Teoria dos Números Matamática Lista 3 (2)

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC¸A˜O INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
AFRO-BRASILEIRA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
LICENCIATURA EM MATEMA´TICA
Teoria dos Nu´meros
3o Lista de Exercı´cios
1. Resolver os seguintes sistemas de congrueˆncias lineares:
(a)
{
x ≡ 1 mod 2
x ≡ 1 mod 3
(b)
{
x ≡ 5 mod 12
x ≡ 7 mod 19
(c)

x ≡ 3 mod 5
x ≡ 5 mod 7
x ≡ 7 mod 11
(d)

x ≡ 1 mod 3
x ≡ 2 mod 5
x ≡ 3 mod 7
(e)

x ≡ 5 mod 6
x ≡ 4 mod 11
x ≡ 3 mod 17
(f)

5x ≡ 11 mod 17
3x ≡ 19 mod 32
11x ≡ 6 mod 37
(g)

x ≡ 8 mod 9
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 5 mod 7
(h)

2x ≡ 1 mod 5
3x ≡ 9 mod 6
4x ≡ 1 mod 7
5x ≡ 9 mod 11
(i)

x ≡ 4 mod 6
x ≡ 13 mod 15
x ≡ 8 mod 14
x ≡ 1 mod 7
2. Mostre que 8 e´ composto e que 19 e´ primo usando o teorema e o recı´proco do teorema
de Wilson.
3. Mostrar que:
(a) 186 ≡ 1 mod 49
(b) 186 ≡ 1 mod 343
(c) 18! + 1 ≡ 0 mod 437
(d) 561|(2561 − 2)
(e) 561|(3561 − 2)
(f) 15! ≡ 1 mod 17
(g) se (a, 35) = 1, enta˜o a12 ≡ 1 mod 35
4. Demonstrar que, para todo inteiro a, se tem
(a) a13 ≡ a mod 7
(b) a37 ≡ a mod 13
(c) a21 ≡ a mod 15
(d) a7 ≡ a mod 42
5. Mostre que, para todo n, se tem:
(a) 22n ≡ 1 mod 3 (b) 23n ≡ 1 mod 7
6. Sendo p e q primos, calcule:
(a) d(pq)
(b) d(p2q)
(c) d(p3q)
(d) s(pq)
(e) s(p3)
(f) s(p2q)
7. Calcule:
(a) d(42)
(b) d(240)
(c) d(420)
(d) d(10115)
(e) s(1008)
(f) s(10115)
(g) s(420)
(h) d(s(360))
(i) s(d(180))
(j) φ(420)
(k) φ(1001)
(l) φ(5040)
(m) φ(8316)
(n) d(φ(15))
(o) φ(d(15))
8. verifique as seguintes relac¸o˜es:
(a) s(8)s(3) = s(24) (b) s(8)s(9) = s(72) (c) s(4)s(27) = s(108)
9. Determine o inteiro n = 2x.5y.7z, sabendo que os produtos 5n, 7n e 8n teˆm respectiva-
mente 8, 12 18 divisores positivos a mais que n.
10. Resolva as equac¸o˜es:
(a) s(x) = 36 (b) s(x) = 60
11. Mostre:
(a) d(n) ≤ 2√n (b) n ≤ s(n) ≤ n2
12. Mostre que e´ multiplicativa a func¸a˜o aritme´tica f(n) = nk, onde k e´ um inteiro fixo
positivo.
13. Mostre que se f(n) e g(n) sa˜o func¸o˜es aritme´ticas multiplicativas, enta˜o a func¸a˜o aritme´tica
h(n) = f(n)g(n) tambe´m e´ multiplicativa.
14. Mostre que se f(n) e g(n) sa˜o func¸o˜es aritme´ticas multiplicativas tais que f(pk) = g(pk)
para todo p primo e k ≥ 1, enta˜o f = g.
15. Sendo µ a func¸a˜o de Mo¨bius, mostre:
(a) µ(n)µ(n+ 1)µ(n+ 2)µ(n+ 3) = 0, ∀n ≥ 1
(b) µ(1!) + µ(2!) + µ(3!) + ...+ µ(n!) = 1, ∀n ≥ 3
16. Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) [x+ 3] = x+ 3 (b) [x+ 3] = [x] + 3 (c) [x] + [x] = [2x]
17. Sejam x e y nu´meros reais. Determine as seguintes propriedades da func¸a˜o maior
inteiro:
(a) [x+ n] = [x] + n, ∀n ∈ Z.
(b) [x] + [y] ≤ [x+ y] ≤ [x] + [y] + 1.
(c) [x][y] ≤ [xy].
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18. Calcular (φ(p)s(p) + 1)/p, sendo p um primo.
19. Mostre que φ(n+ 2) = φ(n) + 2, para n = 12, 14, 20.
20. Usando o teorema de Euler, resolva as seguintes congrueˆncias lineares.
(a) 5x ≡ 7 mod 12
(b) 2x ≡ 3 mod 9
(c) 7x ≡ 1 mod 10
(d) 8x ≡ 4 mod 5
(e) 2x ≡ 1 mod 17
(f) 5x ≡ −3 mod 8
21. Demonstrar que:
(a) φ(n2) = nφ(n), para todo inteiro positivo n.
(b) φ(2n) = φ(n), se n e´ um inteiro positivo ı´mpar.
(c) φ(4n) = 2φ(n), se n e´ um inteiro positivo ı´mpar.
(d) φ(2n) = 2φ(n), se n e´ um inteiro positivo par.
(e) φ(3n) = 3φ(n) se, e somente se, 3|n.
(f) φ(n) = n
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se e somente se n = 2k, para algum k ≥ 1.
22. Mostre que se o mdc(m,n) = 2, enta˜o φ(mn) = φ(m)φ(n).
23. Mostre que
√
n/2 ≤ φ(n) ≤ n para todo inteiro positivo n.
24. Mostre que se o inteiro n > 1 tem r fatores primos distintos, enta˜o φ(n) ≥ n/2r.
25. Mostre que se o inteiro positivo n tem r fatores primos ı´mpares distintos, enta˜o 2r|φ(n).
26. Mostre que se n e n+ 1 sa˜o primos geˆmeos, enta˜o φ(n+ 2) = φ(n) + 2.
27. Mostre que se n = 2k ou n = 2k3j , onde k e j sa˜o inteiros positivos, enta˜o φ(n) | n.
28. Mostre que se d | n, enta˜o φ(d) | φ(n).
”Bom Trabalho”
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