Relatório 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL – REI
CAMPUS ALTO PARAOPEBA
ENGENHARIA CIVIL
FENÔMENOS TÉRMICOS, ONDULATÓRIOS E FLUIDOS
EXPERIMENTO 3 – PÊNDULO SIMPLES
Fernanda de Freitas Alves - 134100072
Ouro Branco, MG, Brasil
Outubro de 2014
1.Introdução
Diz a história que Galileu se interessou por pêndulos enquanto assistia a uma missa na Catedral de Pisa, na época em que frequentava a Universidade local em 1588. Galileu estava observando as oscilações de um candelabro da Catedral de Pisa quando teve a ideia de fazer medidas do tempo de oscilação. Como naquela época ainda não haviam inventado o relógio e nem o cronômetro, Galileu fez a contagem do tempo de oscilação comparando-o com a contagem das batidas de seu próprio pulso. Fazendo isso ele verificou que mesmo quando as oscilações ficavam cada vez menores o tempo delas era sempre o mesmo. Em sua casa ele repetiu o experimento utilizando um pêndulo e novamente o resultado que tinha obtido com a oscilação do lustre foi confirmado, e verificou ainda que o tempo das oscilações dependiam do comprimento do fio.
Só em 1602 é que apresentou a um amigo seu pela primeira vez a ideia do isocronismo de pêndulos, isto é, que o período de oscilação de um pêndulo é independente da sua amplitude (para pequenas oscilações). Foi o início do estudo do movimento harmónico simples (MHS). No ano seguinte, um outro amigo com quem partilhou a descoberta começou a usar pêndulos para medir a pulsação dos seus pacientes, com um instrumento a que chamou pulsilogium. [1]
A partir dos estudos iniciais de Galileu o experimento envolvendo pêndulos ganhou certas características e considerações. O pêndulo simples, mais especificamente, é composto de um fio de comprimento L considerado inextensível preso a um pivô em uma extremidade e a uma massa m na outra. Quando a massa é solta de um ângulo θ0 com a vertical ele oscila de um lado pra o outro com um período de T segundos entre uma oscilação completa e outra. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão sobre o fio e o peso da massa. [2] Assim:Figura 1 - Esquema de características do pêndulo simples
A força peso tem duas componentes Px e Py. O componente Py se anula com a tração e a força resultante é o componente Px que pode ser chamado de força restauradora. Esta força está sempre apontando para o sentido contrário do movimento e força a massa a voltar para seu estado de equilíbrio em θ 0 = 0º. Logo:
No entanto, o ângulo 𝜃, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é X e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por 𝐿, assim:
Substituindo (2) em (1) temos:
Sabendo que a equação do MHS é do tipo concluímos que o pendulo não possui um movimento harmônico simples pois a força não é proporcional ao ângulo e sim ao seno do ângulo. No entanto, sabendo que para podemos dizer o pendulo tem um MHS para pequenos ângulos de oscilação.
Como o peso e o comprimento do fio são constantes podemos dizer que assim a força restauradora pode ser escrita como:
Para qualquer MHS o período é dado por:
Logo:
Se explorarmos a equação (4) um pouco mais podemos achar a seguinte relação:
Podemos linearizar uma função para ter uma ideia melhor da relação entre suas variáveis, isso foi feito com a relação e chegamos a:
Para fazer uma analogia melhor entre o MHS e o movimento do pêndulo podemos destacar a equação do deslocamento do MHS para comparação futura [3]:
2. OBJETIVOS
O objetivo do experimento é observar as oscilações de um pêndulo simples, com intuito de determinar a relação que há entre o comprimento do fio e o período de oscilação e estimar o valor da gravidade local.
3. DESENVOLVIMENTO
3.1. Materiais
- Fio;
- Cilindro (Massa);
- Computador (Origin, Excel, Software de interface);
- Régua;
- Suporte;
- Foto-sensor;
3.2. Montagem
O cilindro foi preso a uma das extremidades do fio e a outra extremidade foi presa ao suporte que deixava o cilindro oscilar livremente no plano vertical. O suporte foi projetado de maneira que se pudesse alterar o comprimento do fio com facilidade.
3.3. Procedimento
O experimento foi dividido em duas partes, a primeira montou-se um pêndulo no qual o corpo tinha forma de um cilindro e esteve suspenso em um ponto fixo por um fio considerado inextensível e de massa desprezível. Posteriormente o pêndulo foi solto de um ângulo θ com a vertical e após contadas 10 oscilações marcava-se o tempo que isso levava e então reduzia-se 5 cm do comprimento, tal procedimento foi repetido 5 vezes.
