GeoGebra Bruno

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GEOGEBRA
O que é o GEOGEBRA?
Desenvolvido pelo americano Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica feito para ser utilizado em sala de aula. A origem de seu nome se dá pela junção das palavras GEOmetria e álGEBRA.
A obtenção desse programa pode ser feita pelo seguinte site http://www.geogebra.org/cms/..
A interface gráfica do GeoGebra:
�
Zona Gráfica ou Área de Trabalho: Também conhecida como Janela Geométrica, a Área de Trabalho mostra todas as construções feitas tanto pelas opções da Barra de Ferramentas ou por dados digitados na Entrada de Comandos.
Zona Algébrica ou Janela Algébrica: Localizada no lado esquerdo da área de trabalho, a Janela Algébrica mostra todos os dados inseridos e todas as construções feitas na área de trabalho através de coordenadas, equações, medidas de segmentos, volumes, ângulos...
A Entrada de Comandos: Localizada no canto inferior esquerdo da janela do GeoGebra, a Entrada de Comandos é uma caixa de texto que permite ao usuário digitar comandos gerais. Cada comando tem uma ferramenta correspondente que pode ser utilizada com as opções da Barra de Ferramentas (tópico a ser estudado posteriormente).
A Barra de Ferramentas: Composta por 11 funções principais, a barra de ferramentas possui várias outras funções que se obtêm clicando-se no “drop-down” encontrado no canto inferior direito de cada função principal.
Para o desenvolvimento deste trabalho não utilizaremos todas as ferramentas do GEOGEBRA, assim apresentamos a seguir as ferramentas úteis para tal.
� Mover – selecionando essa ferramenta e pressionando o botão esquerdo do mouse sobre um objeto é possível arrastá-lo por toda a janela geométrica, além disso, podemos selecionar parte da janela geométrica, ou seja, do trabalho desenvolvido na mesma, a fim de utilizá-lo em outro programa, como imagem. Isso pode ser feito através do menu arquivo ( exportar ( copiar para a área de transferência.
� Novo ponto - selecionando esta ferramenta e clicando na janela geométrica, com o botão esquerdo do mouse, cria-se um novo ponto. Pode-se inserir um novo ponto, também, pela entrada de comandos (P=(x,y)). Uma curiosidade sobre a geração de pontos é que, se você criar um ponto com a ferramenta � (novo ponto) sobre um dos eixos, esse se moverá somente sobre o mesmo, mas gerando o mesmo, pela entrada de comandos, esse poderá ser movido por toda janela geométrica.
�Interseção de dois objetos - o ponto de interseção entre dois objetos pode ser gerado selecionando dois objetos (reta e curva, curva e eixo dos x, entre outros), dessa forma todas as interseções existentes são marcadas.
�Ponto médio ou centro – para utilizar essa ferramenta, clique, com o botão esquerdo do mouse, em dois pontos ou em um segmento de reta para obter seu ponto médio.
�Reta definida por dois pontos – marcando-se ou escolhendo dois pontos já gerados, traça-se a reta definida por eles.
�Reta perpendicular – clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta e em um ponto, constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta.
�Reta paralela – clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta paralela à reta considerada, passando pelo referido ponto.
�Seletor - selecionando essa ferramenta e clicando sobre qualquer lugar na janela geométrica com o botão esquerdo do mouse, você cria um seletor para um número ou para um ângulo. Aparecerá uma janela na qual você especificará o intervalo [min, máx] do respectivo número ou ângulo e a largura do seletor (em pixel). Um seletor nada mais é do que uma representação gráfica de um número ou ângulos livres.
�Deslocar Eixos – essa ferramenta permite arrastar a área de trabalho ou os eixos.
�Ampliar – ao clicar, com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer lugar da área de trabalho, essa ferramenta produz um zoom de aproximação.
�Reduzir – ao clicar, com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer lugar da área de trabalho, essa ferramenta produz um zoom de afastamento.
OBS: As duas últimas ferramentas podem ser utilizadas girando o scroll do mouse.
�Apagar Objeto - clique com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer objeto que ele será apagado. Para apagar um objeto, basta, também, selecionar o objeto e pressionar a tecla <Del> do seu teclado.
Observe que na medida em que uma ferramenta for selecionada, entre a barra de ferramentas e os botões de fazer e desfazer aparece um pequeno texto dando informações sobre a mesma.
Por exemplo:
Para � aparece �
Para � aparece �
Para � aparece �
Abaixo está uma lista de comandos utilizados na caixa de entrada:
Alguns símbolos matemáticos devem ser inseridos da seguinte forma:
�
Função Polinomial do 1º grau.
Definição: Chamamos de função polinomial do 1º grau, à função que apresenta como expoente, da variável independente (x) de maior grau, 1. Representamos esse tipo de função, genericamente, por e seu gráfico é representado por uma reta. 
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1º grau desenvolvemos os seguintes passos:
1º) Montamos uma tabela, onde atribuímos valores para x a fim de encontrar valores para y, encontrando assim alguns pontos pertencentes à reta que representa a função. Normalmente montamos a tabela atribuindo cinco valores para x, encontrando assim cinco pontos.
2º) Marcamos os pontos encontrados no plano cartesiano.
3º) Traçamos a reta.
Vamos traçar o gráfico de uma função polinomial do 1º grau no GEOGEBRA, como exemplo:
f(x) = x + 1
1º) Passo: Montar tabela.
	x
	y
	P(x,y)
	– 2
	– 1
	(– 2, – 1)
	– 1
	0
	(– 1, 0)
	0
	1
	(0, 1)
	1
	2
	(1, 2)
	2
	3
	(2, 3)
2º) Passo: Marcar os pontos no plano cartesiano. (utilize a ferramenta � ou a entrada de comandos)
3º) Passo: Traçar a reta escolhendo dois pontos. (utilize a ferramenta �)
Através do desenvolvimento do exemplo percebe-se que apenas dois pontos dos cinco já são o suficiente para desenhar a reta no GEOGEBRA.
