 
 
ns75,2
0780,0
2144,0
s
s
F
2
mínimo
2
máximo
máximo 
 
 
Como Fmáx é não significativo, não rejeitamos H0, isto é, aceitamos a 
homogeneidade de variâncias, o que torna válida, sob esse aspecto, a 
análise da variância. 
O teste de normalidade, por Lilliefors, apresentou D = 0,0983, não 
significativo, indicando que a distribuição dos dados 
0,5x 
, não 
difere da normal. 
 
A análise de variância para os dados transformados em 
0,5x 
, nos 
dá o seguinte resultado: 
F. V. GL SQ QM F 
Tratamento 3 26,3495 8,7832 62,87 
Resíduo 16 2,2349 0,1397 
Total 19 28,5844 - 
 
SQTotal = 1,582 + .... + 3,242 – 
20
45,45
 
2 = 28,5844 
 SQTrat. = 
  22 91,15......31,6
5
1
 
20
45,45
 
2 = 26,3495 
 
Isto significa que a variabilidade dos tratamentos é 62,87 vezes 
superior à variabilidade natural, que seria dos resíduos. Significa que 
os efeitos de tratamentos não são iguais. Quanto mais F se distancia 
de 1 (um), mais estaremos observando efeito dos tratamentos. 
 
Veja-se que, sob a hipótese H0, não havendo efeito de tratamentos, 
QMTrat e QMRes devem dar valores semelhantes (lembrar que QM = 
s2), logo sob H0, F ≈ 1. A medida que encontramos valores de F 
afastando-se de 1, no sentido maior, significa que devemos rejeitar H0, 
ou seja, aceitar a hipótese alternativa Ha, de que os efeitos dos 
tratamentos são diferentes de zero e diferentes entre si. 
 
Sob o ponto de vista de esperança Matemática dos QM’s, admintindo 
o modelo fixo, temos: 
E (QMTrat) = s2 + JΦτ 
em que: Φτ = 
1 - I
t
 i
2
i e E (QMRes) = σ2 
Se admitirmos, como estimativas: 
τ
2 υˆJ σˆ QMTrat 
, como Φτ = 
1 - I
t
 i
2
i 
2σˆ QMTrat 
 
 
temos: 
2
τ
2
i
2
i
2
σˆ
υˆ
J1
σˆ
tˆ
1I
J
σˆ
 
QMRes
QMTrat
F 




 
 
Por essa expressão, vemos que o valor de F próximo ou afastado de 1 
(um) dependerá do valor da expressão 

i
2
it
, que é a medida de 
variação entre os tratamentos. 
Para dizermos se aqueles efeitos de tratamentos são significativos, 
isto é, não são devidos ao acaso, devemos consultar as tabelas de F. 
É comum usarmos tabelas aos níveis de 5% e 1% de probabilidade. 
Devem ser consultados com os graus de liberdade dos tratamentos 
(numerador) e graus de liberdade do resíduo (denominador). 
Em nosso exemplo, temos: F5% (3; 16) = 3,24 e F1% (3; 16) = 5,29 
 
O Fcal = 62,86
**. Logo, F é significativo ao nível de 1% de probabilidade 
e devemos rejeitar H0. Portanto, concluímos que os tratamentos 
diferem entre si, há necessidade da aplicação de um teste de 
comparação de médias de tratamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA NA FORMA MATRICIAL 
 
Partindo do modelo estatístico, pode-se decompor a variação total 
entre as observações nas partes que a compõem, como será 
demonstrado a seguir: 
Seja um experimento com 3 tratamentos e 5 repetições: 
 
Trat 1 Trat 2 Trat 3 
Y11 Y21 Y31 
Y12 Y22 Y32 
Y13 Y23 Y33 
Y14 Y24 Y34 
Y15 Y25 Y35 
T1 T2 T3 
 
 
 Considere-se o modelo estatístico para um experimento 
instalado segundo o DIC: 
Yik = m + ti + eij 
 
