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Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 4 23 de agosto de 2010 Aula 4 Pré-Cálculo 1 Existem “infinitos” diferentes! Aula 4 Pré-Cálculo 2 A recíproca de “Se A, então B.” Os conjuntos N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal. Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o conjunto N dos números naturais! Aula 4 Pré-Cálculo 3 A recíproca de “Se A, então B.” Os conjuntos N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal. Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o conjunto N dos números naturais! Aula 4 Pré-Cálculo 4 A recíproca de “Se A, então B.” Os conjuntos N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal. Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o conjunto N dos números naturais! Aula 4 Pré-Cálculo 5 A recíproca de “Se A, então B.” Os conjuntos N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal. Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o conjunto N dos números naturais! Aula 4 Pré-Cálculo 6 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 7 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 8 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 9 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 10 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 11 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 12 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 13 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 14 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 15 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 16 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 17 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 18 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 19 Teorema N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal. Demonstração. (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1). (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1). (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... Aula 4 Pré-Cálculo 20 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 21 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 22 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 23 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 24 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6)Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 25 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 26 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 27 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 28 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 29 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 30 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 31 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 32 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 33 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 34 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 35 Teorema (5) Temosentão: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 36 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 37 Teorema (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . , f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . , f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . , ... (6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1). Aula 4 Pré-Cálculo 38 Georg Cantor Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918) Aula 4 Pré-Cálculo 39 Números reais Aula 4 Pré-Cálculo 40 Números reais Geometricamente: através dos pontos da reta numérica. Numericamente: através das expansões decimais. Algebricamente: através dos axiomas de corpo ordenado completo. Aula 4 Pré-Cálculo 41 Números reais geometricamente Aula 4 Pré-Cálculo 42 Medir é comparar uma grandeza com uma unidade Aula 4 Pré-Cálculo 43 Medir é comparar uma grandeza com uma unidade Aula 4 Pré-Cálculo 44 Medir é comparar uma grandeza com uma unidade Aula 4 Pré-Cálculo 45 Medir é comparar uma grandeza com uma unidade Aula 4 Pré-Cálculo 46 Projeto grego: medida de segmentos (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 47 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 48 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 49 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 50 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 51 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 52 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 53 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em nsegmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 54 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 55 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 56 Segmentos comensuráveis Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição, igual a 1. Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida. Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual a n. Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso AB CD = m · w n · w = m n . Definições Aula 4 Pré-Cálculo 57 Dois segmentos são sempre comensuráveis? Aula 4 Pré-Cálculo 58 Dois segmentos são sempre comensuráveis? A B D C Considere o quadrado ABCD ao lado. A diagonal AC e o lado AB do quadrado são comensuráveis? Aula 4 Pré-Cálculo 59 Dois segmentos são sempre comensuráveis? A B D C Considere o quadrado ABCD ao lado. A diagonal AC e o lado AB do quadrado são comensuráveis? Aula 4 Pré-Cálculo 60 Dois segmentos são sempre comensuráveis? A B D C Existe w tal que AC = m · w , AB = n · w e, por conseguinte, AC AB = m n ? Não! Aula 4 Pré-Cálculo 61 Dois segmentos são sempre comensuráveis? A B D C Existe w tal que AC = m · w , AB = n · w e, por conseguinte, AC AB = m n ? Não! Aula 4 Pré-Cálculo 62 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 63 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 64 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 65 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 66 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímosque m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 67 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 68 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 69 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 70 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 71 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 72 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 73 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 74 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 75 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( ACAB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 76 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 77 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 78 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 79 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 80 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 81 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 82 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 83 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4Pré-Cálculo 84 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 85 Demonstração Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte, x = AC AB = m n . Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras, (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2. Portanto, x2 = ( AC AB )2 = 2. Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Aula 4 Pré-Cálculo 86 Para desespero de Pitágoras. . . . . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento. Aula 4 Pré-Cálculo 87 Para desespero de Pitágoras. . . . . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento. Aula 4 Pré-Cálculo 88 Para desespero de Pitágoras. . . . . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento. Aula 4 Pré-Cálculo 89 Para os gregos. . . . . . números são medidas de segmentos e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . . . . . usando geometria! (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 90 Para os gregos. . . . . . números são medidas de segmentos e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . . . . . usando geometria! (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 91 Para os gregos. . . . . . números são medidas de segmentos e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . . . . . usando geometria! (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 92 Para os gregos. . . . . . números são medidas de segmentos e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . . . . . usando geometria! (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 93 Para os gregos. . . . . . números são medidas de segmentos e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . . . . . usando geometria! (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 94 A reta numérica (Ir para o GeoGebra) Aula 4 Pré-Cálculo 95 Existem ``infinitos'' diferentes! Números reais Números reais geometricamente
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