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Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 22 de outubro de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada Aula 11 Pré-Cálculo 2 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 3 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 4 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 5 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 6 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 7 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 8 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 9 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 10 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 11 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 12 A função raiz quadrada f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva. Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação √ x para representar f−1(x). Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 13 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 14 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 15 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domíniode f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 16 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 17 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 18 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 19 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 20 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 21 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 22 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 23 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 24 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 25 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 26 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x)= x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 27 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 28 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 29 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 30 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 31 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 32 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 33 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 34 Explicando. . . Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f (x) = x2 f−1 : [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y = f−1(x) = √x a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função. √ a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞). √ a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( √ a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a. Aula 11 Pré-Cálculo 35 A função raiz quadrada (Ir para o GeoGebra) Aula 11 Pré-Cálculo 36 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 37 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 38 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 39 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 40 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|.∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 41 Propriedades ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. ∀a ≥ 0, ∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Aula 11 Pré-Cálculo 42 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 43 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 44 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 45 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 46 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 47 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 48 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 49 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 50 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 51 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 52 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 53 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 54 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 55 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 56 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 57 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 58 Propriedade: demonstração ∀a ∈ R, √ a2 = |a|. Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então |a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como √ a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a2, segue-se que √ a2 = p = |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 59 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 60 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 61 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 62 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 63 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 64 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 65 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 66 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 67 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 68 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 69 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 70 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 71 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a · b = √a · √ b e ∀a,b ≤ 0, √ a · b = √−a · √ −b. Demonstração. Considere o número p = √ a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato: p2 = ( √ a · √ b)2 = ( √ a)2 · ( √ b)2 = a · b. Como √ a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue- se que √ a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 72 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 73 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b< 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 74 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 75 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 76 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 77 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 78 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 79 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 80 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 81 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 82 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 83 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 84 Propriedade: demonstração ∀a ≥ 0,∀b > 0, √ a b = √ a√ b e ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a b = √−a√−b . Demonstração. Considere o número p = √ a/ √ b. Note que p = √ a · √b ≥ 0 como divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 = a/b. De fato: p2 = (√ a√ b )2 = ( √ a)2 ( √ b)2 = a b . Como √ a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue- se que √ a/b = p = √ a/ √ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, √ a/b = √−a/ √ −b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 85 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 86 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 87 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então√a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 88 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 89 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 90 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 91 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 92 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 93 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 94 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 95 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 96 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 97 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 98 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 99 Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a < √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√ b + √ a > 0. Uma vez que (b − a) = ( √ b −√a) · ( √ b + √ a), podemos escrever que √ b −√a = b − a√ b + √ a . Assim, √ b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b. Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b. Aula 11 Pré-Cálculo 100 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 101 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 102 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 103 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+√ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 104 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 105 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 106 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 107 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 108 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 109 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 110 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 111 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 112 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 113 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 114 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 115 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 116 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0 como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois números ≥ 0. Agora 0 ≤ √a · √ b ⇒ 0 ≤ 2 · √a · √ b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a · √ b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+ √ b)2. Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior,concluímos que √ a+ b ≤ √ ( √ a+ √ b)2. Mas, pela primeira propriedade,√ ( √ a+ √ b)2 = |√a+ √ b| = √a+ √ b. Portanto, vale que √ a+ b ≤ √a+√b. Aula 11 Pré-Cálculo 117 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 118 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 119 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 120 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 121 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 122 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 123 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 124 Propriedade: demonstração ∀a,b ≥ 0, √ a+ b ≤ √a+ √ b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9 e b = 16: √ a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 = √ a + √ b. Quando vale a igualdade? Aula 11 Pré-Cálculo 125 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 126 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 127 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 128 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 129 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 130 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 131 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 132 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 133 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 134 Exercício As funções f (x) = √ x − 1 x − 2 e g(x) = √ x − 1√ x − 2 são iguais? Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são iguais: f ∣∣∣∣ (2,+∞) = g ∣∣∣∣ (2,+∞) . Aula 11 Pré-Cálculo 135 A distância euclidiana entre dois pontos no plano Aula 11 Pré-Cálculo136 A distância euclidiana entre dois pontos no plano (Ir para o GeoGebra) Aula 11 Pré-Cálculo 137 A equação do círculo no plano Aula 11 Pré-Cálculo 138 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 0 x y 1 (4,3) (x , y) Aula 11 Pré-Cálculo 139 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 0 x y 1 (4,3) (x , y) Aula 11 Pré-Cálculo 140 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 0 x y 1 (4,3) (x , y) Aula 11 Pré-Cálculo 141 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔ √ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1 ⇔ (√ (x − 4)2 + (y − 3)2 )2 = 12 ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. Aula 11 Pré-Cálculo 142 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔ √ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1 ⇔ (√ (x − 4)2 + (y − 3)2 )2 = 12 ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. Aula 11 Pré-Cálculo 143 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔ √ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1 ⇔ (√ (x − 4)2 + (y − 3)2 )2 = 12 ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. Aula 11 Pré-Cálculo 144 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔ √ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1 ⇔ (√ (x − 4)2 + (y − 3)2 )2 = 12 ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. Aula 11 Pré-Cálculo 145 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1. d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔ √ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1 ⇔ (√ (x − 4)2 + (y − 3)2 )2 = 12 ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1. Aula 11 Pré-Cálculo 146 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Aula 11 Pré-Cálculo 147 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 148 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 149 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 150 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 151 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 152 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = √ a2 − x2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio |a|. Aula 11 Pré-Cálculo 153 Função par e função ímpar Aula 11 Pré-Cálculo 154 Função par Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função par: f : R → R x 7→ f (x) = 1− x4 . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 155 Função par Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função par: f : R → R x 7→ f (x) = 1− x4 . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 156 Função par Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função par: f : R → R x 7→ f (x) = 1− x4 . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 157 Função par Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função par: f : R → R x 7→ f (x) = 1− x4 . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 158 Função par O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y ! Aula 11 Pré-Cálculo 159 Função ímpar Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função ímpar: f : R → R x 7→ f (x) = x5 + x . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x). Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 160 Função ímpar Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função ímpar: f : R → R x 7→ f (x) = x5 + x . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x). Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 161 Função ímpar Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função ímpar: f : R → R x 7→ f (x) = x5 + x . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x). Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 162 Função ímpar Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D. Definição Exemplo de função ímpar: f : R → R x 7→ f (x) = x5 + x . De fato: para todo x ∈ R, f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x). Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 163 Função ímpar O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem! Aula 11 Pré-Cálculo 164 Observações Existem funções que não são pares e nem ímpares: f : R → R x 7→ f (x) = 2− x3 . De fato: f (−1) = 3 6= 1 = f (1) e f (−1) = 3 6= −1 = −f (1). Aula 11 Pré-Cálculo 165 Observações Existem funções que não são pares e nem ímpares: f : R → R x 7→ f (x) = 2− x3 . De fato: f (−1) = 3
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