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351
A
B
C
b
c
a
Región
exterior
Región
interior
Tema 1: TRIÁNGULOS
1. DEFINICIÓN:
Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales
mediante segmentos de recta.
Notación: Triángulo ABC:
ABC
Elementos:
· Vértices: A, B y C
· Lados:
AB
,
BC
,
AC
· Ángulos Internos:
,,
· Ángulos Externos:
,
,
· Perímetro (2P): Es la suma de las longitudes de los lados del triángulo
2P = a + b + c
· Semiperímetro (P): Es la semisuma de las longitudes de los lados del
triángulo.
2
cba
P
· Longitudes de los lados:
cAB
,
aBC
,
bAC
OBSERVACIONES:
i) Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos:
· Puntos interiores al triángulo
· Puntos exteriores al triángulo
· Puntos que pertenecen al triángulo
ii) La porción del plano limitado por el triángulo se denomina región triangular.
352
A
B
C
2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
i) En todo triángulo, la suma de medidas de los
ángulos internos es 180º
º180
ii) En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior
es igual a la suma de medidas de los ángulos interiores
no adyacentes a él.
W: ángulo exterior
iii) En todo triángulo, la suma de medidas de los
ángulos exteriores considerando uno por cada vértice
es 360º
º360
iv) En todo triángulo, la longitud de un lado esta
comprendida entre la diferencia y suma de las
longitudes de los otros dos lados. (Relación de
existencia).
Sea: a > b > c
a - b < c < a + b
v) Relación de correspondencia. En todo triángulo
el ángulo interior de mayor medida se opone al lado
de mayor longitud y viceversa.
Si: a > b > c
>
>
A
B
C
B
C
A
ac
bA C
B
ac
b
C
B
A
353
vi) En un mismo triángulo, a lados iguales se oponen
ángulos iguales y viceversa.
Si: AB = BC
m
A = m
C
3. PROPIEDADES DERIVADAS:
i) Propiedad: Regla de la mariposa:
= m + n
ii) Propiedad: Regla de la cometa
= m + n
iii) Propiedad: Cuadrilátero cóncavo
x =
iv) Propiedad:
2
x
v) Propiedad:
2
x
A C
B
n
m
m
n
x
x
a
a
b
b
x
a a b
b
354
4. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
4.1. Según sus lados:
a) Triángulo equilátero: Tiene sus lados de igual longitud.
60º 60º
60º
A
B
C
AB = BC = AC
A=
B=
C=60º
b)Triángulo isósceles: Tiene dos lados de igual longitud.
A
B
C
BASE
AB = BC
AC
A =
C
B
c) Triángulo escaleno: No tiene lados de igual longitud.
CA
B
AB
BC
AC
A
B
C
4.2. Según sus ángulos internos:
a) Triángulo Acutángulo: Es aquel cuyos ángulos internos son agudos.
C
B
A
a
b
c
<90º
<90º
<90º
355
x
A
B
C
A
C
b
a
c
B
C
B
a
c
b A
60º
A
B
C
x
A
B
C
x
b)Triángulo Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos
agudos.
AC, BC: catetos
AB : hipotenusa
Se cumple:
º90
Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos
agudos.
Obtuso Agudo Agudo
<90º
<90º
<90º
5. PROPIEDADES ADICIONALES:
i) Propiedad:
ABC. Equilátero
AB = BC = AC
ii) Propiedad:
x = 90º -
iii) Propiedad:
x = 180º - 2
356
A
B
CM N
A
B
CM
A
B
CD
6. LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
6.1. Ceviana: Segmento de recta que une un vértice con un punto cualquiera
del lado opuesto o de su prolongación.
BM: Ceviana Interior
BN: Ceviana Exterior
6.2. Mediana: Ceviana que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
BM: Mediana
AM=MC
6.3. Altura: ceviana perpendicular al lado al cual es relativa o a su
prolongación.
ABC: Acutángulo
BAC: Obtusángulo
6.4. Bisectriz: Ceviana que biseca al ángulo interior o ángulo exterior.
i) En el
ABC:
A
B
C H
º
A
B
C H
º
357
A
B
C E
A
B
M
L
C
N
x
x
BD: Bisectriz Interior
ii) En el
ABC:
BE: Bisectriz Exterior
6.5. Mediatriz: Es la recta perpendicular a un
lado cualquiera, en su punto medio
En el
ABC:
:L
Mediatriz
7. ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES:
7.1. Angulo formado por dos bisectrices interiores:
X=
2
º90
7.2. Angulo formado por dosbisectrices exteriores:
2
º90
x
7.3. Angulo formado por una bisectriz interior y exterior:
2
x
358
TRABAJO EN EL AULA
01. Según el gráfico calcule θ si
AB=BD=DE=EF=FC
a) 18º
b) 20º
c) 25º
d) 36º
e) 24º
02. Según el gráfico a+b=200º
calcule x
a) 130º
b) 150º
c) 135º
d) 140º
e) 120º
03. Según el gráfico, calcule x+y
a) 120º
b) 160º
c) 230º
d) 130º
e) 150º
04. Del gráfico. Calcular x+y
a) 60º
b) 120º
c) 80º
d) 90º
e) 135º
05. Según el gráfico calcule “x” si:
=70º, AP=AQ y HC=QC.
a) 120º
b) 110º
c) 125º
d) 140º
e) 150º
06. En el lado AB de un triángulo
ABC se ubica el punto P y en la
región exterior a se ubica el
punto Q de modo que
m
ACP=50º, m
PCB=15º,
m
QPC=60º y AC=PQ=PC; calcule
la m
AQP.
a) 18º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 35º
07. Del gráfico. Calcule “x” si:
a+b+c+d=260º
a) 115º
b) 120º
c) 100º
d) 110º
e) 130º
08. Según el gráfico calcule (x+y+z).
a) 360º
b) 270º
c) 180º
d) 90º
e) 45º
09. De la figura, calcule “x”
A
B
CD
E
F
20°
3
36°
b
X
a
x
50°
y
x
y
a
a+b
b
70°
HP
A Q C
x
a
b c
d
x
x
y
z
359
a) 20º
b) 45º
c) 30º
d) 35º
e) 50º
10. Calcule: x+y
a) 160º
b) 300º
c) 200º
d) 220º
e) 330º
11. En un triángulo ABC, se trazan
las cevianas interiores BM y BN
(M
AN
) tal que: AM=MB; NB=NC;
m
BAC+m
ACB=4(m
MBN),
calcular m
MBN
a) 25º b) 20º c) 18º
d) 24º e) 28º
12. En los lados AB y AC de un
triángulo equilátero ABC, se
ubican los puntos M y D
respectivamente de modo que
m
AMD=90º, luego en la región
exterior relativa a
AC
se ubica el
punto P; si
ADMP
= {N}, MP=PD
y NP=ND. Calcular m
AMN
a) 30º b) 25º c) 20º
d) 35º e) 15º
13. En un triángulo ABC, se ubica
en la prolongación de
AB
y en la
región exterior relativo a
BC
los
puntos Q y P respectivamente tal
que
BP
//
AC
, m
QBP=m
PBC y
además AB=6. Calcular el máximo
valor entero de AC.
a) 9 b) 11 c) 12
d) 8 e) 10
14. Calcular m
CAD, si en un
triángulo ABC en la región
exterior relativo al lado AC, se
ubica el punto D tal que:
AC=AD, BC=CD y
m
BDA=2(m
BCA)= 20º.
a) 35º b) 40º
c) 50º
d) 55º e) 45º
15. Calcular el menor valor entero
de x, siendo el ángulo ABC obtuso.
a) 70º
b) 69º
c) 68º
d) 66º
e) 67º
16. Según la figura calcular x.
a) 46º
b) 44º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
20°
3x
80°
2x
70°
x
40°
60°
x
y
3
x
x
360
17. En el gráfico AP = PM, QN = QC y
a + b + c + d = 280º, calcular x
a) 120º
b) 110º
c) 100º
d) 115º
e) 105º
18. En un triángulo isósceles ABC
(AB=BC) se traza la ceviana
interior CD. Calcular el máximo
valor entero que toma AC, si DC=6
y AD toma su máximo valor entero.
a) 10 b) 9 c) 11
d) 12 e) 8
19. Según el gráfico calcular el
máximo valor entero de x siendo el
triángulo ABC acutángulo.
a) 66º
b) 67º
c) 68º
d) 65º
e) 64º
20. En un triángulo ABC se ubican
los puntos M, N y Q en
ACyBCAB,
respectivamente. Si MN=5u,
NQ=6u MQ=7u. Calcular el mínimo
valor entero del perímetro de la
región triangular ABC
a) 19u b) 18u c) 14u
d) 16u e) 20u
21. Se tiene el triángulo ABC en la
región interior se ubica el punto P,
de modo que AB = AP = PC y
Calcule m
PCB
a) 8º b) 12º c) 9º
d) 10º e) 18º
22. Se tiene el triángulo isósceles
ABC (AB=BC), en la región
exterior relativa al lado BC se
ubica el punto D de modo que
BC=BD, si la m
BCA toma su
máximo valor entero par calcule la
m
ADC.
a) 1º b) 4º c) 2º
d) 3º e) 6º
23. Se tiene el triángulo ABC, en
el cual se traza la bisectriz
exterior BD (D en la prolongación
de
AC
y en el triángulo CBD se
traza la bisectriz interior CE si
BE=6, calcule el mínimo valor
entero de CE.
a) 5 b) 8
c) 6
d) 7 e) 9
24. Del gráfico, calcule x+y
a) 250º
b) 60º
c) 70º
d) 50º
e) 40º
A
B
CM N
P
Q
a b
c dx
A
B
C
x
x
y
2
2
2
10°
2
361
25. En la figura, calcular “x”
a) 40º
b) 25º
c) 50º
d) 30º
e) 80º
26. En un triángulo ABC, se
prolonga
AC
hasta un punto O, tal
que la m
ABP+m
BAP=2m
BCP.
Si: CP=5u. calcular el máximo valor
entero de
BC
a) 4 b) 5
c) 9
d) 4,5 e) 6
27. En un triángulo isósceles ABC
(AB=AC) en la prolongación de se
ubica el punto D, tal que: AD=DC.
Si m
DAB=15º. Calcular la
m
ADB
a) 25º b) 30º
c) 50º
d) 48º e) 60º
28. En un triángulo isósceles ABC
(AB=AC), se traza la ceviana
interior
BM
. Calcular la m
MBC.
Si AM=MB=BC
a) 30º b) 37º
c) 36º
d) 50º e) 72º
29. En un triángulo ABC,
m
ABC=60º y m
ACB=40º; en la
prolongación de
BAyAB
se ubican
los puntos M y N respectivamente,
tal que: BM=BC y AN=AC. Calcular
la m
MCN
a) 100º b) 110º
c) 120º
d) 90º e) 130º
30. En el lado AB de un triángulo
isósceles ABC de base
AC
el
punto R: tal que:
AC=CQ=QR=RP=PB. Calcular la
m
ABC
a) 10º b) 15º
c) 20º
d) 40º e) 30º
80°
2
x
362
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
1. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior , tal que
m
BDA = 72º y m
BDC = 35º.
Calcular la m
BAD.
A) 56º B) 63º C) 70º
D) 71º E) 77º
2. Si: m + n = 80º; calcular “x”
3. Calcular “x”; si // .
A) 20º B) 55º C) 65º
D) 45º E) 70º
4. En la figura, m
BAC = 80º y
m
BCA = 40º. Calcular la
m
DEC.
5. Calcular “”
6. En un triángulo ABC por E ex
centro relativo a , se traza una
paralela a que interseca a
en M y a en N. Calcular MN, si
AM = 9 y
NC = 6.
A) 1 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 2
7. En un triángulo ABC,
m
A = 2m
C. Se traza la
bisectriz interior . Calcular AD,
si AB = 6 y BC = 10.
A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 6
8. En un triángulo ABC: I es
incentro, si la m
AIC = 3m
B.
calcular la m
B.
A) 24º B) 36º C) 54º
D) 45º E) 30º
9. Por el vértice “B” de un triángulo
ABC, cuyo perímetro es 16, se
trazan paralelas a las bisectrices
interiores de A y C las que
intersecan a AC en P y Q. Calcular
PQ.
A) 8 B) 16 C) 32 D) 18 E) 24
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 60º
E) 45º
A) 105º
B) 115º
C) 100º
D) 85º
E) 95ºA) 10º
B) 12º
C) 15º
D) 20º
E) 18º
363
Tema 2: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.
A C
B
D F
E
Notación:
ABC
DEF, se lee
ABC congruente al
DEF.
CASOS DE CONGRUENCIA:
Caso 1: A.L.A. (Angulo - Lado - Angulo)
A C
B
º
D F
E
ººº
ABC
DEF
Caso 2: L.A.L. (Lado - Angulo - Lado)
A C
B
º
D F
E
º
ABC
DEF
Caso 3: L.L.L. (Lado - Lado - Lado)
A C
B
D F
E
ABC
DEF
Caso 4: A.L.LMAYOR. (Angulo - Lado - Lado mayor)
A
B
C D
E
F
Si: 90º
180º
ABC
DEF
364
OBSERVACIONES:
1. Para la congruencia de dos triángulos existen tres condiciones fundamentales,
de estas tres condiciones nunca debe falta la longitud de un lado.
2. Sólo cuando se demuestra que dos triángulos son congruentes, se puede
afirmar que a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa.
3. Dos triángulos rectángulos serán congruentes, si presentan dos pares de
elementos congruentes, diferentes del ángulo recto. Estos elementos pueden
ser:
· Un lado y un ángulo agudo (Caso L. A.) y
· Dos pares de lados (Caso L.L.)
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. Teorema de la bisectriz de un ángulo:
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del
ángulo.
O
Q P
A
B
N
M
: Bisectriz del
AOB
QM = QN
OM = ON
OMQ
ONQ
2. Teorema de la mediatriz de un segmento
Todo punto que pertenece a la recta mediatriz de un segmento equidista de
los extremos del segmento dado.
A
P
B
M
L
AMP
PMB
365
Observación: En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base es
también mediana, bisectriz y porción o segmento de recta mediatriz. Los
siguientes triángulos son isósceles.
3. Teorema de los puntos medios:
A
N
B
C
M
AM=MB
BN=NC
MN
//
AC
2
AC
MN
4. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo
A
B
CM
:BM
Mediana
AM=MC=BM
366
TRABAJO EN EL AULA
01. Según el gráfico calcular
DE
AB
a) 1,5
b) 1/2
c) 2,5
d) 2/3
e) 2
02. En el gráfico mostrado
AB=ND, BM=MC, AN=CD y
MN=2
3
. Calcular BC.
a) 4,5
b) 6
c) 5
d) 4
e) 5,5
03. En un triángulo isósceles ABC
de base BC, en la prolongación se
ubica el punto P tal que AB=BP y
m
BAC=2(m
APC), calcular la
m
APC.
a) 53º b) 45º c) 37º
d) 60º e) 30º
04. En el interior de un triángulo
isósceles ABC (AB=BC) se ubica el
punto P, tal que m
BAP=30º,
m
ABP=60º+m
PBC y PB=5.
Calcular PC.
a) 3,5 b) 4,5 c) 4
d) 6 e) 5
05. En un triángulo rectángulo ABC
recto en B se traza la ceviana
interior
CN
tal que: AN=3(NB) y
m
CAB=2m
NCB. Calcular
m
NCB.
a) 22º30´ b) 20º c) 15º
d) 18º30´ e) 16º3´
06. En un triángulo rectángulo ABC
la altura
BH
mide 8cm. Calcular la
longitud del segmento que tienen
como extremos los pies de las
perpendiculares trazadas por H a
las bisectrices de los ángulos ABH
y HBC.
a) 6cm b) 5cm c) 3cm
d) 4,5cm e) 4cm
07. En la región interior de un
triángulo isósceles ABC (AB=AC),
se ubica un punto P tal que
m
ABC=3 (m
PAC)=3(m
PCB) y
AP=BC. Calcular m
BAP.
a) 21º30´ b) 26º30´ c) 18º30´
d) 18º e) 22º30´
08. En un triángulo rectángulo ABC
recto en B se traza la ceviana
interior AF; tal que: AB=FC y
m
BAF=m
FCA, calcular
m
FAC.
a) 37º/2 b) 15º c) 53º
A
B
C
D
75º
30º
75º
B
D
C
A
M
N
60º
367
d) 37º e) 30º
09. Del gráfico calcular “x”, si
3(AE)=5(ED)
a) 30º
b) 37º
c) 15º
d) 16º
e) 45º
10. En la región interior y exterior
relativa a
BC
de un triángulo ABC,
se ubican los puntos P y Q
respectivamente tal que:
437
BPQmPBCmQBCm
m
BVAQ=10º, BC=AQ y AB=PC.