Y11= m + t1 + e11 Y31= m + t3 + e31 
Y12= m + t1 + e12 Y32= m + t3 + e32 
Y13= m + t1 + e13 Y33= m + t3 + e33 
Y14= m + t1 + e14 Y34= m + t3 + e34 
Y15= m + t1 + e15 Y35= m + t3 + e35 
Y21= m + t2 + e21 
Y22= m + t2 + e22 
Y23= m + t2 + e23 
Y24= m + t2 + e24 
Y25= m + t2 + e25 
 
Escrevendo sob forma matricial, temo: 
EβXY 
 
em que: 
Y = Vetor coluna dos dados observados; 
X = matriz dos coeficientes dos parâmetros; 
β = matriz dos 
parâmetros; 
E = vetor dos 
erros. 
Assim temos: 
 
 





























































































































































35
34
33
32
31
25
24
23
22
21
15
14
13
12
11
3
2
1
35
34
33
32
31
25
24
23
22
21
15
14
13
12
11
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t
t
t
m
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
1001
1001
1001
1001
1001
0101
0101
0101
0101
0101
0011
0011
0011
0011
0011
 
 
Sendo: 
EβXY 
 

 
βXYE 
 
 
SQerros = E’E 
 
E’E= 
 
















































35
34
33
32
31
25
24
23
22
21
15
14
13
12
11
353433323125242322211514131211
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
eeeeeeeeeeeeeee
 
 
 
SQerros = 
2
35
2
21
2
15
2
14
2
13
2
12
2
11 eeeeeee  .............
 
 
Matricialmente, temos: 
 
SQerros = 
        XβYβXYXβYβXYEE '''' 
 
 
SQerros = 
   βXYXβY ''' 
 
 
SQerros = 
 βXXβYXβ-βXYYY '''''' 
 
 
Obs.: 
βXY'
é transposta de 
YXβ ''
 e são iguais, pois, ambas têm 
dimensão 1x1. Transposta de uma matriz constituída de um único 
elemento é o próprio elemento. 
Assim, temos: 
 
SQerros = 
 βXXβYXβ-YY ''''' 2
 
 
Os valores de m, t1, t2, t3 a serem estimados são aqueles que 
minimizam a SQerros: 
 
       β XXββXXβYXβ2
β
SQerros '''''' 

 
Sendo 
     β XXββXXβ '''' 
 por serem matrizes de dimensão 1x1 e 
uma ser transposta da outra: 
    βXXβYXβ2
β
SQerros '''' 


2
 
 
Fazendo 



β
SQerros
 
 βXXYX2 '' ˆ2
 

 
YXβXX '' ˆ
 
este é conhecido como sistema de equações normais. 
 
Algumas considerações sobre o sistema de equações 
YXβXX '' ˆ
 ou 
YXβS 'ˆ
 onde 
XXS
'
. 
 
1 – No caso de delineamentos experimentais não tem solução única, 
pois, a característica de S é menor que sua ordem. 
Consequentemente S é uma matriz singular (não admite inversa). 
Para resolver este problema procura-se obter um sistema de 
equações normais de solução única, a partir de restrições sobre 
os parâmetros constituintes de β. 
2 – Característica de uma matriz pode ser definida como o número de 
linhas ou colunas linearmente independente. 
3 – Característica de uma matriz pode também ser definida como a 
ordem do maior determinante não nulo desta matriz. 
4 – Uma matriz não singular de dimensões nxn, tem característica n, 
pois, por definição, uma matriz não singular é aquela cujo 
determinante diferente de zero. 
 
