Res Mat I Aula 03 02 Momento de Inercia mod

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Resistência dos Materiais I
Prof. Dr. Alexandre de Souza Rios
Momento de inércia: perfil retangular, U, T, I, L
03.02 (parte I) - Cálculo de momentos em 
determinados pontos de uma barra ou viga
Motivação ou justificativa dessa aula
Motivação ou justificativa dessa aula
Motivação ou justificativa dessa aula
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
Objetivos de aprendizagem
• Calcular as propriedades de geometria das
massas de perfis estruturais: centróide e
momento de inércia;
• Calcular o momento fletor em determinadas
regiões de perfis estruturais submetidos aos
esforços mecânicos;
• Calcular tensões flexivas trativas e
compressivas em perfis estruturais.
Perfil em U
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
ത𝑦 =
75 ⋅ 20 ⋅ 150 + 10 ⋅ 150 ⋅ 20 + 75 ⋅ 20 ⋅ 150
20 ⋅ 150 + 150 ⋅ 20 + 20 ⋅ 150
ത𝑦 = 53,333 mm
Perfil em U
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
ത𝑦 =
75 ⋅ 20 ⋅ 150 + 10 ⋅ 150 ⋅ 20 + 75 ⋅ 20 ⋅ 150
20 ⋅ 150 + 150 ⋅ 20 + 20 ⋅ 150
ത𝑦 = 53,333 mm
𝑑1 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
𝑑2 = 53,333 − 10 = 43,333 𝑚𝑚
𝑑3 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
Perfil em U
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
ത𝑦 =
75 ⋅ 20 ⋅ 150 + 10 ⋅ 150 ⋅ 20 + 75 ⋅ 20 ⋅ 150
20 ⋅ 150 + 150 ⋅ 20 + 20 ⋅ 150
ത𝑦 = 53,333 mm
𝑑1 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
𝑑2 = 53,333 − 10 = 43,333 𝑚𝑚
𝑑3 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
Perfil em U
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2 + ഥ𝐼3 + 𝐴3𝑑3
2
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
ത𝑦 =
75 ⋅ 20 ⋅ 150 + 10 ⋅ 150 ⋅ 20 + 75 ⋅ 20 ⋅ 150
20 ⋅ 150 + 150 ⋅ 20 + 20 ⋅ 150
ത𝑦 = 53,333 mm
𝑑1 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
𝑑2 = 53,333 − 10 = 43,333 𝑚𝑚
𝑑3 = 75 − 53,333 = 21,667 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2 + ഥ𝐼3 + 𝐴3𝑑3
2
𝐼𝑥 =
20 ⋅ 1503
12
+ 20 ⋅ 150 ⋅ 21,6672 +
150 ⋅ 203
12
+ 150 ⋅ 20 ⋅ 43,3332 +
20 ⋅ 1503
12
+ 20 ⋅ 150 ⋅ 21,6672
𝐼𝑥 = 19800000 𝑚𝑚
4 = 𝟏, 𝟗𝟖 ⋅ 𝟏𝟎−𝟓 𝒎𝟒
Perfil em U
Perfil em T
Perfil em T
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
ത𝑦 =
30 ⋅ 40 ⋅ 60 + 70 ⋅ 80 ⋅ 20
40 ⋅ 60 + 80 ⋅ 20
= 46 𝑚𝑚
Perfil em T
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 46 − 30 = 16 𝑚𝑚
𝑑2 = 70 − 46 = 24 𝑚𝑚
ത𝑦 =
30 ⋅ 40 ⋅ 60 + 70 ⋅ 80 ⋅ 20
40 ⋅ 60 + 80 ⋅ 20
= 46 𝑚𝑚
Perfil em T
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 46 − 30 = 16 𝑚𝑚
𝑑2 = 70 − 46 = 24 𝑚𝑚
ത𝑦 =
30 ⋅ 40 ⋅ 60 + 70 ⋅ 80 ⋅ 20
40 ⋅ 60 + 80 ⋅ 20
= 46 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2
Perfil em T
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 46 − 30 = 16 𝑚𝑚
𝑑2 = 70 − 46 = 24 𝑚𝑚
ത𝑦 =
30 ⋅ 40 ⋅ 60 + 70 ⋅ 80 ⋅ 20
40 ⋅ 60 + 80 ⋅ 20
= 46 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2
𝐼𝑥 =
40 ⋅ 603
12
+ 40 ⋅ 60 ⋅ 162 +
80 ⋅ 203
12
+ 80 ⋅ 20 ⋅ 242
𝐼𝑥 = 2309333,333 𝑚𝑚
4 = 𝟐, 𝟑𝟎𝟗𝟑𝟑𝟑 ⋅ 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟒
Perfil em I
ത𝑦 =
7,5 ⋅ 100 ⋅ 15 + 75 ⋅ 15 ⋅ 120 + 142,5 ⋅ 100 ⋅ 15
100 ⋅ 15 + 15 ⋅ 120 + 100 ⋅ 15
ത𝑦 = 75 𝑚𝑚
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
Perfil em I
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
ത𝑦 = 75 𝑚𝑚
𝑑1 = 75 − 7,5 = 67,5 𝑚𝑚
𝑑2 = 75 − 75 = 0 𝑚𝑚
𝑑3 = 142,5 − 75 = 67,5 𝑚𝑚
ത𝑦 =
7,5 ⋅ 100 ⋅ 15 + 75 ⋅ 15 ⋅ 120 + 142,5 ⋅ 100 ⋅ 15