Calcular m
QPC.
a) 115º b) 105º c) 110º
d) 120º e) 100º
11. Hallar AC si AM=MC, BG=GM.
FG=3
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
12. En la figura: CM=MB y AB=12.
Hallar CD
a) 4
b) 8
c) 6
d) 4
e) 8
13. En la figura, hallar ME. SI
AC=8m
a) 2
b) 3
c) 4
d) 4,5
e) 6
14. Hallar
“x”
a) 41º
b) 37º
c) 39º
d) 42º
e) 51º
15. En la figura: AP=BC. Hallar “x”
a) 10º
b) 15º
c) 30º
d) 20º
e) 40º
16. En al figura mostrada, calcular
el valor de “
”
A
B
D
30º+
10º
C
a) 5º b) 10º c) 15º
B
D
C
A
E
X
A
B
C
F M
G
A
B
C
D
M30º
45º
A
B
C
E
M
D
A
B
C
78º
81º
Xº
A
B
C
xº70º
P
40°
368
d) 20º e) 25º
17. En un triángulo ABC, la altura
BH
biseca a la mediana
AM
en
“F”. Si: AH=6u y FH=2u, hallar AB.
a) 10u b) 12 c) 8
d) 8 e) 5
18. En la figura: AB=BC; BH=12.
Hallar AD
a) 12
b) 16
c) 18
d) 24
e) 12,2
19. Hallar AB si: MC=6 y AN=NC
a) 4
b) 6
c) 5
d) 8
e) 7
20. Del gráfico: AB=PB y BC=BQ.
Calcula
“
”.
a) 30º
b) 36º
c) 37º
d) 45º
e) 53º
21. En el gráfico la recta L es
mediatriz de
AC
, AM=BC y
3(m
BAC)=2(
m
BCA).
Calcular x
a) 40º
b) 35º
c) 45º
d) 44º
e) 38º
22. En la región exterior a un
triángulo ABC relativo BC se ubica
el punto P, tal que
BCAP
= {Q}
si m
ABP=m
BPA,
m
ACB=2m
CBQ, BQ=AC,
AB=10u y PC=7u. Calcule PQ.
a) 2u b) 2,5u c) 3u
d) 1u e) 1,5u
23. Según el gráfico DE=4u calcule
el máximo valor
entero de AE.
a) 5
b) 4
c) 6
d) 7
e) 3
24. Interiormente a un triángulo
ABC se ubica el punto P que
pertenece a la mediatriz de
AC
,
luego en
AC
se ubica el punto Q
de modo que AB=QC y el triángulo
BPQ es isósceles de base BQ.
A
B
DH
45º
C
A
B
M
N
C
3
A
B
3
P
C
Q
A
B
C
L
M
x
E
D
A
369
Calcule la m
PCQ, si la medida
del ángulo exterior de vértice A
respecto al triángulo ABC es 100º
a) 20º b) 35º c) 25º
d) 30º e) 40º
25. En un triángulo ABC, la medida
del ángulo exterior en el vértice B
es 80º, luego se trazan las
mediatrices de que intersecan al
lado AC en P y Q respectivamente,
calcule m
PBQ.
a) 20º b) 10º c) 25º
d) 15º e) 30º
26. Se tiene el triángulo, ABC
en
AC
, y en la región exterior
relativa al lado
AC
se ubican los
puntos M y N respectivamente,
luego se trazan las
mediatrices
21 LyL
de
MCyAB
,
21 LL
= {N}, BC=AM y
m
MCM=80º, calcule m
ACBa) 10º b) 15º c) 20º
d) 30º e) 25º
27. Los lados de un triángulo ABC
miden 8k, 12k y 16k. Se unen los
puntos medios de sus lados
formándose un triángulo PQR.
Hallar el perímetro del triángulo
que se forma al unir los puntos
medios de los lados del triángulo
PQR.
a) 8k b) 9k c) 7k
d) 10k e) 12k
28. En un triángulo obtusángulo
ABC, el
C=13º. La mediatriz de
AC
corta a
BC
en “Q”. Si AB=QC.
Hallar la m
A
a) 20º b) 25º c) 26º
d) 28º e) N.A.
29. Grafique el triángulo ABC, de
modo que la m
A=40º y
m
C=18º; las mediatrices de
BCyAB
cortan a
AC
en “R” y “Q”
respectivamente. Hallar la
m
RBQ.
a) 46º b) 58º c) 60º
d) 64º e) N.A.
370
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
1. En un triángulo ABC la medida del
ángulo exterior en el vértice A es el
triple de la medida del ángulo C,
además la mediatriz interseca a
en P. Calcular BP, si
BC – AB = 9.
A) 3
B) 6
C) 9
D) 4
E) 5
2. Él triángulo ABC es isósceles, AB=BC
y la altura trazada desde C mide 10.
si P es un punto cualquiera del
lado , calcular la suma de las
distancias de P a los lados
congruentes.
A) 5
B) 6
C)8
D) 10
E)15
3. En la figura AB = 12 y AM = 7,
calcular PQ
A) 4 B) 2 C) 6
D) 5 E) 3
4. En un triángulo ABC,
m∢A=105º, m∢C=25º y AB = 9. Si la
mediatriz de interseca a en
P, calcular PC.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
5. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se sabe que AC=10 y
m∢C=26,5º. calcular la medida de
la altura BH.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
6. En un triángulo rectángulo, la
bisectriz interior del ángulo
agudo mayor a la mediatriz de la
hipotenusa se intersecan en un
punto sobre el cateto mayor.
Calcular la medida de uno de los
ángulos agudos.
A) 75º
B) 60º
C) 53º
D) 45º
E) 37º
371
7. En un triángulo ABC, la medida del
ángulo exterior en A es el triple
de la medida del ángulo C. La
mediatriz de interseca a en
Q tal que:
23QC
, calcular AB.
A) 3
B)
6
C) 6
D)
23
E) 4
8. En un triángulo ABC, AB=6 y
AC=9. Por B se traza
perpendicular a la bisectriz
interior . Si N es el punto medio
de , calcular PN.
A) 2,5
B) 1
C) 3,5
D) 2
E) 1,5
9. En un triángulo ABC se traza la
mediana tal que la
m∢ABM=50º y m∢MBC=65º. Si
AB=18, calcular BM.
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E)
36
10. Si AE = EF, DE = 4 y es
bisectriz del ∢ACB, calcular AC.
A) 4
B) 6
C) 8
D)
28
E) 12
372
TEMA 3: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
POLÍGONO
Definición
Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el
extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de
segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos
consecutivos nos sean colineales.
Elementos
Vértices : A, B, C, D,...
Lados : , , , ,...
m ∢ internos : , , ,...
m ∢ externos : x, y, z,...
Diagonales : , , ,...
Diagonales medias : , , ,...
Polígono Convexo
Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir, mayores que
cero y menores que 180º.
Clasificación de los Polígonos Convexos
1. Polígono Equiángulo
Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes
373
2. Polígono Equilátero
Cuando tienen todos su lados congruentes
3. Polígono Regular
Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados
congruentes
Polígonos No Convexos
Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir mayores que
180º y menores que 360º.
Denominación de los Polígonos
Triángulo ................................................... 3 lados
Cuadrilátero ............................................. 4 lados
Pentágono .................................................. 5 lados
Hexágono................................................... 6 lados
Heptágono ................................................. 7 lados
Octógono ................................................... 8 lados
Nonágono o eneágono............................. 9 lados
Decágono ................................................. 10 lados
Endecágono o Undecágono ..................11 lados
Dodecágono ............................................ 12 lados
Pentadecágono ....................................... 15 lados
Icoságono ............................................... 20 lados
Enégono...................................................... n lados
374
Propiedad para todo Polígono Convexo
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:
1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:
. Sm∢i = 180 (n – 2) .
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:
. Sm∢i = 360 .
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:
. Di = (n – 3) .
4. Número total de diagonales:
.
2
3
nnDT
.
5. Número total de diagonales medias:
.
2
1
nnDm
.
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos
.
2
21
vvvnDv
.
En Polígonos Regulares y Equiángulos
7. Medida de un ángulo interno:
.
n
ni 2180
.
8. Medida de un ángulo exterior:
.
n
e
360
.
375
TRABAJO EN EL AULA
01. ¿Cuántas diagonales se pueden
trazar en un polígono de 23
lados?
A) 200 B) 210 C) 220
D) 230 E) 240
02. ¿Cuántos lados tiene el polígono
en el cual la suma de las medidas
de los ángulos interiores es igual
a 3 240?
A) 18 B) 19 C) 20
D) 21 E) 22
03. En el gráfico calcular x
A) 18
B) 20
C) 24
D) 25
E) 30
04. En la figura, calcular θ
A) 15
B) 30
C) 36
D) 25
E) 45
05. El número de diagonales de un
polígono es igual a 35. ¿De qué
polígono se trata?
A) Pentágono B) Triángulo
C) Icosàgono
D) Decágono E) Octógono
06. Si los dos polígonos mostrados
son regulares, calcular x
A) 100
B) 110
C) 120
D) 150
E) 160
07. Calcular el número de lados de un
polígono regular cuyo ángulo interior
equivale al triple del ángulo exterior
A) 8 B) 9 C) 12
D) 10 E) 24
08. Si a un polígono de 23 lados se le
disminuye dos lados, ¿en cuánto
disminuye el número de diagonales?
A) 13 B) 19 C) 41
D) 26 E) 29
09. La suma de las medidas de los
ángulos internos de un polígono
convexo es 1 800. ¿Cuántas
diagonales se pueden trazar?
A) 50 B) 52 C) 54
D) 56 E) 58
10. La suma de las medidas de los
ángulos internos excede a la suma de
las medidas de los ángulos externos
en 900. Calcular cuántos lados tiene
el polígono
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
x°
100°30°
120° 140°
70° 40°
x°
2°
2°
°°
°
2°
376
11. En qué polígono, se observa que el
número total de diagonales equivale a
3 veces el número de lados
A) Nonágono B)Pentágono
C) Octógono
D) Decágono E) Icoságono
12. ¿En qué polígono convexo, el número
total de diagonales excede al número
de lados en 25?
A) Decágono B) Undecágono
C) Pentadecágono
D) Tridecágono E) Dodecágono
13. En un polígono regular, el cuadrado
de la medida del ángulo exterior, es
igual a 15 veces la medida del ángulo
interior. Calcular el número de lados
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
14. Los polígonos mostrados son
regulares. Calcular “x”
A) 54
B) 48
C) 50
D) 42
E) 45
15. Calcular AC en un octogono
equiángulo ABCDEFGH
AB = 3
2
y BC = 1,
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
16. Si el número de lados de un polígono
aumenta en 2, el a número de
diagonales aumenta en 15. ¿De qué
polígono se trata?
A) Octógono B) Nonágono
C) Decágono
D) Undecágono E) Dodecágono
17. Los números de lados de dos
polígonos regulares están en la razón
de 1 a 2. La diferencia entre las
medidas de sus ángulos exteriores es
igual a 36. El polígono de menor
número de lados es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
18. En un polígono regular ABCDE..........
m∢ACE=135. ¿Cuántas diagonales
tiene ese polígono?
A) 90 B) 119 C) 44
D) 104 E) 135
19. En un Icoságono regular
ABCDEF......., las prolongaciones de
EDyAB
se intersectan en “P”.
Calcular m∢BPD
A) 100 B) 110 C) 116
D) 120 E) 126
20. El polígono mostrado es
equiángulo, calcular el perímetro
A) 30
B) 29
C) 28
D) 27
E) 26
x°
4
E
C D5
3
D
A F
7
377
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
1. Hallar la suma de los ángulos internos
de un eneágono.
Rpta.
2. Hallar el número de diagonales de un
polígono cuyos ángulos internos
suman 1080º
Rpta.
3. ¿Cuántos lados tiene el polígono, si la
suma total de sus ángulos internos y
externos es 1 440º?
Rpta.
4. Hallar el número de lados de un
polígono, sabiendo que en él se
pueden trazar 104 diagonales.
Rpta.
5. El número de diagonales más el
número de vértices es igual a siete
veces el número de lados. Hallar el
número de lados.
Rpta.
6. En la figura.
Calcular xº
Rpta.
7. En la figura.
Calcular xº
Rpta.
378
CUADRILÁTERO
Definición:
Es un polígono de 4 lados.
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360.
Clasificación General
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos
1. Trapezoide
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
2. Trapecios
Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados
lados no paralelos
379
Propiedad del Trapecio
- Mediana de un trapecio
.
2
ba
x
.
- Segmento que une los puntos medios de las diagonales
.
2
abx
.
3. Paralelogramos
Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual
medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se
bisecan.
Propiedades Generales
1.
.
2
x
.
2. .
2
x
.
380
3.
//
PQ =
RS
4.
.
2
bax
.
5. En trapecios isósceles
.
2
abx
.
.
2
aby
.
6. En triángulos
7. En trapecios
8. Segmento que une los puntos medios de las bases
Si: + = 90º : .
2
abx
.
9. En paralelogramos . x = b – a .
381
10. En paralelogramos
.
422
dcbacbdax
.
382
TRABAJO EN EL AULA
1. Calcular la suma de las medidas de
los ángulos internos de un polígono
convexo donde el cociente de su
total de diagonales y su número de
lados es “10”
Rpta.
2. ¿Cuántos lados tiene el polígono
convexo cuyo número de diagonales
es igual al triple de su número de
vértices?
Rpta.
3. Calcular la suma de las medidas de
los ángulos internos de un polígono
regular si: 9m ext=5DT.
Rpta.
4. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono
regular, si la suma de las medidas de
sus ángulos internos es 15/2 de la
medida de un ángulo externo?
Rpta.
5. ¿Cuántos lados tiene aquel
polígono convexo si al quitarle un
lado su total de diagonales
disminuye en 7?
Rpta.
6. En un cuadrado ABCD, se
construye interiormente el
triángulo equilátero AED, calcular
m AEB.
Rpta.
7. En un rombo ABCD, AB = 5;
m A = 53º. ¿Cuánto mide la
altura relativa a ?
Rpta.
8. Calcular “x”, si //
Rpta.
9. En la figura calcular AD, si //
Rpta.
10. Si ABCD es un romboide y
AB=18. Calcular “x”
383
Rpta.
11. Si ABCD es un romboide.
Calcular “x”
Rpta.
12. En la figura, calcular AE.
Rpta.
13. ¿Cuánto mide el ángulo que
forman las diagonales de un
trapecio isósceles, si una diagonal
mide la suma de las medidas de
las bases?
Rpta.
14. En la figura, calcular AC.
Rpta.
15. Calcular la distancia entre los
puntos medios de y , si
// .
Rpta.
384
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
1. La medida del ángulo externo de
un polígono regular es “k” veces el
interior. Calcular “k” (k Z).
A) 1 y 3 B) 1 y 2 C) 1 y 4
D) 2 y 3 E) 2 y 4
2. ¿Cuántos lados tiene aquel
polígono equiángulo, si la suma de
las medidas de 7 ángulos internos
es 1134?
A) 20 B) 25 C) 30
D) 35 E) 40
3. Es un polígono regular ABCDE.... la
m
ACE = 144. ¿Cuántas
diagonales medias tiene?
A) 100 B) 150 C) 160
D) 170 E) 190
4. Si el número total de diagonales de un
polígono regular es igual a 1/3 de la
diferencia entre su perímetro y el
número de ángulos rectos a que
equivale la suma de las medidas de sus
ángulos internos. Calcular dicho
perímetro.
A) 70 B) 71 C) 72
D) 73 E) 74
5. En el gráfico, calcular “x”
A) 75º B) 72º C) 90º
D) 60º E) 54º
6. En un trapecio ABCD;
m
A=m
B=90º; las bisectrices
interiores de los ángulos C y D se
intersecan en P. Calcular AB, si la
distancia desde el punto P a es 4.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 16
7. En un rombo ABCD, se traza
, tal que AH = HD,
calcular m
C.
A) 30º B) 45º C) 40º
D) 60º E) 75º
8. En un trapecio ABCD se sabe que:
m
B = 2m
D; BC = 4; AB = 5.
calcular la medida de la base
mayor .
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
9. En un romboide ABCD se traza la
bisectriz (M en ). Si AB = 6,
calcular la medida del segmento
que une los puntos medios de y
.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
3
385
r
t
P: punto de tangencia
r : radio
T: recta tangente
r
P
t
Tema 4: LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDAD DE TANGENCIA
Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistande un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la
circunferencia se llama radio.
Líneas notables en la circunferencia:
* Radio : r
*
AB
: CUERDA.-
Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el
centro se llama diámetro (cuerda máxima),
* : RECTA TANGENTE.-
Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia.
r
A
t B
Teoremas Fundamentales
TEOREMA I
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE
Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta
tangente.
TEOREMA II
386
A
B
r
r
0 AP = BP
P
r
A
C
b
a
c B
a + b = c + 2r
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia,
los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior
son congruentes.
TEOREMA III
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR 2
TANGENTES.
El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el
centro de la circunferencia, es bisectríz del ángulo.
TEOREMA IV
TEOREMA DE PONCELET
“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más
el doble del radio de la circunferencia inscrita.