Vamos mostrar, a seguir, que a matriz 
XXS '
 é singular, logo o 
sistema é indeterminado: 





























































1001
1001
1001
1001
1001
0101
0101
0101
0101
0101
0011
0011
0011
0011
0011
111110000000000
000001111100000
000000000011111
111111111111111
S
 
 













5005
0505
0055
55515
S 
 
Ordem de S = 4; característica de S = 3; logo, S é singular. O sistema 
de equações 
YXβˆS '
 é, portanto, indeterminado, devemos impor 
restrições: 
 
Número de restrições = ordem da matriz – característica da matriz 
 
No presente caso, temos: no de restrições = 4 – 3 = 1 
 
O mais usual é tomar 
0tr
i
ii 
 
A matriz de restrição A é tal que 
βˆA
 
 
Assim, podemos usar a seguinte matriz de restrição: 
 













0000
0000
0000
5550
A 
 
Seja M = S – A 
 













5005
0505
0055
55515
M - 












0000
0000
0000
5550
 = 












5005
0505
0055
00015
 
 
onde M é uma matriz não singular (M-1) 
 
De modo geral temos o seguinte sistema de equações: 
 
  YX βˆ M YXβˆAS - YX βˆA -βˆS
 βˆA 
YXβˆS
'''
'




 
 
Pré-multiplicando ambos os membros por M-1, tem-se: 
 
YX M βˆ M M '-1-1 
; obs.: M-1 M = I 
 
 YX M βˆ YX M βˆ I '-1'-1 
 
 
que é a solução do sistema; solução esta que não é única, pois, 
depende das restrições impostas. 
 
M é chamada matriz inversa generalizada de S. 
 
Seja o sistema de equações 
YX βˆ M '
: 










































































3
2
1
35
34
33
32
31
25
24
23
22
21
15
14
13
12
11
'
T
T
T
G
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
 Y X
111110000000000
000001111100000
000000000011111
111111111111111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
βˆ
 
YX
' 





































3
2
1
3
2
1
T
T
T
G
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
5005
0505
0055
00015
 
33
22
11
Ttˆ5mˆ5
Ttˆ5mˆ5
Ttˆ5mˆ5
Gmˆ15




 
15
G
5
T
tˆ
5
mˆ5
5
T
tˆmˆ5Ttˆ5
15
G
5
T
tˆ
5
mˆ5
5
T
tˆmˆ5Ttˆ5
15
G
5
T
tˆ
5
mˆ5
5
T
tˆmˆ5Ttˆ5
15
G
mˆ
3
3
3
333
2
2
2
222
1
1
1
111




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO GERAL DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA DO 
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO COM I 
TRATAMENTOS e R REPETIÇÕES. 
 
O quadro teórico de dados pode ser apresentado da seguinte forma: 
 
 Trat 1 Trat 2 ..... Trat I 
 Y11 Y21 ..... YI1 
 Y12 Y22 ..... YI2 
 Y13 Y23 ..... YI3 
 ..... ..... ..... ..... 
 Y1r Y2r ..... YIr 
Totais T1 T2 ..... TI G 
Médias 
1mˆ
 
2mˆ
 
Imˆ
 
mˆ
 
 
Considere-se o modelo estatístico para um experimento instalado 
segundo o DIC: 
 
Yik = m + ti + eij 
 
Y11 = m + t1 + e11 …. … … … 
Y12 = m + t1 + e12 …. … … … 
…. … … … …. … … … 
Y1r = m + t1 + e1r …. … … … 
Y21 = m + t2 + e21 YI1 = m + tI + eI1 
Y22 = m + t2 + e22 YI2 = m + tI + eI2 
…. … … … …. … … … 
Y2r = m + t2 + e2r YI4 = m + tI + eIr 
 
O sistema de equações acima pode ser representado sob a forma 
matricial por: 
 
EβXY 
 
 
em que: 
Y = Vetor coluna dos dados observados; 
X = matriz dos coeficientes dos parâmetros; 
β = matriz dos parâmetros; 
E = vetor dos erros. 
 
