Capítulo 06 - Flexão

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
- FLEXÃO -
MOSSORÓ/RN
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Profª. MSc. CHRISTIANE MYLENA TAVARES DE 
MENEZES GAMELEIRA
ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO
◼ CAPÍTULO 6 – FLEXÃO
6.1Diagrama de força cortante e momento fletor
6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e
momento fletor
6.3 Deformação por flexão de um elemento reto
6.4 A fórmula de flexão
6.5 Flexão assimétrica
6.6 Vigas compostas
2
Objetivos do capítulo
 Determinar a tensão provocada nos elementos 
estruturais e mecânicos usados para projetos de 
engenharia por conta da flexão.
3
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Elementos longos e retos que suportam cargas 
perpendiculares a seu eixo longitudinal são 
denominados vigas.
 Vigas são classificadas de acordo com o modo 
como são apoiadas.
4
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
Exemplos:
 Uma viga simplesmente apoiada é 
suportada por um apoio fixo em uma 
extremidade e um apoio móvel (ou 
rolete) na outra extremidade.
 Uma viga em balanço é engastada 
em uma extremidade e livre na outra.
 Uma viga apoiada com extremidade 
em balanço é uma viga na qual uma 
ou ambas as extremidades 
ultrapassam livremente os apoios.
5
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Exemplos de vigas:
 Elementos utilizados para suportar o piso de um 
edifício;
 Plataforma de uma ponte;
 Asa de avião;
 Eixo de um automóvel;
 Lança de um guindaste;
 Ossos do corpo humano (agem como vigas).
6
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas 
desenvolvem uma força de cisalhamento interna 
(força cortante) e momento fletor que, em geral, 
variam de ponto para ponto ao longo do eixo da 
viga.
 Para projetar uma viga corretamente, em primeiro 
lugar, é necessário determinar a força de 
cisalhamento e o momento máximos que agem na 
viga.
7
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Um modo de fazer isso é expressar V e M em 
função de uma posição arbitrária x ao longo do 
eixo da viga.
 Então, essas funções de cisalhamento e momento 
podem ser representadas em gráficos denominados 
diagramas de força cortante e momento fletor.
 Os valores máximos tanto de V quanto de M 
podem ser obtidos desses gráficos.
8
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Esses diagramas fornecem informações detalhadas 
sobre a variação do cisalhamento e do momento ao 
longo do eixo da viga, por isso, são 
frequentemente usados pelos engenheiros para 
decidir onde colocar os materiais de reforço no 
interior da viga ou como calcular as dimensões da 
viga em vários pontos ao longo do seu 
comprimento.
9
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 No capítulo 01 (Tensão), seção 1.2, utilizamos o 
método das seções para determinar o 
carregamento interno de um elemento em um ponto 
específico.
 Todavia, se tivermos de determinar V e M internos 
em função de x ao longo de uma viga, então será 
necessário localizar a seção ou corte imaginário a 
uma distância x da extremidade da viga e 
formular V e M em termos de x.
10
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Nesse sentido, a escolha da origem e da direção 
positiva para qualquer distância x selecionada é 
arbitrária.
 Entretanto, na maioria das vezes, a origem é 
localizada na extremidade esquerda da viga e a 
direção positiva é da esquerda para a direita.
11
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento 
fletor obtidas em função de x serão descontínuas, ou 
seja, suas inclinações serão descontínuas em pontos nos 
quais uma carga distribuída muda ou onde são 
aplicadas forças concentradas ou conjugadas.
 Por essa razão, as funções de cisalhamento e momento 
fletor devem ser determinadas para cada região da 
viga localizada entre quaisquer duas descontinuidades 
de carregamento.
12
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Exemplo:
As coordenadas x1, x2 e x3 terão de ser usadas para 
descrever a variação V e M em todo o comprimento da viga.
Essas coordenadass serão válidas somente dentro das regiões 
de A a B para x1, de B a C para x2 e de C a D para x3.
13
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
 Convenção de sinal para 
vigas.
Embora a escolha de uma convenção de 
sinal seja arbitrária, aqui adotaremos a 
convenção frequentemente utilizada na prática da 
engenharia.
As direções positivas indicam que a 
carga distribuída age para baixo na viga e a 
força cortante interna provoca uma rotação em 
sentido horário no segmento da viga sobre a qual 
ela age; e o momento interno causa compressão 
nas fibras superiores do segmento de forma que a 
flexão deste faz com que ele retenha água.
14
PONTOS IMPORTANTES
 Vigas são elementos longos e retos que suportam cargas 
perpendiculares a seu eixo longitudinal. Elas são classificadas 
de acordo com o modo como são apoiadas, por exemplo, 
simplesmente apoiadas, em balanço ou apoiadas com uma 
extremidade em balanço.
 Para projetar adequadamente uma viga, é importante 
conhecer a variação do cisalhamento e do momento fletor ao 
longo do seu eixo, de modo a determinar os pontos onde esses 
valores são máximos.
15
PONTOS IMPORTANTES
 Com a determinação de uma convenção de sinal para 
cisalhamento e momento positivos, o cisalhamento e o momento 
na viga podem ser determinados em função de sua posição x, 
e esses valores podem ser representados em gráficos 
denominados diagramas de força cortante e momento fletor.
16
Represente graficamente os diagramas de força cortante 
e momento fletor para a viga dada.
Exemplo 6.1
Solução:
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação 
das equações de equilíbrio produz
( ) (4) 
222
 ;0 
(3) 
2
0
2
 ;0
 xL
P
Mx
PL
xPMM
P
VVP
P
Fy
−=−