387
a + c = b + d
a - c = b - d
A
C
D
b
a c
B
A
B
b
a
C
D
R
S
c
d
Q
P
TEOREMA V
TEOREMA DE PITOT
“ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados
opuestos suman igual que los otros 2”
TEOREMA VI
TEOREMA DE STEINER
388
TRABAJO EN EL AULA
01. Los lados de un triángulo ABC
miden AB =3; BC=4 y AC = 5.
Calcular el radio de la
circunferencia inscrita
A) 0,5 B) 0,25 C) 1,25
D) 1 E) 0,75
02. Se tiene un cuadrilátero
circunscrito a una circunferencia.
Tres lados consecutivos miden 4;
6 y 8. El cuarto lado mide
A) 4 B) 6 C) 8
D) 5 E) 9
03. AO = OB = BC. Calcular “x”
x
T
COA B
A) 45 B) 53 C) 60
D) 37 E) 75
04. Si: CD = 12 y AF = 8, calcular FB.
A; B; C y D son puntos de
tangencia
A
F B
D C
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
05. En un triángulo ABC; AB=12;
BC=15 y AC=18. La circunferencia
inscrita determina sobre
func { overline BC} el punto “D”.
Calcular “BD”
A) 6 B) 4 C) 3,5
D) 5 E) 4,5
06. Calcular “x” si “P” y “T” son
puntos de tangencia
P T
x
r
r
A) 100 B) 120 C) 135
D) 150 E) 125
07. El perímetro de un triángulo
rectángulo es 24, la hipotenusa
mide 10. Calcular el radio de la
circunferencia inscrita
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
08. Calcular: “r” si en el cuadrilátero
circunscrito: AD + BC = 22,
AB = 9 y CF = 8, “F” es punto de
tangencia
B
F
C
r
A D
A) 5 B) 6 C) 7
D) 3 E) 4
389
09. PB = 1 y BC = 24. Calcular PT
OT
P
B C
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 3
10. AB = 16. Calcular x
x
10
A
B
T
A) 1 B) 1,5 C) 1,25
D) 1,75 E) 2
11. En un triángulo ABC sus lados
miden AB=5; BC=7; AC=8.
Calcular la medida del segmento
que une el vértice “A” y el punto
de tangencia de la circunferencia
inscrita sobre el lado
func overline {AC}
A) 1,5 B) 2 C) 2,5
D) 3 E) 3,5
12. “T” es punto de tangencia;
AT=TC; “O” centro, calcular: “x”
T
A O B C
x
A) 30 B) 45 C) 37
D) 22,5 E) 15
13. Dado un ángulo recto XOY se
traza una circuferencia tangente
a func overline {OX} y secante a
func overline {OY} en A y B. Si
OA=2 y OB=8, calcular el radio
de la circunferencia
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 4,5
14. “O” ➞ centro; AO=CF; ∢AOD=78.
Calcular “x”
D
A O B C
x
F
78
A) 39 B) 29 C) 26
D) 36 E) 30
15. “P” , “Q” y “R” son puntos de
tangencia: m∢ABP=36,
calcular: “x”
x
Q
P
36
B
CRA
A) 36 B) 48 C) 54
D) 27 E) 30
16. Si A, B, P son puntos de
tangencia, calcular “α”
390
B
P
A
A) 30 B) 60 C) 45
D) 75 E) 53
17 En la figura “O” es centro; A y C
son puntos de tangencia. Calcular
“α” si BM=MC
O
A
B M C
A) 15 B) 12 C) 10
D) 18,5 E) 17,5
.
18. Calcular el perímetro del
triángulo OGP si r=8
A) 8 B) 10 C) 12
D) 11 E) 16
19 Del gráfico calcular FE; si
AB+CD=40 y BC+AD=78
B
F
C
E
D
A
A) 21 B) 17 C) 20
D) 19 E) 18
20. En la figura, calcular: “x”
x
A) 118,5 B) 123,5 C) 82,5
D) 42,5 E) 112,5
391
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
01. En la AB = 9, AD = 11 y BC = 5.
Calcular “CD”
A
B
C
D
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
02. En la figura AB = 24, BC = 7 y
AD = 20, calcular “r”
DA
C
B
r
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
03. La figura muestra a una
circunferencia inscrita en el
triángulo ABC. Si: AQ = 4, BQ =
5 y FC = 7. Hallar el perímetro
del triángulo ABC.
A
B
C
Q
F
P
A) 16 B) 18 C) 38
D) 36 E) 32
04. La figura muestra a un triángulo
ABC y a la circunferencia ex –
inscrita relativa al lado AB. Si AB
= 8, BC = 12 y AC = 16. Hallar FC.
A
B
CF
A) 14 B) 15 C) 18
D) 22 E) 36
05. En la figura hallar “ R + r ” . Si
AB = 15 y BC = 8.
A
B
C
R
r
A) 10 B) 10,5 C) 11,5
D) 14 E) 15
06. Según el gráfico calcular “R”. Si
BC = 6, CD = 5 y AD = 15.
A
B
C
D
R
A) 2 B) 3 C) 4
392
D) 5 E) 6
07. Calcular AB si el perímetro del
triángulo PQC es 8.
A
B
C
P
Q
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
08. En la figura se cumple que AB +
CD = 24 y BC + AD = 40; calcular
PQ.
A
B
C
P
Q D
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
09. Del siguiente gráfico. Hallar AB +
AC. SI TC = 3 y R = 5 AB
C
T
R
53º
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
10. Del gráfico adjunto calcular
AC
+2r. Si BC = 3 y BD = 4.
A B
C
D
r
90 - 2
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
393
Tema 5: CIRCUNFERENCIA - ÁNGULOS
DEFINICIONES PREVIAS
1.- Arco de circunferencia. Se denomina arco a una parte de la circunferencia
compren-dida entre dos puntos de ella. De la figura:
A B
C
AB: Es el arco menor correspondiente a la cuerda
AB
.
ACB: Es el arco mayor correspondiente a la cuerda AB.
2.- Medida de una circunferencia. Una circunferencia se puede medir tanto en
unidades angulares como en unidades lineales.
En unidades angulares.- La medida de una circunferencia es 360°, no interesa
cuanto mide el radio.
360°
En Unidades Lineales.-Es igual a 2 por el radio. A mayor radio,
mayor longitud.
r L = 2 c r
394
TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) Ángulo Central
A
rad
io
radio
0
O
B
O
m AOB=
2) Ángulo Inscrito
cuerda
O
A
B
cu
er
da
P
O
m APB=
2
Corolario I: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tiene igual medida.
Corolario II.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto.
r
A B
AB : Diámetro
395
3) Ángulo Semi – Inscrito
O
cuerda
Tangente
Q
A
P
O
m APQ=
2
4) Ángulo Ex-inscrito
O
O
c
u
e
rd
a
Secante
B
P
C
OO
m PBC=
2
5) Ángulo Interior O
0
O
A
B
OO
m AOB=
2
6) Ángulo Exterior O
0
O
A
B
D
C
OO
m AOC=
2
396
CASO PARTICULAR
TEOREMA DEL ÁNGULO CIRCUNSCRITO
Consecuencia Son iguales
O
O
O b
O
b
O O
= 180
O
397
TRABAJO EN EL AULA
01. Si AO@ es centro, calcular Ax@
10° x°60°
A O B
A) 20 B) 30 C) 40
D) 15 E) 25
02. Si : AB = CD, calcular Ax@
A
x°
B
C
D
70°
A) 30 B ) 25 C) 35
D) 20 E) 45
03. Calcular Ax@
60°
x°
160°
A) 30 B) 35 C) 40
D) 45 E) 60
04. Si:
DCBD
_
_
m = m
, calcular Ax@
D
A
B
C
50°
x°
70°
A) 30 B) 15 C) 20
D) 25 E) 35
05. Calcular Ax@
30°
10°
x°
A) 50 B) 55 C) 45
D) 40 E) 60
06. Calcular Ax@
x°
40°
A) 40 B) 50 C) 60
D) 70 E) 55
07. Si : BC = CD, calcular Ax@
A
B
C
D
E
50°
x°
A) 20 B) 30 C) 24
D) 34 E) 25
08. Si AO@ es centro, calcular Ax@
O
30°
x°
398
AC
_
m
BCAB
_
_
m = m
A) 30 B) 35 C) 15
D) 20 E) 25
09. Si AO@ es centro, calcular Ax@
A O B
x°
20°
A) 60 B) 65 C) 50
D) 55 E) 35
10. Si AO@ es centro, calcular Ax@
A
B
60°
C
D
O x°
A) 30 B) 15 C) 25
D) 40 E) 45
11. Si : AB = BD, calcular Ax@
B
D
A E C
40°
x°
160°
A) 25 B) 30 C) 35
D) 20 E) 15
12. Si AO@ es centro, = 60 si :
calcular Ax@
D
A
B
CO
x°
A) 30 B) 35 C) 40
D) 45 E) 15
13. Si AO@ es centro, calcular Ax@
A O B
x°
30°
C D
50°
A) 30 B) 35 C) 25
D) 60 E) 45
14. Calcular Ax + y@
80°
20°
40°
y°
x°
A) 20 B) 30 C) 50
D) 40 E) 60
15. Calcular Ax@
4x°
6x°
100°
A) 15 B) 10 C) 20
D) 25 E) 30
16. Si AO@ es centro AC = CD,
calcular Ax@
A O B
D
C
70°
x°
399
A) 35 B) 40 C) 45
D) 50 E) 55
17. Calcular Ax@
80°40° x°
A) 60 B) 40 C) 50
D) 45 E) 55
18. Si : AB = AC,
DCAD
_
_
m = m
,
calcular Ax@
A
D C
B
60°
x°
A) 60 B) 30 C) 35
D) 65 E) 45
19. Si α + β = 80, calcular :
AB
_
m
A D
B
C
°
E
°
A) 40 B) 60 C) 70
D) 80 E) 45
20. Calcular Ax@
x°
50°
A) 110 B) 115 C) 120
D) 125 E) 130
400
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
01. Del gráfico mostrado calcular m
BC. Si m BAD = 4;
m BAD = m CBD = 40º
A
B
C
D
P
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
02. Según el gráfico calcular el valor
de “X” (P, Q, R son puntos de
tangencia).
P
R
53º
X
Q
A) 15º B) 30º C) 37º
D) 53º E) 60º
03. Del gráfico calcular (
+ ).
Si m AB = 80º
A B
A) 200º B) 220º C) 240º
D) 260º E) 230º
04. Calcular “X” si m AB = 150º (“T”
es punto de tangencia)
Xº
A
B
T
A) 15º B) 20º C) 30º
D) 45º E) 60º
05. En la figura Hallar
2 3
A) 18º B) 20º C) 36º
D) 48º E) 72º
06. EN la figura mostrada, Hallar
“X”.
X 20º
A) 30º B) 50º C) 70º
D) 80º E) 85º
07. En la semicircunferencia hallar
m AT. Si “O” es centro.
401
A
B
C
Q
I
X
100º
A
T
M
B0
20º
A) 40º B) 20º C) 45º
D) 60º E) 80º
08. Si AC =
24
I: Incentro.
Hallar IQ
A) 2 B) 2
2
C) 3
2
D) 4 E) 6
09. En el gráfico mostrado hallar m
FBE si m EBD = 30º.
A
B C
D
EFO
Xº
A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 60º
10. En el gráfico mostrado. Hallar el
valor de “X”.
A) 80º B) 90º C) 100º
D) 110º E) 120º
402
Tema 6: PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD:
PRINCIPALES TEOREMAS:
1. TEOREMA DE LAS PARALELAS EQUIDISTANTES
“Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan sobre
cualquier recta secante, segmentos congruentes ”.
Si L1 // L2 // L3 // L4
Entonces:
GH FG EF
CD BC AB
2. TEORIA DE THALES DE MILETO.-
“Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2 rectas secantes, los
segmentos determinados en la primera secante secante son proporcionales a los
segmentos determinados en la segunda secante”.
A E
B F
C G
D H
Si L1 // L2 // L3 // L4
Entonces
GH
CD
FG
BC
EF
AB
También podría ser:
FH
EF
BD
AB
GH
EG
CD
AC
;
Casos Particulares
403
m n
AB
F
C
a b
a = b
m n
a
=
m
b n
A) En el Triángulo (
EF
//
AC
)
B
a m
E F
b n
A C
CB
AB
n
b
m
a
EA
EB
FC
FB
BA
EB
BC
FB
;
B) En el Trapecio
Si
ADBCPQ ////
Entonces
DC
AB
n
y
m
x
3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
“En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz
son proporcionales a los segmentos determinados por
la bisectriz del lado opuesto”.
4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
404
“En todo triángulo una bisectriz exterior determina sobre la prolongación del
lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados laterales a dicha bisectriz”.
a = b
m n
a = m
b n
AB
C
c
a b
m
n
5. TEORÍA DEL INCENTRO
“En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2 segmentos que son
proporcionales a la suma de las longitudes de los lados laterales y al lado donde
cae la bisectriz”.
CI = a + b
IF c
I: Incentro del ABC
AB
C
a b
I
F
c
6. TEOREMA DE MENELAO
“En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados pero no paralela al
tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos. Empezando.”
A
B
C c
a
b
m
n
a.b.c = m.n.Prolongación
405
7. TEOREMA DE CEVA
“En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes, empezando por cualquier
vértice, se cumple que: El producto de las longitudes de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres”.
A
B
Cc
a
bm
n
b
a.b.c = m.n.
8. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ
INTERIOR.
9. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ
EXTERIOR.
A
x
B
C
c
a
b
m
n
B
C
c a
m n
A
406
TRABAJO EN EL AULA
01. De la figura, calcular el valor de
Ax@; si:
L // L // L 321
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
2(x+2)
3(x+1)
12
16
A) 7 B) 5 C) 9
D) 8 E) 6
02. De la figura
BD
es bisectriz
del ∆ABC. Calcular AD
A D C
B
96
10
A) 4 B) 6 C) 5
D) 5,2 E) 4,2
03. De la figura calcular: CQ
A C Q6
11
8
°
B
°
A) 19 B) 18 C) 16
D) 15 E) 22
04. De la figura
AC // MN
,
AB // DN
,
3
MB
=
4
AM
y AC=14.
Calcular DC
A D C
M N
B
A) 8 B) 6 C) 4
D) 3 E) 9
05. De la figura:
BQ
es bisectriz
del ∆ABC,
AB // QE
. Calcular BE
10E
A Q C
B
4
A) 10/7 B) 20/7 C) 17/5
D) 37/5 E) 27/5
06. De la figura calcular x, si
CQ // DE
°°
A
B
C
Q
E
43
x
D
2
407
A) 1 B) 2 C) 1,4
D) 1,2 E) 1,5
07. En la figura L1//L2//L3. AC =
8; DF = 12, EF-AB=1. Calcular DE
A
B
C D
E
F
L1
L2
L3
A) 9 B) 2 C) 6
D) 4 E) 3
08. En la figura AB = 8, AC = 6, BC
= 7. Calcular BE
M
B
A
C
E
x
A) 6 B) 5 C) 4
D) 1 E) 3
09. En un triángulo ABC los lados
miden AB=8; BC=6; AC=4. Se
traza la bisectriz exterior del
ángulo B que corta a la
prolongación de
AC
en AE@.
Calcular CE
A) 6 B) 10 C) 12
D) 6
2
E) 8
10. Se trazan las bisectrices
BEy BD
del triángulo ABC (D en
AC
y E en
la prolongación de
AC
). Si AB = 4;
BC = 3; AC= 5. Calcular DE
A) 10,1 B) 110/7 C) 120/7
D) 13,5 E) 115/7
11. En la figura. Calcular EC: Si
BE // DN
,
BC // NE
, AD = 4; DE = 1
N
A D E C
B
A) 2 B) 3 C) 3,5
D) 4,5 E) 1,25
12. Tres rectas paralelas determinan
en una secante
S
_
los segmentos
BCy AB
en otra secante
S
_
los
segmentos
EFy DE
si AB=8,
BC=24 y DF=27. Calcular EF
A) 20,5 B) 20,25 C) 20,15
D) 20,1 E) 20,2
13. Si : L1//L2//L3//L4, AB=3, BC=4,
MN=2x-2, NP=2x+2, PQ=3x-1,
CD=y. Calcular : x+y
A
B
C
D
M
N
P
Q
L1
L2
L3
L4
A) 8 B) 10 C) 12
D) 14 E) 15
14. Si :
AC // MN
, AM=7, AB=10 y
CN=MN+2. Calcular MN
M N
B
A C
°
°
408
A) 1,5 B)
2
C) 2,1
D) 3 E) 4,2
15. En un cuadrilátero ABCD las
bisectrices interiores de los
ángulos AB@ y AD@ y la diagonal
AC
son concurrentes . Si AB=15,
CD=12 y BC = 10, calcular el
perímetro del cuadrilátero ABCD
A) 45 B) 46 C) 50
D) 55 E) 60
16. En un triángulo ABC, por el
baricentro se traza una paralela a
AC
que interseca a
BC
en E. Si
BE=x+4 y EC=x-5. Calcular BC
A) 9 B) 15 C) 18
D) 24 E) 27
17. En un triángulo ABC : AB-AC=2,
BC-AB=2 y BC+AC=20. Calcular la
medida del menor segmento que
determina en el lado opuesto la
bisectriz del mayor ángulo
A) 16/3 B) 8 C) 10
D) 19/3 E) 17/3
18.
d // c // b // a
, AB = 5, CD = 7,
EG = 15 y FH=19. Calcular FG
A
B
D
C
E
F
G
H
a
b
c
d
A) 2 B) 3 C) 4
D) 1 E) 5
19.