Assim temos: 
 
 


















































Ir
I2
I1
2r
22
21
1r
12
11
Y
....
Y
Y
....
....
....
....
Y
....
Y
Y
Y
....
Y
Y
Y
; 



















































1..001
...............
1..001
1..001
...............
...............
...............
...............
0..101
...............
0..101
0..101
0..011
...............
0..011
0..011
X
; 
 
e
...
e
e
...
...
...
...
e
...
e
e
e
...
e
e
 E;
t
....
t
t
m
 β
Ir
I2
I1
2r
22
21
Ir
12
11
I
2
1




































































 
 
 


































I
2
1
'
tˆ
...
tˆ
tˆ
mˆ
 βˆ;
r...00r
...............
0...r0r
0...0rr
r...rrIr
XXS
 
 
A matriz S é singular não tendo a inversa comum. Obtém-se a inversa 
generalizada a partir de restrições impostas sobre os parâmetros 
constituintes do vetor 
β
. A restrição usual é dada por: 
0tr
i
ii 
. 
A matriz de restrição A é tal que 
βˆA
. 
 

















0...000
...............
0...000
0...000
r...rr0
A
 
 
 
Seja: 

















r...00r
...............
0...r0r
0...0rr
0...00Ir
A - SM
 
 
YXMβˆYXβˆM '-1' 
 
 
 
YX Mβˆ '-1
 


















































I
2
1
I
2
1
T
...
T
T
G
r1...00rI1-
...............
0...r10rI1-
0...0r1rI1-
0...00rI1
tˆ
...
tˆ
tˆ
mˆ
βˆ
 
 
Assim, temos: 
 
mˆmˆtˆ
r I
G
r
T
tˆ
...........................
mˆmˆtˆ
r I
G
r
T
tˆ
mˆmˆtˆ
rI
G
r
T
tˆ
rI
G
mˆ
II
I
I
22
2
2
11
1
1




 
 
Estimativa do vetor 
βˆ
 




















mˆmˆ
......
mˆmˆ
mˆmˆ
mˆ
βˆ
I
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Variância 
 
SQTotal = 
rI
G
YY
2
' 
 
 
rI
G
Y
...
Y
Y
...
...
...
...
Y
...
Y
Y
Y
...
Y
Y
Y...YY............Y...YYY...YYSQTotal
2
rI
I2
I1
2r
22
21
1r
12
11
rII2I12r22211r1211 





















































 
 
rI
G
YXβSQTrat
2
'' 
 
 
 
rI
G
T
...
T
T
G
tˆ...tˆtˆmˆSQTrat
2
I
2
1
I21 

















 
 
YXβYYSQRes ''' 
 

 SQRes = SQTotal – SQTrat 
 
Quadro da Análise de Variância 
F. V. GL SQ QM F 
Tratamento (I – 1) 
CYXβ '' 
 SQTrat/(I – 1) 
sReQM
QMTrat 
Resíduo I (r – 1) 
YXβYY ''' 
 SQRes/ I (r – 1) 
Total (Ir – 1) 
C-YY '
 - 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE UM EXPERIMENTO NO 
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO COM NÚMERO 
DIFERENTE DE REPETIÇÕES POR TRATAMENTO 
 
Quadro teórico de dados: 
Tratamentos Repetições Totais 
1 Y11 Y12 Y13 ... ... T1 
1mˆ
(3 rep) 
2 Y21 Y22 Y23 Y24 ... T2 
2mˆ
(4 rep) 
3 Y31 Y32 Y33 Y34 Y35 T3 
3mˆ
(5 rep) 
4 Y41 Y42 Y43 Y44 Y45 T4 
4mˆ
(5 rep) 
 
mˆ
(17 rep) 
 





















































45
44
43
42
41
35
34
33
32
31
24
23
22
21
13
12
11
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
; 






















































10001
10001
10001
10001
10001
01001
01001
01001
01001
01001
00101
00101
00101
00101
00011
00011
00011
X
; 
 ;
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
 β
4
3
2
1


































4
3
2
1
T
T
T
T
G
YX'
 
;
N
G
mˆ 
 N = número total de parcelas 
mˆmˆtˆ 11 
 
mˆmˆtˆ 21 
 
mˆmˆtˆ 31 
 
mˆmˆtˆ 41 
 
 

















50005
05005
00404
00033
554317
XX'S
 
 
A matriz A é tal que 
βˆA
 
Restrições : 
 0tr ii
 → r1 t1 + r2 t2 + r3 t3 + r4 t4 = 0 
 

















00000
00000
00000
00000
55430
A
 

















50005
05005
00404
00033
000017
ASM
 
 
