−+=
−==−−=




==+
==+
(2) 
2
 ;0
(1) 
2
 ;0
x
P
MM
P
VFy
Segmento esquerdo da viga se estende até a distância 
x na região BC.
O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 ➔
O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 ➔
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a 
viga mostrada ao lado.
Exemplo 6.6
Solução:
Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as funções de 
cisalhamento e momento da viga inteira.
( ) (2) kNm 8075,5075,580 ;0
(1) kN 75,5075,5 ;0
m, 50
11
1
+==+−−=+
==−=+



xMMxM
VVF
x
y
( ) ( )
( )
( ) (4) kNm 5,9275,155,2 
0
2
5
551575,580 ;0
(3) kN 575,150551575,5 ;0
m, 10m 5
2
2
2
2
21
22
1
++−=
=+




 −
−+++−−=+
−==−−−−=+



xxM
M
x
xxM
xVVxF
x
y
O diagrama de força cortante 
representa as equações 1 e 3 ➔
O momento fletor das equações 2 e 4 ➔
23
6.2 Método gráfico para construir diagramas de 
força cortante e momento fletor
 Método baseado em duas relações diferenciais que 
existem entre carga distribuída, cisalhamento e 
momento.
24
6.2 Método gráfico para construir diagramas de 
força cortante e momento fletor
25
Regiões de carga distribuida
• Essas duas equações proporcionam um meio 
conveniente para se obter rapidamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor 
para uma viga:
( )xw
dx
dV
−=
inclinação do 
diagrama de 
força cortante em
cada ponto
–intensidade da 
carga distríbuida 
em cada ponto
V
dx
dM
=
inclinação do 
diagrama de 
momento em 
cada ponto
cisalhamento(forç
a cortante) em 
cada ponto
6.2 Método gráfico para construir diagramas de 
força cortante e momento fletor
26
• Podemos integrar essas áreasentre quaisquer dois pontos para mudar a 
carga distribuída e a força cortante.
( )dxxwV −=
mudança na
força cortante
–área sob a 
carga distribuída
( )dxxVM =
mudança no 
momento
área sob o 
diagrama de força 
cortante
Regiões de força e 
momento concentrados
• Alguns dos casos
comuns de 
carregamento:
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 Discutiremos as deformações que ocorrem quando uma viga 
prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida 
à flexão.
 A discussão ficará limitada a vigas com área de seção 
transversal simétrica em relação a um eixo e a um momento 
fletor aplicado em torno de uma linha central perpendicular a 
esse eixo de simetria.
28
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 O comportamento de elementos com seções 
transversais assimétricas ou feitos de vários 
materiais diferentes é baseado em observações 
semelhantes e será discutido separadamente em 
seções posteriores.
 Se usarmos um material de alta capacidade de 
deformação, como a borracha, poderemos ilustrar 
fisicamente o que acontece quando um elemento 
prismático reto é submetido a um momento fletor.
29
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 Exemplo: uma barra reta (não deformada), que 
tem seção transversal quadrada e marcada por 
uma grade de linhas longitudinais e transversais.
30
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 Quando um momento fletor é aplicado, as linhas da 
grade tendem a se distorcer segundo o padrão 
mostrado na figura.
 As linhas longitudinais se tornam curvas e as linhas 
transversais verticais continuam retas, porém sofrem 
rotação.
31
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um 
momento fletor provoca o alongamento do material na parte 
inferior da barra e a compressão do material na porção 
superior da barra.
 Por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma 
superfície, denominada superfície neutra, na qual não 
ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais 
do material.
32
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
33
• A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se 
deforma por flexão.
• Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de 
compressão do outro lado.
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
 Por conta da deformação, a deformação longitudinal varia 
linearmente de zero no eixo neutro a máxima nas fibras 
externas da viga. Contanto que o material seja homogêneo e 
a lei de Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente 
na seção transversal.
34
6.3 Deformação por flexão de um 
elemento reto
35
• A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.
• A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo.
• O eixo natural passa pelo centroide da área da seção transversal. 
6.4 A fórmula da flexão
 Desenvolveremos uma fórmula que relaciona a 
distribuição de tensão longitudinal em uma viga e o 