AC // PQy AQ // PR
, BR=2,
RQ=3. Calcular QC:
R
B
P Q
A C
A) 10,5 B) 9,5 C) 8,5
D) 7,5 E) 6,5
409
Tema 7: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente
congruentes.
Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales.
Si ABC ~ MNL
k
c
n
b
m
a
k: Razón de semejanza.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1er Caso: (A.A)
Dos ángulos congruentes
A C
ac
b
B
M L
l
N ΔABC ΔMNL
410
2do Caso: (L.A.L.)
Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales.
Si:
M m A m y
n
q
b
c
Entonces
MNQABC
3er Caso: (L.L.L.)
Tres lados proporcionales.
ΔABC ΔMNL
Entonces
A C
c a
b
B
l
nM L
N
m
Si a
=
b
=
c
m n l
q
n M Q
N
A C
c
B
b
411
TTRRAABBAAJJOO EENN EELL AAUULLAA
01. Del gráfico calcular Ax@.
x 9 4
x
°
°
°°
A) 3 B) 4 C) 4,5
D) 6 E) 8
02. Los lados de un triángulo miden
17,19 y 23. Calcular la medida del
menor lado de otro triángulo
semejante a él cuyo perímetro es
177.
A) 26 B) 34 C) 38
D) 46 E) 51
03. En el triángulo ABC se trazan
las alturas
AD
y
CE
, tal que
AE=12, BE=3 y BD=5. Calcular
ACD@.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
04. La sombra proyectada por una
torre es de 60 m. Si la torre tiene
dos pisos uno de 12 m y otro de 6
m, )cuánto debe medir la sombra
que corresponde a cada piso?
A) 36 y 24 m B) 32 y 26 m
C) 40 y 20 m
D)36 y 24 m E) 36 y 26 m
05. Si
MN
//
AC
, calcular Ax@.
A
M
B
N
C
x+2
x-2
3k
5k
A) 5 B) 7 C) 9
D) 10 E) 12
06. En un triángulo ABC una recta
paralela a
AC
interseca a
AB
y
BC
en los puntos AP@ y AQ@
respectivamente. Calcular APQ@ si
AP=2, PB=6 y AC=12.
A) 2 B) 4,5 C) 6
D) 4 E) 9
07. Si AB=8 y BD=6, calcular ABC@.
A
B
D
C°
°
°
A) 4 B) 4,5 C) 5
D) 5,5 E) 7,5
08. Un joven 1,60 m de estatura
está de pie y proyecta una sombra
de 1,2 m. )Qué altura tendrá un
poste que en ese instante
proyecta una sombra de 18 m?
A) 22 B) 23 C) 24
D) 25 E) 26
09. Si los lados de un triángulo
miden 15, 18 y 24 y el lado menor
412
de un triángulo semejante al
primero mide 6. Calcular la medida
del lado mayor del último triángulo
A) 9,8 B) 9,6 C) 8,5
D) 8,8 E) 9,5
10. Se tiene un trapecio rectángulo
ABCD mA=mB=90, sobre
AB
se toma AM@ punto medio.
Calcular AB si BC=4 y AD=9.
Además mCMD=90
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
11. Se tiene un trapecio SRCM (
RC
:
base menor) RC=24, SM=30, SR=6
y CM=10, las prolongaciones de
MCy SR
se cortan en AA@.
Calcular AR + AC
A) 40 B) 24 C) 64
D) 32 E) 20
12. EFGH es un trapecio de base
menor
FG
; FG=20 y EH=24, laaltura del trapecio es igual a 18,
las prolongaciones de los lados no
paralelos se cortan en AP@.
Calcular la distancia de AP@ a
EH
A) 104 B) 108 C) 106
D) 102 E) 110
13. ABCD trapecio rectángulo
mA=mB=90
BDy AC
se cortan
perpendicularmente. BC=18 y
AD=50. Calcular AB
A) 25 B) 30 C) 24
D) 32 E) 36
14. En el gráfico, calcular la longitud
del lado del menor cuadrado
9
x 6
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 4 E) 5
15. En la figura
BM
es mediana, AP=2
y PB=4. Calcular AAC@
A
P
B
CM
A)
34
B) 4
2
C) 8
D) 6
2
E)
36
16. En un trapecio rectángulo cuyas
bases miden 6 y 12. Calcular la
distancia del punto de
intersección de las diagonales al
lado no paralelo menor
A) 2 B) 3 C) 4
D) 4,5 E) 5,5
413
17. En un triángulo ABC : mA=2mC,
AB=4 y AC=5. Calcular ABC@
A)
23
B) 5,5 C) 6
D)
34
E) 7
18. Las bases de un trapecio miden 10
y 20. Se traza una paralela a las
bases que dividen a los lados no
paralelos en segmentos
proporcionales a 2 y 3 . Calcular la
longitud de dicha paralela
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 18
19. Los lados de un triángulo
miden 4; 7 y 10 cm si otro
triángulo semejante al primero
tiene un perímetro de 147 cm.
Calcular la longitud de su lado
menor
A) 24 B) 28 C) 30
D) 32 E) 20
20. En la figura PQ = 2; PS = 5 y
AD = 7. Calcular ABC@
P
Q
B
A
S
C
D
A) 3,5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 7,5
414
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
01. Si
AD//BE//CF
;
EG//AF
;
2
3
BC
AB
también GD = 6.
Calcular AG
A
B
C
F
E
DG
Rpta.:
02. Calcular el lado del cuadrado
PQRS. Si AP = 1 y SC = 4.
A
B
CP
Q R
S
Rpta.:
03. Si BC = 4, AD = 9, BM = MA,
calcular “AB”
A
B C
D
M
Rpta.:
.
04. Calcular HB si
MN
//
AC
AM =
6 y MH = 2
A
B
C
M N
H
Rpta.:
05. Si AB = 15, AD = 6, DC = 4 y
AE = 3. Calcular BD
A
B
C
D
E
Rpta.:
06. Si “T” es punto de tangencia, AB
= 9, BC = 4. Calcular TB.
A
T
C
B
Rpta.:
07. De la figura mostrada BC = 8, CD
= 12, DE = 9. Calcular AB.
A
B
C
E
D
Rpta.:
08. Del gráfico AP = 3 y PC = 2.
Calcular QC.
A
B
CP Q
Rpta.:
415
Tema 8: RELACIONES MÉTRICAS
A) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Elementos de un triángulo Rectángulo.
a y b = Son las longitudes de los catetos
ACyBC
.
c = Es la longitud de la Hipotenusa
AB
h = Es la altura relativa a la Hipotenusa.
m = Es la longitud de la proyección del cateto
BC
sobre la hipotenusa.
n = Es la longitud de la proyección del cateto
AC
sobre la hipotenusa.
- Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las
longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección
por la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
a = m. c b = n . c
2 2
TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras)
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
416
TEOREMA 3
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es
igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”.
En la figura se cumple que:
h = m . n
2
TEOREMA 4
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la
hipotenusa por su altura relativa.
En la figura se cumple que:
417
TEOREMA 5
“En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los
catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
1
+
1
=
1
a b h
2 2 2
B. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
1) TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo oblicuángulo
puede ser acutángulo u obtusángulo.
2) COMO RECONOCER SI UN TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO U
OBTUSÁNGULO
Se aplican las siguientes propiedades:
- Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo
siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
< 90 c < a + b
o 2 2 2
NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90.
418
- Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso
siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
> 90 c > a + b
o 2 2 2
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90.
3) PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para
ello siempre se traza una altura.
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado
sobre otro esta contenido en este último.
- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la
proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se
debe prolongar este último.
419
4) TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de
uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel”.
Si: < 90º
TEOREMA 2
“En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos
por la proyección del otro sobre aquel”
Si > 90º
5) TEOREMA DE LA MEDIANA
“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana
es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado
donde cae la mediana”.
Así en la figura:
420
“mC” es la mediana relativa al lado “c”.
Entonces:
AB
C
c
M
mc
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
Si “x” es la proyección de la mediana
CM
, entonces:
AB
C
c
x
P
a b
M
2
c
m2ba
2
2
C
22
421
TRABAJO EN EL AULA
01. De la figura AB = 12, BQ = 9 y
AH = HC. Calcular “QC”
A
B
CH
Q
Rpta.:
02. De la figura calcular BQ. SI
AH = 4, HC = 9 y HQ = 2.
A
B
H
Q
C
Rpta.:
03. Calcular AP, si AB = 12,
BC = 16,
AB
es diámetro de la
semicircunferencia.
A
B
CP
Rpta.:
04. Calcular “”, Si BM = 3MC “O” es
centro.
AB
M
C
0
Rpta.:
05. Calcular “PQ”, si AP = 4 y BC = 10.
A
B C
D
PQ
Rpta.:
06. En la figura AP = 2, PC = 7,
calcular “BP”.
A
B
CP
Rpta.:
07. En la figura ABCD es un
cuadrado, calcular “PH” si BH =
2, HC = 8.
A
B C
D
P
H
Rpta.:
08. Se tiene un triángulo isósceles
ABC (BC = AC) cuyos lados AB y
BC miden 4 y 7 respectivamente,
calcular la longitud de la
proyección del lado AB sobre el
lado AC.
Rpta.:
422
09. En el gráfico calcule PC , si L //
BQ
AB = 8, QC = 6 y (AP)(PB) = 20.
A
B C
P
Q
L
Rpta.:
10. Se tiene un triángulo ABC, sobre
AB
se ubica el punto N, tal que
BM es mediana del triángulo
ABC la m NMB = 90º y m
BCA = 2m NMA. Calcule BM, si
(AB)2 – (BC)2 = 32.
Rpta.:
11. En un trapecio isósceles ABCD
AD//BC
con centro en A y radio
AB
se traza un arco, tal que la
longitud del segmento tangente
trazado desde C a dicho arco es
2
10
y BC = 4. Calcule la longitud
de la proyección de
CD
sobre
AD
.
Rpta.:
12. Según el gráfico: BF = EA, BC =
3AL y 25(AL)2 + 9(BE)2 = 100,
calcule “CO”.
E
A
B C
L
Rpta.:
13. En el gráfico mostrado calcular AE,
si BT = 20, AF = 4, FC = 5, BC = 25
y “T” es punto de tangencia.
A
T
B
E
D
F
C
Rpta.:
14. En el gráfico, se cumple:
(OB)2 + 3(OM)2 =12 Calcular “M”,
si “O” es centro de la
circunferencia.
A B
C
0
M
Rpta.:
15. Según el gráfico A y C son puntos
de tangencia BC = 2BE y (AD)2 +
(DC)2 = 160, calcule AB. A B C
D
E
Rpta.:
423
16. En un trapecio ABCD
AD//BC
, en
AD
se ubica un punto M, tal que
CM//AB
, por M se traza una
perpendicular a
AD
, que
interseca a la prolongación de
CB
en N, Si AB = 13, BC = 6, CD = 15
y AD = 20. Calcular la relación
entre las medidas de los ángulos
ANM y CDA.
Rpta.:
17. En un triángulo ABC (AB > BC) se
traza la bisectriz interior DE,
tal que AC = CE si
(AC)2 –
18
4
AB 2
calcule “BE”.
Rpta.:
18. Según el gráfico R = 5. Calcule
NC (P, L, N, son puntos de
tangencia).
A
B
C
L
N
P
R
90 - 3 2
Rpta.:
19. De la figura calcule “TE”. SI
BEDC es un rectángulo en el cual
(r)(DE) = 6 y DN = NB, además
“T” es punto de tangencia.
T
E D
N
B C
r
Rpta.:
20. El gráfico siguiente AB = MH = 8,
calcule “R”.
A B
M
H
R
0
Rpta.:
424
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. En la figura r = 3 y R = 4.
Calcular “OQ”.
r
R
a) 2
2
b) 5
2
c) 3
d) 4 e) 5
02. Calcular la medida del lado del
cuadrado ABCD si NF = 2,
FM = 3 y “F” es punto de
tangencia.
A
B C
D
N
F
M
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 10
03. Si PQRS es un cuadrado y AB = 10.
Calcular “QR”.
P
Q R
SA B
a) 1 b) 2 c) 3
d)
5
e)
2
04. En la figura calcule PT si TM = 4 (T
y P son puntos de tangencia).
M
P
ET
a) 4
2
b) 4 c) 2
2
d) 5 e) 6
05. En el gráfico calcule AD. Si 3CD
= 2BC y R = 6.
A
B
D
R
C
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06. Según el gráfico AH = 1, TC = 12.
Calcule HT (B y T son puntos de
tangencia).
A
B
CH T
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
425
07. En el gráfico 2(AN) = 6(NB) = 3(BM).
Calcule DH, si DB = DM, CN = 3 y
ND = 11.
A
C
D
N H
B
M
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 12
08. Según el gráfico calcule
(MF)2 – (MG)2 si CD = 4 BD = 7,
sabiendo que ADFG es un
cuadrado y ABCD es un
romboide.
A
B C
D
G FM
a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 55
09. Según el gráfico AOB es un
cuadrante de centro “O”, calcule
AT, si TF = 2 y FE = 7 (T, A, F,
son puntos de tangencia).
A
B
T
F
0 E
a) 5 b) 2 c) 2
2
d) 3 e) 3 2
426
Tema 9: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.
En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que: el producto de
las partes de la primera cuerda es igual al producto de las partes de la segunda.
Si
AB
y
CD
se cortan en P determinan los segmentos:
En
AB
: AP = a; PB = b
En
CD
: CP = c; PD = d
Luego a.b = c.d .
A
a d
c b
BC
D
P
2. TEOREMA DE LOS SECANTES
Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma circunferencia se
cumple que: “la primera secante por su parte externa es igual a la segunda,
también por su parte externa”.
En la figura se trazan:
Se han trazado desde P, las secantes
PA
y
PC
A
P
B
b
a
c
dC
D
PA = a ; PB = b
PC = d ; PD = c.
Luego a.b = c.d .
427
3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante a una misma
circunferencia, se cumple que: “la tangente al cuadrado es igual a la secante por su
parte externa”.
En la figura
PA
es la tangente y
PC
la secante
Si: PA = T; PC = a; PB = b
Luego T2 = a.b .
A
B
b
aC
T
P
428
TRABAJO EN EL AULA
01. Si AB = 10, RC = 4 y CD = 1,
calcular “DE”.
A
D EB C
Rpta.:
02. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9,
calcular “PD”.
B
A
P
C
D
Rpta.:
03. Calcular el área de la región
sombreada. Si AB = 15, FC = 4 y
CD = 12.
B F CA D
Rpta.:
04. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2.
Calcular FG
A
B
C
D
E F
G
Rpta.:
05. Una circunferencia tiene 10 cm.
de radio se traza una cuerda
AB
sobre la cual se ubica un punto
“M” de modo que los segmentos
determinados sobre dicha cuerda
miden 5 y 12. Calcular la
distancia del punto “M” al centro
de la circunferencia.
Rpta.:
06. En la figura hallar “OH” si AP =
4 y R = 6 (“T” punto de
tangencia).
P
T
A H 0 B
R
Rpta.:
07. En un triángulo ABC, inscrito en
una circunferencia, el lado AB
mide 6, el lado BC = 8 y la altura
BH = 4; hallar el radio de la
circunferencia.
429
Rpta.:
08. En la figura mostrada hallar “R”
si BE = 4, EC = 9.
A
B
E
C
R
Rpta.:
09. Si ABCD es un cuadrado de lado
igual a 4 y “M” es un punto
cualquiera en el arco AB. Hallar
MB si MD = 5.
A
B C
D
M
Rpta.:
10. El diámetro de una
circunferencia divide a una
cuerda en dos segmentos que
miden 2 y 6; hallar la distancia
del centro de la circunferencia a
dicha cuerda, si el radio mide 5.
Rpta.:
11. El diámetro AB de una
circunferencia se prolonga hasta
un punto “P” y se traza la recta
tangente PT; hallar el radio de la
circunferencia; si se sabe que
PT = 2
10
y PB = 4.
Rpta.:
12. Según el gráfico, calcule AB, si:
BM = 3 y MN = 2.
A
B
C
DO
MN
Rpta.:
13. En el gráfico mostrado AE = EC =
8, FC = 2, BF = 4 y C es punto de
tangencia. Calcule “DC”.
A
B
C
D
E
F
G
Rpta.:
14. Según el gráfico, calcule AB, si
AL = 5 y LC = 4 (A y D son puntos
de tangencia).
r
O
A
L
B
C
D
Rpta.:
430
15. Según el gráfico MP = PQ;
Calcule ON. Si PT = 4, siento “T”
punto de tangencia.
