Slide - Módulo ( ou valor absoluto) de um número real -UFF

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 7
10 de setembro de 2010
Aula 7 Pré-Cálculo 1
Módulo (ou valor absoluto) de um
número real
Aula 7 Pré-Cálculo 2
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 3
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 4
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 5
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 6
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 7
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 8
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 9
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 10
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 11
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 12
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 13
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 14
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 15
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 16
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 17
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 18
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 19
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 20
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 21
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 22
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 23
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 24
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 25
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 26
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 27
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi− 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 28
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√2| = √2− 1, |pi − 3.14| = pi − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| =
{
�, se � ≥ 0,
−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,
− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{
x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 7 Pré-Cálculo 29
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0 =
{
x , se x > 0,
−x , se x ≤ 0
=

x , se x > 0,
0, se x = 0,
−x , se x < 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 30
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0 =
{
x , se x > 0,
−x , se x ≤ 0
=

x , se x > 0,
0, se x = 0,
−x , se x < 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 31
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0 =
{
x , se x > 0,
−x , se x ≤ 0
=

x , se x > 0,
0, se x = 0,
−x , se x < 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 32
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0 =
{
x , se x > 0,
−x , se x ≤ 0
=

x , se x > 0,
0, se x = 0,
−x , se x < 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 33
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 34
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 35
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 36
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 37
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 38
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 39
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 40
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 41
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R, ∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 42
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 43
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 44
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 45
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto,vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 46
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 47
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 48
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 49
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 50
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 51
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 52
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 53
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 54
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 55
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 56
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 57
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 58
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a =0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 59
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 60
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 61
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 62
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 63
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 64
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 65
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 66
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 67
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 68
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 69
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 70
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 7 Pré-Cálculo 71
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,
então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois se
a < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,
então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que
|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula7 Pré-Cálculo 72
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 73
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 74
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 75
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 76
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 77
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 78
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 79
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 80
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 81
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 82
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 83
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ Rtais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 84
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 85
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 86
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 87
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 88
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 89
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 90
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 91
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 92
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 93
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 94
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a|= |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 95
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 96
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 97
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 98
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 99
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 100
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 101
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 102
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 103
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 104
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 105
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 106
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 107
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 108
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 109
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo
com os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.
b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.
a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.
a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.
a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.
a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| =
{ − b, se − b ≥ 0,
− (−b), se − b < 0 =
{ −b, se b ≤ 0,
b, se b > 0
= |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 110
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 111
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 112
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 113
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 114
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 115
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 116
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 117
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 118
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 119
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Massua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 120
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 121
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 122
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 123
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 124
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 125
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 126
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 127
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 128
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,
|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,
|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 7 Pré-Cálculo 129
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 130
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 131
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 132
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 133
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒|a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 134
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 135
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 136
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 137
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 138
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 139
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 140
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 141
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 142
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 143
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.
a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.
a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.
a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.
a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 7 Pré-Cálculo 144
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a e
de b.
a = 0⇒ a · b = 0