momento fletor interno resultante que age na seção 
transversal da viga.
 Para isto, partiremos da premissa de que o 
material se comporta de uma maneira linear 
elástica, de modo que a lei de Hooke se aplica, isto 
é 𝜎 = 𝐸𝜖. Então, uma variação linear da 
deformação normal deve ser a consequência de 
uma variação linear da tensão normal.
36
6.4 A fórmula da flexão
37
6.4 A fórmula da flexão
 A fórmula da flexão baseia-se no fato de que o momento 
resultante na seção transversal é igual ao momento produzido 
pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.
38
I
Mc
máx =
σ = tensão normal máxima no elemento
M = momento interno resultante
I = momento de inércia
C = distância perpendicular do eixo neutro a um 
ponto mais afastado do eixo neutro
PONTOS IMPORTANTES
 A seção transversal de uma viga reta permanece plana 
quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma 
tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de 
compressão do outro lado. O eixo neutro é submetido a 
tensão nula.
 Por conta da deformação, a deformação longitudinal varia 
linearmente de zero no eixo neutro a máxima nas fibras 
externas da viga. Contanto que o material seja homogêneo e 
a lei de Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente 
na seção transversal.
39
PONTOS IMPORTANTES
 Quando o material é linear elástico, o eixo neutro passa pelo 
centroide da área da seção transversal. Essa conclusão se 
baseia no fato de que a força normal resultante que age na 
seção transversal deve ser nula.
 A fórmula da flexão baseia-se no fato de que o momento 
resultante na seção transversal é igual ao momento produzido 
pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo 
neutro.
40
A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura 
abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a 
distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.
Exemplo 6.15
Solução:
O momento máximo interno na viga é . kNm 5,22=M
Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia
altura da viga, e o momento de inercia é
( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) 46
323
2
m 103,301 
3,002,0
12
1
16,0002,025,002,025,0
12
1
2 
−=






+





+=
+= AdII
Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm,
( )
( )
(Resposta) MPa 7,12
103,301
17,05,22
 ;
6máxmáx
===
−

I
Mc
44
45
6.5 Flexão assimétrica
 Quando desenvolvemos a fórmula de flexão, impulsemos a 
condição de que a área da seção transversal fosse simétrica 
em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também 
que o momento interno resultantes M agisse ao longo do eixo 
neutro. O que ocorre nas seções T ou em U, mostradas nas 
figuras.
46
6.5 Flexão assimétrica
 Porém, essas condições são desnecessárias, e, 
nesta seção, mostraremos que a fórmula de 
flexão também pode ser aplicada tanto a uma 
viga com área de seção transversal de 
qualquer formato, como a uma viga com 
momento interno resultante que aja em 
qualquer direção.
47
6.5 Flexão assimétrica
48
Momento aplicado ao longo do eixo principal
• Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção 
transversal, em termos gerais, como
y
y
z
z
I
zM
I
yM
+−=
σ = tensão normal no ponto
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z
My, Mz = componentes do momento interno resultante 
direcionados ao longo dos eixos y e z
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados
em torno dos eixos y e z
6.5 Flexão assimétrica
 A fórmula de flexão só pode ser aplicada quando a flexão 
ocorrer em torno de eixos que representem os eixos principais 
de inércia para a seção transversal. Esses eixos têm origem no 
centroide e estão orientados ao longo de um eixo principal de 
simetria, caso ele exista, e perpendicularmente a ele.
 Se o momento for aplicado em torno de algum eixo arbitrário, 
então deve ser decomposto em componentes ao longo de 
cada um dos eixos principais, e a tensão em um ponto é 
determinada por superposição da tensão provocada por 
cada uma das componentes do momento.
49
6.5 Flexão assimétrica
50
Orientação do eixo neutro
• O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos
 tgtg
y
z
I
I
=
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão 
normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro.
Exemplo 6.19
Solução:
Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
( )
( ) kNm 50,730sen15
kNm 99,1230cos15
==
==
z
y
M
M
Para propriedades da seção, temos
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
m 0890,0
2,003,004,01,0
2,003,0115,004,01,005,0
=
+
+
==