T
M
P Q N
A O B
Rpta.:
16. En el gráfico mostrad D y T son
puntos de tangencia. Calcule AC,
si CD = X, AT = Y.
A
D
B
T
C
Rpta.:
17. En el gráfico siguiente O2, es un
punto de tangencia.
Si AO = 10, calcule MN.
A
O
M
N
B
O2
Rpta.:
18. En un rectángulo ABCD, se traza
interiormente una
semicircunferencia de diámetro
AR
(
AR
esta contenido en
AD
).
De ”C” se traza
CT
tangente a
ella (T es punto de tangencia).
Calcule AC, si: (CT)2 + (AR) (AD) =
18.
Rpta.:
19. En el gráfico, calcule el radio de
la semicircunferencia, sabiendo
que (MP)(PB) = 32. Siendo M y O
puntos de tangencia.
A O B
M
P
Rpta.:
20. Según el gráfico, calcule OM. SI
MT = 6 además el punto T es
punto de tangencia.
O
P QT
M
A
Rpta.:
431
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR
01. Calcule BC si AB = 3, CD = 4.
A
B
C
D
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 2
02. Calcular BC, si BF = 3, EF = 9 y
FD = 16. B
A
C
D
F
E
a) 16 b) 36 c) 21
d) 46 e) 37
03. Calcular el arco del círculo.
Si AT = 6 y AB = 3
C
B
A
T
a) 3 b) 6 c) 8
d) 5
2
9
e) 7
4
81
04. En un cuadrado ABCD cuyo lado
mide 2
5
la circunferencia
inscrita determina en el lado AD el
punto “P” . Si BP interseca a la
circunferencia en el punto “R”.
Calcular BR.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 1
05. En la figura hallar FC, si AE =
4, FB = 3 y BF = 12; además AM =
MC.
A
B
C
E F
M
a) 6 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
06. Si AOB es un cuadrante de radio
3, hallar EP si AP = 1.
A
B
O
E
P
a) 1 b) 2 c) 3,2
d) 4 e) 1,4
432
07. En el gráfico (OA)2 – (OL)2 = 12,
calcular (BL) (LN).
A
B
N C
L
O
a) 5 b) 17 c) 6
d) 7 e) 4
08. En la figura mostrada a y B son
puntos de tangencia, calcular la
m PAB, si m BMD = 140º.
B
A
P
C
DM
a) 70º b) 60º c) 50º
d) 80º e) 65º
09. Según el gráfico, calcular AT si AB
= 6 (“T” punto de tangencia)
A
B
N
T
C
a) 6 b) 7 c) 5
d) 4 e) 8
10. En una circunferencia se inscribe
el triángulo ABC, donde se trazan
las alturas AP y BM (H:
ortocentro) si HP = a y HM = b
calcule (AM)(MC) -(BP)(PC) Si b > a
a) a2 + b2 b) b2 -a2 c) ab
d)
2
ab
e)
3
ab
433
Tema 10: ÁREAS DE REGIONES PLANAS
a) ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
REGIÓN: Es aquella parte de una superficie plana por una línea.
ÁREA: Es el número que indica la medida de una región, es decir es igual al número
de veces que se utiliza la región unitaria.
1. FORMULA GENERAL.-
El área de un triángulo es igual al semiproducto de su base y la altura
correspondiente.
b
h
b b
Donde: S = Superficie o área del
Triángulo
h = altura
b = base
2
.hb
S
2. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO
S =
L . 3
2
4
S =
H . 3
2
3
434
a
c
b
a
c
b
r
3. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
El área del triángulo es igual al semiproducto de dos lados multiplicado por el seno
del ángulo comprendido entre dichos lados.
a
b
S
=
1 ab. Sen
2
4. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS O FÓRMULA
DE HERÓN
))()(( cPbPaPPS
donde: P = semiperímetro
2
cba
P
5. RELACIÓN DE ÁREAS
Al trazar medianas
2XX
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO
El área de un triángulo es igual al semiperimétro por el inradio.
S = P.r
Donde:
2
cba
P
435
R
cba
S
4
..
A
B
D
Cb
H
a
a
d
7. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE EL CIRCUNRADIO
a c
b
R
8. SABC = m.n
A C
nm
B
B. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
1. ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
S = a2 .
2
d
S
2
2. ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR
S = b . H .
436
A
b
D
B C
h
A
D
B
CA
a
A
a
a
a
B
A
C
D
b
B C
DA
a
h
3. ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
S = b. h .
4. ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
2
BD.AC
S
5. ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
BC // AD
h
2
ba
S
6. FÓRMULA TRIGOMÉTRICA
Sen.
2
BD.AC
S
437
A
B
rab
D
c
d
C
a
b
a
c
d
b
7. ÁREA DE CUADRILÁTERO CINCUNSCRITO
S = p . r
Donde:
2
dcba
P
8. ÁREA DE UN CUADRILÁTERO EX INSCRITO.-
El área de un cuadrilátero Ex-Inscrito es igual al producto de la diferencia entre el
Semiperímetro y la suma de dos lados por el ex-radio de la circunferencia relativa a
dichos lados.
P = semiperímetro
)baP(rS abABCD
9. ÁREA DE UN CUADRILÁTERO INSCRITO
)dP)(cP)(bP)(aP(S
donde:
2
dcba
P
10. EN UN TRAPEZOIDE.-
Si M, N, P y Q, son puntos medios, se cumple que:
2
)(
)(
ABCD
MNPQ
S
S
438
0
R
0
R
R
A
R
r
r
R
b) AREA DE REGIONES CIRCULARES
Área del círculo (A0)
A0 = R
2
Perímetro (2p)
2p = 2 R
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
º360
.R
A
2
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
ACC = (R
2 - r2)
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
º360
)rR(
A
22
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR
A
B
A = A - A
439
TRABAJO EN EL AULA
01. Los catetosde un triángulo
rectángulo ABC recto en “B” miden 6
y 8. Hallar el área del triángulo
AOC, siendo “O” el centro de la
circunferencia inscrita.
Rpta.:
02. En la figura se muestra un cuadrado
ABCD de área 20; calcular el área
del cuadrilátero PQRS; si “P”, “R”,
“S” son puntos de tangencia.
A
B C
D
P
Q
R
S
Rpta.:
03. Hallar el área de un trapecio
isósceles, circunscrito a una
circunferencia, si las bases miden 2
y 10.
Rpta.:
04. Del gráfico AB = 8, BC = 15 y SM =
MC. Calcular el área de la región
sombreada (P, Q, S son puntos de
tangencia).
A
B C
P
Q
S
O
M
Rpta.:
05. Del gráfico AB = R
3
, BC = 4, AC =
6, calcular el área de la región
sombreada.
A
B
C
R
Rpta.:
06. Del esquema, calcule el área de la
región triangular ABC si MN = 2(NL)
= 2 (P, Q, S son puntos de
tangencia).
A
B
C
P
M N L
Q
S
Rpta.:
440
07. En el gráfico se muestran los
cuadrados ABCD, DEFG. Si AB =
2(FG) = 6; calcule el área de la
región sombreada.
A
B C
D
E F
G
Rpta.:
08. Del gráfico calcular el área de la
región sombreada si R = 1 (M, N, S,
T son puntos de tangencia).
B
A
C
D
M
T
S
N
Rpta.:
09. Del esquema BM = 10 y MC = 16,
calcular el área en la región
paralelogramica ABCD.
A
B M C
DO
Rpta.:
10. Del gráfico calcular el área de la
región sombreada si “G” es el
baricentro de la región triangular
ABC si BC = 15 y GM = 2.
A
B
G
CM
Rpta.:
11. Calcular el área de la región
sombreada si AB = 6 y RD = 4.
A
B C
DP
Rpta.:
12. Calcular el radio de la
semicircunferencia de centro “O” .
Si AB = 6, BC = 8 y el área del
triángulo ABC es 21.
B
CA
R
O
Rpta.:
441
13. Hallar el área de un triángulo si sus
lados miden 13, 14, 15.
Rpta.:
14. Si ABCD es un cuadrado de lado 4.
Hallar el área de la región
sombreada. Si AN = 1.
B
A
C
D
N
Rpta.:
15. Calcular el área de la región
sombreada si OA = OB y R = 2
3
.
O O1D B
A
30º
Rpta.:
16. En la figura calcular el área de la
región triangular ABC, si “T” es
punto de tangencia.
O
A
B
C
T
Rpta.:
17. Si lo triángulos ABC y PBQ son
equiláteros AC = 6, calcular el área
en la región sombreada.
A
B
C
Q
P
Rpta.:
18. Hallar el área del círculo sombreado.
Si AB = 13, BC = 14, AC = 15.
B
CA R
Rpta.:
19. Calcular el área de la región
sombreada R =
2
y la medida del
arco AB = 60º
A
B C
O OR R
Rpta.:
442
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01. En el gráfico F, M, G, H son centros
de los círculos. Si los círculos son
congruentes y sus radios miden “R”
calcular el área de la región FHGM.
F
M
G
H
a) 4R2
3
b) 6R2
3
c) 2R2
3
d) 5R
2
3
e) 9R2
3
02. ABCD es un romboide S1 = 25,
S2 = 9. Calcular S (PQCD)
A P D
B C
S
Q
S2
1
a) 29 b) 30 c) 31
d) 36 e) 39
03. En la figura BP = 3; AC = 12. Calcular
el área de la región triangular AQC.
B
CA H
Q
a) 15 b) 18 c) 24
d) 36 e) 60
04. Calcular el área de la región
triangular BMD. Si AC = 10.
D
A M
B
45 -
45º
a) 5 b) 10 c) 5
2
d)
2
25
e) 25
05. Calcular el área de la región
sombreada si AB = 8, CB = 4, si “T”
es punto de tangencia (“O” centro
de la circunferencia)
C B A
T
O
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 9
06. Calcular el área de la región
sombreada si AB = 8, BC = 4, si P y C
son puntos de tangencia.
A
P
B C
a) 4 b) c) 15
d) 9 e) 8
443
07. Del gráfico S(ABC) = 120, calcular
S(MNG) “G” baricentro del triángulo
MBN.
A
B
C
M N
G
a) 5 b) 6 c) 7,5
d) 10 e) 12
08. Del gráfico calcular S1 + S2 +S 3
A
B
C
1
S
2
3
1
S
S
a) 14 b) 15 c) 16
d) 16,5 e) 20
09. En un triángulo ABC se trazan las
medias AN y BM, las cuales se
cortan en “G”; si la medida del
ángulo AGM es igual a 60º. Hallar el
área del ABC. Se sabe que AN = 6 y
BM = 9.
a) 18
3
b) 9
3
c) 36
d) 18 e)27
10. Calcular el área de un hexágono
regular, cuyo lado es igual al lado de
un cuadrado inscrito en el círculo de
2m de radio.
a) 1 b) 2 c) 3
3
d) 4
3
e) 12
3
444
445
Tema 11: RECTAS Y PLANOS
I. Introducción.-
Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones
de nuestro cuaderno: a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tiene tres
dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo que hemos desarrollado hasta el momento nos
sirve para simplificar nuestro mundo tridimensional a una realidad más accesible, más
fácil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenómenos geométricos
tridimensionales.
En geometría bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocíamos
como polígonos; en la geometría tridimensional (conocida como Geometría del
Espacio) todos los entes que se nos presenten los conoceremos como sólidos.
La Geometría del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta
hoja, o el lado de un cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover
en el espacio. Puesto que es la base en que se apoya esta sección, detallaremos
algunas características de los planos.
II. Planos: Determinación, posiciones relativas de dos planos. Posiciones
relativas de un plano con una recta. Teoremas. Distancias
1. Determinación de Planos
Un plano viene determinado:
a) Por dos rectas que se cortan.
b) Por 3 puntos no situadas en línea recta (no colineales).
c) Por una recta y un punto exterior a ella.
d) Por 2 rectas paralelas.
2. Posiciones Relativas de dos planos
Dos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:
a) Cortándose:
En este caso tienen una recta común que se llama “intersección de los dos planos”.
b) Ser Paralelos:
Cuando no tienen ningún punto en común.
446
1
2
1
2
Cortándose Paralelos
3. Posiciones Relativas de un Plano con una recta
Una recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones:
a) Estar la recta en el plano.
b) Cortándose. En este caso tienen un punto A en común.
c) Ser paralelas. En este caso no tienen algún punto en común.
4. Posiciones Relativas de dos rectas en el espacio
Dos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:
a) Cortándose. En este caso tienen un punto en común.
b) Ser paralelas. En este caso están en un mismo plano y no tienen algún punto en
común.
c) Cruzándose. En este caso no están en un mismo plano y no tienen ningún punto
en común. También se les llama RECTAS ALABEADAS.
5. Teoremas Importantes
a) “Las intersecciones a y b de dos planos paralelos y con un tercer plano
son rectas paralelas”.
a
b
b) “Si dos rectas a yb son paralelas, todo plano que pase por una de las dos
rectas es paralelo a la otra recta”.
b
a
c) “Si un plano corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta también a la otra”.
a b
447
d) “Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro”.
e) “Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos entonces, los
segmentos correspondientes son proporcionales”.
Imagen I
=
A
B
C
M
N D
Entonces:
f) “Si una recta es perpendicular a un plano , cualquier plano (y todos los
planos paralelos a ) que pase por la recta es perpendicular a ”
Distancia entre 2 puntos
Viene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.
6. Recta Perpendicular a un Plano
Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las
rectas del plano que pasan por la intersección. Al punto de intersección se le llama
Pie de la perpendicular (punto P).
P
7. Distancia de un punto P a un plano :
Es el segmento
PM
de perpendicular trazada del punto al plano; se llama así por ser
MENOR que cualquier otro segmento
PN
que une el punto con cualquier otro punto del
plano.
P
M
N
448
8. Paralelismo y Perpendicularidad
* Si de dos rectas paralelas a y b, una de ellas (a) es perpendicular a un plano, la
otra (b) también es perpendicular al plano.
* Recíprocamente, dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.
* Dados dos planos paralelos, si una recta es perpendicular a uno de ellos,
entonces también es perpendicular al otro.
9. Distancia entre dos plano y paralelos
Es el segmento
MN
perpendicular comprendido entre los 2 planos. O también, es
la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.
10. Proyección de un punto A sobre un plano
La proyección de un punto A sobre un plano es el pie A’ de la perpendicular
trazada desde el punto al plano.
A
A’
La proyección de una línea
AB
sobre un plano es el conjunto
B'A'
formado por
las proyecciones de todos los puntos de la línea.
A’
A
B
B’
11. Distancia entre dos rectas que se cruzan
Es el segmento perpendicular común comprendido entre ambas rectas. Para
trazar esta distancia, sean a y b las dos rectas alabeadas. Por un punto M de una
de ellas (b) se traza la recta c paralela a la otra (a), la cual determina con b el
plano . Se traza ahora al plano , perpendicular al plano , el cual corta a la
449
recta a en el punto P. Trazando desde P la perpendicular
PQ
al plano , tenemos
que
PQ
es la distancia buscada entre las rectas a y b.
P
Q
a
Mb
c
* Para desarrollar este capítulo de una manera óptima es necesario recordar el
Teorema de Pitágoras:
c
b
a
c = a + b
2 2 2
Esto nos ayudará mucho en el momento de hallar distancias.
450
TRABAJO EN EL AULA
01) En el plano Q se traza el triangulo
ABC y exterior a dicho plano se ubica
el punto “E”, luego se ubican los
puntos medios de M y N de
AE
y
BC
respectivamente de modo que:
10
AC
3
MN
8
FB
, calcular la medida del
ángulo entre
EB
y
AC
.
Rpta.:
02) En la figura
AB
es
perpendicular al plano H
1L
y
2L
están ubicado en dicho plano y
10CR
. Calcule (AR)2 – (AP)2
H
P
R
C
B
A
2
37
2
53
Rpta.:
03) Los rectángulos ABCD y ABEF están
ubicados en planos perpendiculares AD =
24, BE = 10. Calcular la distancia entre los
centros de dichos rectángulos.
Rpta.:
04) En el plano Q se trázale cuadrante
AOB, luego por O se traza
OP
perpendicular a dicho plano de modo
que la mAPB = 53°. Calcular la
medida del diedro determinado por la
región APB y el plano Q.
Rpta.:
05) En un plano se ubican los puntos
A y B exterior al plano se ubica el
punto “P” de modo que
AP
y
BP
forman ángulos que miden 30° y
45°, con dicho plano
respectivamente. Si AP = 6.
Calcule BP.
Rpta.:
06) En la figura, las regiones
rectangulares ABCD y ABEF están
ubicadas en plano perpendiculares,
“P” es punto de tangencia y
pertenece al plano ABCD, AB =
2(BC) = 4m;
m33AF
. Calcule el
área de la región triangular FPF.
B
A
P
C
E
F
D
Rpta.:
07) En el plano Q se traza el
triangulo rectángulo ABC recto en
B. Luego por A se traza
AP
perpendicular al plano Q de modo
que: AP = AB = BC. Calcule la
medida del ángulo entre
BP
y
AC
.