100 ⋅ 15 + 15 ⋅ 120 + 100 ⋅ 15
Perfil em I
ത𝑦 = 75 𝑚𝑚
𝑑1 = 75 − 7,5 = 67,5 𝑚𝑚
𝑑2 = 75 − 75 = 0 𝑚𝑚
𝑑3 = 142,5 − 75 = 67,5 𝑚𝑚 𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
ത𝑦 =
7,5 ⋅ 100 ⋅ 15 + 75 ⋅ 15 ⋅ 120 + 142,5 ⋅ 100 ⋅ 15
100 ⋅ 15 + 15 ⋅ 120 + 100 ⋅ 15
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
Perfil em I
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2 + ഥ𝐼3 + 𝐴3𝑑3
2
ത𝑦 = 75 𝑚𝑚
𝑑1 = 75 − 7,5 = 67,5 𝑚𝑚
𝑑2 = 75 − 75 = 0 𝑚𝑚
𝑑3 = 142,5 − 75 = 67,5 𝑚𝑚 𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 =
100 ⋅ 153
12
+ 100 ⋅ 15 ⋅ 67,52 +
15 ⋅ 1203
12
+ 15 ⋅ 120 ⋅ 02 +
100 ⋅ 153
12
+ 100 ⋅ 15 ⋅ 67,52
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2 + ഥ𝐼3 + 𝐴3𝑑3
2
𝐼𝑥 = 15885000 𝑚𝑚
4 = 𝟏, 𝟓𝟖𝟖𝟓 ⋅ 𝟏𝟎−𝟓 𝒎𝟒
ത𝑦 =
7,5 ⋅ 100 ⋅ 15 + 75 ⋅ 15 ⋅ 120 + 142,5 ⋅ 100 ⋅ 15
100 ⋅ 15 + 15 ⋅ 120 + 100 ⋅ 15
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
Perfil em I
Perfil em L
Perfil em L
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
ത𝑦 =
25 ⋅ 7,5 ⋅ 50 + 3,75 ⋅ 20 ⋅ 7,5
7,5 ⋅ 50 + 20 ⋅ 7,5
= 18,92857 𝑚𝑚
Perfil em L
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 25 − 18,92857 = 6,07143 𝑚𝑚
𝑑2 = 18,92857 − 3,75 = 15,17857 𝑚𝑚
ത𝑦 =
25 ⋅ 7,5 ⋅ 50 + 3,75 ⋅ 20 ⋅ 7,5
7,5 ⋅ 50 + 20 ⋅ 7,5
= 18,92857 𝑚𝑚
Perfil em L
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 25 − 18,92857 = 6,07143 𝑚𝑚
𝑑2 = 18,92857 − 3,75 = 15,17857 𝑚𝑚
ത𝑦 =
25 ⋅ 7,5 ⋅ 50 + 3,75 ⋅ 20 ⋅ 7,5
7,5 ⋅ 50 + 20 ⋅ 7,5
= 18,92857 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2
Perfil em L
ത𝑦 =
σ𝑖 ഥ𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
=
𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
𝑑1 = 25 − 18,92857 = 6,07143 𝑚𝑚
𝑑2 = 18,92857 − 3,75 = 15,17857 𝑚𝑚
ത𝑦 =
25 ⋅ 7,5 ⋅ 50 + 3,75 ⋅ 20 ⋅ 7,5
7,5 ⋅ 50 + 20 ⋅ 7,5
= 18,92857 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = ෍ ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2
𝐼𝑥 = ഥ𝐼1 + 𝐴1𝑑1
2 + ഥ𝐼2 + 𝐴2𝑑2
2
𝐼𝑥 =
7,5 ⋅ 503
12
+ 7,5 ⋅ 50 ⋅ 6,071432 +
20 ⋅ 7,53
12
+ 20 ⋅ 7,5 ⋅ 15,178572
𝐼𝑥 = 127209,8214 𝑚𝑚
4 = 𝟏, 𝟐𝟕𝟐𝟎𝟗𝟖 ⋅ 𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟒
1. Adotar a referência na região
limite inferior do perfil (y=0)
2. Identificar os centróides de
cada área e calcular suas
distâncias a partir da
referência (𝑦1, 𝑦2, . . . 𝑦𝑛);
3. Calcular o centróide geral da
peça ( ത𝑦): ത𝑦 =
σ𝑖 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
4. Calcular as distâncias de cada
𝑦𝑛 para o ത𝑦, ou seja, calcular
𝑑1, 𝑑2,..., 𝑑𝑛
5. Calcular o momento de
inércia: 𝐼𝑥 = σ( ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2)
Tutorial para cálculo de centróide e 
momento de inércia
Tutorial para cálculo de centróide e 
momento de inércia
Adotar1. a referência na região
limite inferior do perfil (y=0)
Identificar2. os centróides de
cada área e calcular suas
distâncias a partir da
referência (𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖)
Calcular3. o centróide geral da
peça ( ത𝑦): ത𝑦 =
σ𝑖 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
Calcular4. as distâncias de cada
𝑦𝑛 para o ത𝑦, ou seja, calcular
𝑑1, 𝑑2,..., 𝑑𝑛
Calcular5. o momento de
inércia: 𝐼𝑥 = σ( ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2)
𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖
1. Adotar a referência na região
limite inferior do perfil (y=0)
2. Identificar os centróides de
cada área e calcular suas