Na segunda parte, mantiveram-se as condições da primeira parte, porém foi introduzido um foto-sensor para a medição da posição em função do tempo e assim adquirindo a equação do movimento de um pêndulo simples, do período e da frequência. Com as oscilações realizadas pelo pêndulo, a cada 10 segundos, reduzíamos o comprimento do fio em 5 cm, tal procedimento foi realizado 3 vezes.
4. RESULTADOS
Primeira parte da prática, onde os valores foram obtidos sem o auxílio de sensores.
Tabela 1 - Dados obtidos do experimento manual
	Experimento
	L (m)
	Ttotal (s)
	T
	log (L)
	log (T)
	T²
	1
	1,165
	21,50
	2,150
	6,633.10-2
	3,32.10-1
	4,622
	2
	1,115
	21,00
	2,100
	4,728.10-2
	3,22.10-1
	4,410
	3
	1,065
	20,60
	2,060
	2,735.10-2
	3,14.10-1
	4,244
	4
	1,015
	20,28
	2,028
	6,466.10-3
	3,07.10-1
	4,113
	5
	0,965
	19,69
	1,969
	-1,547.10-2
	2,94.10-1
	3,877
Ttotal é o período de 10 oscilações.
A partir dos dados obtidos empiricamente, do período total e do comprimento, foram gerados alguns resultados presentes na tabela 1 usados para plotar os gráficos a seguir:
Figura 2 - Período ao quadrado versus comprimento
Figura 3 - Log do período versus Log do comprimento
Segunda parte da prática, realizada com auxílio de um sensor:Figura 5 – Posição e velocidade do Experimento 2
Figura 4 – Posição e velocidade do Experimento 1
Figura 6– Posição e velocidade do Experimento 3
A afirmação de que o pêndulo se movimentando em pequenos ângulos é um movimento harmônico simples se comprova ao analisar os gráficos da posição e da velocidade em relação ao tempo que tem uma característica periódica, assim como um MHS comum.
Se compararmos a equação (7) com a equação usada no ajuste da curva da posição pelo tempo vamos notar uma constante D somando a equação (7). A justificativa dessa constante é fato de que o movimento não está livre de forças dissipativas, existe o atrito do fio com o suporte e também o arraste do ar sobre o corpo, isso sem considerar que o fio é extensível. 
5. DISCUSÃO E CONCLUSÃO
O gráfico da figura 3 é uma equação do primeiro grau do tipo . O software Origin nos fornece a e b pelo método da regressão linear onde . 
Podemos fazer uma equivalência entre a equação (6) e uma equação de primeiro grau para deduzir o valor de α e de K:
Usando a equação (5) para calcular a aceleração da gravidade para cada um dos experimentos temos:
Tabela 2 - Valores para a gravidade
	Experimento
	L(m)
	T(s)
	g (L, T) (m/s²)
	1
	1,165
	2,15
	9,949671
	2
	1,115
	2,1
	9,981505
	3
	1,065
	2,06
	9,907747
	4
	1,015
	2,028
	9,742937
	5
	0,965
	1,969
	9,826427
Ao fazer a média dos valores da gravidade encontramos a grandeza de 9,881657 m/s² e ao fazer o desvio padrão desses valores encontramos 0,096915, logo a gravidade no CAP é:
O gráfico da figura 2 é uma equação do primeiro grau do tipo onde e por ele podemos perceber que o período e o comprimento da corda estão diretamente relacionados.
Ao realizar os experimentos, adquirimos o tempo de oscilação do pêndulo, e o comprimento de seu fio, com isso calculamos a aceleração da gravidade. Também percebemos que um pêndulo com um movimento harmônico simples, possui um gráfico (posição versus tempo) com formato senoidal, no entanto não é uma senóide perfeita,porque não estamos em um sistema isolado e seu corpo, por ser extenso, aumenta ainda mais o atrito com o ar.
6. REFERÊNCIAS
	[1]
	N. G. Leite, “http://historiadafisicauc.blogspot.com.br,” 15 Junho 2011. [Online]. Available: http://historiadafisicauc.blogspot.com.br/2011/06/galileo-e-o-pendulo.html. [Acesso em 6 Junho 2014].
	[2]
	P. A. Tipler e M. Gene, Física para cientistas e engenheiros, 6ª ed., LTC.
	[3]
	RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Física II: guia para o estudante; problemas programados.  8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1974. [s.p.].