Rpta.:
08) Dado una región triangular
ABC, recto en B, AB = 6 y BC =
8 por el vértice “A” se traza la
perpendicular
AP
al plano que lo
contiene
52AP
. Calcule la
451
medida del ángulo entre
AB
y
PM
,
siendo ”M” punto medio de
BC
Rpta.:
09) En el plano Q se trazan los
puntos colineales A , B y C y el
cuadrado BCEF. Por el punto medio
“M” de
BC
se traza
MP
perpendicular al plano Q, de modo
que AB = 4 y la medida del ángulo
entre
PF
y
AE
es 90°. Calcular el
área de la región BCEF.
Rpta.:
10) En el plano Q se traza el triangulo
equilátero ABC luego por A se
traza
AP
perpendicular al plano Q,
de modo que AP = AB. Calcular la
medida del ángulo
PB
y
AC
Rpta.:
11) Los triángulos rectángulo ABC y ADC
rectos en B y D respectivamente,
están ubicados en planos
perpendiculares, B y D distan de los
planos que no los contienen 6 y 4
respectivamente. Calcule la suma de
las distancias del punto medio de
BD
hacia dichos planos.
Rpta.:
12) Un cuadrante AOB(AO=OB=2) y un
semicírculo cuyo diámetro es
OB
están ubicado en planos
perpendiculares. Calcular el área de la
región triangular AMB, siendo “M”
punto medio del arco OB.
Rpta.:
13) Dado un ángulo diedro P -
AB
- Q
cuya medida es , en la cara P esta
ubicado la región triangular MNC
cuya área es “A” y en la cara “Q”
esta ubicado la región triangular
MND, tal que D es la proyección
ortogonal de C. Calcule el área de la
región triangular MND en función de
A y .
Rpta.:
14) Un hexágono regular ABCDEF cuyo
lado mide 4, esta contenido en un
plano H, por el vértice B se traza
la perpendicular
BP
al plano H,
talque PB = 8. Calcule el área de la
región triangular FPD.
Rpta.:
15) Una semicircunferencia cuyo
diámetro es AB y un triangulo
equilátero ABC están ubicados sus
planos cuyo diedro mide 60°, “P” es
punto medio del arco AB, AB = 4.
¿Cuánto dista “P” al plano que
contiene el triangulo equilátero
ABC?
Rpta.:
16) En un plano H esta ubicado una
circunferencia de centro O, cuyo
radio mide 4m y un punto “P”, tal
que se trazan las tangentes
PQ
y
PB
, en el cual “B” y “Q” son puntos
de tangencia mBPQ = 60°. Por
“O” se traza
OA
perpendicular al
p..
17) lano “H”, tal que OA = 3m. Calcular
el área de la región triangular
ABQ.
452
Rpta.:
18) En un plano “H” están ubicado los
puntos no colineales A, C y D por A
se traza la perpendicular AB al
plano “H” si: (AB)2 + (CD)2 = 36.
calcular la longitud del segmentoscuyos extremos son los puntos
medios de
AC
y
BD
.
Rpta.:
19) En el plano “Q” se traza el
cuadrado ABCD, luego los puntos
medios M y N de
CD
y
AD
respectivamente,
}L{BMCN
. Por
B se traza
BP
perpendicular a
dicho plano, de modo que
4(NC) = 5(PB). Calcular la media
del diedro entre la región NCP y el
plano Q.
Rpta.:
20) Un cuadrado ABCD cuyo centro
es “O” y el triangulo equilátero
AFB se encuentran contenidos en
planos perpendiculares, siendo “M”
punto medio de
EB
, calcular la
mediad del ángulo entre
OM
y el
plano que contiene a dicho
cuadrado.
Rpta.:
21) Un cuadrad ABCD cuyo centro es
“O” y el triangulo equilátero ALB
se encuentra en contenidos en
planos perpendiculares si AB = 8,
calcule OL.
Rpta.:
453
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01) Sean L1 y L2 dos rectas alabeadas
ortogonales, si AB es la distancia entre
dichas rectas (A L1 y B L2) y se forman
los puntos C L1 y D L2, tal que AB
2 +
BD2 = AC2 = 0,04, hallar CD.
a) 1/4 b) 1/5 c) 1/2
d) 1/3 e)
100
3
02) Por los vértices de un cuadrado ABCD, se
levantan las perpendiculares
AA
,
BB
,
CC
y
DD
, de 6m, 4m, 10m y xm,
respectivamente al plano del cuadrado.
Calcular “x”. Si A, B, C y D es un
paralelogramo.
a) 12m b) 13m c) 14m
d) 15m e) 10m
03) Tres planos paralelos determinar sobre una
recta. Secante L1 los segmentos AE y EB ,
además sobre otra recta secante L2, los
segmentos
CF
y
FD
, sabiendo que AB = 8m,
CD = 12m y FD – EB = 1m, hallar CF.
a) 4m b) 7m c) 5m d) 1m e) 9m
04) La distancia del punto “P” del espacio, a un
plano H es 15m y la proyección de
PQ
sobre
el plano H mide 8m, Q L y L H. Hallar la
distancia de P L.
a) 17m b) 18m c) 19m
d) 20m e)
m215
05) Los puntos P y Q se encuentran en
distintas semicircunferencias respecto
al plano H y distan ambos 24m de el.
Calcular PQ si los pies de las
perpendiculares trazadas desde ellas a
dicho plano determinan un segmento de
64m.
a) 65m b) 70m c) 75m
d) 80m e) 82m
06) Determinar la longitud del segmento PQ en
el espacio, cuyas proyecciones sobre dos
planos perpendiculares determinar
segmentos cuyas longitudes difieren en 5m y
si PQ es 10m, mayor que la menor proyección.
a)
m215
b)
m220
c) 25m
d)
m225
e) 30m
07) Los segmentos AB y CD se cruzan
ortogonalmente: Si AB = 12m y CD = 16m,
hallar la longitud del segmento., que une los
puntos medios de
AC
y
BD
.
a) 12m b) 10m c) 15m d) 6m e) 8m
08) Dado un cuadrado ABCD, se construye
un triangulo equilátero ABE en un plano
perpendicular al cuadrado; si P es punto
medio de AE y Q es punto medio de BC,
al área del triangulo PBQ es
2cm38
,
¿Cuánto mide el lado del triangulo ABE?
a) 6cm b) 8cm c) 4cm d) 10cm e) 5cm
09) Dado el rectángulo ABCD, AB = 2m y
BC = 4m. Por el vértice B se levanta un
segmento BE de longitud 3m
perpendicular al plano del rectángulo, si
M es punto medio de
AD
, hallar EM.
a)
m13
b)
m17
c)
m8
d)
m19
e)
m21
454
Tema 12: POLIEDROS
Es el sólido limitado por cuatro o mas regiones poligonales planos denominadas
caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del poliedro y al
segmento que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma cara
se le denomina diagonal. Arista
Cara
Vértice
Diagonal
Clasificación:
1) Por el número de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros,
pentaedros, exaedros,….
2) Según sus características:
a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diestro son convexos; una recta
secante lo corta siempre en dos puntos.
1
2
b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una recta
secante lo corta en más de dos puntos.
1
2
3
4
5
6
455
c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos regulares iguales.
d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular.
TEOREMA DE EULER
En todo polígono se cumple que el número de caras mas el número de vértices es
igual al número aristas más dos unidades
Donde: C = # de caras
V = # de vértices
A = # de aristas
Propiedad: Si un polígono esta formado de diferente número de lado, el número
de aristas se calcular de la siguiente manera.
2
........pmpmpm
A 332211
Donde:
m1 , m2 , m3 , …… es el número de lados de cada polígono.
p1 , p2 , p3 , …...… es el número de polígonos que nos dan.
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre
si:
- Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales
2AVC
456
- Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde el
centro de las esferas viene a hacer el centro del poliedro regular.
TEOREMA:
Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular,
octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.
Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteros
A
B
C
O
G
l
Notación: Tetraedro Regular O – ABC
Altura:
OG
; siempre cae en el baricentro (G)
3
6l
OG
Volumen (V):
12
2l
V
3
Superficie total o Área (A):
3lA 2
Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le
denomina cubo
Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH
Diagonal (
BH
):
3lBH
Volumen (V):
2lv
l
B
A
G
C
E
D
F
H
457
Superficie total o Área (A):
2l6A
Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras.
Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N
Diagonal (
MN
):
2lMN
Volumen (V):
3
2l
V
3
Superficie total o Área (A):
3l2A 2
Dodecaedro Regular.- Sus caras son doce regiones pentagonales iguales.
Volumen (V):
10
52147
2
l5
V
3
Superficie total o Área (A):
5
525
l15A 2
Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.
Volumen (V):
2
537
6
a5
V
2
Superficie total o Área (A):
3a5A 2
l
B
C
D A
M
N
l
l
458
POLIEDROS CONJUGADOS
Dos poliedros son conjugados cuando el número de cada uno de ellos es igual al
número de vértices del otro.
El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro
regular solamente se puede inscribir una esfera u un tetraedro regular.
El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el
exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular
y viceversa.
El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados
Poliedro # caras
#
vértices
#
aristas
Tetraedro 4 4 6
Exaedro 68 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30
NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO
Ad#CD# caras
v
2poliedro
Donde:
poliedroD#
= Número de diagonales del poliedro.
v
2C
= Combinación del número de vértices de dos en dos.
#dcaras = Número de diagonales de todas las caras del poliedro.
A = # de aristas del poliedro.
459
Para el exaedro
regular
Para el tetraedro
regular
Para el octaedro
regular
#dcaras = 2(6) = 12 ;
A = 12
28
)!2()!6(
!8
CC 82
v
2
. Reemplazando en
la ecuación
#D = 28 – 12 – 12 =
4
#Dcubo = 4
#dcaras = 0 ; A = 6
6CC 42
v
2
. Reemplazando
en la ecuación
#D = 6 – 0 – 6 =
0
#Dtetraedro = 0
#dcaras = 0 ; A = 12
15
)!2()!4(
!6
CC 62
v
2
. Reemplazando en
la ecuación
#D = 15 – 0 – 12 =3
#Doctaedro = 3
Para el dodecaedro regular Para el icosaedro
60
2
)35)(5(12
d# caras
; A =
30
190
)!2()!18(
!20
CC 202
v
2
* Reemplazando en la
ecuación
#D = 190 – 60 – 30 = 100
#Ddodecaedro = 100
#dcaras = 0 ; A = 30
66
)!2()!10(
!12
CC 122
v
2
* Reemplazando en la ecuación
#D = 66 – 0 – 30 =36
#Dicosaedro = 36
460
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En el grafico mostrado, calcular el
área de la superficie del tetraedro
P – ABC, si V – ABCD – P es un
octaedro regular y sus aristas
tienen 4cm de longitud.
A
D
C
B
P
V
Rpta.:
02) Calcule el número de vértices
de un poliedro en el cual el número
de aristas es el doble del número
de caras, además, la diferencia
entre el número de aristas y el
número de vértices es igual a 8.
Rpta.:
03) En el grafico mostrado, calcular
la suma de las medidas de los
ángulos de las caras que limitan
dicho poliedro.
Rpta.:
04) En un tetraedro regular
A – BCD, “M” es punto medio de la
arista AB, si AM = 2m. Calcular el
área de la región triangular DMC.
Rpta.:
05) En un hexaedro regular
ABCD – EFGH, “O” es centro de la
cara EFGH y AE = 4m. calcular el
área de la región triangular AOB.
Rpta.:
06) En un hexaedro regular
ABCD – EFGH cuyo centro es “O” y
su arista mide 4m, M y N son
puntos medio de las aristas CD y
DH respectivamente. Calcular el
área de la región triangular MON.
Rpta.:
07) En el grafico mostrado
ABCD – EFGH es un hexaedro
regular y O – FGM es un tetraedro
regular si CG =
62
, calcular la
distancia de “O” hacia la cara
ABCD.
M
O
F
E
C
D
B
A
H
G
Rpta.:
461
08) En un octaedro regular
P – ABCD – Q , tal que “M” es
punto medio de
PC
y
AM =
52
. Calcular el volumen del
octaedro regular.
Rpta.:
09) Dado un octaedro regular
P – ABCD – Q tal que M, N, R y S
son puntos medios de
PA
,
PC
,
QC
y
QA
respectivamente. Calcule el
área de la región cuadrangular
MNRQ, si el volumen del octaedro
es
272
.
Rpta.:
10) En un octaedro regular
P – ABCD – Q, la suma de las áreas
de las caras del poliedro PABD es
2m)23(2
. Calcular el volumen
del octaedro regular.
Rpta.:
11) En la figura A – BCD es un tetraedro
regular AM = MB, AN = ND, AR = RC,
los planos MNQF y RNQP son
perpendiculares a la cara BCD.
Calcule la medida del diedro NQ.
B
P
Q
R
M N
C
F
A
D
Rpta.:
12) En la figura AB = BD = AD = AC =
DC, calcular la medida del diedro
BC.
D
C
A
B
Rpta.:
13) En el hexaedro regular ABCD –
EFGH, cuya arista mide 2m, “O” es
centro de la cara EFGH ¿Cuánto
dista el centro de la cara ABCD
del plano AOB?
Rpta.:
14) En la figura ABCD es un tetraedro
AO
es la altura, “O” es centro de
la cara AM = MB y CN = ND.
Calcule
FN
MF
A
B
M
N
D
C
F
O
Rpta.:
15) En la figura ABCD – EFGH es un
hexaedro regular. Calcule la medida
del ángulo entre
EB
y
FH
462
Rpta.:
16) En la figura ABCD – EFGH es un
hexaedro regular, “O” es centro
de la cara CDHG. Calcule la medida
del ángulo entre
EO
y
CG
Rpta.:
17) En el grafico se muestra un
hexaedro regular
ABCD – EFGH, “O” es centro de la
cara CDHG, CU = 1 y UG = 2.
Calcular AR.
F
E
C
D
B
A
H
G
R
O
P
Rpta.:
18) En la figura, calcular la razón del
volumen entre el hexaedro regula
ABCD – EFGH y el tetraedro
ACHF.
F
E
C
D
B
A
H
G
Rpta.:
19) En la figura ABCD –EFGH, es un
hexaedro regular PG
HC
y el área
de la región triangular EBP es
2m28
, calcular el volumen del
hexaedro regular.
F
E
C
D
B
A
H
G
P
Rpta.:
20) En la figura ABCD – EFGH es un
hexaedro regular
m22AB
P y Q
son centros de las caras ADHE y
CDHG respectivamente. Calcular el
área de la región ACQP
F
E
C
D A
H
G
Q
P
B
Rpta.:
F
E
C
D
B
A
H
G
F
E
C
D
B
A
H
G
463
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01) En un octaedro regular O – ABCD –
O’, se ubican los puntos medios M y
N de
OA
y
A'O
respectivamente.
Calcule la medida del ángulo diedro
determinado por las regiones
triangulares BND y BMD
a) 30° b) 37° c) 45° d) 60° e) 90°
02) En un octaedro regular V – ABCD –
V’ se ubican los puntos medios M y
N de las aristas AV’ y CV’
respectivamente. Calcule el área de
la región triangular MVN si el
volumen del octaedro es
3
264
a) 3 b) 6 c) 9 d) 10 e) 11
03) Calcular la razón entre las áreas de las
superficies de un octaedro regular y
el poliedro cuyos vértices son los
centros de sus caras.
a)
3
b)
32
c)
33
d)
2
33 e) 2
04) El tetraedro regular A – BCD, M y N
son puntos medios de
BD
y
DC
respectivamente y el área de la región
triangular MAN es 2m114 . Calcular el
volumen del tetraedro regular.
a) 38m3 b) 70m3 c) 84m3
d)
3m2
3
128
e) 76m3
05) En un hexaedro regular ABCD –
EFGHA cuya arista mide 4m, “O” es
centro de la cara ADCGH. Calcule el
área del a región triangular EOF.
a) 2m53 b) 2m52 c) 2m54
d) 2m55 e) 8m
2
06) En un hexaedro regular ABCD – EFGH,
en la arista AE se ubica el punto “M”,
tal que AM = ME y en
MC
se ubica el
punto N (MN = NC) si
17GN
.
Calcular la longitud de la arista de dicho
hexaedro regular.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
07) En la arista AO es un octaedro
regular O – ABCD – P, se ubica el
punto N, tal que el área de la región
triangular PNC es 8. Calcular l área
de la superficie del octaedro.a) 45 b) 48 c) 60
d) 50 e)
332
08) En un tetraedro regular A – BCD, en
la arista AB se ubica el punto “M”,
tal que AM = 3(MB) y BC = 12.
cuanto dista “M” de la cara BCD.
a)
3
b) 2 c)
5
d)
6
e)
7
09) En un tetraedro regular A – BCD,
cuya arista mide 6m, M y N son
puntos medios de
AC
y
AG
respectivamente, siendo “O” centro
de la cara BCD. Calcule MN.
a)
17
b)
13
c)
15
d)
RA
e)
21
464
Tema 13: CONO
El estudio sistemático de las pirámides y el circunscrito y el conocimiento de la
circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y
subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es
muy parecido a una pirámide con la diferencia de que su base es una región curva
en lugar de una poligonal.