51000171
05100171
00410
171
171
00031171
0000171
M 1
 
 
 







































 
4
3
2
1
1
T
T
T
T
G
51000171
05100171
00410
171
171
00031171
0000171
YX'Mβˆ
 
 
 

















4
3
2
1
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
ˆ
 

 
17
G
5
T
tˆ
17
G
5
T
tˆ
17
G
4
T
tˆ
17
G
3
T
tˆ
17
ˆ
4
4
3
3
2
2
1
1





G
m
 
 
 
SQTotal = 
rI
G
YY
2
' 
 
 
 
17
G
Y
...
Y
Y
...
...
...
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y..YY......YYYYYYYSQTotal
2
45r
42
41
32
31
24
23
22
21
13
12
11
454241323124232221131211 


















































 YY
 
 
17
G
YXβSQTrat
2
'' 
 
 
 
17
G
T
T
T
T
G
tˆtˆtˆtˆmˆSQTrat
2
4
3
2
1
4321 

















 
 
YXβˆYYSQRes ''' 
 
 
O quadro da análise de variância para a análise de um experimento 
instalado segundo o DIC, com igual número de repetições para todos 
os tratamentos é do seguinte tipo: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos (I – 1) 
C - YXβˆ ''
 
1I
SQTrat

 
QMRes
QMTrat 
Resíduo I (K - 1) 
YXβˆYY ''' 
 
1)(KI
SQRes

 
- 
Total I K – 1 
C-YY '
 
- - 
 
A partir das SQTratamento e SQResíduo, obtêm-se os respectivos 
quadrados médios, por meio do quociente entre a soma de quadrados 
com o respectivo número de graus deliberdade. 
Para concluir se existe diferença entre tratamentos, calcula-se o valor 
de F, que é obtido pelo quociente do QMTrat com o QMRes. Este 
valor de F calculado deve ser comparado com o valor de F tabelado, o 
qual é obtido na tabela de distribuição da variável aleatória F, de 
acordo com o nível de significância do teste, graus de liberdade para 
tratamentos e graus de liberdade para resíduo. 
As hipóteses para o teste F da análise de variância para tratamentos, 
são as seguintes: 
Ho: m1 = m2 = ... = mI = m, o que equivale a dizer que todos os 
possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos, são 
estatisticamente nulos, ao nível de probabilidade que foi executado o 
teste. 
Ha: não Ho, o que eqüivale a dizer que existe pelo menos um contraste 
entre as médias dos tratamentos, estatisticamente diferente de zero, 
ao nível de probabilidade que foi realizado o teste. 
A regra decisória para o teste F é a seguinte: 
- Se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F 
tabelado, então rejeita-se H0 e conclui-se que os tratamentos tem 
efeito diferenciado ao nível de significância em que foi realizado o 
teste; 
- Se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado, 
então não rejeita-se H0 e conclui-se que os tratamentos tem 
efeitos iguais ao nível de significância em que foi realizado o 
teste. 
 
 
EXEMPLO 1: 
Para comparar o crescimento de mudas de quatro espécies de 
eucalipto, um pesquisador tomou vinte parcelas similares e distribuiu, 
inteiramente ao acaso, cada uma 4 espécies em 5 parcelas 
experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é 
possível concluir que existe diferença significativa entre as espécies 
com relação ao crescimento das mudas, utilizando o nível de 
significância de 5%? 
 
 Espécies 
 A B C D 
 25 31 22 33 
 26 25 26 29 
 20 28 28 31 
 23 27 25 34 
 21 24 29 28 
Totais 115 135 130 155 
Médias 23 27 26 31 
 
H0 : mA = mB = mC = mD = m 
H1 : não H0 
 
H0 : Todos os possíveis contrastes entre médias de tratamentos, são 
estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade. 
Ha : Existe pelo menos um contraste entre médias de tratamento, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de 
probabilidade. 
 