A
Az
z
Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inércia
são:
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 4623
23
4633
m 1092,13089,0115,003,02,003,02,0
12
1
 
05,0089,004,01,01,004,0
12
1
m 1053,202,003,0
12
1
04,01,0
12
1
−
−
=





−++






−+=
=+=
y
z
I
I
2AdII +=
A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(Resposta) MPa 3,90
1092,13
089,099,12
1053,20
02,05,7
MPa 8,74
1092,13
041,099,12
1053,20
1,05,7
66
66
−=
−
+−=
=+
−
−=
+−=
−−
−−
C
B
y
y
z
z
I
zM
I
yM



y deve representar o eixo para o momento principal de inércia mínimo, e z deve 
representar o eixo para o momento principal de inércia máximo.
( )
( )
=






=
−
−
6,68 
60tg
1092,13
1053,20
tg
6
6


6.6 Vigas compostas
55
• Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas 
vigas compostas.
• O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes 
materiais que compõem a viga.
56
6.6 Vigas compostas
 Vigas compostas são feitas de materiais diferentes, 
de modo a suportar uma carga com eficiência. 
 A aplicação da fórmula de flexão exige que o 
material seja homogêneo e, portanto, a seção 
transversal da viga deve ser transformada em um 
único material, se quisermos usar essa fórmula para 
calcular a tensão de flexão.
57
6.6 Vigas compostas
 O fator de transformação é uma razão entre os 
módulos de elasticidade dos diferentes materiais 
que compõem a viga.
 Usado como multiplicador, esse fator converte as 
dimensões da seção transversal da viga composta 
em uma viga feita de um único material, de modo 
que essa viga tenha a mesma resistência que a 
viga composta.
 Assim, o material rígido será substituído por um 
material menos rígido e vice-versa.
58
6.6 Vigas compostas
 Uma vez determinada a tensão na seção 
transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator 
de transformação para obter a tensão na viga 
verdadeira.
59
Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada
em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura
abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão
normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
Exemplo 6.21
Solução:
Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço.
( ) mm 9150
200
12
madaço === nbb
A localização do centroide (eixo neutro) é
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
m 03638,0
15,0009,015,002,0
15,0009,0095,0150,002,001,0
=
+
+
==


A
Ay
y
A seção transformada é mostrada na figura ao lado.
Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( ) 46
23
23
m 10358,9 
03638,0095,015,0009,015,0009,0
12
1
 
01,003638,002,015,002,015,0
12
1
−=






−++






−+=NAI
Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C é
( )
( )
( )
( )
(Resposta) MPa 78,7
10358,9
03638,02
MPa 6,28
10358,9
03638,017,02
6
6'
==
=
−
=
−
−
C
B


A tensão normal na madeira em B é .( ) (Resposta) MPa 71,156,28
200
12
' === BB n
 A tensão normal máxima em cada uma das descontinuidades ocorre na seção que 
passa pela menor área de seção transversal.
 Uma vez que K for obtido, a tensão de flexão máxima é determinada por
I
Mc
K=máx
Concentrações de tensão
A transição na área da seção transversal da barra de aço é obtida por filetes de 
redução. Se a barra for submetida a um momento fletor 5 kN∙m, determine a tensão 
normal máxima desenvolvida no aço. A tensão de escoamento é σe = 500 MPa.
Exemplo 6.14
Solução:
Pela geometria da barra,
5,1
80
120
 2,0
80
16
====
h
w
h
r
K é 1,45 e temos
( )
( )( )
( )( )
MPa 340
08,002,0
12
1
04,05
45,1
3
máx =






==
I
Mc
K
Este resultado indica que o aço permanece elástico, visto que a tensão está 
abaixo da tensão de escoamento (500 MPa).