Altura
Base
Superficie
Lateral
Vértice o
cúspide
* Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel sólido geométrico
generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de
sus catetos.
r
Eje de giro
g
360°
r
h
g
O
Superficie
Lateral
Vértice o
cúspide
Base
Generatriz
V
Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2 + r2 = g2
465
. Área de la Superficie Lateral (SL)
rgSL
. Área de la Superficie Total (ST)
2
LT rSS
. Volumen (V)
3
h)R(
V
2
* Desarrollo de la superficie lateral del cono.- El desarrollo de la superficie
lateral del cono es un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y su
superficie es equivalente a la superficie lateral del cono.
r
h
g
g
O
g g
* Sección axial de un cono circular recto.- La sección axial de un cono
circular recto es un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son dos
generatrices diametralmente opuestos ya que su base es un diámetro de la
base del cono y su vértice; el del cono.
gg
r r
H
V
En la figura AVB, es la sección axial del cono mostrado.
g
R
360
466
* Conos semejantes
H
h
P Q
R
A
O
B
r
Se cumple:
*
h
H
r
R
OQ
OB
OP
OA
*
2
2
2
2
2
2
2
2
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelArea
mayorconodelArea
*
3
3
3
3
3
3
3
3
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelVolumen
mayorconodelVolumen
* Tronco de cono recto de revolución
g
r
R
g)rR(SL
22
LT rRSS
)RrrR(
3
H
V 22
467
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Calcular el volumen del cono recto
que se puede formar con la cuarta
parte de un círculo de radio “R”
Rpta.:
02) En la figura calcular el volumen
generado por el eje “x” si
24CD
, AB = BC.
A
B C
D
x
Rpta.:
03) Cual es el volumen de un cono de
revolución cuya base tiene 10cm
de diámetro y cuya altura mide
6m.
Rpta.:
04) El volumen del sólido generado por
la rotación sobre el segmento
AB
, del
triangulo de la figura.
A B
C
9cm 4cm
Rpta.:
05) En la figura AB = PC = 6m, el
volumen del sólido de revolución
que se obtiene al rotar el triangulo
ABC alrededor de la recta L es:
B
C P
A
L
Rpta.:
06) Al girar una vuelta completa
alrededor de la recta L. la región
sombreada en la figura, se genera
un sólido, su volumen es:
3
1
5
L
Rpta.:
07) La región triangular en la figura al
girar alrededor del eje J genera
un sólido cuyo volumen es V1, y al
girar alrededor del eje 2 de
volumen V2; hallar V1/V2.
Eje 2
Eje 1
Rpta.:
08) Hallar el volumen del sólido
generado por la rotación de un
468
trapecio isósceles ABCD
alrededor de su base mayor
AD
, si
AB = BC = CD = a ; AD = 2a.
Rpta.:
09) Se tiene un cono de 27m3 de
volumen, su altura es dividida
entre partes iguales por planos
paralelos a la base. Calcular el
volumen del parte central.
Rpta.:
10) Se ha construido un cono recto
con un sector circular, cuyo ángulo
mide 120° y su radio mide “R”, si
“r” es la medida del radio de la
base del cono. Hallar:
R
r
Rpta.:
11) La altura de un cono recto mide
33
. Hallar el volumen, si el
desarrollo de la superficie lateral
es un semicírculo.
Rpta.:
12) En la figura se muestra un cilindro
de revolución inscrito en un cono
de revolución; si la altura del cono
es 4 y dicho cilindro con el cono
parcial son equivalentes. Calcular
la altura del cilindro.
Rpta.:
13) En la figura se muestra a dos
conos re revolución cuya razón de
volúmenes se pide calcular.
Rpta.:
14) Un cono circular recto y un cilindro
tienen los diámetros de sus bases y
sus alturas iguales al diámetro de una
esfera. Si la suma de los tres
volúmenes es 100cm3. Hallar el
volumen del cilindro.
Rpta.:
15) En el grafico se muestra dos conos
de revolución. Si se cumple que Ap
= pD. Calcule la razón de sus
volúmenes.
469
P
D
B A
0
Rpta.:
16) En el grafico mostrado, los conos son
circulares rectos tal que: V2 = 2(V1).
Calcule la razón de las áreas de las
superficies laterales de los conos
cuyo vértice es P y O ; R y O son
centros de sus bases; V1 y V2 son los
volúmenes de los conos cuya base
tiene por centro R.
B
0
P
2V
1V
R
Rpta.:
17) La vista superior de dos conos que
tienen el mismo vértice es:
Calcule la razón de los volúmenes
de dichos conos.
r
Rpta.:
18) En la superficie de desarrollo de
un cono equilátero; se inscribe una
circunferencia de radio 1. Calcule
el volumen del cono.
Rpta.:
19) Si el desarrollo de la superficie
lateral de un cono circular recto
es un sector circular cuyo ángulo
centras mide 120° y el radio es
igual a 3cm. Calcular al área de la
superficie total del cono.
Rpta.:
20) En un cono de revolución la
distancian del centro de la base
hacia una de sus generatrices es
igual a 2cm. Si el área de la
superficie lateral es igual a 9cm2,
calcule el volumen de ducho cono.
Rpta.:
470
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01) Según el grafico la generatriz del
cono circular recto es
cm24
,
además P , Q y R son puntos de
tangencia, mAOB = 60° ;
OA=OB=12cm. Calcule el volumen
del cono.
r
Q
R
O
P
B
A
a) 64cm3 b) 60cm3 c) 50cm3
d) 65cm3 e) 72cm3
02) El desarrollo de la superficie
latera de un cono de revolución es
un sector circular cuyo ángulo
central mide 120° y de área 3cm3.
Calcule el volumen de dicho cono.
a)
3cm
3
22
b)
3cm
3
2
c)
3cm
5
2
d)
3cm
4
23 e) 3cm2
7
3
03) Calcular el volumen de un cono
circular recto si la longitud de su
altura es 8 y la medida del ángulode desarrollo es 120°.
a)
3
32
b)
3
64
c)
3
19
d)
3
17
e)
3
20
04) Según el grafico mostrado,
calcule la razón de volúmenes
entre el cono cuya base es el
circulo de centro O1 y su vértice
es “A” y el cilindro son
equivalentes.
A
2O
1O
a) 3 b) 2 c) 1
d) 4 e) 5
05) Calcular el volumen de un cono de
revolución cuya generatriz es de
longitud “g”, la medida del ángulo
desigual de su sección axial es 2.
a)
Cos
3
g3 b)
2
3
Sen
3
g
c)
CosSen
3
g 2
3
d)
3
g3 e)
2g
3
2
06) En el grafico se muestra un cono
circular recto y un cilindro de
revolución, tal que
)CD(2AC
y
el área de la superficie lateral del
cono es cuatro veces el área de la
471
superficie lateral de un cilindro.
Calcula la razón del sus volúmenes.
A B
O
D C
V
a)
13
3
5
b)
13
3
7
c)
3
13
d)
13
3
2
e)
13
3
4
07) Según el grafico se tiene un cono
circular recto y un cilindro de
revolución. Si MA = AR, calcule la
razón de volúmenes entre el cono y
el cilindro.
A
O
R
N M
a)
3
1
b)
3
4
c)
5
1
d)
3
2
e)
5
3
08) Calcular la razón de volúmenes
de los sólidos mostrados.
53°
45°
R R
a)
21
2
b)
21
4
c)
21
8
d)
21
5
e)
21
10
09) Según el grafico, el volumen del
cilindro de revolución es 18cm3. Si
se cumple que: 2(VO) = 3(PO).
Calcular el volumen del cono
circular recto.
A B
O
V
2h
P
a) 25cm3 b) 27cm3 c) 36cm3
d) 30cm3 e) 32cm3
10) Del grafico “G” es baricentro de la
región triangular AMB. Si CM =
3(MB), calcule la razón de volumen
entre el cono cuyo vértice es “G” y
el cilindro de revolución.
A B
C
M
G
a)
36
11
b)
36
13
c)
36
15
d)
36
19
e)
36
17
472
TEMA: CILINDROS
Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre si y
secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral cilindro y
en los planos paralelos se determinan secciones planos congruentes, las cuales se
denominan bases del cilindro.
En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre si y
congruentes, cuyos extremos son los puntos del contenido de las bases, dichos
segmentos se denominan generatrices.
Altura Generatriz
Superficie Lateral
Base
Base
Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución
Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares. También denominado Cilindro
de Revolución porque es generado por una región rectangular al girar 360° en
torno a uno de su lados.
h
r
h
r
r
O 1
O 2
x
Eje de giro
473
* Sección axial de un cilindro recto.- Toda sección producida en un cilindro
recto determinada por un plano secante que contenga a los centros de las
base del cilindro se denomina sección axial, la cual generalmente es una región
rectangular.
r
r
r
r
A
B
C
D
g
* Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto.- Es el
desarrollo del al superficie lateral del cilindro circular recto.
r
r
g g
r2
. Área de la Superficie Lateral (SL)
rg2SL
. Área de la Superficie Total (ST)
)rg(r2ST
En la figura ABCD es la sección
axial del cilindro recto:
SABCD = 2g . r
474
. Volumen (V)
grV 2
* Cilindro Oblicuo
B
B
SR
g
h
g)RSdePerimetro(SL
BLT Area2SS
g)R.SdeArea(V
h)BdeArea(V
En donde:
SR : Sección Recta
ÁreaB : Área de la base B
h : Altura
g : generatriz
475
* Tronco de Cilindro Recto
Eje
O 2
B
Base
O 1
g
G
Eje =
2
gG
Eje
G : Generatriz Mayor.
g : Generatriz Menor
eje)baseladePerimetro(SL
BdeAreabaseladeAreaSS LT
eje)baseladeArea(V
476
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) El diámetro de la base de un
cilindro y su altura es igual a “D”.
Hallar su volumen en función de
“D”.
Rpta.:
02) El radio de una esfera mide “a”
y la altura de un cilindro recto
inscrito mide
3
a4
. Calcular la
relación de volúmenes entre el
cilindro y la esfera.
Rpta.:
03) Calcular el área latera del
cilindro recto mostrado si OF =
16.
O
15°
Rpta.:
04) Hallar el volumen del cilindro
recto de altura “h”. Si la longitud
de la circunferencia de su base es
”2h”.
Rpta.:
05) En el cilindro de revolución
mostrado,
cm101OB1
,
cm26MO2
, PM = MQ. Calcule el
volumen del cilindro.
A P
M
Q B 2O
1O
Rpta.:
06) Según el grafico, la generatriz
del cilindro circular recto es de
igual longitud que
PB
, si r = 3, AQ
= 1 y mAO1B = 90°, calcule el
volumen del cilindro.
Q P B A
1O
2O
r
Rpta.:
07) En el grafico la
semicircunferencia de diámetro
12OO
, se encuentra en el plano “P”, si
QC = 2 y R = 4, calcular el volumen
del cilindro de RE y revolución
B
1O
2O
A D
R
Q
C
Rpta.:
08) En un cilindro re revolución las
generatrices
AB
y
CD
son
477
diametralmente opuestas (B y C en
una misma base), en el arco BC se
ubica el punto “P”.
Rpta.:
09) En un cilindro re revolución se
inscribe un prisma cuadrangular
regular. Calcular la razón de
volúmenes de dichos sólidos.
Rpta.:
10) En el grafico se muestra un
cilindro se muestra un cilindro de
revolución. Si se cumple AH =
2(HB) = 6, además EB = BC,
calcule el volumen del cilindro.
A
B
C
H
E
Rpta.:
11) En un cilindro de revolución, la
longitud de la generatriz es el triple
de la longitud del radio de las bases.
Es una de las bases se traza la
cuerda
AB
de
cm32
de longitud y
dista del centro de dicha base 3cm.
Calcule el área de la superficie total
de cilindro.
Rpta.:
12) En el cilindro circular, se cumple que el
área de la sección axial es k veces, el
área de la base, si el radio de la base
es r, calcular el volumen del cilindro en
función de k y r.
Rpta.:
13) En un cilindro de revolución se
inscribe un paralelepípedo ABCD –
EFGH. Si
AE
es una generatriz del
cilindro, el radio de la base del
cilindro es R y la razón de volúmenes
de ambos sólidos es . ¿Cuánto dista
C de
BD
?
Rpta.:
14) En el grafico mostrado, la generatriz
del cilindro tienen 6cm de longitud,
EC = CD. Calcular el volumen del
cilindro (AB y ED son generatrices
diametralmente opuestos)
B
A
D
C
E
Rpta.:
15) El desarrollo de las superficies
lateral de un cilindro recto es uncuadrado de diagonal “D”. Calcular
el volumen de dicho cilindro.
Rpta.:
16) Calcular la superficie lateral del
cilindro oblicuo mostrado, si el
radio de la sección recta mide
0,5m.
478
Sección Recto
60°
15cm
Rpta.:
17) Un cilindro esta lleno de agua
hasta la mitad, se suelta un
pequeño pedazo metálico y el nivel
del agua sube 3,5m. Si el diámetro
del cilindro es 8m. ¿Cuál es
volumen del pedazo?
Rpta.:
18) Un depósitos de forma cilíndrica se
desea cambiar por otro de la misma
forma, pero aumentado en un 50%,
la longitud de la circunferencia de la
base. ¿En que porcentaje se
incrementara el volumen del nuevo
cilindro, respecto al primero?.
Rpta.:
19) Un vaso cilíndrico de 20cm de
diámetro en la base y 40cm de
altura esta lleno de agua. Si se
vierte dicha agua en otro vaso
cilíndrico de 40cm de diámetro.
¿Hasta que altura subirá el nivel de
agua de este último vaso?
Rpta.:
20) En el Grafico se muestra un
cilindro de revolución y un
octaedro regular inscrito en dicho
cilindro calcula la razón de sus
volúmenes.
R
R
Rpta.:
479
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01) Un cilindro cuya altura es igual el
diámetro de la base, tiene una
área de 12. Calcular su volumen.
a) 32 b) 16
c)
28
d)
24
e) 1
02) Un cilindro; la base tiene como
longitud 6cm y la generatriz es
congruente al diámetro.
Determinar el ara total del sólido.
a) 27cm2 b) 54cm2
c) 9cm2
d) 18cm2 e) 52cm2
03) El desarrollo lateral de un
cilindro recto es un rectángulo
cuya diagonal mide 13cm, si la
generatriz mide 5cm. Calcular el
área lateral del cilindro.
a) 70cm2 b) 60cm2
c) 50cm2
d) 90cm2 e) 80cm2
04) En la figura mostrada la región
rectangular al girar alrededor del
eje(1) genera un sólido cuyo
volumen es V1 y al girar alrededor
del eje(2) genera un sólido cuyo
volumen es V2.
3a
a
Eje 1
Eje 2
a) 2 : 3 b) 3 : 1
c) 1 : 9
d) 1 : 3 e) 4 : 9
05) En un vaso cilíndrico de 36cm
de diámetro que contiene cierta
cantidad de agua se echan dos
bolas de igual diámetro y el nivel
de agua sube 6cm, calcular el radio
de las bolas.
a) 1cm b) 3cm
c) 4cm
d) 6cm e) 9cm
06) Calcular la longitud del radio de
la base de un cilindro de revolución
de 10m de altura, sabiendo que si
aumenta en 5m el radio de la base
resulta un nuevo cilindro cuya área
lateral es igual al área total del
cilindro original.
a)
m2
b)
m23
c) 3m
d)
m25
e) 5m
07) Al aumentar el radio de un
cilindro de 6m. El volumen aumenta
en xm3, pero si aumentamos la
altura del cilindro en 6m, el
volumen aumenta igualmente en
xm3. si la altura original mide 2m
calcular la longitud del radio
original.
a) 6m b) 3m
c) 12m
d) 9m e) 2m
480
08) Calcular el volumen de un
cilindro inscrito en un cubo de
216m2 de área total.
a) 36 b) 48
c) 54
d) 62 e) 784
09) En un cilindro oblicuo la
generatriz forma un ángulo de 30°
con la horizontal, la altura del
cilindro es el triple del radio de la
sección recta. Calcular el volumen
del cilindro si el perímetro de la
sección recta es 6.
a) 96 b) 134
c) 162
d) 218 e) 254
10) Se tiene un tronco de cilindro
recto cuya generatriz mayo mide
30m y su generatriz menor mide
14m. Calcular el volumen del
cilindro si el radio de la base mide
5
.
a) 230m3 b) 320m3
c) 460m3
d) 550m3 e) 610m3
481
Tema 14: ESFERA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360° en tono a
su diámetro.
Grafico
2
SE R4A
ASE: Área de la Superficie Esférica.
Nota: Si el plano H es tangente a la superficie esférica
HOT
ZONA ESFÉRICA
Es la porción de superficie esférica comprendida ente dos circunferencias
determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
Grafico
Rh2AZE
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella.