SQTotal = 
rI
G
YY
2
' 
 
    75,275
20
535
28
29
...
31
25
2829...3125SQTotal
2


















 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
 

















50005
05005
00505
00055
000020
M
 





















51000201
05100201
00510201
00051201
0000201
M 1
 
 








































































 
25,4
75,0
25,0
75,3
75,26
155
130
135
115
535
51000201
05100201
00510201
00051201
0000201
YX'M
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
βˆ 1
4
3
2
1
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
  475.14
155
130
135
115
535
25,475,025,075,375,26 

















 
 
 
SQTrat = 
YX''βˆ
- C = 14.475 – 14.311,25 = 163,75 
 
SQResíduo = Y’Y - 
YX''βˆ
 = 14.587 – 14.475 = 112,00 
 
 
F.V. GL SQ QM F 
Tratamento 3 163,75 54,5833 7,80 
Resíduo 16 112,00 7,00 
Total 19 275,75 
 
Ftab = F5% (3; 16) = 3,24 
 
Fcal > Ftab : rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade, ou seja, 
existe pelo menos um contraste entre médias de tratamento, 
estatisticamente diferente de zero. 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Com os dados abaixo relativos a um experimento no DIC, efetuar a 
análise de variância e concluir para o nível de 5% de probabilidade 
(utilizar o método matricial). 
Tratamentos Total 
1 2 3 4 5 
20,3 25,6 24,9 30,1 31,6 
21,4 26,5 27,3 32,6 32,0 
22,3 26,3 26,8 32,8 31,9 
24,1 25,8 26,4 33,1 32,6 
 25,7 25,9 30,8 
88,1 129,9 131,3 159,4 128,1 636,8 
 
H0 : m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m 
H1 : não H0 
 
H0 : Todos os possíveis contrastes entre médias de tratamentos, são 
estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade. 
Ha : Existe pelo menos um contraste entre médias de tratamento, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de 
probabilidade. 
SQTotal = 
rI
G
YY
2
' 
 
    6261,335
23
8,636
6,32
9,31
...
4,21
3,20
6,329,31...4,213,20SQTotal
2


















 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
 





















400004
050005
005005
000505
000044
0000023
M
 


























410000231
051000231
005100231
000510231
000041231
00000231
M 1
 
 
 
 
 
 


























































































 
3380,4
1930,4
4270,1
7070,1
6620,5
6870,27
1,128
4,159
3,131
9,129
1,88
8,636
410000231
051000231
005100231
000510231
000041231
00000231
YX'M
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
βˆ 1
5
4
3
2
1
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
  2170,947.17
1,128
4,159
3,131
9,129
1,88
8,636
338,4193,4427,1707,1662,5687,27 





















 
 
 
SQTrat = 
YX''βˆ
- C = 17.947,2170 – 17.631,0539 = 316,1631 
 
SQResíduo = Y’Y - 
YX''βˆ
 = 17.966,6800 – 17.947,2170 = 19,4630 
 
F.V. GL SQ QM F 
Tratamento 4 316,1631 79,0408 73,10 
Resíduo 18 19,4630 1,0813 
Total 22 335,6261 
 
Ftab = F5% (4; 18) = 2,93 
 
Fcal > Ftab : rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade, ou seja, 
existe pelo menos um contraste entre médias de tratamento, 
estatisticamente diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formulário e Tabelas 
 
 
Observações: 
- As tabelas que aqui constam, foram adaptadas do livro: Curso de Estatística Experimental (12ª ed) de 
Frederico Pimentel Gomes, 1987. 
- Este material será usado em provas e portanto não deverá conter informações adicionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 1 – Áreas de uma distribuição norma padrão. Cada casa na Tabela dá a proporção sob a curva inteira entre z=0 
e um valor positivo de z. As áreas para os valores de z negativos são obtidas por simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 - Valores de t em níveis de 0,50 a 0,005 de probabilidade (Tabela Bilateral)Tabela 12 - Valores críticos (dc) para o teste de Lilliefors (adaptado de Barbetta et al.2004)