distâncias a partir da
referência (𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖)
3. Calcular o centróide geral do
perfil ( ത𝑦): ത𝑦 =
σ𝑖 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
4. Calcular as distâncias de cada
𝑦𝑛 para o ത𝑦, ou seja, calcular
𝑑1, 𝑑2,..., 𝑑𝑛
5. Calcular o momento de
inércia: 𝐼𝑥 = σ( ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2)
ത𝑦
Tutorial para cálculo de centróide e 
momento de inércia
𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖
1. Adotar a referência na região
limite inferior do perfil (y=0)
2. Identificar os centróides de
cada área e calcular suas
distâncias a partir da
referência (𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖)
3. Calcular o centróide geral do
perfil ( ത𝑦): ത𝑦 =
σ𝑖 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
4. Calcular as distâncias de cada
ഥ𝑦𝑖 para o ത𝑦, ou seja, calcular
𝑑1,𝑑2,..., 𝑑𝑖
5. Calcular o momento de
inércia: 𝐼𝑥 = σ( ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2)
ത𝑦
𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖
𝑑1, 𝑑2,... 𝑑𝑖
Tutorial para cálculo de centróide e 
momento de inércia
1. Adotar a referência na região
limite inferior do perfil (y=0)
2. Identificar os centróides de
cada área e calcular suas
distâncias a partir da
referência (𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖)
3. Calcular o centróide geral do
perfil ( ത𝑦): ത𝑦 =
σ𝑖 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖 𝐴𝑖
4. Calcular as distâncias de cada
ഥ𝑦𝑖 para o ത𝑦, ou seja, calcular
𝑑1, 𝑑2,..., 𝑑𝑖
5. Calcular o momento de
inércia: 𝐼𝑥 = σ( ഥ𝐼𝑥 + 𝐴𝑑
2)
ത𝑦
𝑦1, 𝑦2, . . . ഥ𝑦𝑖
𝑑1, 𝑑2,... 𝑑𝑖
Tutorial para cálculo de centróide e 
momento de inércia
Esforços• externos geram
cisalhamento interno e momento
fletor que variam ao longo da viga;
Método• das seções: expressar V e
M em função de uma posição
arbitrária (x) ao longo da viga.
Cálculo de momento em determinados 
pontos de perfis
• Esforços externos geram
cisalhamento interno e momento
fletor que variam ao longo da viga;
• Método das seções: expressar V e
M em função de uma posição
arbitrária (x) ao longo da viga.
Cálculo de momento em determinados 
pontos de perfis
Da esquerda pra direita
• Esforços externos geram
cisalhamento interno e momento
fletor que variam ao longo da viga;
• Método das seções: expressar V e
M em função de uma posição
arbitrária (x) ao longo da viga.
Cálculo de momento em determinados 
pontos de perfis
Da esquerda pra direita
Da direita pra esquerda
Cálculo de momento em determinados 
pontos de perfis
Da esquerda pra direita
Da direita pra esquerda
Exercício 5.15 (Beer; 5ª edição)
Para• a viga e o carregamento mostrados na
figura, determine a tensão normal máxima
provocada pelo momento fletor na seção
transversal C.
Para• a viga e o carregamento mostrados na
figura, determine a tensão normal máxima
provocada pelo momento fletor na seção
transversal C.
𝜎=6,985 MPa
Exercício 5.15 (Beer; 5ª edição)
Uma• viga possui diferentes momentos
fletores e esforços cisalhantes ao longo de seu
comprimento quando diferentes esforços
mecânicos são impostos;
Toda• a viga submetida à flexão obedece à
relação 𝜎=Mc/I.
Síntese
Para• a viga e o carregamento mostrados na
figura, determine a tensão normal máxima
provocada pelo momento fletor na seção
transversal D ou E.
Atividade complementar 3
Obrigado pela presença e até a 
próxima aula!