Grafico
Rh2ACE
2
CE )AB(A
HUSO ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias
máximas del mismo diámetro.
R Z h
R
R O
Círculo
máximo
482
Grafico
90
R
A
2
HE
AHE: Área del Huso Esférico.
: Medida del ángulo del huso o ángulo de giro
SECTOR ESFÉRICO
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360° en torno a un
diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano
respecto del eje de giro.
Grafico
hR
3
2
A 2SE
h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre le eje de giro.
VSE: Volumen del sector esférico.
ANILLO ESFÉRICO
Definición:
Es el sólido generado por un segmento circula al girar 360° entorno a un diámetro
del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano
respecto del eje de giro.
R
R
O
R
h
R
483
Grafico
h
6
1
A 2AE
h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro.
: Longitud de la cuerda AB.
VAE: Volumen del anillo esférico.
SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Definición
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos para de los entre si y
secantes a la esfera
Grafico
2
hr
2
hr
6
h
V
2
2
2
1
3
SE
VSE: Volumen del segmento esférico de dos bases.
h : Distancia entre los planos paralelos.
¿Qué es un segmento esférico de una base?
Es aquella porción de esfera determinada por un plano secante a ella.
2
3
SE r
2
h
6
h
V
VSE : Volumen del Segmento Esférico de una base
B A
R O h
R
A B
B r
h
R
A p – r p
484
TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN
Superficie de Revolución
El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360° en torno a una
recta coplanar y no secante a dicha línea es igual al producto de las longitudes de
la línea y de la circunferencia que describe su centroide.
Grafico
X2LASG
ASG: Área de la superficie generada.
L : Longitud de la línea AB
C : Centroide de la línea AB
X
: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360° en torno a una
recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la regiónmultiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.
Grafico
X2AVSG
VSG : Volumen del sólido generado.
A : Área de la región generadora.
C : Centroide de la región generadora.
X
: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
L L
A A A’
L O H L
B B B’
L L
O H
S
485
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Se muestra un cono de 40m de alto
y 30m de radio; hallar el radio de la
sección circular originada por los
puntos de tangencia con las
generatrices.
Rpta.:
02) Hallar la relación de volúmenes
de un cono de 40m de altura y 30m
de radio de la base con la esfera
inscrita.
Rpta.:
03) Calcular el área de la base del
Casquete esférico mostrado de 2m2
de área si el radio de la esfera mide
m
1
Rpta.:
04) En el grafico mostrado “N” es
punto de tangencia,
mAVB = 106°, el volumen del cono
de revolución es 16cm3, calcular el
volumen del a semiesfera.
B A
N
V
Rpta.:
05)En el grafico M y T son puntos de
tangencia mVBA = 53°, la altura del
cono de revolución es
cm
3
20
. Calcule la
razón de los volúmenes en te el cono y
la esfera
B A
V
O
O
R
M
Rpta.:
06) Un almacén tiene la forma de
una semiesfera. Si se necesitan 16
galones de pintura para cubrir el
piso. ¿Cuántos galones se necesitan
para pintar el interior del almacén?
Rpta.:
07) Según el grafico, calcule la suma
de volúmenes de los sólidos
486
generados por las regiones
sombreadas M y N puntos de
tangencia.
N M 2
360°
Rpta.:
08) El volumen de la esfera
mostrado es numéricamente igual al
área de su superficie. Calcule PB (A
es punto de tangencia)
B
A
P
37°
Rpta.:
09) Se funde una bola de plomo de
radio 5cm para obtener bolas cuyo
radio sean de 1cm cada una.
¿Cuántas bolas de plomo se
obtendrán en el proceso?
Rpta.:
10) Según el grafico calcular el área de
la superficie esférica inscrita en el
cono circular recto L, M y P son
puntos de tangencia y OM = 22 y
MB = 3
M
P B A
O
L
Rpta.:
11) En el grafico mostrado el volumen
del cilindro de revolución es 224, P
y T son puntos de tangencia,
mABH = 37°, calcule el volumen de
la esfera.
H T
P A
B
Rpta.:
12) En el grafico mostrado, el área de
la superficie lateral del cilindro
recto, es numéricamente igual al
volumen de la esfera, si R = 2,
calcular el área de la región
triangular ABC.
A B
R
D C
Rpta.:
487
13) En el grafico mostrado, la
semiesfera y el cono de revolución
mayor son equivalentes. Calcule el
volumen del cono en función de “R”.
Rpta.:
14) En el grafico mostrado, el prisma
triangular ABC – EFG es regular y
circunscribe a la esfera. Si el
volumen del prisma es
348
, calcule
el área de la superficie de esférica.
A
B
C P
E
G
Rpta.:
15) La altura y el radio de la base de un
cono recto son iguales al radio de
una esfera, además el volumen del
cono es 1m3, hallar el volumen de la
esfera.
Rpta.:
16) Una esfera metálica de volumen “V”
es calentada hasta que su radio
aumenta en un décimo. ¿Cuál es el
nuevo volumen de la esfera?
Rpta.:
17) El radio de la base de un cilindro
recto, circunscrito a una esfera es
3m. Hallar la relación de sus
volúmenes.
Rpta.:
18) Hallar el área de una superficie
limitada por una esfera, un círculo
menor de esta, cuyo radio mide 4m
y un circulo máximo de radio 5m
paralelo a dicho circulo menor.
Rpta.:
19) El volumen de una cuña esférica de
60° es de
3cm212
hallar el área
total de la cuña referida.
Rpta.:
20) Un cilindro de altura 4m y radio
de la base 1,5m. esta inscrita en una
esfera, hallar la relación de
volúmenes.
Rpta.:
488
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01) Determinar a que distancia del
centro de una esfera de radio
m)52(R
se debe seccionar con
un plano para que la distancia de las
reas de los casquetes esféricos
determinados sea igual al área de la
sección que divide a la esfera en
dichos casquetes.
a) 0,6 m b) 0,8 m c) 1 m
d) 1,2 m e) 0,5 m
02) Hallar el área de la sección que se
determina al intersecarse una
esfera y un cono, ambos inscritos
en un cilindro recto cuyo radio de la
base es
m5
.
a) 2m2 b) 4m2 c) 8m2
d) 12m2 e) 16m2
03) Hallar el área de la base de un
segmento es de 2m2 de superficie
correspondiente a una esfera cuyo
radio mide
m/1
.
a) 1m2 b) 1,5m2 c) 2m2
d) 2,5m2 e) 3m2
04) Se tiene una esfera cuyo radio
mide 1m, un cilindro y un cono
equilátero circunscrito a esta
esfera hallar la suma de los
volúmenes de los tres sólidos.
a)
3m
3
19
b)
3m
3
26
c)
3m
3
13
d)
3m
3
6
e)
3m
3
14
05) En una esfera de radio R se halla
inscrito un cono circular recto de
altura “h”, hallar la superficie
lateral del cono.
a)
R)hR2(h
b)
R)hR2(
2
h
c)
)hR2(R2h
d)
Rhh
e)
R)hR3(h
06) Calcular el volumen de una esfera
circunscrita a un octaedro regular de
1/m3 de volumen.
a) 1m3 b) 0,5m3 c) 1,5m3
d) m3 e) 2m3
07) Sean E1 y E2 dos esfera, si el
volumen de E2 es el doble del
volumen E1 y el radio de
cm16E 31
.
Hallar el volumen de E2.
a) 612cm3 b)
3cm
3
512
c) 412cm3 d)
3cm
3
432
e) 552cm3
08) Hallar el área total de un cono
circunscrito a dos esferas
tangentes exteriores cuyos radios
son 1 y 3m.
a) 9m2 b) 36m2
c) 72m2 d) 81m2
09) Calcular el ángulo en la cúspide de
un cono recto sabiendo que el área
de la esfera inscrita es el área del
cono como 4 es a 3.
a) 15° b) 30° c) 60° d) 74° e) 80°
10) En el tetraedro Q – ABC el triedro
“O” es trirrectángulo OA = 8 M
OB = 4, OC = 8, calcular el radio
de la circunferencia circunscrita en
metros.
a) 5 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2
489
Tema 15: PIRÁMIDE
Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte lateral
limitada por regiones triangular consecutivas quien tiene un vértice común, el
cual a su vez es el vértice de la pirámide.
En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al plano de la base se
le denomina altura de la pirámide.
Notación: Pirámide O – ABCD
A
B
C
O
D
Arista
básica
Arista
básica
Base
Vértice
Altura
Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas laterales son
congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie de
su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada desde su
vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema.
En la figura se muestra una pirámide regular:
O
DA
C
P
B
M
Apotema (Ap)
Apotema (ap)
490
P – ABCD
- Ap: Apotema de la pirámide (PM)
- ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM)
-
PO
: Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y centro del polígono
regular.
- : Medida del diedro formado por una cara lateral con la base.
En toda pirámide se cumple:
Área de la Superficie Lateral (SL):
Apotema
baselade
troSemiperíme
SL
Nota: POM
222 )OP()ap()Ap(
Área de la Superficie Total (ST):
baseladeAreaSS LT
Volumen (V):
3
Altura)baseladeArea(
V
TRONCO DE PIRAMIDE REGULAR
Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de modo
que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases.
Sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes entre si, la altura de
cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide.
Base 1
Base 2
a
L K
J
IH
G
F E
D
C B
A
h
491
Notación: Pirámide Hexagonal Regular
ABCDEF – GHIJKL
a
2base
lade
troSemiperíme
1base
lade
troSemiperíme
SL
2Area1AreaSS LT
3
)2Area)(1Area(2Area1AreaAltura
V
PIRAMIDES SEMEJANTES
Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámide O – ABC, este
determinara una sección MNL (Sección Transversal) la cual será la base de otra
pirámide O – MNL semejante a la pirámide.
B
C
A
O
M
L
N H
h
Si MNL // ABC
Pirámide O – MNL Pirámide O – ABC
Luego se cumple:
1)
)ciastanDis(.........
H
h
OC
OL
BC
NL
OA
OM
2)
2
2
2
2
2
2
2
2
)ABCO(T
)MNPO(T
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
S
S
3)
3
3
3
3
3
3
3
3
)ABCO(
)MNLO(
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
V
V
492
TRABAJO EN EL AULA
01. Un tronco de pirámide, de bases
paralelas, tiene por base mayor un
cuadrado de lado 2; si la altura
del tronco es de 3 y su volumen es
de 73. ¿Cuánto mide el lado de la
base menor?
Rpta.:
02. Se tiene una pirámide regular V –
ABCD cuya altura y una diagonal de
base tienen igual longitud y el radio
de la circunferencia inscrita en la
base mide
cm23
. Calcular el
volumen de la pirámide.
Rpta.:
03. Se tiene un pirámide hexagonal
regular V -ABCDF, en el cual
cm6AB
,
cm12BV
. Calcule el
volumen del sólido V – BCDE.
Rpta.:
04. En un hexaedro regular ABCD –
EFGH su diagonal mide
36
en
EH
se ubica el punto “M”. Calcule el
volumen de la pirámide D – MFG.
Rpta.:
05. Se tiene un pirámide cuadrangular
regular V – ABCD, donde las caras
laterales son regiones equiláteras,
“M” es punto medio de
VC
. Si el
área de la superficie total de la
pirámide es
2)13(4
, calcule AM.
Rpta.:
06. En un pirámide cuadrangular
regular V – ABCD, si
mAVB = 37° y la distancia del
vértice de dicha pirámide al
baricentro de una de las caras
laterales es 6. Calcule el volumen
de dicha pirámide.
Rpta.:
07. En un a pirámide de base
rectangular el pie de altura es el
punto de intersección de las
diagonales, el área de la cara DVC
es 52, AD = 6 y el diedro que
determina la cara AVB y la base
mide 53°. Calcular el volumen de la
pirámide
Rpta.:
08. En una pirámide hexagonal regular
V – ABCDEF se ubican los puntos
medios M, N y P de las aristas AF,
B y DE. Calcule la razón de
volúmenes de las pirámides V –
MNP y V – ABCDEF.
Rpta.:
09. Dado una pirámide cuadrangular
regular V – ABCD el área del a base
y el perímetro de dicha base es
24m. Calcular el volumen de la
pirámide.
Rpta.:
10. En un prisma cuadrangular regular,
un plano secante a dicho prisma
paralelo a las bases divide al prisma
en otros dos de igual volumen.
Calcular la razón entre el volumen
del prisma y el volumen de la
pirámide cuya base es la sección
determinada por el plano secante
493
en el prisma y su vértice pertenece
a una de las bases del prisma.
Rpta.:
11. Las áreas de las bases de dos
prismas semejantes están en la
razón de 9 es a 16. calcula la razón
de sus volúmenes.
Rpta.:
12) El radio de la circunferencia
circunscrita a la base de una
pirámide de base cuadrada mide
4cm, calcular la apotema de la
pirámide sabiendo que su arita
lateral mide 8cm
Rpta.:
13. Hallar el área total de una pirámide
regular de 8 cm. de altura. Si su
base es un cuadrado y sus caras
laterales son triángulos
equiláteros.
Rpta.:
14. El volumen de una pirámide
hexagonal regular cuya arista
lateral mide 6 cm. y ésta forma un
ángulo de 30º con la base.
Rpta.:
15. Calcular el volumen de una pirámide
cuadrangular regular cuya arista
básica mide 6. Siendo su área
lateral el quíntuplo del área de la
base.
Rpta.:
16. Calcular el área total de una
pirámide cuadrangular regular
cuyas caras laterales son triángulos
equiláteros y cuya arista básica es
4.
Rpta.:
17. El área total de un pirámide
cuadrangular regular es los 2/3 del
área total de un prisma recto de la
misma base y altura que la pirámide.
Si el lado de la base mide 4. Calcular
la medida de la altura.
Rpta.:
18. El volumen de una pirámide regular
cuya base es un hexágono de 12 m.
de perímetro y además el potam de
la pirámide mide 4 m.
Rpta.:
19. Se tiene un hexágono regular ABCD
– EFGH se traza
DS
AG
(S
AG
). Calcula el volumen de la
pirámide S – ABCD si
DS
= 2u.
Rpta.:
20. En una pirámide pentagonal regular,
el área de la superficie es #S y el
área de la superficie lateral es 2S.
Calcule la medida del ángulo diedro
y que forma una cara lateral con la
base.
Rpta.:
494
DIVERSIÓN PARA EL HOGAR
01. Una pirámide cuadrangular regular,
la medida del diedro determinado
por una cara lateral y la base es
60º. Calcula la longitud de la arista
lateral en función del radio “r” de
la esfera descrita en dicho sólido.
a) r
5
b) r
3
c) r
12
d) r
15
e) r
19
02. Según el gráfico el volumen de la
pirámide regular es “V” Calcule el
volumen del tronco de cilindro
circular recto (O: Centro).
a)
3
2
3
V b)
3
4
3
V c)
3
8
3
V
d)
3
3
V e)
4
3
3
V
03. En una pirámide regular la medida
del ángulo diedro determinado
por una cara lateral y el plano de
la base es “”. Calcule la razón de
área de la superficie lateral y de
la base de dicha pirámide,
a) Sec b) Csc c) Cos
d) Sen e) Tg
04. Calcula la altura de un tronco de
pirámide cuadrangular regular, si
la arista lateral y la cara lateral
forman con la base ángulos
complementarios además la
proyección de la arista lateral
sobre la base es
24
u.
a) 4
4 2
u b) 2
4 2
u c) 3
4 2
u
d) 5
4 5
e)
4 2
u
05. Se tiene un paralelepípedo
rectangular ABCD – EFGH que es
equivalente a la pirámide R =
ADHE, si
RA
,
RD
,
RHy
RE
interceptan a la cara BCGF en los
puntos M, N, P y Q
respectivamente. Si AB = a, BC =
b, AE = c. Calcule el volumen en la
pirámide R – MNPQ.
a)
27
4
abc b)
27
2
abc c)
27
8
abc
d)
27
10
abc e)
27
16
abc
06. Calcular el volumen de la
pirámide inscrita en la
semiesfera si el volumen de éste
es 18 u3.
a) 9u3 b) 18u3 c) 27u3
d) 1u3 e) 2u3
07. Hallar el volumen de un tronco de
pirámide triangular regular si una
cara lateral y su base mayor
forman un ángulo diedro de 60º,
495
la apotema de la pirámide mide 2
m y el área en la base mayor es
12
3
m3
a) 27m3 b) 18 m3 c) 20 m3
d) 21 m3 e) 24 m3
08. Hallar el volumen de una pirámide
cuadrangular regular de aristas
iguales, si la distancia del centro
de la base a una arista lateral es
3 cm.
a) 36 cm3 b) 36
3
cm3
c) 42 cm3
d) 42
2
cm3 e) 36
2
cm3
09. La pirámide P – ABC es
trirrectángulo en el vértice “P”.
Si PA = 3 cm. PB = PC = 4 cm.
Hallar la distancia de P al plano
ABC.
a)
cm34
17
1
b)
17
6 cm34
c)
17
5 cm34
d)
17
9 cm34
e)
cm34Mais conteúdos dessa disciplina
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