Pode-se, também, traçar o gráfico dessa função (f(x) = x + 1), escrevendo-a na entrada de comandos, obtendo assim, o gráfico abaixo: (digite na entrada de comandos x+1)
Trabalhando com o seletor:
A ferramenta � (seletor) é muito útil para o trabalho com funções polinomiais do 1º grau, pois nos permite mostrar quais os efeitos causados à reta com a mudança nos valores dos coeficientes da função, a e b, como por exemplo, a função ser crescente, decrescente ou constante.
Para trabalhar com essa questão, criaremos dois seletores: a e b. Esses representarão os coeficientes a e b da função. Estabeleceremos para estes seletores um intervalo de – 5 a 5.
Gerados os seletores, vamos escrever, na caixa de comando, a função polinomial do 1º grau genericamente, da seguinte maneira: a x+b ou a*x+b.
Feito isso, movimentando os seletores estaremos movimentando a reta. Perceba o que acontece ao movimentar o seletor a e o seletor b.
Retas concorrentes, coincidentes e paralelas:
Retas concorrentes são retas que se interceptam em apenas um ponto.
Retas coincidentes são retas que se interceptam em infinitos pontos. 
Retas paralelas são retas que não se interceptam.
Trabalhando essa questão no GEOGEBRA, podem-se perceber algumas curiosidades.
Utilizando a ferramenta � (intersecção de dois objetos) temos:
Entre duas retas concorrentes, encontra-se seu ponto de intersecção.
Entre duas retas coincidentes o GEOGEBRA mostra como ponto indefinido, já que a intersecção entre as duas retas gerará infinitos pontos.
O mesmo acontece com as retas paralelas, porém, para essas isso acontece devido a não existir pontos de intersecção.
Isso permite debater com os alunos a questão de infinidade de pontos em comum e a ausência de pontos em comum.
Função polinomial do 2º grau.
Definição: A função dada por , com a, b e c reais e , denomina-sefunção polinomial do 2º grau ou função quadrática, e isso se dá porque na função polinomial do 2º grau, o valor do expoente da variável independente (x) de maior grau é 2. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. 
Da forma como desenhamos a reta no GEOGEBRA, marcando os pontos e traçando a reta escolhendo dois desses, não serve para a parábola. Para utilizarmos uma ferramenta direta do GEOGEBRA, para parábola, precisamos ter o foco e a reta diretriz. Então, para representarmos à parábola, vamos escrever a função na caixa de entrada e assim teremos o gráfico.
Trabalhando com seletor:
A ferramenta � (seletor) é muito útil, também, para o trabalho com funções polinomiais do 2º grau, pois nos permite mostrar quais os efeitos causados à parábola com a mudança nos valores de a, b e c, como por exemplo, a concavidade ser pra cima ou pra baixo. 
Para trabalhar com essa questão, criaremos três seletores: a, b e c. Esses representarão os coeficientes a, b e c da função. Estabeleceremos para estes seletores um intervalo de – 5 a 5.
Gerados os seletores, vamos escrever, na caixa de comando, a função polinomial do 2º grau genericamente, da seguinte maneira: a x^2+b x+c ou a*x^2+b*x+c.
Feito isso, movimentando os seletores estaremos movimentando a parábola. Perceba o que acontece ao movimentar o seletor a, o seletor b e o seletor c.
Encontrando os elementos da parábola:
Traçar o gráfico, encontrar as raízes, o eixo de simetria, o vértice e o ponto onde a curva intercepta o eixo dos y da função: y = x2 + 3x – 4.
- Desenhando a função: O gráfico será representado por uma parábola, caso contrário, verifique possível erro. Na entrada de comandos, escrevemos a função: x^2+3 x-4 ou x^2+2*x-3
- Encontrando as raízes: Raízes são os pontos onde a curva intercepta o eixo dos x. sendo assim, utilizando a ferramenta � (intersecção de dois objetos) vamos encontrar os pontos de intersecção da curva com o eixo dos x.
- Encontrando o eixo de simetria: Eixo de simetria é uma reta perpendicular ao vértice da parábola e que passa pelo ponto médio entre as raízes da função. Sendo assim, através da ferramenta � (ponto médio ou centro) iremos calcular o ponto médio entre as raízes. Feito isso, com a ferramenta � (reta perpendicular) traçaremos uma reta que passa pelo ponto médio das raízes da função e que é perpendicular ao eixo dos x. Esse será o eixo de simetria. Para diferenciá-lo, clicando com o botão direito do mouse sobre o eixo, abriremos a opção propriedade e vamos mudar o traçado da reta para (tracejado).
- Encontrando o vértice da parábola: como dizemos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto onde o eixo de simetria intercepta a parábola. Para encontrar esse ponto, utilizaremos novamente a ferramenta � (intersecção de dois objetos) e faremos a intersecção entre a curva e o eixo de simetria. Encontrando assim o ponto do vértice.
- Encontrando o ponto onde a reta intercepta o eixo dos y: Como esse ponto possui como abscissa, zero, ou seja, C=(0,y), este ponto se encontra sobre o eixo dos y, com isso, utilizando a ferramenta � (intersecção de dois objetos), faremos a intersecção entre a curva e o eixo dos y, assim obtendo o ponto de intersecção da parábola com o eixo dos y.